均值回归与优化

，N对于2.3小节中标记为A.2.7加权回归的某些列，我们讨论了一个简单策略（16），其中所需的dollar与toeRi成正比。这种策略的一个潜在“缺点”是，平均而言，其头寸将由波动性股票主导。减少这种波动风险的一个想法是除以σiorσi（或σi的其他幂），其中σii，例如，前一个，更简单地说，Ri的历史波动性，即方差σi≡ C表示样本协方差矩阵的对角元素≡ hRi，Rji（38），其中共变h·，·i是在相应的Ri时间序列上计算的。这里有几句话要说。首先，如果我们不能，比如说，bRi≡eRi/σi，甚至IFRTν=0，通常我们没有BRTν=0，因此使用BRI而不是ERIN（16）通常会破坏美元中性属性（即t ha tPNi=1Di=0）。我们需要设法解决这个问题。第二，我们应该吃早餐吗≡eRi/σiorbRi≡eRi/ior还有别的吗？最后一个问题的首选答案是我们需要takebRi≡eRi/σi——或者更准确地说，我们稍后将讨论它的变体——当我们讨论优化时，其原因将变得很清楚。这可能会出现。当我们讨论因素模型和优化时，我们将在下面讨论这些微妙之处。一开始有点奇怪，因为退出风险的回报率应该是i/σi，注意i/σi。然而，σi的其他因素的额外抑制是什么最大化了夏普比率，我们将在下面更详细地讨论。目前，我们将把这一点视为理所当然，并压制σi带来的回报。我们需要弄清楚的是，如何确保我们在这个过程中不会破坏美元的中立性。一个答案是加权回归，其中R是在Ohm 威兹。我们有ε≡ R- Ohm Q-1.OhmTZ R（39）Z≡ diag（zi）（40）Q≡ OhmTZOhm （41）呃≡ Zε（42）这里εi是加权回归的残差。

另外，请注意nxi=1eRiOhmiA=0，A=1，K（43）如果截距包含在OhmiA，然后我们自动将Pni=1eRi=0。此外，如果我们take zi=1/σi，则与单位重量的累加情况相比，它们将被σi抑制。所以，现在我们的简单策略（16）不仅仅是美元中立，而是内置了风险管理。由此产生的持有量为中性。r、 t.负荷矩阵描述的风险因素Ohm此外，阿里巴巴不再被波动性股票所主导。这是一个真正的均值反转策略。我们将在下一节中更进一步。2.8如上所述，（16）只是指定回归回归回归序列的无数方法之一。如果回归包括截距，则ERI0的横截面平均值为0，因此（16）定义的策略是经济中性的。此外，如果按照第2.7小节对回归进行加权，则高波动性股票的贡献将被加权，从而提供风险管理。在这里，我们讨论其他一些均值反转策略，即指定Di的其他方法，仅用于说明目的（而不是作为详尽的调查）。一个简单的例子是“同等加权”滴滴=-γ符号（eRi）（44）当γ>0时，即我们买入负回归收益的股票，卖出正回归收益的股票，所有这些股票的绝对美元金额都等于我们在下一节中讨论的γ=i/NAs，这种情况是优化的某个极限。（这种平等源自第（13）条）。这种策略有一些明显的“缺点”。首先，它不一定是美元中性的：NXi=1Di=N-- N+NI（45），其中N+是正回归收益的股票数量，N-是负回归回报的股票数量，通常N+6=N-.

如果N较大，则假设N为正态分布--N+平均值为0，顺序标准偏差为√N、 mishedge（45）为I级/√N.为了N~ 2500，这个isof订单2%，可能太大了。为了实现美元中立，我们可以修改一些Di的值，例如，将其中一些设置为零。然后需要决定将哪些值设置为零。这就引出了该策略的第二个“缺点”：符号（x）在x=0范围内是不连续的，所以对于较小的区域，即使是较小的波动，也会出现不连续的符号。这种不稳定性可能导致不必要的投资组合周转（过度交易）和额外的交易成本，通常会降低策略的绩效。“平滑”这一点的一种方法是通过近似设计（x），例如tanh（x/κ）：Di=-γtanh（eRi/κ）（46），其中κ是eRi的横截面标准偏差。那么| eRi |<< κ这大约减少到（16），而对于| eRi|~>κ美元再次“缩水”。如果回归有单位权重，那么与波动性较小的股票相比，波动性较大的股票的平均e | eRi |更大，使用（46）相当于抑制波动性较小的股票的贡献，同时“同等”加权波动性较大的股票的贡献。如上所述，从风险管理的角度来看，这可能是不可取的。如果使用zi=1/σi对回归进行加权，那么与波动性较小的股票相比，波动性较大的股票的平均| eRi |被抑制，因此使用（46）amo unts来抑制波动性较大股票的贡献，同时“同等”加权波动性较小股票的贡献。在这种情况下，我们可以通过设置为零和/或适当缩小波动性较大的股票的DIR绝对值来实现美元中性。

