均值回归与优化

，K，a′\'∈ J′（98）让我们假设J′不是空的——如果它是空的，我们仍然可以按照下面的步骤进行，除了在这种情况下′i=Ri（见下文）。让H′来≡ {A}∪ J′=H\\J′（回想一下H={A}∪{a} ）。那么我们有wi=λξiRi-NXj=1RjξjXα，β∈血红蛋白OhmiαbOhmjβbQ-1αβ!==λξiε′i-εj′ξ∈H′bOhmiα′bOhmjβ′bQ-1α′β′!（99）式中ε′i≡ 里-NXj=1RjξjXa′，b′∈J′Yia′Yjb′Q-1a′b′（100）Qa′b′≡NXi=1ξiYia′Yib′（101）更精确地说，通常使用非旋转因子加载seOhmiA——记得吗Ohm =EOhmeΦ，其中eΦ是因子协方差矩阵Φ的Cholesky分解。然而，旋转→ 由任意非奇异m×m矩阵UAB生成的Yu不改变约束条件（66）。Q-1a′b′是|J′|×|J′|mat r ix Qa′b′，a′，b′的逆∈ J′\'。因此，ε′i就是Ri在Yia′上回归的回归残差，回归权重为z′i≡ 1/ξi.换句话说，我们最初的约束优化已退化为约束优化，其中包含原始约束的子集Nxi=1wiYia′=0，a′∈ J′（102）但我们现在不是优化收益率Ri，而是优化回归残差ε′i。这是因为原始矩阵xbqαβ是块对角的：bQα′a′=0，α′∈ H′，a′∈ J′（103）bQa′b′=Qa′b′，a′，b′∈ 事实上，我们可以进一步分解这个。假设剩余荷载中的|J′|柱Yia′，a′∈ 因子loading s中列的J′

那么就不难证明这一点了-1α′β′=D-1O-D-1E-1O I-我--1ETD-1.-I I+-1+ -1ETD-1E-1.（105）这里I是|J′|×|J′|单位矩阵，而O是|F′|×|J′| nil矩阵，D是|F′|×|F′| mat r ix，E是|F′|×|J′|矩阵，而 是一个|J′|×|J′| mat r ix:D≡情商- E-1ET（106）等式\'A\'B\'≡ δA′B′+NXi=1ξiOhm′iA′Ohm′iB′，A′，B′的∈ F′（107）EA′b′≡NXi=1ξiOhm′是啊，是啊∈ F′，b′∈ J′（108）a\'b\'≡NXi=1ξiYia′Yib′，a′，b′∈ J′（109）因此我们有（在矩阵表示法中——这里Y指的是Yia′矩阵）w=λΞ-1.- Ξ-1.Ohm′D-1.Ohm′- Ohm′D-1E-1YT- Y-1ETD-1.Ohm′++ Y-1+ -1ETD-1E-1.YTΞ-1.ε′（110）更进一步，w=0（111）事实上，（110）对应于优化残差ε′i，使用具有相同特定风险的简化因子模型，但因子载荷由Ohm′iA′Θ′ij≡ ξiδij+K′XA′=1Ohm′iA′Ohm′受约束的jA′（112）nxi=1wiYia′=0，a′∈ J′（113）该优化问题的解由wi=λξiε′i给出-NXj=1ε′jξjXα*,β*∈F*BOhmiα*BOhmjβ*bQ-1α*β*!（114）其中F*≡ F′∪J′（sof*as a set与{a}相同，但我们使用了一个不同的not，以避免混淆），我们有bOhmiα*α*=A′≡ Ohm′iA′，bOhmiα*α*=a′≡ Yia′，和Bq-1α*β*=D-1.-D-1E-1.--1ETD-1.-1+ -1ETD-1E-1.（115）那么wiin（110）和（114）是相同的。总之，对factor loa ding smatrix中的列进行了优化Ohmi对应于Yiaomitted中的列。3.7 Pitfillsso，如果我们使用因子加载矩阵Yia运行约束优化，会发生什么？也就是说，m=K，指数a取的值与指数a相同，而yia | a=a=Ohm伊莉亚。

