基于惩罚样条的半参数随机波动率建模

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英文标题：
《Semiparametric stochastic volatility modelling using penalized splines》
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作者：
Roland Langrock, Th\\\'eo Michelot, Alexander Sohn, Thomas Kneib
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  Stochastic volatility (SV) models mimic many of the stylized facts attributed to time series of asset returns, while maintaining conceptual simplicity. The commonly made assumption of conditionally normally distributed or Student-t-distributed returns, given the volatility, has however been questioned. In this manuscript, we introduce a novel maximum penalized likelihood approach for estimating the conditional distribution in an SV model in a nonparametric way, thus avoiding any potentially critical assumptions on the shape. The considered framework exploits the strengths both of the powerful hidden Markov model machinery and of penalized B-splines, and constitutes a powerful and flexible alternative to recently developed Bayesian approaches to semiparametric SV modelling. We demonstrate the feasibility of the approach in a simulation study before outlining its potential in applications to three series of returns on stocks and one series of stock index returns.
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中文摘要：
随机波动率（SV）模型模拟了许多归因于资产收益时间序列的程式化事实，同时保持了概念上的简单性。然而，考虑到波动性，通常假设的条件正态分布或Student-t分布回报率受到了质疑。在这篇手稿中，我们介绍了一种新的最大惩罚似然方法，用于以非参数方式估计SV模型中的条件分布，从而避免了对形状的任何潜在关键假设。所考虑的框架利用了强大的隐马尔可夫模型机制和惩罚B样条的优点，构成了一种强大而灵活的半参数SV建模贝叶斯方法的替代方案。我们在模拟研究中证明了该方法的可行性，然后概述了其在三个股票收益率系列和一个股票指数收益率系列中的应用潜力。
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分类信息：

一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Methodology        方法论
分类描述：Design, Surveys, Model Selection, Multiple Testing, Multivariate Methods, Signal and Image Processing, Time Series, Smoothing, Spatial Statistics, Survival Analysis, Nonparametric and Semiparametric Methods
设计，调查，模型选择，多重检验，多元方法，信号和图像处理，时间序列，平滑，空间统计，生存分析，非参数和半参数方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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PDF下载：
--> Semiparametric_stochastic_volatility_modelling_using_penalized_splines.pdf (897.87 KB)

2022-5-6 20:04:33 上传

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关键词：半参数 波动率 Applications Econophysics Multivariate

使用惩罚样条的半参数随机波动率建模洛兰·朗洛克、泰奥·米歇洛特、亚历山大·孙和英国圣安德鲁斯托马斯·克内布大学。德国哥廷根大学法兰西·奥古斯特分校INSA de Rouen摘要随机波动率（SV）模型模拟了许多归因于资产收益时间序列的程式化事实，同时保持了概念上的简单性。然而，考虑到波动性，通常对条件正态分布或学生t分布回报的假设受到了质疑。在这篇手稿中，我们介绍了一种novelmaximum惩罚似然方法，用于以非参数方式估计SV模型中的条件分布，从而避免了对形状的任何潜在关键假设。所考虑的框架利用了强大的隐马尔可夫模型机制和惩罚B样条的优点，构成了一种强大而灵活的半参数建模贝叶斯方法的替代方案。在概述其在三个股票收益率系列和一个股票指数收益率系列中的应用潜力之前，我们在模拟研究中证明了该方法的可行性。关键词：B样条；交叉验证；正向算法；隐马尔可夫模型；数值积分；惩罚概率1简介随机波动率（SV）模型是分析金融时间序列非常流行的工具。状态空间模型（SSM）的这一子类构成了两个最广泛的模型之一1–用于模拟股市波动性的预直觉方法，另一种是ARCH/GARCHtype模型。标准离散时间SV模型的结构，在下面标记为SV，用于日志返回y。