让我们提到，（46）通常比（16）（基于zi=1/σi的加权回归假设）离我们在下一节讨论的最优解更远。如果一个人将（44）（或（46）视为“平滑”版本，那么他也可以向相反的方向探索，并考虑，例如，Di=-γeRi | eRi |（47）这里基于加权回归——否则，港口的石油将过于波动。事实上，人们通常可以考虑di=-γeRif（eRi）（48）无论是由于一天到另一天的变化，还是由于计算的不确定性等，其中f（x）是某种函数。这种“非线性字母”通常用于量子交易。请注意，对于（44）和（46），（47）以及更一般的（48），需要额外的“体操”来实现美元中立。在（48）中选择f（x）没有“神奇处方”。在实践中，在任何给定的时间内，都有人会选择可以回溯的阿尔法，而阿尔法本质上是短暂的——从现在起工作的阿尔法可能在6个月后就不起作用了。这是一个不断变化的经验法则，而不是理论法则。这给我们带来了另一种指定Di的常用方法：排名。代替使用连续函数，例如（16）或（48），可以通过| eRi |分段排列。让这个整数秩为ri。然后我们可以取，例如：Di=-γ符号（eRi）ri（49）或者，我们可以为ri<r的股票设置Dito 0*. 我们在上文中就风险管理和美元中立性所做的评论也适用于基于排名的AlphasB。此外，可以考虑ri的非线性函数。在这方面，让我们也提到，在上面，我们在长期和短期持有之间对称地对待美元中性。这里也有其他的可能性。

例如，我们可以通过（16）等方式做多现金（即股票——更多的交易员术语），并做空一些多元化指数（如标准普尔500指数）的相同金额的期货——这就是所谓的标准普尔表现优于期货组合。在这种情况下，我们有下界Di≥ 0.类似地，我们可以做空指数的跟踪投资组合，而不是做空期货，例如，最小方差投资组合，其权重独立于股票预期收益。与其将空头头寸限制为指数的跟踪投资组合，还可以考虑对某些（多样化的）适当的交易范围使用最小方差。如上所述，有很多方法可以实现均值回归。在这里，我们关注的是“通过贬低实现均值反转”序列→ 回归→ 加权回归→ （受限）优化→ “因子模型”，这就引出了我们的下一个主题——优化。3.优化。1最大化Sharpe RatioLet Cijbe股票收益率Ri（ts），s=0，1，…，N个时间序列的样本协方差矩阵，M、 这是最近的一次。下面的Ri指的是Ri（t）。设ψij为相应的相关矩阵，即Cij=σiσjψij（50），其中ψii=1。为了明确起见，让我们假设Riare每日收益率，尽管这不是一个关键假设。在这种情况下，实际投资组合由单个股票的净多头或空头头寸（来自多头头寸）和最小方差投资组合的短期头寸组成。如上所述，让我们以美元持有我们的订单。p=NXi=1RiDi（51）V=VuTutnxi，j=1CijDiDj（52）S=PV（53）给出了组合损益、波动率和夏普比率。相比于美元汇率，使用无量纲加权（无需将t与回归加权zi混淆）更方便≡DiI（54），其中I是投资水平。