（如果我们希望保持美元中立，我们只需假设Ohmi包含拦截。）在这种情况下，使用上一小节的结果：wi=λξiRi-NXj=1RjξjKXA，B=1OhmiAOhmiBQ-1AB！（116）QAB≡NXi=1ξiOhmiAOhmiB（117）那么，在回归权重zi=1/ξi.3.7.1特定风险或总风险的加权回归中，WI是相同的？在优化背景下，（116）中的回归权重自然得出zi=1/ξi，是特定波动率平方的倒数，而不是总波动率（即zi6=1/σi）。这解决了第3.4小节末尾提到的微妙之处。然而，在因子模型上下文之外的加权回归中使用zi=1/σi，从本质上讲没有什么错。除非因子模型可用或精心构建，否则具体风险未知。在这种情况下，总风险可以用作回归权重，并且通常可以这样使用。3.7.2回归残差的优化与在优化中施加约束不同，人们可能会首先重新考虑（某些）因素负荷OhmiAto获得回归残差εi，并基于这些残差（与收益Ri相反）进行优化。这里的理论是，回归回归系数Seri=ziεi（其中zi是回归权重）是中性的w.r.t.回归中使用的贷款。然而，除非正确执行，否则产生的保持重量将不会是中性的l w.r.t。OhmiAas的优化通常会破坏任何这种中立性。因此，考虑以下策略：εi≡ R- Y（YTZ Y）-1YTZ R（118）Z≡ diag（zi）（119）wi≡λξiεi-NXj=1εjξjKXA，B=1OhmiAOhmjBeQ-1AB！（120）eQAB≡ δAB+NXi=1ξiOhmiAOhmiB（121）在这里，我们有目的地将负荷保持在加权回归（上述方程）中，不同于因子负荷OhmiAin the Optimization（第三个等式）。

注意，优化是在回归残差εi上进行的，而不是在返回Ri上。如果重新计算的目的是保持重量为中性w.r.t.Yia，则为了确保这一点，矩阵Yiamust与OhmiA（模非物质旋转——见脚注14），即m=K，回归权重zi不能被接受，但必须被视为反向特定方差：zi=1/ξi。事实上，从（118）中，我们得到了nxi=1eRiOhmiA=0（122）eRi≡ ziεi=ξiεi（123），因此wi=λeRi（124）NXi=1wiOhmiA=0（125），即，回归残差的优化（达到总体比例常数1/λ）简单地减少到回归回归序列I，即中性w.r.t。Ohm伊莉亚。4“Intermezzo”在第二节中，我们从简单的配对交易开始，到最后一节结束时，它的参与程度大大增加。这个tr端将在以下部分继续，所以这是一个“间奏曲”的好地方。我们会尽量保持低调。所以，考虑两种股票，A和B。让它们的（样本）协方差matr ix beC=σAρσAσBρσAσBσB（126）这里σa和σ表示挥发性，ρ表示相关性。让我们的portf olio在A和B中持有A和DBdollar。让Ra和RB为A和B的预期回报。然后该投资组合的预期夏普比率isS=DARA+DBRBp（σADA）+（σBDB）+2ρ（σADA）（σBDB）（127）由DA=γ最大化RAσA-ρRBσAσB（128）DB=γRBσB-ρRAσAσB（129）这里γ>0是一个任意常数，这是同时重新校准DA时，太阳不变性的结果→ ζDA，DB→ ζDB（ζ>0），通过|DA |+|DB |=I的要求固定，其中I是投资水平。现在让我们假设波动率是相同的：σA=σB≡ σ. 我们有da=γσ（RA- ρRB）（130）DB=γσ（RB）- ρRA）（131）作为ρ→ 1.我们有DA+DB→ 0，这是Dollar中立条件。

那么，S→ 最大优化，在波动率相同且相关性为1的极限下，产生一个美元中性的投资组合。怎么会？两个答案。首先，当σA=σ带ρ=1时，共变矩阵C是奇异的。与零特征值相对应的IGenvector为VT=（1，- 1） 在这个方向上，投资组合的波动性消失，夏普比率趋于一致（见下文）。这就是为什么DB=-使夏普比率最大化。其次，我们可以将其与第3.4小节联系起来。考虑两种股票a和B的单因素模型：Θ=Ξ+ζOhm OhmT、 式中，Ξ=diag（ξA，ξB），和OhmT=（1,1）。然后（126）中的Θ=C，σA，B=ζA，B+ζ，ρ=ζ/（σAσB）。在ζ中→ ∞ 极限（ξA和ξB固定）我们有σA，B→ ζ ≡ σ、 和ρ→ 1.同上。另一方面，正如我们在第3.4小节中所看到的，在这个极限优化中，减少了Ohm, 这只不过是拦截，因此是美元中立。5成本优化5。1线性成本由于我们忽略了交易成本。让我们从添加线性成本开始：P=NXi=1RiDi-NXi=1eLi | Di- D*i |（132）其中，每只股票每交易一美元，包括所有固定交易成本（证券交易费、交易所交易费、经纪人-交易商费用等）和线性滑动。线性成本假设没有影响，也就是说，交易不会影响股价。此外，Diare还持有所需的美元资产，以及D*我是目前持有的美元。出于优化目的，如上所述，处理持有权重比处理美元持有量更方便。莱特利≡ 我是李迪≡ 我和威德*我≡ 我*i、 然后nep=PI=NXi=1Riwi-NXi=1Li | wi- W*i |（133）作为一个上例，我们可以有约束nxi=1wiYia=0，a=1，m（134）我们假设当前持有量满足相同的约束条件：NXi=1w*iYia=0，a=1，m（135）这包括建立tr（w*我≡ 0).

