半参数辅助变量的正交多项式

Z=Z，多项式Qj（x，Z）将用Qj（x）表示。2.1 Sturm-Liouville方程和Stein算子let开集Ohm（z）∈ 给定Z=Z，Rdbe对X的支持，让Ohm（z） 表示的边界Ohm（z） 。考虑一个连续的条件密度函数fX | Z（x | Z）=s（x，Z）t（Z）eu（Z）tτ（x，Z），如[17]中的定理2.2所示，x=（x，…，xd）和u（Z）=u（z），ud（z）田路和T（z）>0。假设a.e.Z=Z，τ（x，Z）=τ（x，z），τd（x，z）这是一个从Ohm（z） 带非零偏导数的Rdto-rds和s（x，z）：Rd→ R是x中的一个可微分函数。下一步表示为x、 τ下列一阶线性算子x、 τf（x）：=x“f（x）τ（x，z）x#，xd“f（x）τd（x，z）xd#！我们对fX | Z（x | Z）进行微分以获得x、 τfX | Z（x | Z）=x、 所有x的τs（x，z）s（x，z）fX | z（x | z）+u（z）TfX | z（x | z）∈ Ohm（z） 。对于函数Q（x，Z），在x和满足度Q（x，Z）s中是不同的。τi（x，z）对于每个i和每个x，xi=0∈ Ohm（z） ，我们通过pa r ts获得[AQ（X，z）|z]=-u（Z）TE[Q（X，Z）|Z]Z a.s.，其中Q（X，Z）=s（X，Z）x、 τ[s（x，z）Q（x，z）]=x、 τs（x，z）Q（x，z）s（x，z）+dXi=1Q（x，z）xiτi（x，z）xi（2.2）如果Ohm（z） 如果包含一个奇点或一个点，则应将此声明保持在极限。现在，对于给定的z，让L（Rd，s（x，z））表示勒贝格可测u（x，z）在x中的空间，这样rOhm（z） u（x，z）s（x，z）dx<∞ , 用内积u、 五s:=ZOhm（z） u（x，z）v（x，z）s（x，z）dx。接下来定义以下Sturm-L iouville运算符：AQ：=s（x，z）x、 τhs（x，z）xQ（x，z））i=x、 τs（x，z）·xQ（x，z）s（x，z）+dXi=1τi（x，z）xiQ（x，z）xi，在哪里x:=十、除息的这是标准梯度。

这里A是一个分布的Stein算子，其Lebesgue密度等于S（x，z）Rs（x，z）dx，A是相应的SteinMarkov算子。然后，分段积分表明A是一个关于·, ·s、 具体来说，Au，vs=u、 AvS提供以下标准边界条件Sdxi=1ZOhm（z）秀（x，z）v（x，z）-十四（x，z）u（x，z）s（x，z）τi（x，z）对于C（Rd）中的所有u（x，Z）和v（x，Z），xidΓ（x）=0（2.3）Z a.s∩ L（Rd，s（x，z））对于几乎每个z=z。如果秀（x，z）v（x，z）-十四（x，z）u（x，z）≡ 0开Ohm（z） 。（2.4）对于边界上的奇点或点，上述边界条件（2.4）需要保持在极限内。特征值λjof A都是实的，相应的特征函数Qj（x，z）求解以下Stur m-Liouville微分方程dxi=1s（x，z）τi（x，z）xiQj（x，z）xi+dXi=1xis（x，z）τi（x，z）xiQj（x，z）xi- λjs（x，z）Qj（x，z）=0。（2.5）这些Qj（x，z）构成L（Rd，s（x，z））的基，与r正交，特别是·, ·s、 2.1.1特殊情况下，假设FOR A.e.Z=Z，s（x，Z）∈ C∞（Rd）w.r.t.变量x，对于每个非负整数j=（j，…，jd）。考虑一个特殊情况，当Qj（x，z）=(-1） j+··+jds（x，z）j+···+jdxj。。。xjdds（x，z）是L（Rd，s（x，z））中的正交本征函数，然后它们的投影pj（z）：=E[Qj（x，z）|z]=dYk=1uk（z）jk=u（z）jdue在要求相应边界积分为零的边界条件下进行分部积分。例如：在第三部分中，使用罗德里格斯公式求解Sturm-Liouville边界值问题，我们可以显示当（x，z）=γ（z）expα（z）xTx+β（z）,当每个z的α（z）<0时，有一系列特征值λ，λ，λ。。。