，yTon a asset，如下所示：yt=ε（0）tβexp（gt/2），gt=φgt-1+σηt，（1）其中β，σ>0，{ε（0）t}和{ηt}是独立标准正态随机变量的独立序列（见Shephard，1996）。对于|φ|<1，获得了平稳性。未被观察到的序列{gt}，通常被称为对数波动过程，代表了市场随时间变化的“紧张”。该模型捕获了与资产收益相关的几种典型因素，包括平方收益的正自相关（表明波动率随时间缓慢变化，因此波动率聚类）、非平方收益的零自相关，以及超过3的峰度。然而，基本模型倾向于低估相对极端回报的概率，因此，考虑ε（0）t的自由度为ν的Student-t分布通常更合适（Chib等人，2002）；我们将第二个模型命名为SVt。在现有文献中，已经考虑了几种不同的模型公式，它们扩展了对数波动过程的灵活性，{gt}（例如，Gallant等人，1997年；Abraham等人，2006年；Langrock等人，2012年）。然而，Durham（2006）发现“没有证据表明即使是简单的单因素模型也无法捕捉波动过程的动态”（第276页）。相反，他认为SV模型中条件分布的形状——即给定gt的yt条件分布的形状——是“更关键的问题”（第304页）。除了在SVT公式中说明的重尾外，还发现了不对称的证据（例如，见Gallant等人，1997年；Harvey和Siddique，2000年；Jondeau和Rocker，2003年；Durham，2006年）。例如，在风险管理中，获得正确的形状，尤其是准确估计条件分布的尾部，是非常重要的。

虽然可以构造参数模型，使重尾和偏态能够包含在内，但非参数方法具有相当大的优势，即对特定类别的分布不作先验限制。最近在这个方向上的许多工作都是在贝叶斯环境下进行的，正态分布可以用作构建更复杂模型的基础，这些模型仍然利用正态公式的优点来构建方便的更新方案2–预印马尔可夫链蒙特卡罗模拟。Abanto Valle等人（2010年）考虑了条件分布的正态分布的尺度混合，其中正态分布的方差由适当的先验规范来实现，这些规范在整合了方差的混合分布后产生了更大的潜在边际分布。Jensen和Maheu（2010年）以及Delatola和Grifin（2011年）已经开发出依赖于由Dirichlet过程混合之前生成的有限维法线混合的非参数精度。虽然Jensen和Maheu（2010年）直接讨论了收益的条件分布，但Delatola和Griffin（2011年）采用了不同的表示法，其中收益过程中平方噪声的对数被考虑用于分析。Delatola和Griffin（2013）将后一种方法进行了扩展，包括杠杆效应，分别考虑了回报和对数波动过程中两个误差项的潜在相关性。在这篇手稿中，我们发展了一种新的非参数估计SV模型中条件分布的频点方法。提出的最大惩罚似然方法利用了基于似然的隐马尔可夫模型（HMM）机制和惩罚B样条（即P样条）的优点。

前者用于解决SV模型的一个众所周知的难题，即它们的可能性由解析上难以解决的高阶重积分给出。然而，研究表明，HMM可用的方法——与SV模型具有相同的依赖结构，并构成SSM的另一个子类，具有有限的状态空间——可用于对SV模型可能性进行快速准确的数值积分。更具体地说，这种数值积分对应于对数波动过程支持的精确离散化。将{gt}的连续支持度转换为有限支持度的相关转换使得强大的HMM正向算法适用，使得评估SV模型可能性的任意精确近似值成为可能（Fridman and Harris，1998；Bartolucci and De Luca，2001，2003；Langrock et al.，2012）。我们扩展了这种基于可能性的方法，通过将这种分布的密度表示为大量标准化B样条基函数的线性组合，允许对条件分布进行非参数估计，包括可能性中的粗糙度惩罚，以便在拟合密度的拟合优度和平滑度之间达到适当的平衡。由于我们仍然以参数的方式对对数波动过程进行建模，因此我们使用标签SVSp来指代产生的具有非参数建模条件分布的半参数SV模型3–预印本论文的结构如下。在第2节中，我们首先描述基于HMM的相似性评估，然后介绍基于B样条的条件分布表示，并讨论相关的推理问题。在第3节的模拟研究中，对建议方法的性能进行了研究。

