路径扩散，第一部分

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英文标题：
《Path Diffusion, Part I》
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作者：
Johan GB Beumee, Chris Cormack, Peyman Khorsand, Manish Patel
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  This paper investigates the position (state) distribution of the single step binomial (multi-nomial) process on a discrete state / time grid under the assumption that the velocity process rather than the state process is Markovian. In this model the particle follows a simple multi-step process in velocity space which also preserves the proper state equation of motion. Many numerical numerical examples of this process are provided. For a smaller grid the probability construction converges into a correlated set of probabilities of hyperbolic functions for each velocity at each state point. It is shown that the two dimensional process can be transformed into a Telegraph equation and via transformation into a Klein-Gordon equation if the transition rates are constant. In the last Section there is an example of multi-dimensional hyperbolic partial differential equation whose numerical average satisfies Newton\'s equation. There is also a momentum measure provided both for the two-dimensional case as for the multi-dimensional rate matrix.
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中文摘要：
在速度过程而非状态过程是马尔可夫过程的假设下，研究了离散状态/时间网格上单步二项（多项式）过程的位置（状态）分布。在这个模型中，粒子在速度空间中遵循一个简单的多步过程，这也保留了适当的运动状态方程。文中给出了这一过程的许多数值例子。对于较小的网格，概率结构收敛为每个状态点的每个速度的双曲函数的相关概率集。结果表明，当跃迁速率为常数时，二维过程可以转化为电报方程，也可以转化为Klein-Gordon方程。在最后一节中，有一个多维双曲偏微分方程的例子，其数值平均值满足牛顿方程。对于二维情况和多维速率矩阵，也提供了动量度量。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
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2022-5-6 15:13:51 上传

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关键词：Mathematical Differential Construction distribution Quantitative

路径扩散，部分IJOHAN G.B.BEUMEE+CHRIS CORMACK+MANISH PATEL+PEYMAN KHORSAND摘要。本文在速度过程而非状态过程是马尔可夫过程的假设下，研究了离散状态/时间网格上单步二项（多项式）过程的位置（状态）分布。在这个模型中，粒子在速度空间中遵循一个简单的多步过程，这也保持了适当的运动状态方程。文中给出了这一过程的许多数值例子。对于较小的网格，概率结构收敛为每个状态点上每个速度的双曲函数的相关概率集。结果表明，当跃迁速率为常数时，二维过程可以转化为电报方程，也可以转化为aKlein-Gordon方程。在最后一节中，有一个多维双曲偏微分方程的例子，其数值平均值满足牛顿方程。对于二维情况和多维速率矩阵，也提供了动量度量。本文研究了单步二项过程的位置（状态）分布，假设节点网格上的速度而不是状态过程是马尔可夫的。在这种假设下，粒子在固定网格上经过一个简单（或多步）的过程，在速度上逐步上升或下降，离散时间保持适当的运动方程。运动方程定义为每种速度和状态的联合概率，作为时间和状态的函数，带有状态转移矩阵，见第1节。速率矩阵是马尔可夫假设的结果。二项概率马尔可夫过程的双因素（多因素）解有不同类型的解，参见第2节中的数值示例。

对于非常小的速率转换，最终概率分布可能会显示原始速度信息，并将原始条件传输到未来，留下少量残差。或者，概率是相当大的，强烈地将分布重新聚集成某种看起来像高斯过程的东西。因此，最终分布可能会有反映速度分布的单个峰值，或者如果速率足够大，则会显示一个中心单峰分布，该分布服从平均值。关键词和短语。路径微分、离散马尔可夫链、电报方程、克莱因-戈登方程、牛顿方程。+MPCapital咨询服务有限责任公司杰弗里斯银行。这项工作是在MP Capital的支持下完成的。2 JOHAN G.B.BEUMEE+CHRIS CORMACK+MANISH PATEL+PEYMAN KHORSAND图1。典型的中网格节点转换对于更小的网格和恒定速率，概率方程收敛为状态点中每个速度的双曲函数的相关概率集。二维情况可以转化为状态密度的电报方程，如果跃迁速率不变，可以转化为克莱因-戈登方程。该州的平均速度如第3节和第5节所示。这个方程可以在两个速度空间中完成，也可以在一个有限的数中完成，这个数是它们的一组微分方程。对于二维应用和多维情况，如第三节和第五节所示，可以找到向前和向后的速度。在最后一节中，有一个多维双曲偏微分方程，其平均值满足牛顿方程。1.结构方程。要构建流程，请考虑图1中定义的离散空间、离散时间网格。

