具有动态订单流不平衡的最优执行

鉴于这种挑战，我们提出的Ornstein-Uhlenbeck过程的模型顺序流是一种折衷方案，显然需要在校准到实际数据之前进行更多调整。在第5.1节中，我们带着一些关于订单流的经验程式化事实回到这个问题。备注2。在本文中，我们关注的是时间顺序流及其相关的不平衡，这是Easley等人[15,16,17]推测的与市场毒性有关的。其他作者，如[13]对一个不同的对象，即“空间”秩序失衡，使用了秩序流动失衡（或仅仅是秩序失衡）的术语。也就是说，在排队符号的激励下，它们指的是最佳出价和最佳出价下的长期限制订单之间的净差异。如[13]和[14]所示，订单不平衡可以预测下一个价格变动（即与下一个价格上涨或下跌的概率相关），并且受到大多数HFT算法的密切监控。虽然LOB深度与提交的限价订单历史有关，但这种关系非常复杂（由于中间价变动、隐藏订单等）。因此，我们的订单流量不平衡并不意味着与LOB深度或任何直接LOB属性直接相关，而是提供最近提交的订单的时间摘要。2.2 HJB公式（5）我们采用标准随机控制方法，利用动态规划原理和Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）偏微分方程。在此框架内，战略由其销售率αt:=-˙XT且可容许策略A（x）类由所有非负（Ft）-渐进可测过程（αt）0组成≤T≤t对于其中的xαt：=十、-Ztα-sds+, 0≤ t、 属于X（X）。我们问题的值函数可以表示为v（x，y）=inf（αt）∈A（x）前任，yZTg（αs）+κYs+λ（xαs）ds. （6） 如果存在，我们将相应的最优策略定义为α*（x，y）。

对于Yt的每一条路径，α*导出实现的执行视界T（x，y）=inf{T:xα*t=0}这是一个随机变量，取值于[0，∞).标准参数表明，值函数v（x，y）将满足形式为0=σvyy的哈密顿-雅可比-贝尔曼方程- βyvy+κy+λ（x）+infα≥0{g（α）- αvx- φ（α）vy}，（7）所有y的边界条件v（0，y）=0。我们观察到（7）是（x，y）中的非线性抛物偏微分方程，相应的理论（例如关于经典解的存在性）相当有限。在本节的其余部分，我们将集中讨论线性信息泄漏和二次价格影响情况g（α）=α，φ（α）=ηα。在这种情况下，反馈形式的候选优化器是α*（x，y）=vx+ηvy。（8） 将这个反馈控制代入PDE（7），我们得到0=σvyy- βyvy+κy+λ（x）-vx+ηvy. （9） 由于容许策略A（x）类的状态依赖性，问题（6）是一个有限燃料控制问题。因此，似乎不存在满足x=0的零边界条件的可处理闭式解。在附录a中，我们展示了一种通过有限差分格式数值求解（9）的相对简单的方法。为了理解（8）中的反馈策略，我们停下来考虑Vx和vy的导数。正如我们将看到的，Vx总是正的，但Vy可以是正的或负的。因此，第（8）项中的候选人可能不具备非负面特征。引理1。地图x7→ v（x，y）对于任何y证明都是严格递增的。固定x<x=x+ 对于一个绝对积极的 考虑一下(-最优）策略α对于v（x，y）。设Tx:=inf{t:xt=} 是使用α出售x股的随机周期. 然后是t7的绝对连续性→ xt，Tx<T（x，y）。此外，α（x，y）：=αt（x，y）1{t≤Tx}是初始条件（x，y）的一个可容许策略，因为它正好清算x-  = xshares。

