半参数辅助变量的正交多项式

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英文标题：
《Orthogonal Polynomials for Seminonparametric Instrumental Variables
  Model》
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作者：
Yevgeniy Kovchegov, Nese Yildiz
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  We develop an approach that resolves a {\\it polynomial basis problem} for a class of models with discrete endogenous covariate, and for a class of econometric models considered in the work of Newey and Powell (2003), where the endogenous covariate is continuous. Suppose $X$ is a $d$-dimensional endogenous random variable, $Z_1$ and $Z_2$ are the instrumental variables (vectors), and $Z=\\left(\\begin{array}{c}Z_1 \\\\Z_2\\end{array}\\right)$. Now, assume that the conditional distributions of $X$ given $Z$ satisfy the conditions sufficient for solving the identification problem as in Newey and Powell (2003) or as in Proposition 1.1 of the current paper. That is, for a function $\\pi(z)$ in the image space there is a.s. a unique function $g(x,z_1)$ in the domain space such that $$E[g(X,Z_1)~|~Z]=\\pi(Z) \\qquad Z-a.s.$$ In this paper, for a class of conditional distributions $X|Z$, we produce an orthogonal polynomial basis $Q_j(x,z_1)$ such that for a.e. $Z_1=z_1$, and for all $j \\in \\mathbb{Z}_+^d$, and a certain $\\mu(Z)$, $$P_j(\\mu(Z))=E[Q_j(X, Z_1)~|~Z ],$$ where $P_j$ is a polynomial of degree $j$. This is what we call solving the {\\it polynomial basis problem}.   Assuming the knowledge of $X|Z$ and an inference of $\\pi(z)$, our approach provides a natural way of estimating the structural function of interest $g(x,z_1)$. Our polynomial basis approach is naturally extended to Pearson-like and Ord-like families of distributions.
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中文摘要：
对于一类具有离散内生协变量的模型，以及Newey和Powell（2003）工作中考虑的一类经济计量模型，我们发展了一种解决{it多项式基问题}的方法，其中内生协变量是连续的。假设$X$是一个$d$维内生随机变量，$Z_1$和$Z_2$是工具变量（向量），并且$Z=\\left（\\begin{array}{c}Z_1\\\\Z_2\\end{array}\\right）$。现在，假设$X$给定$Z$的条件分布满足Newey和Powell（2003）或本论文命题1.1中所述的足以解决识别问题的条件。也就是说，对于图像空间中的函数$\\pi（z）$有一个a.s.在域空间中有一个唯一的函数$$g（x，z_1）$$E[g（x，z_1）~| ~z]=\\pi（z）qquad z-a.s.$。在本文中，对于一类条件分布$$x | z$，我们产生一个正交多项式基$$Q_j（x，z_1）$，这样对于a.E.$z_1=z_1$，对于所有的条件分布$$x |z{z}和}d$$，$$P_j（\\mu（Z））=E[Q_j（X，Z_1）~|~Z]，$$，其中，$P_j$是一个次为$j$的多项式。这就是我们所说的解决{\\it多项式基问题}。假设知道$X | Z$并推断出$\\pi（Z）$，我们的方法提供了一种估算利息$g（X，Z|1）$结构函数的自然方法。我们的多项式基方法自然地扩展到了类皮尔逊分布族和类Ord分布族。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：Applied, computational and theoretical statistics: e.g. statistical inference, regression, time series, multivariate analysis, data analysis, Markov chain Monte Carlo, design of experiments, case studies
应用统计、计算统计和理论统计：例如统计推断、回归、时间序列、多元分析、数据分析、马尔可夫链蒙特卡罗、实验设计、案例研究
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Applications        应用程序
分类描述：Biology, Education, Epidemiology, Engineering, Environmental Sciences, Medical, Physical Sciences, Quality Control, Social Sciences
生物学，教育学，流行病学，工程学，环境科学，医学，物理科学，质量控制，社会科学
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：stat.TH is an alias for math.ST. Asymptotics, Bayesian Inference, Decision Theory, Estimation, Foundations, Inference, Testing.
Stat.Th是Math.St的别名。渐近，贝叶斯推论，决策理论，估计，基础，推论，检验。
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PDF下载：
--> Orthogonal_Polynomials_for_Seminonparametric_Instrumental_Variables_Model.pdf (232.35 KB)