这导致了解决方案{Qj（x，z）}∞j=0，其中每个Qj（x，z）=(-1） j+··+jds（x，z）j+···+jdxj。。。xjdds（x，z）是L（Rd，s（x，z））的多维埃尔米特型正交多项式基。2.2正交多项式基对于连续x我们假设在本小节中d=1，下面的示例2除外。然后fX | Z（x | Z）x=s（x，z）x（x）fX | Z（x | Z）+u（Z）τ（x，z）xfX | Z（x | Z）。andAQ（x，z）=xs（x，z）Q（x，z）τ（x，z）十、s（x，z）=Q（x，z）十、τ（x，z）x+s（x，z）xs（x，z）Q（x，z）τ（x，z）十、-Q（x，z）τ（x，z）xhτ（x，z）夏在（2.2）。如果Q（x，z）s（x，z），等式（2.1）再次满足。τ（x，z）x=0开Ohm（z） 对于a.e.z=z.这里，对于d=1，Stein-Markov算子isAQ（x，z）：=aQ（x，z）x=Q（x，z）十、τ（x，z）x+s（x，z）xs（x，z）τ（x，z）十、-τ（x，z）xhτ（x，z）xiQ（x，z）x、 Janqf=jQjλ，我们想要找到这样的特征值。我们定义φ（x，z）：=-τ（x，z）xandψ（x，z）：=-τ（x，z）x“s（x，z）xs（x，z）-τ（x，z）十、τ（x，z）x#，那么St urm-Liouville微分方程（2.5）可以改写为φ（x，z）Q（x，z）x+ψ（x，z）Q（x，z）x+λQ（x，z）=0。（2.6）当s（x，z）是这个形式时，Qj（x，z）是多项式。一般来说，方程n（2.5）可能有其他不一定是多项式的s（x，z）的解。用边界条件（2.4）重写ascQ（α（z），z）+cQ（α（z），z）x=0c+c>0，（2.7）dQ（α（z），z）+dQ（α（z），z）x=0 d+d>0，其中Ohm（z）=α（z），α（z）表示Z=Z条件下X的支持度。当满足下面列出的三个有效条件之一时，就存在Sturm-Liouville型问题的解决方案。参见[21]和[18]。此外，在我们下面列出的情况下，解是关于权函数s（x，z）的正交多项式，对于每个j，相应的本征函数Qj（x，z）是成比例的l-tos（x，z）Jxjs（x，z）[φ（x，z）]j.这里是一个常数本征函数，对应于λ=0。

最后，迭代方程（2.1）证明了以下重要结果。定理2.1。S上的Qj（x，z）是一个正交多项式基z a.S。那么函数pj（z）=E[Qj（x，z）| z]是μ（z）中的jthorder多项式，其系数是z证明函数。观察P≡ Qi是一个常数。考虑j>0，因为fX | Z（x | Z）满足了[17]中定理2.2所述的唯一识别条件（这反过来又是[15]中第1项的一个条件），所以E[AQj（x，Z）| Z]=λjE[Qj（x，Z）| Z]6=0。因此λj6=0，并且sinceAQj=λjQj，Pj（Z）=E[Qj（X，Z）| Z]=λjE[AQj（X，Z）| Z]=λjEA.xQj（X，Z）Z,哪里xQj（x，z）=j-1Pi=0aiQi（x，z）是j次多项式- 因此pj（Z）=aPλj+j-1Xi=1aiλjE[AQi（X，Z）|Z]=aPλj- u（Z）j-1Xi=1aiλjPi（Z）乘以（2.1）。这个定理的陈述遵循归纳法。接下来我们列出本征函数{Qj（x，z）}的充分条件∞j=0是x中的正交多项式，构成L（Rd，s（x，z））的基，以及相应的连续条件密度fX | z（x | z）的例子。[18] [21]给出了Hermite多项式、Laguerre多项式和J acobi多项式的结果，其他情况通过定义x=ax+b并应用[18]和[21]中的结果得到。还要注意，这些条件对于多项式的解是有效的。