路径扩散，第一部分

图9和图10显示了一个网格构建的例子，在这种情况下，转移概率要大得多，而且也不是对称的。在这种情况下，极端分布将消失，因为只有当粒子不偏离直线路径时，才能获得极端分布，这在给定150步的情况下是不可能的。此外，重组步骤生成的分布更集中在中间，同时显示最大过渡参数方向的曲线。图9显示了初始和最终的150步分布。最终的分布看起来是高斯分布，但标准差增加了，并移向了反中心。初始分布以零为中心，然后在0.45时迁移到10.99，而根据我们的初始分布，标准偏差从1.5开始，然后在最后t=0.45时变为约16.2。由于分布的扩展，标准差总是会增加，在下一节中，我们将展示这是如何依赖于时间和概率的。平均值的偏移很难估计，不等于150* (α - β) * x、 α和β决定了路径的曲率，但它们没有说明平均运动或“上升”或“下降”概率。这种“上升”和“下降”概率有效地决定了平均值的移动，但如果不进行计算，就很难确定它们，而且在这些情况下，它们与时间有关。3.连续方程。假设有适当的离开限制/H→ 按比例，可以将方程（1.2）转化为连续方程。假设/h=c，这意味着粒子的速度总是恒定的。所以粒子只以c或相等的速度运动-C

另外，假设概率α和β的行为与h的速率一样小，因此α（t，x）→ α（t，x）hβ（t，x）→ β（t，x）h。然后可以为粒子的位置概率构造一个双因素跳跃过程。要将这些限制应用于方程式（1.2），请插入c并将概率更改为速率。扩展x个术语来确定q+（t+h，x）q-（t+h，x）=1.- α（t，x）hβ（t，x）hα（t，x）h1- β（t，x）hq+（t，x）- 十、xq+（t，x）+O(x） q-（t，x）+十、xq-（t，x）+O(十）路径扩散，第一部分11图9。初始节点密度、最终节点密度、大型转换图10。3D节点过渡行程，大型过渡，以便q+（t+h，x）q-（t+h，x）=1.- α（t，x）hβ（t，x）hα（t，x）h1- β（t，x）hq+（t，x）q-（t，x）+ 十、1.- α（t，x）hβ（t，x）hα（t，x）h1- β（t，x）h-xq+（t，x）xq-（t，x）.12 JOHAN G.B.BEUMEE+CHRIS CORMACK+MANISH PATEL+PEYMAN KHORSAND注意等式的最后一部分有h项x可以忽略，因为它们很小。保留主要条款会带来收益q+（t+h，x）- q+（t，x）q-（t+h，x）- Q-（t，x）=H-α（t，x）β（t，x）α（t，x）-β（t，x）q+（t，x）q-（t，x）+ 十、-xq+（t，x）xq-（t，x）所以除以h，计算极限产量Tq+（t，x）q-（t，x）=-α（t，x）β（t，x）α（t，x）-β（t，x）q+（t，x）q-（t，x）+ C十、-q+（t，x）q-（t，x）（3.1）服用 ↓ 0，h↓ 0和设置/h=c。忽略his这个术语，因为它们是一个较小的数量级。重新组织这个过程会产生q+（t，x）t+cq+（t，x）x+α（t，x）q+（t，x）=β（t，x）q-（t，x）Q-（t，x）T- CQ-（t，x）x+β（t，x）q-（t，x）=α（t，x）q+（t，x）（3.2），这是一组耦合对流方程，反映了网格上的概率。

