高频交易的随机游走

此前的预测是，共售出42.5万辆，实际报告价值为45.4万辆，超出普遍预期6.8%。图1右上角的面板显示了随机选择的11天的类似时间序列，其中上午10:00没有新闻公告。《人物传奇》讲述了过去的几天。在这种情况下，着色根据1000秒样本结束时的返回量对序列进行排序，颜色越深表示返回量越大，颜色越浅表示返回量越小。图1的下部面板复制了上部面板的时间序列，但根据交易时间而不是时钟时间聚合价格。正如我们将在下一节中正式说明的那样，交易时间是根据发生的特定交易数量来衡量时间增量的，而不是根据特定数量的挂钟时间。在这种情况下，我们选择m=40，这意味着图1:E-mini S&P 500期货合约价格在10:00a后1000秒的时间序列图。m、 新闻公告（红色）和上午10:00后的1000秒，随机选择几天不发布公告（蓝色）。通过从所有后续值中减去初始价格，所有价格均正常化。上面的面板显示时钟时间价格，而下面的面板显示交易时间价格。图例会报告选择日期和各个新闻公告的信息。上面板中的阴影区域描绘了预期的1-标准普尔500指数的σ布朗运动扩散范围，通过对σ=0.1（内包络）和σ=0.2（外包络）的高斯波动率进行去年化得到。每个时间单位由40个交易定义，由此产生的交易时间序列描述了以该频率采样的价格。情节的两个特点值得强调，尽管我们将在本文的其余部分更详细地讨论它们。

首先，相对于起始点而言，活跃期的价格波动要比被动期的波动大得多。图1上部面板中的阴影区域描绘了预期的1- 通过对σ=0.1（内包络）和σ=0.2（外包络）的高斯波动率进行去年化，得出标准普尔500指数上的σ布朗运动微分界限。我们注意到，这些波动率可以大致等同于CBOE波动率（VIX）指数分别为10和20的值，在我们的分析所涵盖的3个月期间，这两个指数几乎限制了美国股市。（2013年8月5日，VIX指数的最低观察收盘价为11.84，2013年6月20日，最高观察收盘价为20.49。）如图所示，新闻发布后的E-mini价格往往会超过标准普尔500指数的预期波动率，而非新闻时段的E-mini价格则更可能处于阴影范围内。需要注意的第二个特点是，贸易时间序列的长度并不一致。这是因为在1000秒的时间窗口中，每个窗口中发生的交易数量并不相同。事实上，从图中可以明显看出，超出预期的报告后的交易时间序列比低于共识的报告短，表明负面消息的交易量更大。在黄金交易时间面板（右下）中也观察到了类似的特征，因为在价格下跌期间，交易似乎更重。3日内资产收益的经验分布在本节中，我们强调观察到的日内资产收益分布的一些关键特征。我们将时钟时间返回定义为rτ（t）=p（t）- p（t）- τ） （1）其中p（t）是时间t时资产的价格，τ是考虑中的时钟持续时间（例如1000毫秒）。

可在交易时间内提供回报的另一种定义，其中时间增量通过固定的交易数量来衡量：rm（n）=p（n）- p（n）- m） ，（2）其中n表示第n次交易，m表示单位时间内的交易数量。无论时间尺度如何，经验资产回报率（以时钟时间衡量）通常表现出显著特征，如瘦肉症和条件异方差。几十年来，为了对收益率分布的重尾（Mandelbrot（1963））以及波动率的强自相关（Engle（1982）和Bollerslev（1986））进行建模，人们付出了大量努力。在随后的分析中，我们展示了Bradaet al.（1966）、Mandelbrot and Taylor（1967）、Clark（1973）和Ane and Geman（2000）的观察结果，即交易时间回报率几乎是高斯分布的，在控制预先安排的新闻公告时，会延伸到高频、日内回报率。3.1日内时钟时间和交易时间分布如第2节所述，43个1000秒主动时间间隔包含191127个交易，而54个1000秒被动时间间隔包含174041个交易。这相当于活动子样本和3中平均每秒4.44个事务。被动子样本中每秒22个事务。为了取得平衡，我们在剩下的分析中假设1个刻度（事务）对应于0.25秒，或250毫秒。我们考虑τ={250、500、1000、4000、10000、30000}毫秒（即我们的最大时间尺度为30秒）和m={1、2、4、40、400、4000}交易的时间累计回报，根据我们的近似值，这些交易大致是对应的时间间隔。图2给出了在主动和被动新闻状态下单一时间尺度的经验收益分布：τ=10000毫秒（10秒）和m=40次交易。

