风险规避代理的最优消费和销售策略

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英文标题：
《Optimal consumption and sale strategies for a risk averse agent》
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作者：
David Hobson and Yeqi Zhu
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  In this article we consider a special case of an optimal consumption/optimal portfolio problem first studied by Constantinides and Magill and by Davis and Norman, in which an agent with constant relative risk aversion seeks to maximise expected discounted utility of consumption over the infinite horizon, in a model comprising a risk-free asset and a risky asset with proportional transaction costs. The special case that we consider is that the cost of purchases of the risky asset is infinite, or equivalently the risky asset can only be sold and not bought.   In this special setting new solution techniques are available, and we can make considerable progress towards an analytical solution. This means we are able to consider the comparative statics of the problem. There are some surprising conclusions, such as consumption rates are not monotone increasing in the return of the asset, nor are the certainty equivalent values of the risky positions monotone in the risk aversion.
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中文摘要：
在本文中，我们考虑了康斯坦丁尼德斯和马吉尔以及戴维斯和诺曼首先研究的最优消费/最优投资组合问题的一个特例，其中具有恒定相对风险厌恶的代理寻求在无限期内最大化消费的预期贴现效用，在由无风险资产和具有比例交易成本的风险资产组成的模型中。我们考虑的特殊情况是，购买风险资产的成本是无限的，或者等价地，风险资产只能出售，不能购买。在这种特殊的环境下，新的解决方案技术是可用的，我们可以在分析解决方案方面取得相当大的进展。这意味着我们能够考虑问题的比较静力学。有一些令人惊讶的结论，比如消费率在资产回报率中不是单调递增的，风险头寸的确定性等价值在风险厌恶中也不是单调递增的。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
--> Optimal_consumption_and_sale_strategies_for_a_risk_averse_agent.pdf (1.96 MB)

2022-5-6 22:10:45 上传

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关键词：风险规避 销售策略 Mathematical Quantitative proportional

风险规避者的最优消费和销售策略David HOBSON和YEQI ZHUAbstract。在本文中，我们考虑了康斯坦丁尼德斯和马吉尔以及戴维斯和诺曼首次研究的最优消费/最优投资组合问题的一个特例，在这个特例中，具有恒定相对风险规避的代理寻求在有限的时间内最大化消费的预期贴现效用，在一个包含无风险资产和具有适当交易成本的风险资产的模型中。我们考虑的特殊情况是，购买风险资产的成本是有限的，或者相当于风险资产只能出售，不能购买。在这种特殊的环境下，新的解决方案技术是可用的，我们可以在分析解决方案方面取得可观的进展。这意味着我们能够考虑问题的比较静态。有一些令人惊讶的结论，例如，消费率在资产回报率中不是单调递增的，风险偏好中的确定性等价值也不是单调递增的。关键词：最优消费/投资问题、交易成本、销售策略、反映差异、当地时间。AMS科目分类：91G10、93E201。引言本文关注的是一个代理人的最佳行为，其目标是最大化预期的消费贴现效用，并通过组合初始财富和出售初始捐赠的不可分割证券来为消费融资。行动是在风险资产只能出售且不允许购买的限制下，选择最佳消费策略和阿里斯基证券的最佳持有或投资组合。

因此，这个问题是对默顿[16]最优消费/最优投资组合问题的修正。默顿[16]在连续时间随机模型中考虑了投资组合优化和消费，投资机会集包括无风险债券和具有恒定回报和波动性的风险资产。默顿选择通过首先了解单一代理人作为价格接受者的行为来研究这些问题。在恒定相对风险规避（CRRA）的假设下，他得到了问题的封闭形式解，并且他的模型中的最优策略包括持续交易，以使投资于风险证券的财富份额等于常数。默顿的模型后来被推广到一个不完整的金融市场环境中，完美的对冲不再可能。Constantinides和Magill[2]（见a lso C onstantinides[1]）在模型中引入了比例交易成本，并考虑了一个投资者，其目标是在电力公用事业的有限期限内最大化消费的预期效用。他们认为存在一个“无交易”区域，将投资于风险资产的财富比例保持在一定区间内是最佳的。随后戴维斯和诺曼[3]加维达：2018年8月15日。英国考文垂华威大学统计系，CV4 7AL。DHobson@warwick.ac.ukYeqi。Zhu@warwick.ac.uk.OPTIMAL风险规避代理的消费和销售策略。戴维斯和诺曼[3]对这个问题的分析是交易成本问题研究中的一个里程碑。在本文中，我们考虑Constantanides Magill-Davis Norman模型的一个特例，其中与购买风险资产相关的交易成本是有限的。