2022-5-6 21:27:31 上传

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关键词：正交多项式 多项式 半参数 distribution instrumental

半参数工具变量模型的正交多项式*Yevgeniy Kovchegov+Ne,se YildizAbstracts我们开发了一种方法，解决了一类具有离散内生协变量的模型的多项式基问题，以及一类在Newey和Powell[17]的工作中考虑的计量经济模型的内生协变量是连续的。假设X是一个d维内生随机变量，Zand Zare是工具变量（向量），d Z=ZZ. 现在，假设给定X的条件分布Z满足Newey和Powell[17]中或当前论文的命题1.1中的条件，足以解决识别问题。也就是说，对于像空间中的函数π（z），在域空间中有一个唯一的函数g（x，z），使得e[g（x，z）|z]=π（z）z- a、 本文对一类条件分布X | Z，给出了正交多项式基{Qj（X，Z）}j=0,1，。。。对于a.e.Z=Z，对于所有的j∈ Zd+，和一定的u（Z），Pj（u（Z））=E[Qj（X，Z）| Z]，其中pji是一个j次多项式。这就是我们所说的解决多项式基本问题。假设X | Z的知识和π（Z）的引用，我们的方法提供了估计感兴趣的g（X，Z）结构函数的自然方法。我们的多项式基方法自然地扩展到类皮尔逊分布族和类Ord分布族。理学硕士编号：33C45、62、62P20。*本文的许多结果都是在芝加哥大学和考尔斯基金会、耶鲁大学、2010年上海经济计量学会的计量经济学研究研讨会以及2010年上海经济计量学会世界大会上发表的。我们要感谢这些杰出人士的参与，感谢他们提出的宝贵意见和问题。我们还要感谢编辑和一位匿名裁判的宝贵意见。

这项工作得到了西蒙斯基金会（给叶夫吉尼·科夫切戈夫）的部分资助。+俄勒冈州州立大学数学系，科瓦利斯基德霍尔，或97331；电子邮件：kovchegy@math.oregonstate.edu; 电话：541-737-1379；传真：541-737-0517通讯作者：罗切斯特大学经济系，纽约州罗切斯特市哈克内斯厅23 1号，邮编14627；电子邮件：nese。yildiz@rochester.edu; 电话：585-275-5782；传真：585-256-2309。关键词：正交多项式、Stein方法、非参数识别、工具变量、半参数方法。1导言在本文中，我们从扩展经济计量模型集的一小步开始，当内生协变量在无限支持下离散时，通过显示完整性，确保结构函数的非参数或半参数识别成立。注意，具有无界支持的离散内生协变量X的情况不包括在[17]中给出的效率条件中。然后，利用微分方程理论，我们针对[17]中定理2.2给出的一大类分布，以及本文解决识别问题的离散内生协变量的情况，提出了一种新的正交多项式基方法。我们的方法是新的非经济学，在结构功能的识别和估计之间提供了一种自然的联系。我们还讨论了当X | Z的条件分布属于修正的Pearson族或修正的edOrd族时，如何将多项式基结果推广到这种情况。在许多社会科学领域很难找到实验数据。因此，社会科学家必须设计统计方法来恢复变量（协变量）对感兴趣的结果的因果影响。当因变量和解释变量之间的结构关系。

g（x，z））是参数特定的工具变量（IV）方法通常用于获得参数的有限维向量的一致和渐近正态估计，从而获得感兴趣的结构函数。然而，参数估计对潜在结构关系g（x，z）的误判并不稳健。例如，在消费者行为分析的背景下，最近的实证研究表明，总预算变量需要发挥更灵活的作用，以捕捉微观经济层面上观察到的消费者行为。（见[3]及其参考文献。）参数方法的稳健性的失败提出了一个问题，即是否有可能将工具变量估计扩展到非参数框架。这个问题是在[17]中首次研究的。然而，迄今为止，非参数工具变量方法的理论分析和实证实施进展缓慢。这可能与以下事实有关：在这些模型中，识别非常困难。此外，尽管关于结构函数的非参数估计的收敛速度，或关于在确定的多个协变量值下评估的结构函数的渐近分布，已有一些结果，但结构函数的估计的渐近分布仍然未知。本文提出了一种半参数方法。这一建议的动机是，非参数识别的充分条件与给定仪器的内生协变量的条件分布密切相关，这可以非参数估计，因为它只取决于可观测量。