不是多项式但却构成正交基的解可能在限制较少的条件下存在。1.类Hermite多项式：φ是非零常数，ψ是线性的，ψ的前导项与φ的符号相反。在这种情况下，让φ（x，z）=c（z）6=0，然后τ（x，z）=-c（z）x+d（z）。ψ（x，z）=c（z）s（x，z）xs（x，z）=a（z）x+b（z）。因此，我们有s（x，z）xs（x，z）=a（z）c（z）x+b（z）c（z）。设α（z）：=a（z）/c（z）和β（z）：=b（z）/c（z），其中α（z）<0z、 因为a（z）和c（z）总是有相反的符号。

求解s（x，z）weget s（x，z）=γ（z）expα（z）x/2+β（z）x.例1：给定一个函数σ（z）6=0，且支持d=1。考虑fx | Z（x | Z）=p2πσ（Z）exp-（十）- u（z））2σ（z）.然后t（z）=√2πσ（z）表达式-z2σ（z）o，s（x，z）=expn-x2σ（z）o，u（z）=u（z）/σ（z）和τ（x，z）=x。正交多项式Qj（x，z）是Qj（x，z）=(-1） jex2σ（z）djdxje-x2σ（z），Pj（z）=＠u（z）jσ2j（z）=u（z）jandλj=-对于每个j>1。注：在[10]中，假设XZ|Z=Z~ NuX（z）uz（z）,σX（z）σXZ（z）σXZ（z）σz（z）.该cor r对应于上面的示例1，它的∧u（z，z）=uX（z）+σXZ（z）σX（z）（z）- uZ（Z））和σ（Z）=1.-σXZ（z）σX（z）σz（z）σX（z）。例2：假设d>1。对于x=（x，…，xd）和z=（z′，，z′d）T，letfX|z（x | z）=√det M（2π）de-（十）-z） TM（x）- z） 式中，M=M（z）是det M（z）>0的方差方差d×d矩阵函数的逆。然后t（z）=√det M（2π）de-zTMz，s（x，z）=e-xTMx，u（z）=Mz，τ（x，z）=x。对于每个非负整数值dj=（j，…，jd），正交多项式Qj（x，z）由Qj（x，z）=(-1） j+···+jdexTMxj+···+jdjxj。xjdde-xTMx。然后pj（Z）=E[Qj（X）|Z]=（eTMZ）j。（eTdMZ）jd=e·u（Z）Jed·u（Z）法学博士=u（z）j、 其中e，eddenote标准基向量，对于任何向量w=（w，w，…，wd）T，wj:=wjwj。wjdd。2.类拉盖尔多项式：φ和ψ都是线性的，φ和ψ的根不同，如果ψ的根小于φ的根，则φ和ψ的前导项具有相同的符号，反之亦然。假设φ（x，z）=a（z）x+b（z）和ψ（x，z）=c（z）x+d（z），其中b（z）/a（z）6=d（z）/c（z）。然后τ（x，z）x=-a（z）x- b（z），soτ（x，z）=a（z）log[a（z）x+b（z）|+C（z）。此外，ψ（x，z）=[a（z）x+b（z）]s（x，z）x（x，z）+a（z）=c（z）x+d（z）<=>s（x，z）xs（x，z）=c（z）x+d*（z） a（z）x+b（z），其中d*（z） =d（z）- a（z）。这意味着s（x，z）=ρ（z）expZc（z）x+d*（z） a（z）x+b（z）dx.示例：假设d=1。

设δ，r＞0，函数g:r→ R被给出，让Γ（·）表示伽马函数。考虑fx | Z（x | Z）=Γ（r+Z）δr+Z十、- g（z）r+z-1e-δ（x）-对于x>g（z），其中z>-r、 然后t（z）=Γ（r+z）δr+z，s（x，z）=十、- g（z）R-1e-δ（x）-g（z）），u（z）=z，τ（x，z）=log十、- g（z）, 自从十、- g（z）z=ezlog（x-g（z））。在这种情况下，φ（x，z）=-十、- g（z）ψ（x，z）=δ十、- g（z）- r、 正交多项式Qj（x，z）是Qj（x，z）=十、-g（z）-（r）-1） eδ（x）-g（z））j！