我们有wi的归一化条件（55），但不一定是w*即（例如，如果该职位正在设立）。对于ρ=±1，如果RA6=±RB，夏普比率变为单位：波动性消失forDB=DA（回想一下σA=σB）。如果RA=±RB，那么为了优化目的，两个仪表A和–长为加号，短为减号–B是不可区分的。为简单起见，假设买卖的交易成本相同。5.2具有成本和同质约束的优化更一般地说，成本可以由wi的某些函数f（w）建模，该函数也依赖于当前的持有权重w*i、 但这种依赖的确切形式在这里并不重要。我们有EP=NXi=1Riwi- f（136）一般来说，成本破坏了Sharpe-ra-tioS=ePeV=PNi=1Riwi的不变性- fqPNi=1Cijwiwj（137）在重缩放wi下→ ζwi（ζ>0），只有一个例外f（w）=f特殊（w）：f特殊（w）≡NXi=1Li | wi |（138），其中为正常数。当我们只有直线成本且当前持有量为零时，成本就是这种形式的，即这是一种建立性交易。下面我们假设f（w）不是这种形式。在没有重标度不变性的情况下，在重写目标函数最小化的梯度最大化问题时需要小心。夏普极大化问题是这样的：≡ S+mXa=1NXi=1wiYiaua+euNXi=1 | wi |-1.我们需要最大限度地提高水资源利用率。

wi和拉格朗日乘数ua和eu，得出：eV“Ri- 菲- λNXj=1Cijwj#+mXa=1Yiaua+eusign（wi）=0（140）NXi=1wiYia=0（141）NXi=1 | wi |=1（142）λ≡PNi=1Riwi- fPNi=1Cijwiwj（143）fi≡Fwi（144）实际上，仅当wi6=0时，定义了广泛竞争，例如，在线性成本为wi6=w的情况下*i–详见第6.2小节。如果我们将第一个方程乘以wi和i之和，我们得到eu=eV“NXi=1fiwi- f#（145）除非f（w）有特殊形式（138），我们假设不是这种情况，那么通常eu6=0。我们仍然可以通过最小化以下目标函数（w.r.t.wi和拉格朗日乘数u′a和eu′）：g（w，u′，eu′，λ′）来正式地重新计算夏普比最大化≡λ′NXi，j=1Cijwiwj-NXi=1Riwi+f--mXa=1NXi=1wiYiau′a- eu′NXi=1|wi|- 1.（146）g（w，u′，eu′，λ′）→ w1cj′最小化方程- Ri+fi-mXa=1Yiau′a- eu′符号（wi）=0（148）NXi=1wiYia=0（149）NXi=1|wi|=1（150）将第一个方程乘以wi并对i求和，我们得到eu′=λ′NXi，j=1Cijwiwj-NXi=1[Ri- fi]wi（151）那么这个说法就是存在一个λ′的值，对于这个值，最小化目标函数会产生与最大化Sharpe rat io相同的wi解。该值由λ′=λ给出，其中λ由（143）表示，wi对应于最优解，即最大夏普-拉特io解。然后我们得到λ′=λ（152）u′a=eVua（153）eu′=eV eu=NXi=1fiwi- f（154）然而，这句话的实用价值是有限的——除非我们解决了Sharperatio最大化问题，否则我们不知道λ是什么。夏普比最大化问题是一个高度非线性的问题，容易出现常见的非线性不稳定性。另一方面，在最小化目标函数方面，我们可以将λ′视为参数。

