均值回归与优化

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《Mean-Reversion and Optimization》
---
作者：
Zura Kakushadze
---
最新提交年份：
2016
---
英文摘要：
  The purpose of these notes is to provide a systematic quantitative framework - in what is intended to be a \"pedagogical\" fashion - for discussing mean-reversion and optimization. We start with pair trading and add complexity by following the sequence \"mean-reversion via demeaning -> regression -> weighted regression -> (constrained) optimization -> factor models\". We discuss in detail how to do mean-reversion based on this approach, including common pitfalls encountered in practical applications, such as the difference between maximizing the Sharpe ratio and minimizing an objective function when trading costs are included. We also discuss explicit algorithms for optimization with linear costs, constraints and bounds.
---
中文摘要：
这些注释的目的是提供一个系统的定量框架——以“教学”的方式——来讨论均值回归和优化。我们从配对交易开始，按照“通过贬低实现均值回归->回归->加权回归->约束优化->因子模型”的顺序增加复杂性。我们详细讨论了如何基于这种方法进行均值回归，包括在实际应用中遇到的常见陷阱，例如在考虑交易成本时，最大化夏普比率和最小化目标函数之间的差异。我们还讨论了线性代价、约束和界的显式优化算法。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
--

---
PDF下载：
--> Mean-Reversion_and_Optimization.pdf (417 KB)

2022-5-6 15:46:16 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：均值回归 Optimization Quantitative Applications QUANTITATIV

均值回归和优化Zura Kakushadze§+1§QuantigicResolutions LLC1127 High Ridge Road#135，斯坦福德，CT 06905+康涅狄格大学物理系，康涅狄格州斯坦福德，CT 06901，第比利斯自由大学，第比利斯商学院和物理学院240，第比利斯，大卫·阿格马什内贝利巷，0159，佐治亚州（2014年8月9日；2014年9月22日修订）摘要这些注释的目的是提供一个系统的定量框架——以“教学”的方式——用于讨论均值回归和优化。我们从配对交易开始，通过遵循“通过贬低实现均值回归”的顺序来增加复杂性→ 回归→ 加权回归→ （受限）优化→ 因子模型”。我们详细讨论了如何基于这种方法进行均值回归，包括在实际应用中遇到的常见陷阱，如最大化夏普比率和最小化目标函数之间的差异（当包含交易成本时）。我们还讨论了线性代价、约束和界的显式优化算法。我们还说明了我们关于一个明确的日内均值回归α的讨论。电子邮件：zura@quantigic.comDISCLAIMER当前位置通讯作者使用此地址的目的只是按照出版物惯例表明其专业职责。

特别是，本文内容并非投资、法律、税务或任何其他此类建议，也不代表Quantigic Solutions LLC网站www.Quantigic的观点。或他们的任何其他伙伴。1简介和总结统计套利（StatArb）“指涉及大量证券（数百至数千，取决于风险资本金额）、非常短的持有期（以天到秒计算）、大量计算、交易和信息技术（IT）基础设施的高技术短期均值反转策略”（Lo，2010）。那么，什么是“均值回归”？基本想法很简单：一些数量是历史上相关的，有时这些相关性会因一些不寻常的市场条件而暂时消失，但人们预计——或更希望——这种相关性将在未来恢复。斯塔尔b试图从这种暂时性的错误定价中获取利润。这些注释的目的是为讨论均值回归和优化提供一个系统的定量框架，其目的是以“心理学”的方式。有很多方法可以实现均值回归。其中一种方法可以通过序列“通过贬低平均值反转”进行示意性描述→ 回归→ 加权回归→ （受限）优化→因子模型”。这些注释恰恰遵循了这个顺序，从最基本的StatArb形式开始，配对交易，逐渐增加了复杂性。

这自然而然地引入了收益率、收益率以及最终的优化和因子模型的均值回归——通过观察加权回归只不过是因子模型优化的零特定风险极限。在这个框架内，我们讨论了实际应用中出现的各种重要的复杂问题和陷阱，这些问题经常被忽视、不被强调和/或没有得到解决，包括在商用产品中。与优化结合使用的回归权重是否应基于历史或特定风险？我们应该如何优化回归回报？如何将约束纳入优化？基于目标函数最小化的优化是否与包含成本的夏普比最大化相同？如何利用线性成本、约束和边界进行优化？这些是我们在这些笔记中讨论的一些话题——我们希望是系统的和“教育学的”。这些说明的组织如下。第2节讨论均值回归：成对交易→ 多种股票→ 多个二元集群（行业）→ 回归→ 非二进制泛化→ 加权积分。第3节讨论优化：最大化夏普比率→ 添加多个线性约束（包括dollarneutrality）→ 作为优化极限的回归→ 因子模型→ 具有线性约束（包括陷阱）的因子模型优化。第4节是一种“间奏曲”，它被保留在较轻的一面，以帮助消化第2节和第3节，然后在第5节和第6节中增加更多的复杂性。第5节讨论了带有约束和成本的优化，包括夏普和“均值回归策略”之间的差异，这主要是交易者的行话——这是作者习惯的。学术金融文献大多使用“共同投资策略”。

