风险规避代理的最优消费和销售策略

以下（5.3）中定义的非流动性成本代表了我们的代理人面临的现金损失，与具有相同初始投资组合的另一个相同代理人相比，该代理人能够以零成本在任何方向调整其therisky资产的投资组合。描述函数n和m的第一次交叉的方程很容易在Atlab中实现，然后证明了在非退化情况下计算h或γ以及值函数也很简单。图5.1和5.2是构建值函数时使用的各种函数的通用图。参数值使得我们处于第二种非退化情况（≥ δR和<δR+1-Rif R<1），但对于第一个非退化病例（0<<δR和<δR+1），曲线相似-Rif-R<1）。这两个图分别涵盖了病例R<1和R>1。对于R<1，如图5.1所示，m和n在[1]上单调递增，W在[1]上递增，∞) 和limv→1W（v）=0和limv→∞W（v）=1。进一步，我们得到γ（v）在[1]上增加，∞) g是凹的，并且在增加。对于R>1，如图5.2所示，m和n是单调递增的，W在（0，1）上随limv而递减→0W（v）=1和limv→1W（v）=0。最后，我们得到γ（v）在（0，1）上递减，而g是凸递减的，并且随着z趋于一致而收敛到零。图5.3和图5.4显示了*随着平均收益率的增加而增加，随着波动率δ的增加或风险规避率的增加而减少。随着的增加，非交易资产Y变得更有价值，投资者最好等待更长时间出售Y以获得更高的回报。当=0时，当被赋予的资产收益为零但存在额外风险时，最佳策略是立即出售以消除风险。类似地，随着δ的增加，z的水平*随着持有YINVOLVE带来额外风险而减少。

因此，投资者最好尽早出售Y单位，以降低风险。随着投资者对风险厌恶的增加，她对捐赠资产的风险不那么敏感，因此更倾向于抛售。作为R→ 0，（如果>0）我们有*→ ∞, 这意味着最佳策略是永远不要出售资产。在限额内，投资者不关心持有风险资产的风险。相反，R→ ∞, 我们有z*→ 0.在这种情况下，投资者无法承受任何风险，因此，最好立即出售资产，以达成资产负债表。图5.5和图5.6在不同漂移和风险规避下绘制了非退化情况下通过g表示的价值函数。这些数据表明，g在漂移中增加，而GHA在风险波动中没有单调性。（类似的曲线图显示g的波动性在下降。）随着非交易资产变得更有价值，投资者可以选择最优的销售和消费策略，从而产生更大的价值函数。（此外，随着资产的风险越来越大，额外的r风险会使价值函数变小。）当增加时，z*在图5.5中，风险规避剂220 0.2 0.4 0.6 0.8 10.70.80.91ql，m，n l m0 5 10 15 2000.20.40.60.81vW（v）0 5 10 20的等时消费和销售策略-50510vγ-图5.1.5 1005101520uhγ（v）h（u）0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 202.22.42.62.83zg g（z）。来自m，n，l 在R<1的情况下，在第二种非简并情形下，从W（v）到γ（v）到h（u）和g（z）。参数为=1δ=1，β=0.1和R=0.5。

对于这些参数，m是单调递减的。0.2 0.4 0.6 0.8 111.21.41.61.82ql，m，n 0.2 0.4 0.6 0.8 1-20-1001020vγ-20-15-10-5 0 5 10 15 2000.20.40.60.81uh 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100100200300400zg 0 0.2 0.4 0.6 0.8 100.20.40.60.81vW n m l W（v）γ（v）h（u）g（z）图5.2。来自m，n，l 在R>1的情况下，在第二种非简并情形下，从W（v）到γ（v）到h（u）和g（z）。参数为=3δ=1，β=0.1和R=2。减小（随着δ的增加，e s，z*（正在增加）。这些结果与上一段中描述的结果一致。在z=z时*, 光滑的条件是满足的。观察到，对于不同的漂移值，我们仍然有g从同一点开始。这对应于θ=0时的价值函数，即消费仅由初始财富提供，且问题是确定性的。在这种情况下，我们有g（0）=（R/β）R。图5.7-5.9中考虑了最佳消耗C（x，y，θ）。图5.7绘制了最佳消费C（1，1，θ）作为赋予单位θ的函数，并显示了风险规避代理的最佳消费和销售策略230 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6012345678910εz*δ=2δ=2.5δ=3图5.3。Z*随着增加s或δ增加而增加。这里β=0.1，R=0.5.0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 500.050.10.150.20.250.30.350.4Rz*ε=0.3ε=0.2ε=0.1图5.4。Z*随着R的增加或的减少而减少。这里δ=3，β=0.1。θ的增加：随着非交易资产Y持有量的增加，代理人感觉更富有，因此消费速度更快。对于θ=0，最佳消耗量C（x，y，0）=xg（0）-R=βRx严格来说是积极的，由现金财富提供资金。图5.7还表明，最佳消费C（1，1，θ）降低了风险平均值。给定一组参数，临界风险规避（即。