上面一行图描绘了我们样本中离散观测收益的经验密度函数，叠加在通过最大似然估计的高斯分布上。为了突出分布尾部的差异，在对数刻度上用纵轴显示这些数据。图2中的第二行图显示了上部面板中分布的相应分位数（Q-Q）图。Q-Q图比较了两种分布的分位数，是可视化它们之间偏离点的有力方法。图2：主动和被动子样本的时钟时间和交易时间回报的经验密度和Q-Q图。时钟时间间隔τ=10000毫秒（10秒），交易时间间隔m=40（选择与时钟时间间隔大致匹配）。不需要像我们在上面的面板中那样将数据转换成对数刻度。因此，底部一行绘制了每个数据集的经验分位数与通过最大似然法获得的高斯分布的理论分位数（尽管x轴上的分位数已经标准化）。如果理论密度和经验密度重合，它们的分位数将呈现线性关系。偏差通过Q-Q图中的非线性突出显示。正如我们将在下面更详细地看到的那样，图2显示了时钟时间日内收益在主动和被动时间段都具有重尾，这表明生成数据的概率分布比高斯分布具有更高的极端事件概率（即使在被动、非事件期间）。活跃期交易时间回报也是如此。在Q-Q图中，可以看到经验分布的特征重尾，即偏离线性的凹凸。

值得注意的是，图2最后一列中的经验性和相应的Q-Q图表明，被动周期、交易时间收益率非常接近高斯分布——它们不像其他数据集那样具有极端事件的倾向性。这是我们分析的一个关键结果，我们将在接下来的章节中对其进行更详细的分析。在本节剩余部分，我们将通过Q-Q图描述分布差异。图3显示了我们考虑的所有时间标度在主动和被动期间的时钟时间和交易时间回报的Q-Q图。图中第一行和第二行的面板分别比较了主周期和被动周期的时钟时间回报的经验分位数与最佳高斯分布的理论分位数。第三行和第四行中的面板对于交易时间回报是相同的。图3：时钟时间和滴答时间以及主动和被动子样本中收益的样本Q-Q图。每个面板对应于主动或被动数据子样本期间的时钟时间或交易时间间隔。纵轴表示数据的样本分位数，横轴表示最佳高斯分布的理论分位数。毫不奇怪，图3的上几行显示，在各种日内时间尺度上，时钟时间收益分布与高斯密度明显不同。事实上，每个面板上显示的模式都表明尾巴很重，尤其是在时间尺度上，而随着τ的增加，细荨麻疹的发病率降低。除了随着τ的增加而减小尾重外，主动周期和被动周期时钟时间返回的比较表明，主动、新闻事件周期的尾重要大得多。

这和我们预期的完全一样，因为在新闻发布后的时期，价格大幅波动的频率应该更高。图3的第三行显示，主动子样本期间的交易时间回报与主动子样本和被动子样本期间的时钟时间回报非常相似：瘦素性荨麻疹随着m的减少而减少。然而，图的最后一行突出了上述令人惊讶的结果：在被动、非事件时间段，交易时间回报完全符合高斯分布。我们强调，这一实证结果具有非常重要的资产定价含义。事实上，交易时间收益的高斯性，控制forknown新闻公告，将是我们在第4和第5节给出的模型和结果的基础。在研究日内数据时，交易时间收益的高斯性并不明显，因为新闻事件期间的交易对收益的无条件分布有很大影响。出于空间考虑，我们没有为完整的数据样本（没有对新闻事件进行排序）包括Q-Q图，但是相应的经验分布看起来与我们为活动子样本显示的非常相似。也就是说，在预先安排的新闻公告的有限时间内进行交易对无条件回报分布的尾部概率有很大影响。相比之下，如图3底部的面板所示，如果只考虑非事件时间的回报，高斯分布提供了一个很好的结果。知道在市场活动静止期，交易时间累积的资产回报服从高斯分布是一个非常有力的结果。图4和图5分别描述了图3的Q-Q图中考虑的时钟时间和交易时间间隔的收益和平方收益的样本自相关函数（ACF）。

人们普遍认为，资产收益率除了在特定的时间尺度上表现出显著的自相关外，没有表现出显著的自相关，在这种时间尺度上，出价/出价反弹和均值回归会导致相邻交易之间出现负相关。图4证实了这些程式化的事实：尽管最近的时间尺度和最低的滞后，但回报率没有自相关。无论是主动期还是被动期，交易时间收益的自相关性似乎比时钟时间收益的自相关性更弱。事实上，对于τ=250ms和τ=500ms，时钟时间在第一个滞后之后返回显著且衰减的自相关，这是交易时间数据中不存在的一个特征，或者对于m=1（其中似乎存在非常小且显著的滞后-2自相关）来说，至少只有轻微的自相关。图4：时钟时间和交易时间以及主动和被动子样本中收益的样本自相关图。每个面板对应于主动或被动数据子样本期间的时钟时间或交易时间间隔。如图5所示，收益平方的ACF通常用于诊断波动的持续性，这是金融资产收益的一个有充分记录的属性。特别是，图5第二行中对应于被动周期、时钟时间返回的面板是波动持续性的典型例子。剩下的面板显示，活跃期收益率（时钟时间和交易时间）表现出波动持续性，但其一致性较差，而被动期、交易时间收益率在固定时间尺度上仅表现出轻微的波动持续性，持续性随着m的增加而迅速减小。