这种类型的方程看起来像是有耗传输线中电压和电流波行为的双曲型一维电报方程，尽管符号不同[7]或[13]。在这种情况下，只有初始密度q+（0，x），q形式的初始条件-（0，x），通常没有Dirichlet类型的边界条件（与时间相关的固定x边界）。只有当概率流随时间在状态中受到限制时，才会出现狄里克莱边界。电报方程。方程（3.2）可以在二维电报方程中重铸。和前面一样，让ρ（t，x）=q+（t，x）+q-（t，x）和定义φ（t，x）=q+（t，x）- Q-（t，x）那么方程（3.1）和（3.2）可以改写为tρ（t，x）=-Cxφ（t，x）tφ（t，x）=-Cxρ（t，x）- 2α（t，x）q+（t，x）+2β（t，x）q-（t，x）或替换为q+（t，x）=（ρ（t，x）+φ（t，x））/2和q-（t，x）=（ρ（t，x）- φ（t，x））/2这个约化为tρ（t，x）=-Cxφ（t，x）（3.3）tφ（t，x）=-Cxρ（t，x）- （t，x）ρ（t，x）- γ（t，x）φ（t，x）（3.4），其中γ（t，x）=α（t，x）+β（t，x）和（t，x）=α（t，x）- β（t，x）。如果α（t，x）=α，β（t，x）=β（还原γ（t，x）和（t，x）为常数）这个方程可以进一步简化。表示γ（t，x）=γ，（t，x）= 将（3.3）方程中的时间导数转化为路径扩散，第一部分13第二个方程（3.4）得到tρ（t，x）=- C十、-Cxρ（t，x）- ρ（t，x）- γφ（t，x）=Cxρ（t，x）+cxρ（t，x）+cγxφ（t，x）变成tρ（t，x）+γtρ（t，x）=cxρ（t，x）+cxρ（t，x）（3.5）使用方程中最后一项的（3.3）。这是一个二维电报方程，它在时间t和空间坐标x上都有阻尼。请注意[8]，[11]中涉及电压和电流波的各种应用，尽管它们通常具有Dirichlet类型的附加条件。

此外，基于一维马尔可夫随机演化模拟的电报方程的柯西问题与[15]使用柯西边界条件的形式类似。随机过程在生物学中的应用产生了具有柯西边界的电报方程[3]。文献中提出了统计学中的电报方程来描述具有有限速度的粒子运动，而不是扩散型模型。该领域的第一个贡献可以追溯到[6]，[12]。[10]和[2]中显示了类似于（3.2）和（3.5）的局部概率电报方程。这更像是一个联合概率方程，而不是本文中使用的条件概率。有关使用电报跳跃过程和市场模型的马尔可夫过程表示，请参见[14]。这个方程可以简化为阻尼Klein-Gordon方程，如下所示。注意，在这种情况下，初始条件需要满足（3.3）和（3.4）的ρ（t，x）以及φ（t，x）的初始函数。克莱恩-戈登方程。将方程（3.5）转化为aKlein-Gordon方程相对简单，如下所示。定理3.1。为了简化方程（3.5），进一步假设解可以写成ρ（t，x）=e-2cx-常数的γtψ（t，x）（3.6）, 那么ψ（t，x）t=cψ（t，x）x+ηψ（3.7），其中4η=4αβ=（γ- ).证据将状态概率写成ρ（t，x）=eAx+Btψ（t，x）14 JOHAN G.B。

BEUMEE+CHRIS CORMACK+MANISH PATEL+PEYMAN KHORSAND然后是（3.5）γ中的前两个术语ρ（t，x）t=γeAx+Btψ（t，x）t+Bψρ（t，x）t=eAx+Btψ（t，x）t+2Bψ（t，x）t+Bψ或ρ（t，x）t+γρ（t，x）t=eAx+Btψ（t，x）t+（2B+γ）ψ（t，x）t+（B+γB）ψ= eAx+Btψ（t，x）T-γψ如果我们使用B=-γ/2分配第一个导数。右边的两个术语C也是一样ρ（t，x）x=ceAx+Btψ（t，x）x+AψCρ（t，x）x=ceAx+Btψ（t，x）x+2Aψ（t，x）x+Aψ兽人ρ（t，x）x+cρ（t，x）x=eAx+BtCψ（t，x）x+（2cA+c）)ψ（t，x）x+Ac（Ac+)ψ= eAx+BtCψ（t，x）十、-ψ如果我们再次使用A=-/（2c）删除第一个导数。这两个结果将等式（3.5）简化为ψ（t，x）t=cψ（t，x）x+γ- ψ=cψ（t，x）x+ηψ，定义为上述η。根据应用的类型，这个方程有很多解。下面要进一步讨论的一个有趣的例子是，（3.7）的通解等于ψ（t，x）=AI（ξ）+BK（ξ）ξ=ηcpK（t，x）K（t，x）=ct- xI（.），其中，K（.）是一阶修正贝塞尔函数。一个特别有趣的事实是，如果ψ（t，x）是（3.7）的等式，那么ψ*T- xv/cp1- v/c），x- vtp1- v/c）！（3.8）也是任意速度v路径扩散的解，第一部分15想象一个相当大的质量，使得γ<<1以速度v移动，然后使用（3.8）我们得到ρ（t，x）=e-2cx-γtψ*（t，x）≈ ψ*（t，x）是一个概率密度，它围绕着以v速度移动的下垫质量的直线路径。这里γ很小，因为较大的质量几乎没有色散，所以γ≈ 0，则表示式中的x项消失。还假设 假设c的速度非常大，那么/C≈ 0，指数的x项消失，近似值成立。在相对论量子力学中，Klein-Gordon波动方程通常用于寻找波函数的无自旋自由粒子。