持有权重满足条件nxi=1 | wi |=1（55）。长期持有权重为正，短期持有权重为负。就持有权重而言，损益和波动率由P=IeP给出≡ INXi=1Riwi（56）V=IeV≡ IvuutNXi，j=1Cijwiwj（57）为了确定权重，通常需要最大化夏普比：S→ max（58）假设（目前）wi上没有附加条件（例如上界或下界），在没有成本的情况下，（58）的解由wi=γNXj=1C给出-1ijRj（59）其中C-1是C的倒数，归一化系数γ由（55）确定。C的可逆性不应被忽视，我们将在稍后讨论这个问题。然而，现在，让我们假设C是可逆的。（59）的一个直接后果是，这些持有权重通常不对应于美元中性的投资组合。例如，如果Cijis对角线和所有Ri>0，则所有wi>0。更一般地说，没有理由解释为什么ni=1。因此，如果我们希望有一个美元中性的投资组合，我们需要最大化美元中性约束下的Shar-pe ratio。3.2线性约束；美元中立美元中立可以通过以下方式实现。首先，请注意，在所有持有权重同时重新调整的情况下，夏普比率是变化的→ ζwi，其中ζ>0。由于这种尺度不变性，夏普比最大化问题可以用最小化二次目标函数g（w，λ）的形式重新描述≡λNXi，j=1Cijwiwj-NXi=1Riwi（60）g（w，λ）→ min（61），其中λ>0是一个参数，最小值为w.r.t.wi。解由wi=λNXj=1C给出-1ijRj（62）和λ通过（55）固定。如果我们希望对wi施加约束，例如美元中性约束，则目标函数a方法是方便的。我们引入了anN×m矩阵和m拉格朗日乘子ua，a=1。

，m:g（w，u，λ）≡λNXi，j=1Cijwiwj-NXi=1Riwi-mXa=1NXi=1wiYiaua（63）g（w，u，λ）→ min（64）极小化w.r.t.wi和uanow给出了以下等式：λNXj=1Cijwj=Ri+mXa=1Yiaua（65）NXi=1wiYia=0（66），因此，我们有m个齐次线性约束（66）。如果Yia≡ νi=1，i=1，来点∈ {1，…，m}，那么我们就有了美元中立性。注意m可以是1。（65）和（66）的解由（用矩阵表示法）给出：w=λC-1.- C-1Y（YTC）-1Y）-1YTC-1.R（67）u=-（YTC）-1Y）-1YTC-1R（68）与之前一样，λ通过（55）固定。解（67）和（68）可以改写如下：ω=λΓ-1ρ（69）ωT≡wT，- λ-1uT（70）ρT≡RT，OT(71)Γ ≡cyyto（72）即ω和ρ是（N+m）-向量，而Γ是（N+m）×（N+m）矩阵；O是nilm向量，O是nilm×m矩阵。因此，线性约束可以通过简单地放大上述共变矩阵来处理。3.3作为约束对角线优化的回归现在让我们考虑协方差矩阵是对角线的情况：Cij=σiδij。然后（67）readsw=λZ- Z Y（YTZ Y）-1YTZR=λZε=λeR（73）这里是Z≡ diag（1/σi），εi是加权回归的残差，在N×m ma trix Yia（无截距——除非截距已经包含在Yia中）上，加权szi=1/σiof。这与我们在第2.7节中讨论的加权回归相同。因此，对角线（意思是，具有对角线协方差矩阵r ix）约束优化与具有loa-ding s矩阵的加权回归相同Ohm用约束矩阵Y识别，回归权重zi（不与保持权重wi融合）用回归变量R的逆变量识别。此外，持有权重由回归回归系数给出，回归系数通过（55）固定。

如果约束矩阵包含截距（单位向量），则持有权重对应于美元中性投资组合。3.4作为优化限制的回归加权回归（39）、（40）、（41）和（42）的结构实际上与f因素模型有关。考虑一个辅助矩阵Θ≡ Ξ + ζ Ohm OhmT（74）Ξ≡ Z-1（75），其中ζ是一个参数。相反的是：Θ-1=Z- ζZOhm情商-1.OhmTZ（76）eQAB≡ δAB+ζNXi=1ziOhmiAOhmiB（77）上面我们考虑了齐次约束（66）。从技术上讲，同样的技巧也适用于形式pni=1wiYia+ya=0的非齐次约束。除了ρa=-λ是。然而，虽然这将为目标函数的最小化提供正确的解决方案，但这不再必然等同于在约束条件下最大化夏普比：后者显式地破坏了重新校准GSWI下的不变性→ ζwi（除非是≡ 0），这使我们能够根据目标函数最小化问题重写夏普比最大化问题，其中λ通过（55）固定。在存在不均匀构造的情况下，情况不再如此，需要额外注意——见第5节。然而，我们在这里不需要不均匀的约束。在ζ中→ ∞ 限制，这可以被认为是一个1/zi→ 0限制，我们有Θ-1=Z- ZOhm Q-1.OhmTZ（78）Q≡ OhmTZOhm （79）eR=Θ-1R（80），其中er是（42）中回归收益的向量。因此，回归确实是一个优化的极限，其中协方差矩阵由Θ给出。这是因子模型形式——有一个微妙之处，即（见下文）。3.5因子模型在多因子风险模型中，不是N个股票收益率Ri，而是K<< n风险系数和协变量矩阵Cijis由Θij代替，由Θ给出≡ Ξ+eOhm ΦeOhmT（81）Ξij≡ ξiδij（82），其中ξi为规范（也称为。