在第4节中，我们将该方法应用于与三只股票和一只股票指数相关的实际数据，将我们的模型的预测性能与流行的参数对应模型进行比较。2半参数SV建模2。1 SV模型可能性我们考虑一个模型SVspof the formyt=εtexp（gt/2），gt=φgt-1+σηt，（2）ηtiid标准正态，但与模型SV和SVt相比，我们不对随机变量εt的分布形式进行任何假设。然而，我们假设这些变量为iid，与{ηt}无关。我们的目标是非参数地估计变量εt的概率密度函数（pdf）fε。与模型SV相比，如（1）所示，我们省略了（2）中的参数β，因为否则该半参数模型将无法识别；在SVSPM模型中，β的影响将被吸收到fε中。在介绍非参数估计fε的策略（以及其他模型参数）之前，我们将推导一般fε的可处理似然函数，包括非参数情况，以及正态分布和Student-t分布的情况。为了表示可能性，我们需要随机变量yt的条件pdfst，给定gt（t=1，…，t）。我们将这些条件PDF表示为byf（yt | gt），对于t=1，T这些PDF是密度fε：f（yt | gt）=exp的简单变换(-gt/2）fε（ytexp）(-gt/2）4–预印对于任何fε，则可导出（2）定义的模型的可能性为L=Z。Zf（y，…，yT，g，…，gT）dgT。dg=Z。Zf（y，…，yT | g，…，gT）f（g，…，gT）dgT。dg=Z。Zf（g）f（y | g）TYt=2f（gt | gt）-1） f（yt | gt）dgT。dg=Z。Zf（g）exp(-g/2）fε（yexp）(-g/2）×TYt=2f（gt | gt-1） 经验(-gt/2）fε（ytexp）(-gt/2）dgT。dg。（3） 在最后的第二步中，我们开发了支持向量机模型、HMM和一般SSM所特有的依赖结构。

因此，可能性是无法直接计算的高阶多重积分。通过数值积分，使用基于m等距间隔的简单矩形规则，Bi=（Bi-1，bi），i=1，m、 中间点是b*对于长度b，可能性可以近似如下：≈ bTmXi=1。mXiT=1f（b）*i） 经验(-B*i/2）fε（yexp(-B*i/2）×TYt=2f（b）*它| b*信息技术-1） 经验(-B*it/2）fε（ytexp(-B*it/2））=Lapprox。（4） 如果区间（b，bm）涵盖了对数波动过程的基本范围（更多细节见下文），则通过增加m，可以任意精确地得出该近似值，事实上，m的虚拟精确值约为100。在给定的形式中，近似似然（4）通常难以计算，因为它涉及函数评估。然而，可以使用有效的递归方案来评估（4）。要看到这一点，请注意，数值积分基本上对应于状态空间的离散化，即对数波动过程{gt}的支持。因此，可以使用HMM给出的SSM子类中发展良好且功能强大的机制来评估（4）中给出的近似可能性，这些SSM是具有有限状态空间的SSM（参见Langrock，2011；Langrock等人，2012）。我们在本手稿的附录中概述了相关的HMM方法。特别是，在附录中，我们强调了HMMs的一个关键特性，即可以使用所谓的正向算法有效地评估可能性（西葫芦和麦克唐纳，2009）。对于HMM，应用前向算法会产生一个矩阵积表达式5–预印可能性，这正是我们在当前上下文中得到的结果：Lapprox=δP（y）OhmP（y）OhmP（y）··OhmP（yT）-1)OhmP（yT）1。（5） 这里是m×m矩阵Ohm =ωij与HMM情况下的转移概率矩阵类似（见附录），定义为ωij=f（b*j|b*i） ·b。

