风险规避代理的最优消费和销售策略

设A（x，y，θ）表示初始设置（X0）的容许策略集-= x、 Y=Y，Θ0-= θ).代理人的目标是最大化有限期内消费的贴现预期利用率，其中贴现系数为β，代理人的效用函数假定为CRRA，相对风险规避率为R∈ (0, ∞) \\ 1.特别是，目标是找到（3.3）sup（C，Θ）∈A（x，y，θ）E“^∞E-βtC1-Rt1- Rdt#。由于机构具有马尔可夫结构，我们期望价值函数、最优消费和最优销售策略是代理人当前财富和禀赋以及风险资产价格的函数。设V=V（x，y，θ，t）为问题的正向起始值函数，使（3.4）V（x，y，θ，t）=sup（C，Θ）∈A（x，y，θ，t）E^∞te-βsC1-Rs1- 无线电数据系统Xt-= x、 Yt=y，Θt-= θ.这里的前向启动空间，容许策略A（x，y，θ，t）是这样的，C=（Cs）s≥这是一个非负的渐进可测量过程，Θ=（Θs）s≥这是一个正确的、持续的、递减的、逐步可测量的过程和满意度- (Θ）t=θ，X由Xs=X给出-\'stCudu-是非负的。确定therisky资产持有量的确定性等价值（例如，参见[8]）p=p（x，y，θ，t）为（3.5）V（x+p，y，0，t）=V（x，y，θ，t）的解。事实上，通过问题的标度，p与时间无关（此后我们写p=p（x，y，θ）），并且取决于风险资产的价格y和风险资产持有量θ，仅通过乘积yθ。我们的目标是描述价值函数、最优消费和销售策略，以及确定性等价价格p。问题解决形式的关键包含在以下命题中，该命题涉及[0,1]上ODE的解，并在附录A中得到证明。

这四种情况与最优销售问题的四种解法之间有一对一的对应关系。设=α/β，δ=η/β。提议1。问∈ [0,1]定义m（q）=1-  (1 - R） q+δR（1）- R） 坎德l（q） =1+δ- (1 - R） q-δ(1 - R） q=m（q）+q（1）- q） δ（1）- R） 。设n=n（q）解（3.6）n′（q）n（q）=1- RR（1- q）-δ(1 - R） Rql （q）- n（q）风险规避代理的最优消费和销售策略60 0.2 0.4 0.6 0.8 10.80.850.90.9511.051.11.15xm（x），n（x），l（x）m（x）n（x）l（x）0.2 0.4 0.6 0.8 111.051.11.151.21.25xm（x），n（x），l（x）n（x）m（x）l（x）x）x*x*图3.1。m（q），n（q）的程式化绘图，l（q） q*. 在命题1的第二种情况下，选择参数来满足条件，因此q*∈ (0, 1). 左图为R<1，右图为R>1。受制于n（0）=1和n′（0）1-R<l′(0)1-R=δ- . 假设n为零，则0吸收n。参见图3.1。对于R<1，设q*= inf{q>0:n（q）≤ m（q）}。对于R>1，让q*= inf{q>0:n（q）≥ m（q）}。对于j∈ {l, m、 n}设qj=inf{q>0:j（q）=0}∧ 1.（1）假设≤ 0.然后q*= 0.（2）假设0<<δR，如果R<1，另外假设<δR+1-R.Then0<q*< 1.（3）假设≥ δR和if R<1，<δR+1-R.然后q*= 1=ql= qn=qm。（4） 假设R<1且>δR+1-R.然后qm<qn=ql< 1.如果R<1，则=δR+1-Rand<δR然后qm<qn=ql= 1.如果R<1，则=δR+1-兰德≥ δR thenq*= 1=ql= qn=qm。备注2。注意，条件<δR等于（1- R） m′（1）>0。此外，如果R<1，则条件<δR+1-Rise等价于m（1）>0。此外，n在q处有一个转折点*< 1如果且仅当n（q*) = m（q）*). 见图3.1。特别是，如果m是单调的（且>0），那么q*= 1.那么，如果R<1，0<<δR和<δR+1-R、 我们有ql= qn=1。备注3。很容易看出（1）- R） n在中减少。