这个过程由nodex（t）=m给出x、 m=。。。，-1, 0, 1, 2, ...t=0，h，2h。。。哪里x是一个小的空间网格大小（垂直），h是一个离散的时间网格（水平）。图1显示了一个表示粒子以离散时间间隔0、h、2h……跨过有限节点网格的过程。。。。每次进程在网格中的任何给定节点上增加或减少一个节点。显然，这个过程一次可以上下移动许多节点，但目前只考虑最简单的情况。路径扩散，第一部分3图2。节点转移分析如果该过程在状态x下是马尔可夫过程，则处于状态x（t+h）的概率取决于状态x（t），而不是t之前的任何状态。通过设计，可以在x（t+h）=m上构造概率x、 m=。。。- 1, 0, 1, ... 根据x（t）中的概率。通过考虑结果空间的极限，可以用这种方式构造高斯或后序方程x vp（h），然后根据不断增加的进化计算最终分布[5]。然而，在本文中，我们假设过程在过程速度（x（t），x（t+h））上是马尔可夫的，而不是过程状态位置x（t）。这意味着任何跃迁（x（t），x（t+h））都取决于所有之前的跃迁（x（t- h） ，x（t）），但不在任何之前的过渡上。这个过程的一个例子如图2所示。如果粒子在时间t+h停留在网格中间的节点中，则x（t+h）=mx=x代表一些m。

因为它只能从这种状态上下移动，所以在时间点t+2h arex（t+2h）=x+ = （m+1）xorx（t+2h）=x-  = （m）- 1)x、 类似地，在网格节点m中在时间t+h时，粒子必须从x（t）=x+ = （m+1）xorx（t）=x-  = （m）- 1)x、 步进过程的网格和联合转移概率如图2所示，即t+h，m周围的网格点x、 4 JOHAN G.B.BEUMEE+CHRIS CORMACK+MANISH PATEL+PEYMAN KHORSAND现在让x=m图2中的x和letq+（t+h，x）=P[x（t+2h）=x+x、 x（t+h）=x]q-（t+h，x）=P[x（t+2h）=x- x、 当x+n+n+n+n+n+n+n+n+n+n+n+n+n+n+n+n+n+n+n+n+n+n+n+n+n+n+n+n+n+n+n+n+n+n+n+n+n+n+n+n+n+n+n+n+n+n+n+n+n+n+n+n+n+n+n- x） =P[x（t+h）=x，x（t）=x- x] q-（t，x+x） =P[x（t+h）=x，x（t）=x+x] 线性或其他。注意q+（t+h，x），q-（t+h，x），q+（t，x- x） ，q-（t+h，x+x） 区域联合分布。因此，马尔可夫假设要求q+（t+h，x）q-（t+h，x）=1.- α（t，x）β（t，x）α（t，x）1- β（t，x）q+（t，x）- x） q-（t，x+十）（1.2）对于特定常数α（t，x），β（t，x）。请注意，α（t，x）、β（t，x）参数不必相等，但必须为正，并且各列相加必须为1以保持概率。当粒子到达x后，它只能上升或下降。概率上，α（t，x）参数考虑了粒子从x向下移动到x的概率-从x向上移动后，时间t处的x-时间t时x到x-h、 类似地，β（t，x）参数考虑了粒子从x向上移动到x+的概率从x+向下移动后的时间t时间t时x到x- H