方程式（3.7）适用于调整后的实际方程式，并与速子[4]或传输方程式[1]有关。速度，前进和后退。为了找出粒子穿过x的平均位置，我们研究了从一个节点退出的概率。使用方程（1.3）和（1.2）上的Bayes，在时间t离开状态x的任何粒子的速度为±c，概率为[x（t+h）=x+x | x（t）=x]=P[x（t+h）=x+x、 x（t）=x]P[x（t）=x]=q+（t，x）ρ（t，x）P[x（t+h）=x- x | x（t）=x]=P[x（t+h）=x- x、 x（t）=x]P[x（t）=x]=q+（t，x）ρ（t，x），因为q±（t，x）=P[x（t+h）=x±x、 x（t）=x]是联合概率，见（1.2）、（1.3）。因此，粒子在时间t等于v（t，x）=c（q+（t，x）时的出射速度的期望是有条件的- Q-（t，x）ρ（t，x）=cφ（t，x）ρ（t，x）（3.9），其中φ（t，x）=q+（t，x）-Q-（t，x）。因此，两种密度q+（t，x），q-（t，x）也有物理解释。对于反向速度，在取平均值之前，考虑网格中以x（t）=x结尾的步长。因此，通过使用Bayes-againP[x（t- h） =x+x | x（t）=x]=P[x（t）- h） =x+x、 x（t）=x]P[x（t）=x]=q+（t）- h、 x+x） ρ（t，x）P[x（t- h） =x- x | x（t）=x]=P[x（t）- h） =x- x、 x（t）=x]P[x（t）=x]=q+（t）- h、 x- x） ρ（t，x）现在专注于从x+到x的概率带速度的x-cor来自x- x和速度c。可以使用方程（1.2）的反演确定反向速度和加速度。定理3.2。具有正向速度（3.9）的双曲二维双曲方程（3.2）的加速度也等于t（x）=limh↓0v（t，x）- 五、-（t，x）h=-C（t，x）- v（t，x）γ（t，x）16约翰·G·B·贝美+克里斯·科马克+曼尼什·帕特尔+佩曼·霍桑带v-（t，x）定义为以x结尾的粒子速度——反向速度。证据