然后，最大化Shar-pe比率的问题变成了一个一维问题，即求出Sharpe比率最大的λ′的值。5.2.1陷阱由于在存在成本的情况下，重标度不变性丢失，因此以下最小化（w.r.t.wiand Lagrangeru′\'a）不会给出最大夏比解：例如（w，u′，λ′）≡λ′\'NXi，j=1Cijwiwj-NXi=1Riwi+f--mXa=1NXi=1wiYiau′a（155）eg（w，u′，λ′）→ min（156）假设（142）满足λ′值的最小化条件的解给出了最大夏普比解，这似乎是实际应用中的一个常见错误。为了简单起见，我们假设不存在线性约束（141）。那么我们有λ′\'NXj=1Cijwj- Ri+fi=0（157）将该方程乘以wi并对i求和，我们得到λ′=PNi=1[Ri- fi]wiPNi，j=1cijwwj（158）那么，为了使这个解与（148）相吻合（即没有齐次约束（141），我们必须有pni，j=1cijwwjnxj=1Cijwj=sign（wi）（159），其中我们考虑了eu′6=0–参见（154）。把（159）插回（157），我们得到了- fi=γ符号（wi）（160）γ≡NXi=1[Ri- 然而，对于一般形式的f（w），这是不可能满足的。例如，在线性成本的情况下，sf（w）=flinear（w）≡NXi=1Li | wi- W*i |（162）我们不能有Ri- Lisign（威斯康星州）- W*i） =γ符号（wi）表示所有i=1，N.因此，最小化目标函数（155）不会产生最大夏比解。最小化的正确目标函数是（146），其中λ′被视为一个参数，其值通过一维搜索算法固定，从而使夏普比最大化。5.2.2全局与局部选择函数假设成本函数f（w）是凸的，“错误”目标函数f（155）是凸的w.r.t.wi，因此它具有唯一的局部最小值。

然而，正确的objectivefunction（146）不一定是凸的。这是因为eu′项的贡献是凸的当且仅当eu′时≤ 0，但不一定如此——见（154）。如果eu′>0，则可能存在多个局部极小值，从而使全局极小值的搜索更加复杂。例如，在线性成本（162）的情况下，我们有Eu′=PNi=1Liw*isign（wi）- W*i） ，这不一定是负面的。5.3线性成本下的夏普比率最大化正如我们在上一小节中看到的，在存在成本的情况下，夏普比率最大化问题是高度非线性的，甚至可能没有唯一的局部最小值——即使对于线性成本（162），假设*i6=0。那么，在实践中这是如何实现的呢？通常情况下，只需采用“错误”的目标函数（155）并迭代λ′，直到满足（55）。如上所述，该解决方案不会使夏普比最大化。但在某些情况下，这可能是一个合理的近似值。让我们关注线性成本。让：我）Libe制服，李≡ Lii）w*我→ 这将是一种基于Pni=1 | w的先前优化解决方案的再平衡贸易*i |=1；iii）你的投资组合是美元中性的，因此PNI=1w*i=PNi=1wi=0；iv）股票数量要多（N）~>1000); v）在规划中不存在多样化限制，因此不会超过，比如，低单位数百分比。如果符号（w*i） 并签署（wi）-W*i） （即，当前的HOLDING标志和所需的商标）相关性不高，则| eu′|<< 它对（148）的贡献与线性成本的贡献相比很小，所以我们可以近似地忽略它。忽略（146）中的eu′贡献与使用（155）相同。考虑到上述情况，我们可以通过it时代的程序最小化目标函数（155）和fixλ′，直到满足（55）。

这是在大多数情况下所做的。对于nyλ′’>0，有一个唯一的最佳值，假设Cijis的定义为正，并且≥ 0.我们将在下面讨论边界。或者，你可以挤压回报来实现同样的目标。这一论点也适用于部分建立和清算与ξ的交易~<1，即ξ≡PNi=1 | w*i |不必等于1。Lican的均匀性也可以放宽（需要一些小心）。实际应用。这也避免了第5.2.2小节中讨论的多重局部最优问题——目标函数（155）是凸的，并且具有唯一的局部极小值。然而，我们强调：这只是夏普的近似值→ max.6优化：成本、约束和边界让我们考虑以下优化问题：g（w，u，λ）≡λNXi，j=1Cijwiwj-NXi=1（Riwi- 李维- W*我|）--mXa=1NXi=1wiYiaua（163）g（w，u，λ）→ 164（最小）西-我≤ wi≤ w+i（165），其中：最小值为w.r.t.wiand Lager Range乘数ua；λ被视为一个要迭代固定的参数，以满足归一化条件nxi=1 | wi |=1（166）；我们包括了较低的w-保持砝码上的I和上w+I边界（165）。如果没有界限，我们可以简单地取w-I和w+I分别为大负数和大正数。在下文中，使用XI将更方便≡ wi- W*i（167）我们有eg（x，u，λ）≡λNXi，j=1Cijxixj-NXi=1（ρixi）- 李熙）-mXa=1NXi=1xiYiaua（168）eg（x，u，λ）→ 最小（169）x-我≤ xi≤ x+i（170）ρi≡ 里- λNXj=1Cijw*j（171）x±i≡ w±i- W*i（172）此外，我们假设当前持有量满足线性约束nxi=1w*iYia=0，a=1，6.1边界通常，在实际应用中，边界用于限制i）投资组合中单个股票的头寸，以及ii）每个股票的交易量。