利用α对于v（x，y）是次优的，并且第二项和第三项sin（5）几乎肯定是严格正的事实，我们发现v（x，y）≤ v（x，y；α）<v（x，y）。在（9）中，地平线是不确定的，最终清算仅通过边界条件建模。因此，理解已实现的执行视界T（x，y）只有隐含的可能性。此外，（9）中的非线性使分析变得困难。为了实现可追溯性，我们考虑了一个近似的两阶段过程。因此，我们首先通过施加约束T=T来确定地平线。然后，我们解决由此产生的固定视界问题，以找到最佳策略*（T，x，y）和值函数v（T，x，y）。在第二步中，我们对T进行优化，以找到静态最优水平T*（x，y）。最后，我们建立了半动态策略α（xt，yt）=α*（T）*（xt，yt），xt，yt）。因此，α重新计算T*随着状态变量（xt，yt）的演变，使用相应的静态交易率。这种方法适用于非线性控制中的后退视界设置[29]。事实上，α的最初使用*（T）*t=0时的（x，y），x，y）对应于模型预测控制，而α（xt，yt）则由于遇到的随机波动而连续滚动初始条件。上述计划分别在第3节和第4节中实施。在后一节中，我们还将比较各种策略的执行轨迹和由此产生的成本。3有限水平上的线性二次设置∞. 我们考虑[0，T]上（7）的类似物。为了避免混淆，当在固定的视界上定义时，我们让u表示值函数：u（T，x，y）=inf（αT）∈A（T，x）Ex，yZTαs+κYs+λ（xαs）ds. （10） 出于解释目的，我们使用u的到期时间参数化，因此Firstargument T代表截止日期之前的时间。

[0，T]上的策略定义与第2节中的策略定义类似，但在终端时间T时约束xT=0。通过T强制液化，如果未完成，则通过设定最终惩罚来实现，从而导致formlimT的初始条件不规则↓0u（T，x，y）=（如果x=0，则为0+∞ 如果x6=0。（11） 请注意，（10）中的第二项继续累积，直到结束时间不考虑清算是否提前完成。因此，我们没有使用边界条件v（0，y）=0，而是（因为对于xt，零是吸收的）u（t，0，y）=E0，y[Rtκ（YS）ds]；后一个表达式的显式公式见引理3。为了获得（10）的显式解，下一节将讨论φ在固定视界上与α无关的情况。换句话说，交易者可能会影响订单流程，但影响可以用确定性的方式建模。然后，第3.2节讨论了比例足迹φ（α）=ηα的情况，仍然在固定的时间范围内。结果表明，第3.1-3.2节中获得的策略与第2.3.1节中提出的不确定视界模型相比并不是太次优。短视执行策略在经典的最优执行模型[1]、[4]和[5]中，最优执行率是确定性的，即α是预先确定的。在这种情况下，信息成本也将是不确定的。因此，我们研究φ（α）独立于α（但可能取决于时间t）的情况。在这种假设下，我们可以在（5）中分离这两个术语，因为（Yt）的动态不受交易者的直接影响；性能标准适用于INF（xt）∈X（X）ZT˙xs+λ（xs）ds+ZTκEy[Ys]ds。（12） 因为（Yt）独立于控制α，所以最优策略仅由（12）中的第一项定义。因此，得到的（αt）与y无关，因此与t7无关→ 十、*这是决定性的。

因此，基于（12）的策略是短视的，因为它们完全忽略了交易者行为所留下的潜在“足迹”，而不是只关注不必要的成本和库存风险。下面的引理，在附录B中得到了验证，为（12）的库存风险的流行选择提供了解决方案。引理2。考虑findingi（T，x）：=inf（xt）ZT（˙xt+λ（xt））dt的变分法问题，其中最小化在所有绝对连续曲线t7上→ 在x=x，xT=0且x不增加的约束下。然后是最佳的“近视”策略（αt≡ -˙xt）是xMLt=x（T）- t） t；αMLt=xT；IML（T，x）=xT，如果λ（x）=0；(13)xMHt=x sinh(√c（T）- t） ）信义(√cT）；α-MHt=√舒适的(√c（T）- t） ）信义(√cT）；IMH（T，x）=√科思(√cT），如果λ（x）=cx；(14)xMQt=ct- tc^T+x^T！+十、{t<^t}；αMQt=c^T+x^T-计算机断层扫描！{t<^t}；IMQ（T，x）=-c^T+c^T x+x^T！；式中，^T:=min（T，√十、√c） ,，如果λ（x）=cx。（15） 上标M L、MQ、MH分别代表近视线性模型、二次模型和双曲模型。第一种情况下，ML产生线性销售和TWAP策略，或者，如果时间以批量时间参数化，则产生经典的VWAP交易策略。第二种策略XmHt及其对应的利率αmHt呈现指数销售，是原始Almgren-Chriss模型[4]中提出的最佳策略。该风险期限是交易员将清算成本差异降至最低的努力结果。从库存风险度量的角度来看，一个自然的替代方案是λ（xs）=cxs，它具有与风险价值成正比的吸引力，并导致销售策略xmqt在t中是二次的。然而，正如[20]中对类似问题所解释的，购买可能会导致仓位规模相对于t较小。