如前所述使用Bayes参数后向速度-（t，x）=c（P[x（t- h） =x- x | x（t）=x]- P[x（t）- h） =x+x | x（t）=x]），其中-（t，x）=cP[x（t）- h） =x- x、 xt=x]P[xt=x]-P[x（t）- h） =x+x、 xt=x]P[xt=x]= Cq+（t）- h、 x- x） ρ（t，x）-Q-（t）- h、 x+x） ρ（t，x）=cρ（t，x）q+（t）- h、 x- 十）- Q-（t）- h、 x+十）.从那时起，这可以通过反转方程式（1.2）来简化q+（t）- h、 x- x） q-（t）- h、 x+十）=1.- α（t）- h、 x）hβ（t- h、 x）hα（t- h、 x）H1- β（t- h、 x）h-1.q+（t，x）q-（t，x）=Dt-H1.- β（t- h、 x）h-β（t- h、 x）h-α（t）- h、 x）H1- α（t）- h、 x）hq+（t，x）q-（t，x）=Dt-H(1 - hβ（t- h、 q+（t，x）- hβ（t- h、 x）q-（t，x）-hq+（t，x）α（t- h、 x）+（1- hα（t- h、 x）q-（t，x）=Dt-Hq+（t，x）- hβ（t- h、 x）ρ（t，x）q-（t，x）- hα（t- h、 x）ρ（t，x）（3.10）使用矩阵行列式dt-h=（1）- hβ（t- h、 (x)(1)- hα（t- h、 （十）- hβ（t- h、 x）α（t）- h、 x）=（1）- h（β（t- h、 x）+α（t）- h、 x））=1- hγ（t- h、 x）。将其代入方程（3.10）yieldsv-（t，x）=cρ（t，x）q+（t）- h、 x- 十）- Q-（t）- h、 x+十）=cDt-hρ（t，x）q+（t，x）- Q-（t，x）+h（α（t）- h、 十）- β（t- h、 ρ（t，x）=v（t，x）+ch（t）- h、 x）Dt-h=v（t，x）+hc（t）- h、 x）1- hγ（t- h、 x）使用（t）- h、 x）=α（t）- h、 十）- β（t- h、 x）。目前，hv订单不断增加-（t，x）=v（t，x）+ch（t）- h、 x）h1- hγ（t- h、 x）=（v（t，x）+ch（t）- h、 x））（1+hγ（t）- h、 x）+…）=v（t，x）+c（t）- h、 x）h+v（t，x）γ（t）- h、 x）h+。。。（3.11）路径扩散，第一部分17or在极限（x）=limh↓0v（t，x）- 五、-（t，x）h=-C（t，x）- v（t，x）γ（t，x）使用（t，x）=limh↓0（α（t）- h、 十）- β（t- h、 x），γ（t，x）=limh↓0（α（t）- h、 x）+β（t）- h、 x））。因此，这是一个通过点x的加速度的实用定义。请注意，α（t，x）、β（t，x）的极限和连续性问题是本证明中忽略的技术问题。4.

解方程（3.2）、电报方程（3.5）和克莱因-戈登方程（3.7）在存在特定初始柯西条件的情况下具有解。这包括初始条件和初始速度的分布。这里的情况与电磁学、投资或以前概率研究中的通常应用略有不同，因为分布定义为q+（t，x），q的和-（t，x），电报方程通常不提供初始分布。然而，这是相当直接的War5d显示以下内容。定理4.1。使用定理3.1中η=（β）的表示法- α） /4）初始条件ρ（0，x）=q+（0，x）+q-（0，x）那么（3.2）和（3.5）的解由q+（t，x）=e给出-2cx-γtψ+（t，x）q-（t，x）=e-2cx-γtψ-（t，x）ρ（t，x）=q+（t，x）+q-（t，x）（4.1）式中ψ±（t，x）=（ψ±（x+ct）+ψ±（x）- ct））+ctηZx+ctx-ctψ±（z）I（ηcξ（t，x）- z） ξ（t，x）- z） dz随ψ±（x）=e2cxq±（0，x）ξ=pct- x、 证据。方程（3.7）给出了整体空间概率密度ρ（t，x）函数的克莱因-戈登方程。这是从（3.6）和（3.5）中得出的。然而，可以使用这些方程来表明相同的电报方程（3.5）适用于φ（t，x）。然而，在这种情况下，初始条件会有所不同。由于加法ρ（t，x）和差值φ（t，x）都满足电报方程，因此它们的差值和相加也满足电报方程（3.5）。因为q+（t，x）=（ρ（t，x）+φ（t，x））/2，q-（t，x）=（ρ（t，x）- φ（t，x））/2也满足18 JOHAN G.B.的电报方程。