我们提出了一种非参数估计结构函数的方法，同时假设JSTOR r r中“工具变量”的条件关键词搜索返回了超过20000个入口。参见[9,6,5,7,12]。给定工具的内生协变量分布属于一个大家族，对于这个家族，结构功能的确定是有保证的。我们并不是第一个建议采取相关的半参数方法来解决这个问题的人。[10] [3]均采用半参数方法分析恩格尔曲线关系。[10]中的半参数方法与[3]中的方法不同，与本文中的方法关系更密切。特别地，[3]假设g（X，Z）=h（X-φ（ZTθ））+ZTθ，其中θ、θ为有限维参数，φ具有已知的函数l for m和h非参数，但使给定Z的X的分布比[10]中更灵活。相反，[10]使g的规定更加灵活，但假设X和Z的联合分布条件为Zis正态。恩格尔曲线关系描述了家庭预算增加时商品需求的扩张路径。在恩格尔曲线分析中，Y表示家庭在一个子类商品上的预算份额，X表示家庭分配给感兴趣的子类商品的对数总支出，Zare变量描述了其他观察到的使用特征，U表示家庭间未观察到的异质性。（对数）总支出变量X是一个可用于家庭的选择变量，即收入在消费品和储蓄之间的分配。因此，住户优化表明，X与住户对特定商品的需求共同决定，因此，在恩格尔曲线的估计中，X可能是一个内生回归因子，或与U相关的回归因子。

这意味着非参数平方回归估计的条件平均值不能用于估计经济意义上的结构恩格尔曲线关系。幸运的是，如[3]所述，ho usehold的分配模型没有提供外生收入来源，这将为恩格尔曲线回归中的总支出提供合适的工具变量。特别是，对数一次性家庭收入被认为是外生的，因为驱动非可观测能力被假定为独立于偏好顺序，偏好顺序在家庭的位置决策中起着重要作用，并包含在U中（见[10]）。因此，对数可支配收入通常被视为排除在外的工具，Z[10]证明，对数支出和对数可支配收入变量都具有共同的不正态性、条件和其他描述家庭特征的变量。假设X和Z条件在Zis正规[10]上的联合分布为结构恩格尔曲线提供了一个半参数估计，并为其估计提供了g收敛率。在参数回归模型中，正态性通常与良好行为相关，但在具有内生回归的非参数回归中，情况非常不同。事实上，众所周知，联合正态性可能导致收敛速度非常慢（见[3,8,19]）。与[10]相比，我们建议采用一种估算方法，该方法与识别条件中包含的信息直接相关，并涵盖属于已知结构函数识别适用的大家族的X g iven Z的任何条件分布（不仅仅是正态分布）。通过利用这些信息，我们的方法消除了一步估计。

因此，我们期望基于我们的方法的估计量将具有较快的收敛速度。具体来说，在本文的正交多项式框架中，X和Z条件在Zi上的联合分布与[10]中的情况不同。这种对应关系将在第2.2小节的备注中指出。下面的论文包括正态条件分布的最小二乘分析，作者正在准备。我们选择正交多项式f或近似结构函数的方法是半参数的，并且受给定工具的条件密度（关于Lebesgue或计数测度）形式的激励。利用这种密度函数的形式，我们可以导出一个二阶Stein算子（在[18]中称为Stein-Markov算子），其特征函数在一定条件下是正交多项式（协变量）。这一步利用了斯坦因理论中的一般方法，该理论起源于巴伯[2]，并在肖滕斯[18]中进行了广泛研究。我们可以使用Stein-Markov算子的特征函数来逼近此类模型中感兴趣的结构函数。由于已知给定仪器的这些正交基函数的条件期望值达到仪器的某个函数（即，它们是多项式u（Z），将在下文中定义），这种方法可能会简化估计。关于Stein方法和Stein算子的深度信息可在[1,2,4,18,20]和本文的参考文献t中找到。估计结构函数的一种常用方法是从选择一个基{Qj}开始，它依赖于内生回归器X∞j=1，对于感兴趣的结构函数所属的空间。这个基的有限多个元素被用来近似结构函数。