每只股票的特殊风险；EOhmIa是一个N×k因子载荷矩阵；Φabi是因子协方差矩阵，A，B=1，K.I.e.通过N个随机过程χI（对应于特定风险）和K个随机过程fA（对应于因子风险）对与N个股票相关的r和OM过程ΥI进行建模：ΥI=χI+FXA=1eOhmiAfA（83）hχi，χji=Ξij（84）hχi，fAi=0（85）hfA，fBi=ΦAB（86）hΥi，Υji=Θij（87）我们现在有了一个K×K因子协方差矩阵ΦABOhm OhmT（88）Ohm ≡EOhmeΦ（89）eΦeΦT=Φ（90），其中eΦabi是ΦAB的Cholesky分解，假设为正有限。注意，在上一小节的符号中，我们选择了ζ=1的标准化。在因子模型方法中，用Θij代替样本协方差矩阵Cij（基于收益Ri的时间序列计算）。这样做的主要原因是，通常情况下，CIJ的反对角线元素在样本外不太稳定。在这方面，构建的因子模型协方差矩阵Θij预计会更加稳定。这是因为需要计算因子协方差矩阵Φabn的因子数为K<< N.此外，如果M<N（回想一下，M+1是每个时间序列中的观测数），那么Cijis是奇异的——在这种情况下，它只有M<N个非零特征值。注意，假设所有特定风险ξi>0，且因子协方差矩阵Φabi为正定义，则Θij自动为正定义（且可逆）。3.6因子模型优化因此，假设我们有一个因子模型协方差矩阵Θij。如果我们使用该因子模型协方差矩阵最大化Sharperatio，则得到的持有权重由（λ通过（55）固定）wi=λξiRi给出-NXj=1RjξjKXA，B=1OhmiAOhmjBeQ-1AB！（91）eQAB≡ δAB+NXi=1ξiOhmiAOhmiB（92）式-而不是Eqab的倒数。

与一般情况一样，这些持有权重不是美元中性的。3.6.1线性约束一般情况下，在因子模型上下文中，我们也可以合并多个（同质）线性约束（66）。让Ohmiα，α∈ H≡ {a}∪ {A} （即，指数α具有对应于指数A的m值和对应于指数A的K值）是以下N×（K+m）矩阵：Ohmia≡ Yia（93）bOhmiA≡ OhmiA（94）相应的保持重量由以下公式给出：wi=λξiRi-NXj=1RjξjXα，β∈血红蛋白OhmiαbOhmjβbQ-1αβ!（95）bQαβ≡ ναβ+NXi=1ξibOhmiαbOhmiβ（96）bq-1αβ是Bqαβ的倒数，且φAB=δAB，φAB=φaA=φaA=0。我们有NXi=1wiYia=NXi=1wibOhmia=Xα，β∈HNXj=1RjξjbOhmjβПaαbQ-1αβ=0（97），因此，持有权重将满足约束条件（66）。3.6.2带约束的优化约束条件（66）通常与风险管理相关。除了美元中性（即市场中性约束），其他约束通常是中性风险系数的要求。其他风险因素，例如行业中性、中性风险系数（例如规模、流动性、波动性、动量等）或其他非行业风险因素（例如基于主成分的风险系数或Beta）。在实践中，人们经常在YIAS中使用与因子负荷矩阵中相同的风险因子Ohm在因子模型中。如果是这种情况，那么在matr ixb中存在一定的冗余Ohm我是α，我们下一步就不谈了。由于我们可以通过任意非奇异m×m矩阵旋转约束（66），我们可以将这些约束分为两组，{a}={a′}n∪{a′\'≡J′∪ J′，这样的t hat Yia′与Ohm没有进一步的旋转可以使yia′与OhmiA:NXi=1ξiOhmiAYia′=0，A=1。