施加xmqt减小的约束，然后导致修改的解决方案（15），在^T<T的情况下，会导致清算在终止时间T之前结束。图1详细描述了引理2中描述的x=3和T=3的三条执行曲线。与VWAP策略xML相比，策略xMHand xMQlead中的非零库存风险术语最初会导致更高的销售率。xMHis proportional to x，cf.（14）中的执行率和清算正好发生在T。相比之下，随着XMQT变小，线性风险项CXMQT变得更具惩罚性，结束清算时间tInventory xt0 1 2 30 1 2 3xtmLxtmQxtmH可能是最佳选择图1：引理2的最佳轨迹。为初始库存x=3、水平T=3和c=2绘制的图。这导致了^T=√十、√c=2.45，在二次情景下为xMQof（15）。在时间T之前。图1显示库存量xmqtt在时间^T达到0=√6如（15）所述。现在，我们将注意力转向订单流量不平衡带来的预期执行成本。固定（α）*t） ，我们可以查看相应的信息影响φ（α）*t） 同时也是t的确定函数，允许使用Yt的明确可用高斯分布直接计算（12）中的第二项。引理3。给定一个确定性的、随时间变化的水流冲击φ（αt）=φt，Y=Y，Y为第二动量Yt= ut+σt，（16）式中ut=ye-βt-中兴通讯-β（t-s） φsds，σt=σ2β（1- E-t（2β）。（17） 引理3可以通过直接求解SDE（3）并回忆Yt的高斯分布来验证。综合所有因素，我们得出命题1中短视执行策略系列的预期总成本。我们重申，虽然实现成本瞬间取决于随机过程（Yt），但本节中的策略纯粹是确定性的，不适用于（Yt）。

以下溶液按λ（x）的形式标注；虽然（12）中的两个术语通常是解耦的，但将瞬时价格影响部分的结果解I与相应的期望值Ey[RTYsds]匹配当然是合乎逻辑的，这是我们在命题1中遵循的惯例。提议1。假设φt（α）=φt。相应的值函数u由um（t，x，y）=I（t，x）+O（t，x，y），（18）给出，其中I定义在（13）-（15）中，O=κZT（ut+σt）dt来自引理3iso（t，x，y）=κy2β1.- E-2βT+κσ4β2βT+e-2βT- 1.如果φt≡ 0; （19） OML（T，x，y）=O（T，x，y）+κηxyβT2e-βT- 1.-E-2βT（20） +κηx2βT2βT+4e-βT- E-2βT- 3.如果φt=ηαmlt封闭式表达式也可用于OMQand OMH，见附录C。因此，清算的总成本有两个组成部分：仅依赖于（t，x）的I（t，x）项，以及也依赖于y的信息足迹项O（t，x，y）。对于x，如果φt=0，O是常数，如果φt=ηαML，O是线性的，否则是二次的。作为y的函数，由于（Yt）的线性动力学和二次信息成本，O是二次的。从财务角度来看，由于在不平衡的市场中进行交易，yterm代表了更高的成本，而y期调整为在买方主导的市场中销售有利于与其他卖方竞争稀缺的流动性。下面的推论表明，y的“最佳”水平为正（如果φt=0，则为0）。直觉上，最好是在订单流量为正的环境下开始交易，这样交易者的销售活动将订单不平衡推向0，并降低信息成本。推论1。假设φt（α）=φt≥ 0.那么使预期执行成本最小化的流量不平衡是非负的，arg miny{u（T，x，y）}≥ 0表示任何T，x证明。如前所述，uM（T，x，y）在y中是二次的，而Yi的系数在（19）中一直是二次的。经检查呈阳性。