两种非退化情况之间的边界）为R=/δ=0.75。对于图5.7中R>0.75的底部两行，我们有<δR，这属于第一个非退化情况，即有限z*. 对于R≤ 0.75，我们有≥ δR，这是第二种非退化情况，具有有限z*. 如我们所见，对于风险规避型代理人240 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10234567891011zg（z）图5.5，在风险方面，消费没有间断性。g（z）在第一和第二种非退化情景中具有不同的。虚线：z≥ Z*, s实线：z≤ Z*点再次出现在z上*. 自上而下变化为2,1.5,1,0.5，固定参数δ=2，β=0.1和R=0.5。顶行是给定=δR=2和z的第二非退化情形中的值函数g*就在最后。0.2 0.4 0.6 0.8 11015202530354045505560zg（z）R=1.5 R=1.4 R=1.30 10 20 3024681012141618zg（z）R=0.7 R=0.8 R=0.9图5.6。在第一个和第二个非退化情景中具有不同风险规避R的g（z）。在左图中，R取0.7、0.8和0.9中的值。其余参数为=3，δ=2，β=0.1。临界风险规避isR=/δ=0.75。这些点代表有限的z*实线是第二种非退化情况下的值函数g，具有有限的z*. 在右图中，R取1.3、1.4和1.5中的值，其余参数为=6、δ=2和β=0.1。R=0.75或R=1时的厌恶。不同风险规避的最佳消费主要是在不同的水平上，而决定性因素是θ=0时的最佳消费。正如arguedabove C（x，y，0）=βx/R在R中下降。风险规避代理的最佳消费和销售策略250 0.10.20.30.30 0.40.40.50.6 0.7 0.80.9 10.050.10.150.20.250.30.350.4θC（1,1，θ）R=0.6 R=0.75 R=0.9 R=1.05图5.7。

最佳消耗C（1，1，θ）随R变化。R取0.6,0.75,0.9,1.05的值，参数=3，δ=2，β=0.1和θ∈ [0, 1]. 临界风险规避率为R=/δ=0.75。前两行对应于第二个非退化场景中的最优消耗，其中z*是在≥ δR.底部两条线对应于第一个非退化情况，具有有限的z*.图5.8描绘了消费与财富C（x，1，1）的函数关系，以及消费与财富C（x，1，1）/x的比率与不同的风险厌恶程度的函数关系。注意，这只能在x>yθ/z时显示*= 1/z*如果x<1/z*代理人立即出售风险资产的单位。风险规避的临界值为R=/δ=0.75。对于R>0.75，我们有*< ∞ 还有x*= 1/z*> 0而R≤ 0.75，z*= ∞ 还有x*= 1/z*= 结果表明，最优消费率是财富的递增函数，而单位财富的消费率是财富的递减函数。（在标准的默顿问题中，消费与财富成正比。）当代理人变得更富有时，她消费更多，但她所消费的财富的比例会变小。原因是她的天赋财富保持不变。可以看出，如果x和θ都以相同的因子增加，那么消费也会以相同的因子增加，但这里x在增加，但θ（和y）是恒定的，因此消费的增加比财富的增加慢。在极限x内→ ∞ 我们有Limx→∞C（x，1，1）=∞ 还有limx→∞C（x，y，θ）/x=g（0）-R=β/R。图5.9将最佳消耗量C（1，1，θ）绘制为θ和的函数。在这里，我们发现了一个令人惊讶的结果：我们可能预期最优消耗C（x，y，θ）在漂移中增加，但对于大θ，情况并非如此。