实际上，购买是不允许的，我们可能会想到一个代理人被赋予一定数量的资产，她可以出售这些资产，但不能动态地进行交易。考虑这一特殊情况至少有两个主要原因。首先，通常存在这样的情况，即代理人被赋予资产单位，他们可以出售，但不可以回购，无论是出于法律原因还是由于其他交易限制。从这个意义上讲，这个问题本身就很有趣，正如我们所展示的，这个模型有一些反直觉的特性。其次，相对于康斯坦尼德斯-麦吉尔-戴维斯-诺曼模型，新的解决方案技术变得可用，我们能够利用这些技术为问题提供更完整的解决方案。有了这个更完整的解决方案，我们可以研究问题的比较静力学。2.相关文献及主要结论2。1.相关文献。Davis和Norman[3]是第一个以精确的数学公式研究具有比例交易成本的默顿模型的人。他们表明，非交易区域的欠优行为是一个包含默顿线的楔子，最优的买卖策略是在选择的边界上的当地时间，以将过程保持在楔子内。在交易区域，交易以固定的速度进行，除初始交易外，所有交易都在边界进行。他们通过写下具有自由边界条件的（非线性、二阶）Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程，然后通过一系列变换，将问题转化为一个一阶常微分方程组的解来获得结果。在Davis和Norman工作的推动下，Shreve和Soner[18]研究了同样的问题，但采用了通过粘度解决方案的方法。

他们从戴维斯和诺曼[3]那里获得了结果，而没有强加[3]的所有条件。在相关工作中，杜菲和孙[4]、刘[14]和科恩[15]研究了固定（而非比例）交易成本的问题。Liu使用HJB方法，推导了一个常微分方程来描述值函数的特征，并对其进行了数值求解。他发现，如果只有固定的交易成本，那么最佳的交易策略是，一旦股票中的财富份额超出一定范围，就立即交易到特定的目标金额。Korn[15]通过脉冲控制和最优停止方法解决了类似的问题。他证明了贝尔曼原理，并在价值函数为有限的假设下，通过迭代过程求解了回归函数。虽然金融资产可以进行积极交易，但在其他情况下，动态交易是不可能的。斯文森和沃纳[19]我们是第一个考虑默顿模型中非交易资产定价问题的人。在我们建模的情况下，拥有资产单位的代理人可以出售资产，但不可以进行购买。在最简单的情况下，代理人被赋予一个不可交易的独立资产的单一单位，问题就归结为一个资产的最优销售问题。Evans等人[5]，参见Henderson和Hobson[9,10]，考虑了一个具有幂效用函数的代理人，他拥有一个不可分割的非交易资产，并希望选择出售资产的最佳时间，以便在不完全市场中最大化终端财富的预期效用。他们的研究结果表明，出售资产的最佳标准是，当非交易资产的价值首次超过代理人交易额的一定比例时，出售资产，并且该临界阈值由一个超越方程控制。

亨德森和霍布森[7]也在实物期权的背景下研究了这个问题，投资者对与风险资产相关的非交易资产单位拥有权利。风险规避代理人的最优消费和销售策略32.2。主要结论的非正式声明。本文考虑的是一个人，他拥有现金和可完全分割资产的单位，可以出售，但不能进行动态交易，他的目标是最大化单位内消费的预期贴现效用。（亨德森和霍布森[11]考虑了不可分割资产的情况。）个人面临的问题是选择最优策略来清算捐赠资产组合，以及选择最优消费过程来保持现金财富非负。假设被赋予资产的定价过程遵循指数布朗运动，且代理人具有恒定的相对风险厌恶。可出售但不可购买的约束条件相当于对销售的非交易成本和购买的有限交易成本的假设。（通过使用代表交易后成本价格而非交易前价格的流程，可以很容易地将销售的非交易成本假设放宽为销售的比例交易成本。）从这个意义上讲，我们所考虑的问题可以解释为默顿模型的Davis-Norman问题的一个特例，其中与购买最终资产相关的交易成本是有限的。我们的主要结果有三种。首先，我们能够完全分类不同类型的最优策略及其适用的参数范围。其次，我们可以简化值函数的求解问题，尤其是与通过平滑函数求解HJB方程的直接方法相比。