对y的依赖性来自O项，其形式为O（T，x，y）=κZT（ye）-βt- 在这里在≥ 0（只要φt在正测度区间上大于0，则严格为正，参见（40））。因此，yin-uM（T，x，y）的系数是κRTe-2βtdt>0，y为-RT2κe-β-tAtdt≤ 0.因此，设置yuM（T，x，y）=0，求解y得到一个非负结果。3.2动态执行策略我们现在回到（10）中的问题，让φ（αt）=ηαt。最佳动态策略适用于订单流量不平衡过程（Yt）和交易者的直接卖出率（Yt）。为了避免混淆，我们将分别用αdtud和uD表示动态策略和预期成本。uD（T，x，y）的HJB偏微分方程为uDT=σuDyy- βyuDy+κy+λ（x）+infα≥0g（α）- α-uDx- ηαuDy, （21）有uD（0，x，y）=+∞ 除非x=0。请注意，（21）与（6）相同，但用于等式左侧的时间导数，这是由于受约束的地平线T产生的时间依赖性而引入的。假设g（α）=α，λ（x）=cx，并插入如（9）中所示的反馈控制，得到一个半线性抛物型PDEuDT=σuDyy- βyuDy+κy+cx-uDx+ηuDy！。（22）初始条件（11）。为了得到（22），我们让α是无约束的，并允许它为负。这使我们能够通过利用线性二次结构找到以下候选解决方案。动机来自于uMin提案1，我们在提案1中得到了类似的结果：x和y的平方和xy项，当y<0时会增加额外成本。提议2。

（22）的解的形式为：uDH（T，x，y）=xA（T）+yB（T）+xyC（T）+xD（T）+yE（T）+F（T），（23），其中D（T）=E（T）≡ 0，A，B，C，F求解矩阵Riccati常微分方程（ODE）A（T）=-A.- ηAC-ηC+cB（T）=-ηB- B（ηC+2β）+κ-CC（T）=-ηC- C（ηB+A+β）- 2ηABF（T）=σB，（24），我们有以下初始条件极限↓0A（T）=+∞B（0）=C（0）=F（0）=0。（25）最优清算率为αDHt（T- t、 xt，Yt）=xt（2A（t- t） +ηC（t）- t） ）+Yt（C（t）- t） +2ηB（t）- t） ）。（26）关于命题2的证明，见附录D。我们重申，在（24）中，A、B、C、F是剩余时间的函数，我们通过省略（24）右侧的时间参数（即A=A（T）等）简化了符号。接近最后期限T时，冲击Y的影响消失，（22）收敛到（13）的近视线性情况。这可以通过在区域T中正式线性化Riccati系统（24）来观察-t=使用初始条件（25）。我们得到了下面的展开式：:A() =+ O()B() = κ + O();C() = -ηκ + O();F() =σκ+ O().（27）插入（26）给出了短期交易率αDH(, xt，Yt）=xt+ O(). 这试探性地证实了策略（26）是可接受的，这也可以在下面的图4中观察到：→ 动态交易率稳定，类似于VWAP策略。备注3。对于库存风险λ（x）的其他函数形式，也可以建立和求解线性二次问题。在线性情况下λ（x）=cx，得到的Riccati系统将具有x和y的非零线性系数D（T）和E（T）。

但是，动态地满足约束x≥ 0是不可控制的（参见（13）中的^T），我们发现，由此产生的无约束策略往往会导致疯狂的买卖。在常数λ（x）=c的情况下，Riccati系统几乎与（24）（againE（T）=D（T）相同≡ 0）除了c项移到第四行：FDL（T）=σB（T）+c。在续集中，我们使用这两种解决方案进行数值说明。可以使用软件包（如R）处理（24）中的方程。然而，有必要用条件限制替换奇异初始条件（11）↓0uD（T，Y，x）=（0，如果x=0M，如果x 6=0（28），对于常数M大，基本上允许在时间T处出现非零头寸，然后必须以某种额外成本在单个订单中进行清算。这相当于引入Cincinga边界层[0，] 在T上求解∈ [, ∞] 因此M=1/ 是基于（27）的正确选择。最优交易率αDin（26）在XT和Yt中都是线性的。前者的特征类似于（14）中的双曲线情况，其中αmhts在xt中也是线性的。接下来，我们将举例说明动态策略αD与短视策略αMt的对比情况。对于固定的终端时间T，交易者在策略αD下加速或减速的动机来自交易者对更平衡的订单流的渴望。请注意，没有任何动机加速交易，以完成任务并在交易成本从Y累积到T之前退出市场。对于正订单流量不平衡，当前交易速度更快，未来执行成本更低，因为（Yt）将因其活动而接近0。同样，如果订单流量不平衡为负，则最好降低阅读速度，以免将（Yt）拉离0。对于负Y和足够大的T（或足够大的κ，β），αdt可能变为负（即。