为了解释这种现象，回想一下最佳运动比率z*在dr ift中正在增加。随着漂移的增加，资产的平均回报率更高，这使代理人感觉更富有，并以更高的速度消费。然而，较大的漂移也意味着较大的RZ*, 表明代理人应就风险资产的出售进行pos tpone。因此，更大的漂移涉及更多的风险，为了减轻这种风险，代理在短期内消耗更少。因此，对于大θ，最佳消耗在漂移中减小。如果将c（1，1，θ）视为δ的函数，我们会发现类似的结果。最优消费不一定会降低波动性，对于较大的θ值，消费可能会增加波动性。类似地，如果我们绘制C（x，1，1），我们发现，如果财富x小（大），则共同消费是收益的递减（递增）函数。风险规避剂的最佳消费和销售策略260 0.2 0.4 0.6 0.8 111.522.533.544.5xC（x，1,1）0.05 0.2 0.4 0.6 0.8 105101525035404550xC（x，1,1）/x R=0.6 R=0.75 R=0.9 R=1.05 R=0.6 R=0.75 R=0.9 R=1.05图5.8。随着R的变化，最优消耗C（x，1，1）和C（x，1，1）/x。R取0.6、0.75、0.9和1.05的值，参数=3、δ=2、y=1和θ=1。这些点代表x*= 1/z*临界风险系数R=/δ=0.75。在这两个图中，最上面的两条线对应于第二个非n-退化情况下x的最优消耗*= 0.底部两行是第一个非n-退化情况下的最优消耗，具有有限z*, 或者相当于x*> 0.0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50.20.220.240.260.280.30.32θC（1,1，θ）ε=0.5ε=1ε=1.5ε=2图5.9。最优消耗C（1，1，θ）随变化。取0.5、1、1.5和2中的值，参数δ=2、β=0.1、R=0.5、x=1和y=1。

临界平均回报率为=δR=2。当=2时，我们处于第二种非退化情况。图5.10-5.13绘制了效用差异价格或确定性等价值p（x，y，θ）。回想一下，在定理4的第二和第三种情况下，非交易资产的确定性等价值由p（x，y，θ）=x给出Gyθxg（0）1.-R- x风险规避代理的最佳消费和销售策略270 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101234567891011xp（x，1，1）ε=2.5ε=2.1ε=1.5ε=1图5.10。差异价格p（x，1，1）随着的变化而变化。从顶部到底部变化为2.5、2.1、1.5、1，固定参数δ=2、β=0.1、R=0.5、θ=1和y=1。这些点代表x*= 1/z*临界平均收益率为=δR=2。图5.10和图5.11将差异价格视为财富的函数。图中的点代表最佳运动比率z*= yθ/x。在每个图中，我们选择一系列参数值，有时我们处于第一个非退化情况，有时处于第二个非退化情况。在图5.10中，对于<2，我们有z*< ∞ 还有x*= 1/z*> 0，而对于≥ 2.我们有z*= ∞ 还有x*= 我们可以看到p（x，1，1）在x上是单调的，并且在x上是递增的。根据定理6，g（z）=（R/β）Rm（q*)-R（1+z）1-RFZ≥ Z*. 进一步，在0<<δR和<δR+1的条件下-R、 这确保了一个固定的运动比率limx→0p（x，y，θ）=limx→0xGyθxg（0）1.-R- 1.= 利克斯→0nm（q*)RR-1（x+yθ）- xo=m（q）*)RR-1yθ>yθ。在这种情况下，当x=0时，如果没有初始财富可用于为消费融资，投资者最好立即出售部分捐赠资产Y，以便将投资于捐赠资产的财富与流动财富的比率保持在z以下*, 即