djdxjh十、- g（z）j+r-1e-δ（x）-g（z））i，对于j>1，Pj（z）=z（z- 1） ··（z）- n+1）和λj=-δj.3。类雅可比多项式：φ是二次的，ψ是线性的，φ有两个不同的实根，ψ的根位于φ的两个根之间，φ和ψ的前导项具有相同的符号。在这种情况下，τ（x，z）x=-（十）- r（z））（x- r（z）），其中r6=rand x不等于其中任何一个。然而，在这种情况下，τ在x上不是一对一，并且[17]的定理2.2中给出的条件不成立，除非满足特定的支撑条件。解最后一个微分方程，我们得到τ（x，z）=r（z）- r（z）[log | x- r（z）|-对数| x- r（z）|]+c（z）。将其代入rψ的公式中，得到ψ（x，z）=（x-r（z））（x-r（z））”s（x，z）x（x，z）+2x- r（z）- r（z）（x）- r（z））（x- r（z））#=a（z）x+b（z）。重新安排条款让我们s（x，z）xs（x，z）=-2x- r（z）- r（z）（x）- r（z））（x- r（z））+r（z）- r（z）a（z）r（z）+b（z）x- r（z）-a（z）r（z）+b（z）x- r（z）=: κ（x，z）。设α（x，z）：=Rκ（x，z）dx。那么α（x，z）=-对数|（x）- r（z））（x- r（z）|+a（z）r（z）+b（z）r（z）- r（z）对数| x- r（z）|-a（z）r（z）+b（z）r（z）- r（z）对数| x- r（z）|，and（x，z）=ρ（z）exp[α（x，z）]。示例：为了简单起见，假设没有Z（所以t认为Z=Z），并且fx | Z（x | Z）=B（a+Z，B）- z） xa+z-1(1 - x） b-Z-1对于x∈ （0，1），其中B（·，·）表示β函数。假设满足以下条件：limx→0+xa+ZQ（x）=limx→1.-(1 - x） b-ZQ（x）=0 Z- a、 s.（2.8）我们还假设Z的支撑在(-a、 b）。

然后u（z）=z，t（z）=B（a，B）B（a+z，B-z） ，and（x）=B（a，B）xa-1(1 -x） b-1.最后，τ（x）=logx1-十、自从x1-十、z=expz日志x1-十、.那么φ（x）=-x（1）- x） ψ（x）=（a）- b） x- a、 正交多项式Qjare是标度雅可比多项式，满足以下高斯超几何微分方程：x（1）- x） Q′j+（a）- （a+b）x）Q′j+j（j+a+b）- 1） Qj=0对于每个度j=0，1。参见[21]和[22]的第4.21节。这些比例雅可比多项式可以用超几何函数sqj（x）：=P（a）表示-1，b-1） j（1）- 2x）=（α）jj·F(-j、 j+a+b- 1.A.x） 式中（α）j:=α（α+1）··（α+j）- 1） ，和c/∈ Z-,F（a，b；c；x）：=P∞j=0（a）j（b）jxj（c）jj！。注意，这些Qj满足等式（2.8）。此外，特征值为λj=-j（j+a+b）- 1） 对于j>1，Pj（Z）=E[Qj（X）|Z]=-ZλjE[Q′j（X）| Z].2.3离散X的正交多项式基结果我们证明了上一节的正交多项式基结果在X离散时通过，并且满足定理1.1中的条件。为简单起见，假设X是一维的，其条件分布由p（X=X | Z=Z）给出：=p（X | Z）=t（Z）s（X，Z）[u（Z）- m] x（2.9）forx∈ a+Z+={a，a+1，a+2，…}，式中u（Z）>MA.s.，且-∞ ≤ a<∞.对于函数h，分别定义向后和向前差异运算符h（x）：=h（x）- h（x）- 1),h（x）：=h（x+1）- h（x）。设Ah（x，z）：=s（x）-1，z）s（x，z）h（x，z）-hm+s（x）-1，z）s（x，z）ih（x，z），设s（a）- 几乎每z=z，引理2.1。支持，支持是这样的，即e[g（X，Z）]<∞.