此外，向量δ类似于HMM中的马尔可夫链初始分布，这里定义了δi，i=1，m、 是正态分布的密度，平均值为零，标准偏差为σ/p1- φ——用于模拟对数波动率的自回归过程的平稳分布——在b*最后，P（yt）是一个具有第i个对角线项exp的m×m对角矩阵(-B*i/2）fε（ytexp）(-B*i/2），因此，在HMM的情况下，与包含状态相关概率的矩阵类似。使用（5）中给出的矩阵乘积表达式，评估近似似然度所需的计算效果在观测数T中是线性的，在离散化中使用的间隔数m中是二次的，这意味着SV模型的可能性通常可以在几分之一秒内计算出来，即使是千分之一的T和saym=150，这个值使得近似值几乎精确。此外，Lapprox→ Las bm，m→ ∞ b→ -∞.2.2非参数建模我们现在转向εt分布的非参数建模。继Schellhasean和Kauermann（2012）之后，我们建议通过考虑大量基函数的有限线性组合来估计εt的pdf：^fε（x）=KXk=-Kakψk（x）。（6） 这里是基函数ψ-Kψ是已知和固定的PDF。显然，^fε（x）就是apdf-ifPKk=-Kak=1和aj≥ 0表示所有j=-KK.为了实施这些约束，需要估算的系数-K使用多项式logit-linkfunctionk=exp（βk）PKj对aK进行变换=-Kexp（βj），（7）。-6–预印本，我们将β=0设置为可识别性。原则上，任何一组密度ψ-Kψkc可用于近似fε（x），如（6）所示。

我们遵循Schellhase和Kauermann（2012）的方法，使用BSpline，在（6）中使用的基础上按升序排列，并进行标准化，以便将它们集成到1中。有关B样条曲线的更多详细信息，请参见de Boor（1978）和Eilers and Marx（1996）。由于每个B样条基函数都与一个单独的参数相关联，因此该模型公式实际上导致了一个有限维参数空间。然而，维度很高，单独的参数不再有意义或可解释——模型被过度参数化。因此，我们将我们的估计方法称为非参数方法，尽管它确实依赖于具有大量参数的参数规范。这与文献中使用的标准术语一致，其中（受惩罚的）夹板法属于非参数方法（参见Ruppert等人，2003）。由此产生的SVspmodel的近似可能性由（5）给出，在矩阵P（yt），t=1，…，中插入^fε表示fε，T继Eilers和Marx（1996）之后，我们通过对与相邻B样条曲线相关的系数之间的（q阶）差异进行惩罚，修改了（近似）对数似然，得到了惩罚的对数似然Lp=log拉普洛克斯-λKXk=-K+q卡克, （8） 使用（7）中的参数化Ak和平滑参数λ≥ 0.惩罚条款涉及差异运营商, 哪里ak=ak- ak-1和qak=(Q-1ak）。这将导致对估计器的粗糙度进行惩罚，λ分别控制对拟合优度和平滑度的重视程度。特别是，对于λ=0，得到了未启用的估计。对于λ→ ∞ 惩罚将主导可能性，从而产生一系列遵循q阶多项式的权重- 1英寸k。

因此，差异顺序也会间接影响估计值的平滑度（与样条基础的程度相比，影响程度要小得多）。我们将在余数中使用q=2，因为这为积分平方二阶导数惩罚提供了一种近似，这种惩罚在平滑样条曲线的上下文中很流行。在可能性中包含惩罚项可以避免选择最佳数量的基础元素的问题，因为如果平滑参数以数据驱动的方式进行调整，惩罚可以有效地减少自由基础参数的数量，并产生对数据的自适应效果。基本元素的数量需要足够大，以便——7–预印本为反映条件分布fε的结构提供了充分的灵活性，但一旦超过该阈值，增加基本元素的数量将不会因惩罚的影响而进一步改变数据。对于适度平滑的回归函数，Ruppert（2002）建议使用大约35（或40）个基本函数的默认值。为了获取εtin和SV模型的pdf，我们希望这样的选择能够轻松提供有效的灵活性，因此在我们的分析中相应地选择了K（见下文）。为了以数据驱动的方式选择平滑参数，我们将考虑交叉验证（见第2.3.2节）。在初步的模拟实验中，我们发现，在节点间距相等的情况下，我们的方法倾向于产生在真实分布峰值周围过于平滑、尾部过于摇摆的估计密度。