具体而言，α（t，x）=Pt[x- , x、 x- x] =在x（t）中的概率=x，从x（t）开始移动后下降- h） =x- β（t，x）=Pt[x+, x、 x+x] =在x（t）中的概率=x，从x（t）开始移动后逐步上升- h） =x+.（1.3）注意，随着时间步长h变小，这些曲率概率也变小。概率密度q+（t，x），q-（t，x）是处于位置x（t）=x且同时沿“向上”或“向下”方向移动的联合粒子分布。所以事实上，状态的概率密度ρ（t，x）可以定义为asP[x（t）=x]=ρ（t，x）=q+（t，x）+q-（t，x），它提供了粒子在时间t时处于状态x的概率。现在，总和x=mx（m之和）加起来就是一。后果将（1.2）中的两个方程相加，得到ρ（t+h，x）=q+（t+h，x）+q-（t+h，x）=q+（t，x- x） +q-（t，x+x） 因此，粒子在t+h，x中的概率是由粒子在x+中的概率累积而来的 在时间t下降时，粒子的概率为inx-  站起来。这种情况下，概率守恒，特别是在只允许上升或下降的情况下，并且显然是由粒子的运动决定的。路径扩散，第一部分5图3。初始网格/树转换这个方程也意味着Xmρ（t+h，mx） =Xmq+（t，（m）- 1)x） +Xmq-（t，（m+1）x） =Xmq+（t，mx） +Xmq-（t，m）x） =Xmρ（t，m）x） =1，表明状态概率守恒。也就是xmq+（t，m) < 1Xmq-（t，m）) < 1.（1.4）要开始（1.2）的解决方案，请考虑图3，其中正转移概率为实数，向下概率为网格。第一行显示起始零线和起始概率q+（0，mx） 对于所有的m，同时在向下的方向q上有一组初始概率-（0，m）x） 对于所有的m。

第二行q+（h，m）x） 由q+（0，m）和x） q-（0，m）x） 使用（1.2）。从（1.4）可以清楚地看出，q+（0，mx） 还是q-（0，m）x） 是适当的分布，但它们加在一起就是一个。因此ρ（0，m）x） =q+（0，m）x） +q-（0，m）x） 所有mq+（0，m十）≥ 0所有mq-（0，m）十）≥ 0所有m6 JOHAN G.B.BEUMEE+CHRIS CORMACK+MANISH PATEL+PEYMAN KHORSANDXmq+（0，m）x） +q-（0，m）十）= 1是该过程的适当启动条件。如果一个粒子在时间t步进到x+ 在时间t+h时，它采用v的速度+=x/h=c。同样，如果粒子下降到它采用的速度为-= -x/h=-c、 很明显，边缘密度q±（t，x）中的+和-也指粒子通过x的速度。如果从x跳到多个节点的距离更大，则可能是jc的速度，j=。。。，-2.-1, 0, 1, 2, ... 作为一步粒子速度的倍数。2.数值例子第一个例子，小跃迁概率。第一个数值解如图4和图5所示，给出了方程（1.2）的数值概率密度解，其中转移概率非常小（α=0.006，β=0.006/时间步）。大小x=0.3，时间步长h=0.003，因此分布树的速度相对较高，为0.3/0.003=±100。时间0的初始概率分布从-6.9延伸到6。大约46个节点上有9个。对于这种情况，我们使用初始分布q+（0，x），q-（0，x）假设一组离散高斯分布，使得q+（0，x）=q-（0，x）=ce-x2σρ（0，m）x） =q+（0，m）x） +q-（0，m）x） Xmρ（0，m）x） =1，其中选择常数chas，使得ρ（0，mx） 是离散参数m中的一个适当的离散分布。