本文通篇使用“均值-方差（策略）”一词。“特定风险”是多因素风险模型术语。所以我可能更喜欢“白痴的统治风险”。比率最大化和最小化是一个目标函数，当lat t er可以用作前者的近似值时。第6节讨论了线性成本、约束和边界优化的显式算法，包括在因子模型的上下文中。第7节阐述了第2节中讨论的回归方法，给出了一个基于隔夜回报和行业分类的日内平均回归α（具有5年模拟业绩）的明确示例，以及风险管理和处理异常值的额外提示。第8节包含简短的结束语。2均值反转2。1对交易通常，在解释StatArb时，给出了一个对交易的例子。在anutshell中，它是这样的。假设你在同一个行业有两支历史相关的股票，A股和B股（例如埃克森美孚（XOM）和皇家荷兰壳牌（RDS.A））。如果A股暂时上扬（A富），而B股下挫（B便宜），配对交易策略相当于做空A股，买入B股，因为总头寸与美元持平。美元中立性确保头寸（大约）对整体市场波动不敏感——这只是对市场风险的一种对冲。从直觉上看，假设A和B之间的差距收敛于其历史价值，这一切都是有意义的。这就是均值回归的本质。这些钱是从a和B的一个暂时的错误定价中赚来的。然而，再看一眼，人们可能会问：我怎么知道a是富有的，B是廉价的？事实上，首先，A和B通常以不同的价格进行交易。

其次，A和B的价格在平均水平上并不是恒定不变的——通常，尽管不总是，它们都有一个上升趋势。那么，如何量化配对交易中的“富”和“低”呢？2.2回报，而不是价格这不是价格，而是定义“丰富”和“廉价”的回报。这个想法是，A股和B股平均预期会同步变动。说两个人都往上爬。如果a在相对价格的基础上超过B，那么a是富有的，B是便宜的。假设PA（t）和PB（t）是时间t时A和B的价格，PA（t）和PB（t）是时间t后A和B的价格（例如，在昨天收盘时，如果交易日是t，PA（t）和PB（t）会根据任何分割和股息进行调整，而t可以是今天的开盘价。）相应的返回a reRA=PA（t）PA（t）- 1（1）RB=PB（t）PB（t）- 1（2）由于这些回报通常很小，我们可以使用另一种定义：RA≡ 自然对数PA（t）PA（t）（3） RB≡ 自然对数铅（t）铅（t）（4） 因此，成对阅读中的均值回归思想现在可以量化如下。如果ra>RB，那么A是富的，B是便宜的，做空A，然后买B。我们可以用贬损的returnSeranderb:R方便地重申这一点≡（RA+RB）（5）时代≡ 拉-R（6）雇员再培训局≡ RB- R（7）其中R是平均回报。现在，如果一只股票的贬损回报率为正，它就是富有的；如果它的贬损回报率为负，它就是便宜的。因此，假设回报率已经降低，我们做空正回报股票，买入负回报股票。在2只股票的情况下，股票Qi、i=A、B做空/买入的数量取决于所需的总美元投资i和美元中立性要求：PA | QA |+PB | QB |=i（8）PAQA+PBQB=0（9），其中Piare是持仓时的价格，Qi<0表示做空，Qi>0表示买入。

在这里，我们假设没有杠杆作用，利润率为0（见脚注6）。2.3多个股票的一般化如果我们在同一个行业中有两个以上的历史相关股票，会怎么样？（例如埃克森美孚、荷兰皇家壳牌、道达尔（TOT）、雪佛龙（CVX）和英国石油（BP））。虽然我们可以对这样一个集合中的每一对股票进行配对交易，但我们可以对整个集合采用一种回归策略吗？被贬低的回报让这件事变得轻而易举。让Ri，i=1，N是我们历史上相关的N个股票的回报率：Ri=lnπ（t）π（t）（10） R≡NNXi=1Ri（11）eRi≡ 里-R（12）这里和下面的R指的是横截面平均收益率（不是时间序列平均收益率）。此外，eRA、eRBandeRi（见下文）指的是平均回报率R的变化。因此，根据我们对2股示例的直觉，我们可以做空正指数的股票，购买负指数的股票。这里我们有以下条件：NXi=1Pi | Qi |=I（13）NXi=1PiQi=0（14）：I是期望的总美元投资；（14） 是美元中立；销售额较短的Qi<0；购买时Qi>0；皮亚尔：确定仓位时的价格。我们有两个方程和N>2个未知数。因此，我们需要详细说明如何定义Qi。指定QI的一个简单方法是将美元定位为DI≡ PiQi（15）与降级回报成比例：Di=-γeRi（16），其中γ>0（回想一下，我们做空指数>0的股票，买入指数<0的股票）。然后（14）通过定义自动满足asPNi=1eRi=0，而（13）xγ：γ=IPNi=1埃里（17） 等式（16）定义了一种均值回归策略。它们有很多种。（16）的一个缺点是，通过构造，平均而言，在波动性较大的股票中（因为波动性股票平均具有较大的eRi）。下面我们将讨论风险管理和构建Di的其他方法，即其他均值回归策略。