从初始投资组合（x=0，θ=0）-) 代理移动到（x=X0+，θ=Θ0+），其中Θ0+=z*1+z*Θ0-X0+=1+z*Y9200-.和δ中p（x，1，1）的单调性也在图s 5.10和5.11中得到了说明：较高的平均收益增加了资产的价值，而波动性的增加使Y更具风险并降低了价值。还可以观察到，对于大于临界值的漂移，漂移的变化不会移动斑点（代表临界比），而对于小于临界值的漂移，随着漂移的增加，斑点向右移动。在dot左侧，代理人应首先出售捐赠资产，而在dot右侧，代理人应等待。随着漂移的增加，代理人在出售资产时应该等待更长的时间以获得更高的回报。图5.12将差异价格p（1，1，θ）和单位差异价格p（1，1，θ）/θ视为θ的函数。我们看到p（1，1，θ）在θ中增加，对于θ=0，p（1，1，0）=0，反映了零持有一文不值的事实。我们也有单位价格p（1，1，θ）/θ在资产θ的单位中下降。对于小型住宅，边际价格limθ→0p（1，1，θ）/θ是有限的。Asθ→ ∞,图s表明，单价p（1，1，θ）/θ往往比单价大一些常数。对于风险规避型代理人280 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10051015202530354045xp（x，1，1）图5.11。差异价格p（x，1，1）。δ从上到下变化为2.1、2.4、2.8和3.2，固定参数=3、β=0.1、R=0.5、θ=1和y=1。这些点代表x*= 1/z*临界波动率δ=p/R=2.45。在第二种非退化情况下，顶部两条线对应于不同的价格*= 0

最后两行是第一个非退化情况下x的差异价格*> 0.y/y:limθ→∞p（x，y，θ）θ=limθ→∞十、g（yθx）g（0）1.-R- xθ=limθ→∞m（q）*)RR-1（x+yθ）- xθ=m（q*)RR-1y>y，其中第二个等式为z≥ Z*, 我们有g（z）=（R/β）Rm（q）*)-R（1+z）1-R.图5.12还说明了漂移参数中p的单调性，我们发现p（1，1，θ）和p（1，1，θ）/θ都在漂移中增加。类似地，可以表明p（1，1，θ）和p（1，1，θ）/θ都在δ中减少，反映了随着波动性增加头寸风险的增加。图5.13绘制了不同风险规避的不同价格作为现金财富的函数。天真地说，我们可能会认为价格在风险波动中是单调递减的——风险规避程度越高，风险资产的价值就越低。然而，结果表明，情况并非如此，对于大型财富，效用差异价格在R中增加（如果我们计算财富x，并将确定性等值视为数量θ的函数，那么我们发现类似的反转，对于小型θ，确定性等值在R中增加。）对这种现象的解释如下。考虑一个拥有正现金财富和零风险资产捐赠的代理人。该银以βx/R的速率消耗；特别是，随着参数R的增加，药剂消耗的速度变慢。引入一个小的捐赠不会改变这个结果，在一般情况下，参数R的增加会推迟临界比率达到z的时间*. （尽管如此）*取决于R a lso，这是次要影响。）由于被赋予的资产正在升值，平均而言，当代理人选择开始出售资产时，它将变得更值钱。

总的影响是使R中的差异价格增加。类似地，作为θ函数的差异价格p（1，1，θ）和单位差异价格p（1，1，θ）/θ在风险规避中不一定是单调的。风险规避型代理人290 2 4 6 8 10024681012141618θp（1,1，θ）0.005 2 4 6 8 1011.522.533.544.555.5θp（1,1，θ）/θε=2ε=1.5ε=1ε=0.5ε=2ε=1.5ε=0.5图5.12。差异价格p（1，1，θ）和单价p（1，1，θ）/θ。从上到下变化为2,1.5,1,0.5，固定参数δ=2，β=0.1，R=0.5，x=1和y=1。点代表θ*= Z*临界平均收益率为=δR=2。顶行对应于第二种非退化情况下的差异价格，带有有限z*.0 2 4 6 8 10 12 14 18 201510152025xp（x，1,1）R=0.5 R=0.75 R=0.9 R=1.2图5.13。差异价格p（x，1，1）。R取0.5、0.75、0.9和1中的值。2具有固定参数=3、δ=2、β=0.1、y=1和θ=1。dotsresentx*= 1/z*临界风险规避率为R=/δ=0.75。x的前两行∈ [0,1]对应于第二种非退化情况下的差异价格，即x*= 0.在第一个非退化情况下，底部两行表示与x不同的价格*> 0.最后，我们考虑非流动性假设的影响。我们通过考虑我们的代理人的价值函数来实现这一点，代理人不能购买捐赠资产，并将其与其他年龄相同的nt的价值函数进行比较，但代理人可以在零交易成本的情况下买卖捐赠资产。