ρ（0，x）的分布如图4的中心所示，标准偏差等于0.6。这里的计算网格是一棵从零开始的树，稳定地扩大了大约150个时间步，最终时间为t=0.45=150*0.03. 小转移概率的影响表明，一半的初始概率解以100的速度沿网格对称向上发送，一半的初始分布以100的速度沿网格向下发送-100.对于46个节点，对称原始分布显示-6.9，6.9如图4中的中心分布所示。因为最初的树是-6.9，6.9这意味着最终的节点集达到-45- 6.9, 45 + 6.9 = -51.9, 51.9. 这正是图4中左侧和右侧分布的边界。请注意，两个左右分布与初始分布非常相似，但并不完全相同，而该分布中的概率量小于初始概率密度的一半。确定初始分布后，根据差异方程（1.2）计算分布，图4显示了150个时间步后的最终分布和初始分布ρ（0，x）。图5展示了分布变化的三维图片。初始分布包含所有概率，然后将其一分为二，路径扩散的一半，第一部分7图4。初始节点密度，最终节点密度，小转变图5。3D节点过渡行程，小的过渡行程它向上移动100，部分向下移动100。末端分布略宽于初始分布。

请注意，两个极端之间的间隔也有一定的概率，比较图4和图5。物理上，这个例子显示了粒子的分布，这些粒子从实线上-6.9和6.9之间的46个节点开始，然后以大约相等的概率向上或向下移动。8 JOHAN G.B.BEUMEE+CHRIS CORMACK+MANISH PATEL+PEYMAN KHORSAND图6。极窄的初始概率浓度粒子开始沿网格上下移动时，它们改变方向的变化很小。第二个例子，小的转移概率，指向的初始条件。通过将初始分布取为一个点权重，可以创建上一示例的更极端浓度版本。模拟结果与上述示例完全相同，但初始分布现在的标准偏差为0.1。初始分布和150步最终结果如图6所示。请注意，末端分布（图的左侧和右侧）已按比例放大（图的右侧），如前一示例所示，显示初始条件的最终分布。然而，也要注意到，两个极端之间的最终分布现在是一个明显的Z字形价值模式。这个数字在最终分布上概率的不稳定分布模式是由于粒子只能上升或下降的事实。从节点0开始，粒子在一个时间步长后只能停留在节点+1或-1上，但不能停留在节点0上。类似地，经过两步之后，粒子只能驻留在节点+2、0、-2上，而不能驻留在节点+1或-1上。最终的结果是叠加干扰模式，这是粒子不允许留在某些节点和集中初始分布这一事实的产物。

因此，相邻节点之间的分布存在明显差异，而价值差异产生了干扰。采用更广泛的初始分布将移除这种混合物，并重新创建更连续的最终分布。有趣的是，干扰模式取决于初始分布和转移概率。考虑到较小的转移概率，干扰随着初始分布方差的增加而减小，大约为0.25-0.3标准差。这是在改变初始分布的标准偏差时，通过查阅图6确定的。路径扩散，第一部分9图7。初始、最终节点密度，混合过渡图8。3D节点转移旅行，混合转移第三个例子，混合转移概率，对称。在下一个示例中，过渡概率要大得多，因此部分概率会按照速度要求移动到边缘，但分布的其余部分则在中间。图7和图8再次显示了一个更平衡的情况，即初始分布的标准偏差回到1.5，但现在转移概率增加到10 JOHAN G.B.BEUMEE+CHRIS CORMACK+MANISH PATEL+PEYMAN KHORSANDα=0.015=1.5%，β=0.015=1.5%。大部分最终分布远离溶质界-45.00和45.00，但一些粒子仍然在那里结束。比较图8和图5，可以清楚地看到，分布的大部分位于极端节点之间。此外，-51.9和51.9极值点处的分布大小现在相当小，反映了在极值之间区域的概率差异。如图7所示，最终的分布看起来是模糊的高斯分布，但在极端情况下有大量的“耳朵”。第四个例子，大转移概率，非对称。