BEUMEE+CHRIS CORMACK+MANISH PATEL+PEYMAN KHORSAND通过指数（3.6）关系转换，它们也满足克莱恩-戈登方程。因此ρ（t，x），φ（t，x），q+（t，x），q-（t，x）都满足克莱因-戈登方程，尽管条件不同。柯西条件下克莱因-戈登方程的解为ψ（t，x）=（ψ（x+ct）+ψ（x）- ct））+ctηZx+ctx-ctψ（ξ）I（ηcpct）- （十）- ξ） ）pct- （十）- ξ） dξ+2cZx+ctx-ctθ（ξ）K（mpct）- （十）- ξ） 其中ψ（0，x）=ψ（x）tψ（0，x）=θ（x）。假设我们没有条件导数，我们可以去掉上面的θ（t，x）项，并为单个密度设置适当的初始条件。使用（3.6）这些初始条件是q+（0，x）=e-2cxψ+（x）orq-（0，x）=e-2cxψ-（x） 因此，将其反转得到ψ±（0，x）=e2cxq±（0，x），这是（4.1）中提供的初始条件。然后，得到的方程是使用初始条件q+（0，x），q的克莱因-戈登方程的解-（0，x）。为了找到电报方程的解，我们需要（3.6）中的指数来解释（4.1）中的方程。q=（t，x），q的方程-（t，x）是单因素方程，因此上述过程应找到唯一的解。另一方面，如果γ和c变大，使得γ，c>>1，那么方程（3.5）可以写成tρ（t，x）=cγxρ（t，x）+cγxρ（t，x）-γtρ（t，x）（4.2）和极限中的最后一项消失（因为1/γ<<1）而产生屈服tρ（t，x）=cγxρ（t，x）+cγxρ（t，x），这是一个方差σ=cγ和漂移的扩散方程-Cγ.事实上，如果加上α=β = α - β=0和γ=2α，因此方程（4.2）减少到tρ（t，x）=cγxρ（t，x）=c2αxρ（t，x）路径扩散，第一部分19，这是典型的扩散。结果并不令人惊讶，因为大γ表明在任何状态x下切换速度的概率非常高。

典型的布朗路径具有非常高（有限）的速度（此处等于c），但方向的变化率非常高（非常大）。一些性质或多或少可以从方程（3.5）中看出。定理4.2。对于小γ，平均速度保持等于其初始值，而对于大γ和大c，平均速度变为SV=-Cγ.阿尔索[x（t）]≈γ>>1和γt>>1的2ctγ+E[x（t）]。证据积分方程（3.5）表明∞-∞xρ（t，x）dx+γddtZ∞-∞xρ（t，x）dx=-C所以thatddtE[x（t）]+γddtE[x（t）]=-C.解决这个问题的办法是直截了当的vt=ddtE[x（t）]=-Cγ+v+cγE-γt（4.3），其中v=ddtE[x（0）]是初始速度的简单参考。很明显，粒子的初速是vBut，经过一段时间γt<1，我们得到v∞= -Cγ.再次积分（4.3）yieldsE[x（t）]=E[x（0）]-Ctγ+v+cγ1.- E-γtγ≈ E[x（0）]-Ctγ≈ E[x（0）]+v∞只要γ>>1和γt>>1。方程（3.5）也显示了DDTZ∞-∞xρ（t，x）dx+γddtZ∞-∞xρ（t，x）dx=2c- 2cE[x（t）]20约翰·G·B·贝美+克里斯·科马克+曼尼什·帕特尔+佩曼·霍尔桑德索·塔德特[x（t）]=E-γtE[x（0）]+2cγ1.- E-γt- 2c中兴通讯-γ（t）-s） E[x（s）]ds（4.4）这个方程的最后一项变成-γ（t）-s） E[x（s）]ds≈中兴通讯-γ（t）-（s）E[x（0）]-Csγds=E[x（0）]γ1.- E-γt-Cγtγ-1.- E-γtγ≈E[x（0）]γ-C那么方程（4.4）变成了dTe[x（t）]≈2cγ-2cE[x（0）]γ+2ctγ≈2cγ-2cγE[x（0）]-Ctγ≈2cγ+v∞（E[x（0）]+v∞（t）≈2cγ+ddtE[x（t）]使e[x（t）]≈2ctγ+E[x（t）]这一结果表明，随着方差随时间增加，分布与高斯扩散一致，而剩余项为1/γ级。然而，如果α（t，x）和（t，x）依赖于状态x和时间t，则需要不同的路径。5.多维酪蛋白有限维方程。通过引入更多要进入的状态和更多要来自的状态，很容易推广（1.2）中的先前算法。