让我们先讨论一下进一步的概括。2.4多个集群的泛化我们将把我们可以进行上一小节分析的每一组股票称为“集群”。根据给定的行业分类模式，此类集群被称为不同的名称，如行业、子行业等。假设有K个集群，标记为a=1，K.设∧iab是一个N×K矩阵，如果以i（i=1，…，N）标记的股票属于以we标记的集群，则无杠杆且利润率为0。非平凡杠杆只需重新销售I级投资。如果存在利润，除了我投资股票之外，我们还需要额外的金额来维持利润，这只会降低借款利率导致的战略回报。例如，我们可以有一组来自石油行业的股票，第二组来自科技行业，第三组来自医疗行业。A、 那么∧iA=1；否则∧iA=0。我们将假设每个股票都属于一个且仅属于一个集群（因此没有空集群），即NA≡NXi=1∧iA>0（18）N=KXA=1NA（19）我们有∧iA=δG（i），A（20）G:{1，…，N}7→ {1，…，K}（21），其中G是种群和集群之间的映射。矩阵∧Ia被称为荷载矩阵。如果a=b，则Kroneckerδab=1，如果a=6=b，则a和δab=0。可以分别对每个簇进行均值回归，因为簇不会重叠。然而，为了进一步推广，可以方便地以紧凑的形式同时为所有簇编写demeanedreturns。这带来了回归。2.5回归让我们记录股票收益。考虑Riover∧iA的线性回归（不含干扰和单位权重——见下文）。用R表示法：R~ -1+λ（22），其中，在矩阵表示法中，R是N向量Ri，∧是N×K载荷矩阵∧iA。

明确地说，我们haveRi=KXA=1∧iAfA+εi（23），其中fa是（用矩阵表示法）f=Q给出的回归系数-1∧TR（24）Q≡ λT∧（25）和εi是回归残差。在前一小节中介绍的二进制∧iAwe的情况下，这些残差只不过是返回到相应的簇：ε=r- λQ-1∧TR（26）QAB=NAδAB（27）RA≡NAXj∈JARj（28）εi=Ri-RG（i）=eRi（29）统计计算的R包。还有，”~” 在（22）中表示线性模型。式中，RAis是标记为A的集群的平均回报率，Anderis是通过从Rit中减去标记为A=G（i）的集群的平均回报率而获得的demeanedreturn，其中标记为i的股票属于：G（i）=A:i∈ 青年成就组织 {1，…，N}。因此，减损的收益率是由载荷矩阵∧iA上的收益率的回归残差（不含干扰和单位权重）给出的。这个结果可以进一步推广上述结构。但首先需要进行一些额外的观察。注意nxi=1eRi∧iA=0，A=1，K（30）即，被贬低的回报是集群中性的，或者，如果集群被称为行业，则它们是行业中性的。在这种情况下，这只是一种说法，即对于每个集群，该集群中所有股票的已降级收益之和，这是因为每个集群的收益均已降级。然而，在更一般的情况下（见下文），这是一个更为重要的条件。另外，请注意，我们自动地将nxi=1eRiνi=0（31），其中≡ 1，i=1，N、 也就是说，N向量ν是单位向量。在regressionlanguage中，ν被称为截距。

在上面，我们不必将intercept添加到载荷矩阵中，因为它已经包含在其中：KXA=1∧iA=νi（32）。然而，在一般情况下，t to have（31），我们需要在载荷矩阵中添加intercept asa列（见下文）。回想一下，（31）与策略（16）中的美元中性相同，但通常美元中性不需要（31）。2.6非二元一般化二元加载矩阵中的减损收益满足的条件（30）仅意味着这些收益是集群中性的，即与相应的N向量v（A）正交，其中v（A）i≡ λiA。也就是说，在矩阵符号ERTV（A）=0（33）中，这种正交性可以定义为任何载荷矩阵，而不仅仅是二进制矩阵。这就引出了一个推广，其中荷载矩阵称之为OhmiA可能有一些二进制列，但通常不需要。二元列（如有）被解释为基于行业（集群）的风险因素；非二元列被解释为一些非行业风险因素；正交条件nxi=1eRiOhmiA，A=1，K（34）只是一个简单的要求，即旋转返回序列——我们不再将其称为“demeaned returns”（因为基本上不再需要载荷矩阵），而是将其称为“egr-essed returns”——是Riover回归（无截距且具有单位权重）的要求Ohm呃≡ R- Ohm Q-1.OhmTR（35）Q≡ OhmTOhm （36）请注意，我们不再一定拥有该财产（31）。如果需要此特性，可以通过在回归中包含截距来实现。即，在R符号中，回归（现在带有截距，但仍然带有单位重量）isR~ Ohm （37）就（35）而言，这相当于在Ohm, 现在我们有了OhmiA≡ νi=1，i=1。