为了估计基元素的系数，首先将左侧或因变量以及基函数的有限线性组合投影到仪器Z定义的空间上，然后将因变量投影到基本函数投影的线性组合上。通常情况下，基函数的选择与X | Z的条件分布关系不大，因此与确保结构函数识别的条件关系不大。因此，仪器上基函数的投影在分析上是未知的，但必须通过非参数回归进行估计。在本文中，我们提出了一种方法，将结构函数的识别条件与用于在估计阶段近似该函数的基础的选择联系起来。为此，我们利用给定工具s的协变量的条件密度形式。如上所述，我们建议使用Stein-Markov算子的特征函数来逼近结构函数。由于已知给定工具的这些正交基函数的条件期望达到工具的某个函数，这将消除结构函数估计的一个步骤。然而，应该强调的是，即使假设给定仪器的协变量的条件密度已知到有限维参数，也不意味着给定仪器的任意基函数的条件期望必须在分析上已知。论文的结构如下。第1.1小节讨论了具有无界支持的离散内生协变量X的识别结果。第2节包含了基问题的正交多项式方法。

最后，第3节包含了总结性的评论。1.1识别结果如第2.3小节所示，我们选择正交基的方法适用于内生变量离散且具有无限支持度的许多情况。为了能够谈论这些案例，我们陈述了涵盖这些案例的识别结果。该定理以及[17]中的定理2.2源自[15]第132页中的定理1。我们让Xdenote作为内生随机变量，Z=ZZ表示工具变量的向量。提议1.1。设X为随机变量，条件密度（w.r.t.eitherLebesgue或计数度量）为X | Z，由p（X | Z=Z）：=p（X | Z）=t（Z）s（X，Z）dYj=1[uj（Z）- mj]τj（x，z）τ（x，z）∈ Zd+，其中t（z）>0，s（x，z）>0，τ（x，z）=（τ（x，z），τd（x，z））是x中e上的1，且u（z）=（u（z），μd（Z））给定Z在Rd中包含一个非n-平凡开集，且μj（Z）>mj（Z）-a、 对于每个j=1，d、 ThenE[g（X，Z）|Z，Z]=0z-a、 s表示g（X，Z）=0（X，Z）- a、 美国证据。注意p（x | z）=t（z）s（x，z）exp“dXi=1τi（x，z）log（ui（z）- mi）#。然后让A（η）=0，ηi=lo g（ui（z）- mi），我们可以看到[16]的结果。另见[15]。上述定理扩展了[17]中的定理2.2，其中证明了如果概率1以Z为条件，X的分布是绝对连续的w.r.t。

Lebesguemeasure，其条件密度由fx | Z（x | Z）=t（Z）s（x，Z）exp[u（Z）·τ（x，Z）]，（1.1）给出，其中t（Z）>0，s（x，Z）>0，τ（x，Z）是x中的一对一，并且给定Z的u（Z）的支持包含一个非平凡的开集，然后对于每个g（x，Z）具有有限的期望E[g（x，Z）|Z]=0（Z）-a、 意味着g（X，Z）=0（X，Z）- a、 我们在[17]中的定理1.1和定理2.2中，需要支持给定Zto的u（Z）的条件在我们的定理1.1和定理2.2中包含一个非平凡开集，可以减弱为需要支持给定Zbe的u（Z）的可数集在Rd.2多项式基结果中是稠密的，再次假设X是一个d维内生随机变量，Zand Zbe工具变量（向量）和Z=ZZ. 现在，假设X是圆盘网的情况下的条件分布，另一种证明可以在[14]中找到。对于给定的X，Z满足[17]的定理2.2或本论文的命题1.1中解决识别问题所需的条件。然后，对于imag e空间中的函数π（z），在域空间中有一个唯一的函数g（x，z），使得e[g（x，z）| z]=π（z）z a.s。在本节中，我们将使用Stein-Markov算子来解决一类条件分布x | z的多项式基问题。具体来说，我们将开发一种方法来确定正交多项式基{Qj（x，z）}j=0,1，。。。这样对于a.e.Z=Z，f或allj∈ Zd+，以及第1节中定义的函数u（Z），Pj（u（Z））=E[Qj（X，Z）| Z]，其中Pji是一个j次多项式。有关St-ein-马尔可夫算子和Stein方法的综合研究和综述，请参见[1,4,18,20]。在没有仪器的例子中，al variableZ，即。