后一种结果是数据的一个特征，它将使我们能够从高斯分布中独立得出大致的通行期、交易时间收益，并将有助于第5节中建立时钟时间收益分布的蒙特卡罗近似。图5：时钟时间和交易时间以及主动和被动子样本中平方收益的样本自相关图。每个面板对应于主动或被动数据子样本期间的时钟时间或交易时间间隔。4模型在本节中，我们开发了一个时钟时间收益的分层模型，该模型混合了贸易时间收益的分布和贸易到达的分布。对于给定的交易时间间隔m，我们假设交易时间收益独立于高斯分布rm（n）i.i.d。~ N（u，σ），n、 （3）根据方程式（3），当m=1时，每笔交易之间的价格差异会产生高斯回报。然而，我们的符号概括为允许每个交易的价格差异遵循高斯分布，这是高斯聚集的直接结果。贸易抵达将根据稍后指定的计数流程进行分配。对于给定的时钟持续时间τ，我们将用相应的概率P（Nm（τ）=k表示m周期执行的事务数为Nm（τ），k={0，1，2，…}。如果我们只观察在时间间隔τ上聚合的收益，那么我们对随机变量rτ（t）=Nm（τ）Xi=1rm（n）的分布感兴趣。（4） rτ（t）的概率密度函数为，p（rτ（t）|u，σ）=∞Xk=1pkXi=1rm（n）Nm（τ）=k，u，σ！P（Nm（τ）=k）。（5） 该分布被描述为一个有限的高斯混合模型，其混合权重根据Nm（τ）的概率分布而变化。

该模型也可以被描述为一个两阶段的层次模型，其中许多交易是从第一阶段的Nm（τ）分布中得出的，单个τ周期收益是从rτ（t）=PNm（τ）i=1rm（n）的高斯分布中得出的~ NNm（τ）u，pNm（τ）σ在第二阶段。在本节剩余部分中，我们将考虑方程（5）在不同气体消耗下Nm（τ）分布的特殊情况。4.1复合泊松过程建模贸易到达的起点是假设它们遵循泊松过程：Nm（τ）~ 泊松（γτ）orP（Nm（τ）=k）=（γτ）kk！经验{-γτ}，（6）其中γ是到达强度参数。在这种情况下，等式（5）变成sp（rτ（t）|u，σ）=∞Xk=1σ√2πkexp(-（Pki=1rm（n）-ku）kσ）×exp{-γτ}（γτ）kk！。（7） 这是Press（1967）和Press（1968）开发的复合泊松过程的一个版本。不幸的是，它的密度函数不能以封闭形式得到。然而，密度可以很容易地通过蒙特卡罗模拟进行近似：首先根据高斯分布进行独立绘制，然后根据从泊松密度绘制的整数偏差累积随机数。或者，在某些情况下，我们可以用一个解析公式来近似方程式（7）：当τ与γ相对较大时，N（γτ，√γτ）密度可以很好地近似于泊松（γτ）密度。在这种特殊情况下，rτ（t）也近似地分布为高斯分布（以这种方式将两个高斯密度组合在一起会产生另一个高斯密度）。然而，对于较小的τ值（当解析高斯近似不成立时），rτ（t）的结果分布表现为细荨麻疹。

因此，正如我们将在下文中看到的，短期内的泊松交易到达能够部分解释资产回报的极端事件，尽管它们不足以解释波动性聚集。重要的是要注意，泊松贸易到达的假设意味着，贸易持续时间以指数随机变量的形式分布，其速率为γ。在第5节中，我们将估计该模型的参数。我们将看到，虽然交易持续时间的指数模型（交易到达的泊松模型）可以部分解释收益率分布和波动率聚集的严重问题，但相对于交易持续时间的实际分布，它是不分散的，不能充分解释数据的这些特征。因此，需要一个更好的贸易持续时间模型来充分解释观测数据。4.2复合多重分形过程Chen等人（2013）开发了一个贸易持续时间模型，该模型更充分地解释了日内贸易到达的动态。该论文的模型，即马尔可夫转换多重分形持续时间（MSMD）模型，建立在Calvetand Fisher（2001）、Calvet and Fisher（2002）和Calvet（2004）的多重分形波动率模型之上。特别是，作者采用多重分形波动率模型，将贸易持续时间（而非波动率）解释为潜在冲击的集合。它们表明，MSMD在解释1993年交易的各种股票的交易日数据方面做得相当好。MSMD模型的核心组件是一组“k”潜在状态变量Mk，i，它们服从两状态马尔可夫切换过程，具有不同程度的持续性，γk，fork=1，2，“好的。