ThenE[Ag（X，Z）|Z]=-u（Z）E[g（X，Z）|Z]（Z）- a、 证据。E[Ag（X，Z）|Z]=Xx∈a+Z+s（x）- 1，Z）s（x，Z）[g（x，Z）- g（x）- 1，Z）]t（Z）s（x，Z）[u（Z）- m] x-Xx∈a+Z+m+s（x）- 1，Z）s（x，Z）g（x，Z）t（Z）s（x，Z）[u（Z）- m] x=[m- u（Z）]Xx∈a+Z+g（x）- 1，Z）t（Z）s（x）- 1，Z）[u（Z）- m] x-1.- mXx∈a+Z+g（x，Z）t（Z）s（x，Z）[u（Z）- m] x=-u（Z）E[g（X，Z | Z]）。请注意，当p（X | Z）=p（X=X | Z=Z）的支持度为- Z+={…，a- 2、a- 1，a}与-∞ < a<∞, Ah（x，z）：=s（x+1，z）s（x，z）h（x，z）-hm+s（x+1，z）s（x，z）ih（x，z），ands（a+1，z）=0，对于lmo st，每z=z。从上面的引理中，我们看到方程（2.1）成立，并在方程上迭代[Akg（x）|z]=(-u（Z））kE[g（X）|Z]。（2.10）对应的Stein-Markov算子A定义为Ah=Ah、 A的本征函数是正交多项式Qjsuch thatAQj（x，z）=λjQj（x，z）。见[21]，[18]。然后通过（2.1）和（2.10），我们得到λjE[Qj（X，Z）| Z]=E[AQj（X）| Z]=-u（Z）E[Qj（X，Z）| Z]，所以[Qj（X，Z）|Z]=-u（Z）λjE[对于j>1，Qj（X，Z）|Z]。因此，我们递归地知道Pj（Z）：=E[Qj（X，Z）| Z]是μ（Z）中的第j次多项式，如前一小节的定理2.1所示。我们现在给出以下具体例子。1.Charlier p多项式：假设没有Z，且X | Z具有密度为p（X | Z）=e的泊松分布-（m+z）[m+z]xx！=E-泽- ~m~mxx！h1+z混合，用于x∈ N、 所以t（z）=e-z、 s（x）=e- ~m~mxx！，m=1，且u（z）=z~mo。然后Ah（x）=h（x）-xmh（x- 1） 是斯坦接线员。Stein-Markov算子的本征函数是Charlier多项式Qj（x）=Cj（x；m）（x）=Pjr=0年少者(-1） j-r~m-rx（x-1) . . . （十）-r+1）其中正交w.r.t.泊松-夏利尔重量度量ρ（x）：=e- ~m~mxx！P∞k=0δk（x），其中，如果k=x，δk（x）等于1，且为0。见[18]。最后，Pj（Z）=E[Qj（X）|Z]=Pjr=0P∞x=re-（m+Z）（m+Z）x（x）-r） !！年少者(-1） j-r~m-r=Zjmj。2.