第三，我们可以对感兴趣的数量进行比较静力学，并揭示该模型的一些令人惊讶的含义。我们的一些主要结果如下。结果1。如果捐赠资产随时间贬值，投资者应立即出售。相反，如果平均回报率太高，且相对风险规避系数小于1，则该问题是不适定的，并且如果被赋予资产的初始持有为正，则价值函数是有限的。否则，就有两种情况。对于小且正的平均回报率，存在一个确定的临界比率，而捐赠资产的最佳销售策略是出售刚好足以使捐赠资产中持有的财富与现金财富的比率低于该临界比率的资产。为了获得更大的回报，SIT最适合首先消费所有现金财富，一旦这些现金财富耗尽，通过出售捐赠资产进行金融消费。结果2。如果临界比是有限的，则通过求解一阶初值常微分方程（ODE）的交叉问题给出临界比。其他感兴趣的量可以用这个常微分方程的解来表示。在临界比率有限的情况下，值函数可以再次表示为一阶常微分方程的解。结果3。我们从比较静力学中得出了三个样本结论：（1）最优消费过程在资产漂移中不是单调的。虽然我们可能认为漂移越大，代理消耗的能量就越多，但有时代理消耗的能量是漂移的递减函数。（2） 风险资产持有量的确定性等值在风险规避中不是唯一的。

对于小数量的捐赠资产，风险规避中的确定性等价值增加，而对于大数量的捐赠资产，确定性等价值减少。（3） 流动性不足的成本（见下文定义25）是风险集合中捐赠规模的U型函数，代表代理人的福利损失，与能够以零交易成本买卖风险资产的其他相同代理人相比。风险规避型代理人的最优消费和销售策略4我们以bo nd为基数（因此可以忽略利率影响），然后相关参数是贴现参数和代理人的相对风险规避，以及风险资产价格过程的提取和波动。在非退化参数的情况下，代理人面临着持有大量风险资产的动机（因为它具有正回报）和出售以最小化风险敞口的动机之间的矛盾。从同质属性来看，我们期望决策取决于风险资产持有价值与财富之间的比率。我们问题的HJB方程是二阶非线性方程，在未知的自由边界上服从一阶和二阶导数的值匹配和光滑拟合。我们的主要贡献之一是证明，对于一阶常微分方程的求解，这个问题可以简化为一个交叉问题。这种大的简化在考虑解的分析性质和试图用数值方法构造解时都很有用。我们对导致不同解的参数组合进行分类，并对临界比的存在性和唯一性以及相应的最优策略进行彻底分析。

在有限临界比和正临界比的情况下，我们展示了如何通过具有反射和局部时间的自治一维扩散过程来描述问题的解决方案。本文的结构如下。首先，我们对模型进行了精确描述，然后陈述了主要结果。该问题的HJB方程是二阶非线性的，但变量的变化会使方程变得齐次，然后依赖变量的变化会降低阶数。因此，解的形式取决于一阶常微分方程初值问题的第一交叉问题的解。尽管该ODE的封闭式解决方案不可用，但我们无法提供初始交叉问题何时有解决方案的完整描述，并且给出了第一个交叉问题的解决方案，我们展示了如何构造（候选）值函数。有两种退化解（一种情况下，立即清算风险资产的所有单位始终是最优的，另一种情况下，价值函数是有限的，问题是病态的）。此外，还有两种不同类型的非退化行为（在一种情况下，代理人出售资产单位，以便将风险资产中持有的财富比例保持在一定水平以下，在另一种情况下，代理人在出售任何风险资产单位之前耗尽所有现金储备。）我们给出了所有主要结果的证明，尽管验证参数的技术细节有时被归入附录。一旦问题分析完成，我们就可以考虑问题的比较静态。我们考虑投资组合的最优价值和最优价值。3.

模型和主要结果我们在一个过滤概率空间中工作Ohm, F、 P，（Ft）t≥0使过滤满足通常条件，并由标准布朗运动B=（Bt）t生成≥0.价格过程Y=（Yt）t≥假设（3.1）Yt=yexp给出了捐赠资产的0α -ηt+ηBt,式中，α和η>0是非交易资产的恒定平均收益率和波动率，以及初始价格。设C=（Ct）t≥0表示个人的消费率，让Θ=（Θt）t≥0表示投资者持有的捐赠资产的单位数。要求消费率逐步可测量且非负，投资组合过程是可测量的，右连续左限（RCLL）且不增加，以反映非交易资产仅允许出售的事实。我们假设投资者持有的初始股份数为θ。风险规避代理人的最优消费和销售策略5由于我们允许在时间0进行初始交易，我们可能有Θ<θ。我们写9200-= θ. 这与我们的约定是一致的，即Θ是正确的连续的。我们用X=（Xt）t来表示≥0个人的财富过程，假设初始财富为x，其中x≥ 0.如果财富的唯一变化来自消费或出售所得资产，则根据（3.2）dXt=-Ctdt- 年初至今，以X0为准-= x、 x=x+y（θ- Θ). 我们认为，如果组成部分满足上文列出的要求，并且由此产生的现金财富过程X始终为非负，则消费/销售策略对是允许的。