Meixner多项式：假设没有Z，对于x∈ N和α是大于或等于1的整数，p（x | z）=x+α-1xpα[1- p+u（z）]xt（z），其中t（z）=hP∞x=0Γ（x+α）x！Γ（α）pα[1]- p+u（z）]xi-1.上述引理适用于s（x）=x+α-1xpα，m=1- p、 那么Ah（x）=（1- p） h（x）-xx+αh（x- 1） 是斯坦接线员。Stein-Markov算子的基函数是Meixner多项式Qj（x）=Mj（x；α，p）（x）=Pjk=0(-1） kjkxkK（十）-α） j-金伯利进程-k、 式中（a）j:=a（a+1）。（a+j）-1).它们是正交的w.r.t.重量度量ρ（x）：=s（x）P∞k=0δk（x）。2.4 Pearson-like和Ord-like族的扩展假设不存在Z，即Z=Z。假设φ（x）是至多2次的多项式，ψ（x）是区间（a，b）上的递减线性函数。对于a<x<b，φ（x）>0，如果a是有限的，φ（a）=0，如果b是有限的，φ（b）=0。如果ξ是一个随机变量，其密度或密度与满足[φ（x）f（x）]=ψ（x）f（x）的计数测度f（x）on（a，b）有关，（2.11），其中D表示ξ连续时的导数，以及前向差算子当ξ是离散的。然后，上述关系式（2.11）描述了ξ连续时的皮尔逊族和ξ离散时的Ord族。许多连续的分布属于皮尔逊族，许多离散的分布属于Ord族。参见[18]及其参考文献。假设ξ是Pearson或Ord族中的一个随机变量。在[18]之后，定义itstein算子asAQ（x）=φ（x）D*Q（x）+ψ（x）Q（x）对于所有的Q，使得E[Q（ξ）]<∞ 和E[D*Q（ξ）]∞, D在哪里*表示ξ连续时的导数和向后差分算子 当ξ是离散的。ThenE[AQ（ξ）]=0。

将对应的Stein-Markov算子A定义为AQ:=ADQ。现在，考虑一个Stein算子AQ（x）=φ（x）D*Q（x）+ψ（x）Q（x）以及相应的Stein-Markov算子A，用于Pearson或Ord族中的某个随机变量。假设A的正交多项式本征函数为Qjbe。考虑随机变量X和Z，其中X给定Z的条件分布是这样的：给定X Z的算子AuQ=φD*Q+（ψ+cu（Z））Q，其中c是常数。那么E[AuQ（X）| Z]=0。现在，由于A的Qjare本征函数，λjE[Qj（X）| Z]=E[AQj（X）| Z]=E[ADQj（X）| Z]=E[（A- Au）DQj（X）| Z]=-cu（Z）E[DQj（X）|Z]。让Pj（Z）：=E[Qj（X）| Z]我们看到Pj是μ（Z）中的第j阶多项式，因为DQj（X）可以表示为Q（X），Q（X），Qj-上述等式中的1（x）类似于（2.1）。因此，只要X | Z的Stein算子表示为uQ=φD，我们的主要结果定理2.1就适用*Q+（ψ+cu（Z））Q。然后出现了一个问题，如果X | Z的任何条件分布都是m的条件分布。应该指出的是，当前的方法扩展到了多维离散X | Z，以及其他类型的分布，以及定义良好的Stein算子。我们现在给出一些这样的离散分布的例子。例子：1。二项分布：已知aq（x）=（1- p） xQ（x）+[pN- x] Q（x）是参数为N和p的二项随机变量的Stein算子。在这种情况下，φ（x）=（1- p） x和ψ（x）=pN- x、 见[18]。假设X | Z~ Bin（N+u（Z），p），带u（Z）∈ Z+。然后auQ（x）=（1- p） xQ（x）+[pN+pu（Z）- x] Q（x）让Q-1（x）：=0，Q（x）=0，和Qj（x）=Kj（x，N，p）=Pjl=0(-1） j-LN-xj-Lxl码pj-l（1）- p） l，Krawtchouk多项式，与二项Bin（N，p）分布正交。2.