事实上，也可以证明，过参数范围为0<q*< 1那么q*正在增加。定理4将参数空间划分为四个不同的区域。特别是，它区分了简并情况，并给出了非简并情况下两种不同情况的必要和充分条件。定理4。（1） 假设≤ 0.那么，立即出售所持有的全部资产始终是最佳选择，因此Θt=0表示t≥ 问题的值函数是V（x，y，θ，t）=（R/β）Re-βt（x+yθ）1-R/1- R资产持有量的确定等价值为p（x，y，θ）=yθ。风险规避者的最优消费和销售策略7（2）假设0<<δR和<δR+1-rifr<1。然后，存在一个正的、不确定的比率z*最佳行为是出售尽可能少的资产，这有助于将风险资产中的财富与现金财富的比率保持在临界比率以下。如果θ>0，那么p（x，y，θ）>yθ。（3） 假设≥ δR和<δR+1-rifr<1。然后，最佳的消费和销售策略是首先消费流动（现金）财富，然后当流动财富耗尽时，通过出售非流动资产为进一步消费提供资金。如果θ>0，那么p（x，y，θ）>yθ。（4） 假设R<1和≥δR+1-R.然后问题退化，如果θ为正，则值函数V=V（x，y，θ，t）是有限的。没有唯一的最优策略，确定性等价值p也没有定义。备注5。根据命题1，R>1的情况少了一个。理论中的第四种情况不会发生在R>1时，因为值函数总是有限的，就像默顿问题一样。同样，当R<1时，如果δ≥ 2/（R（1）- R） ）那么上述第三种情况就不会发生了。

在这种情况下，随着的增加，我们直接从<δR+1移动-兰德有限值函数和z*去≥δR+1-Rand是一个有限值函数。上述第二和第三种情况是非退化的，它们在定理6和定理9中有进一步的特征。在T heorem 6中，解用一维自治反应随机过程J及其局部时间T 0 L表示，见（3.13）。为了0≤ Q≤ Q*定义N（q）=N（q）-R（1）- q） R-其中n是（3.6）的解。假设N是单调的，让W与N成反比*= N（q）*). 然后W（h）*) = Q*, h*(1 - Q*)1.-R=m（q）*)-R.定理6。i） 假设R<1。假设0<<δR和<δR+1-Rso表示0<q*< 随着定义的增加，则定义为1.W。让z*由（3.7）z给出*= (1 - Q*)-1.- 1=q*1.- Q*∈ (0, ∞).关于[1，h]*] 设h为（3.8）u的解*- u=^h*h（1- R） fW（f）df，其中u*= ln z*. 设g为（3.9）g（z）=RβRm（q）*)-R（1+z）1-RRβRh（ln z）z∈ [z]*, ∞);Z∈ （0，z）*].然后，值函数V由（3.10）V（x，y，θ，t）=e给出-βtx1-R1- Rgyθx, x>0，θ>0，我们可以通过对给定v（x，y，0，t）=e的连续性，将其推广到x=0和θ=0-βtx1-R1- RRβR（3.11）V（0，y，θ，t）=e-β-ty1-Rθ1-R1- RRβRm（q）*)-R（3.12）固定z=yθ/x。设（J，L）=（Jt，Lt）t≥0是唯一的一对，例如，风险规避代理的最优消费和销售策略8（A）J为正，（b）L为递增的、连续的，L=0，且由集合{t:Jt=0}，（c）J求解（3.13）Jt=（z*- z）+-^t∧（Js）ds-^tΓ（Js）dBs+Lt，其中∧（z）=αz+zg（z）-1.-Rzg′（z）-1/R，Γ（z）=ηz，~∧（j）=∧（z）*- j） Γ（j）=Γ（z）*- j） 。对于这样的一对≤ Jt≤ Z*.如果z≤ Z*然后开始*= θ和X*= 十、否则如果z>z*然后开始*= θz*（1+z）*)（1+z）zand X*= x+y（θ）- Θ).

这对应于正数量θ的销售- Θ时间0时固定资产的单位。然后，最优持有量Θ*对于被赋予的资产，最优消费过程是C*t=C（X）*t、 Yt，Θ*t） ，由此产生的财富过程和确定性等价值由Θ给出*t=Θ*经验-Z*（1+z）*)书信电报;（3.14）X*t=YtΘ*t（z）*- Jt）；（3.15）C（x，y，θ）=xGyθx-1.- Ryθxg′yθx-R（3.16）p（x，y，θ）=xGyθxg（0）1.-R- x、 （3.17）ii）现在假设R>1，0<<δR，因此0<q*< 1.如前所述确定所有数量。然后N在减少。On（h）*, 1） h定义为viau*- u=^hh*（R）- 1） fW（f）df。价值函数，最优持有量Θ*, 最优消费过程*, 结果财富过程X*确定性等价值p与之前相同。备注7。回想一下，n解一阶微分方程（3.6），q*∈ （0，1）是n的第一个交叉问题的解。一旦我们构造了n并确定了q*, 在数值上，如果合适的话，所有其他量的表达式可以通过求解进一步的积分方程来推导，该积分方程可以重新表示为一阶微分方程。这两个阶段的过程比直接求解HJB方程要简单得多，因为该方程是二阶非线性方程，并且在未知自由边界处服从二阶光滑函数。备注8。对于可能以零交易成本买卖风险资产的无约束代理人，在相应的默顿问题中，代理人的最佳行为是持有风险资产中总财富的绝对比例qM=α/ηR=/δR。

这对应于keepingQt=YtΘt/（Xt+YtΘt）=qM或等效于Zt=YtΘt/Xt=zM:=qM/（1）- qM）=/（δR）- ).在引理26b中，我们证明了q*≥ /δR=qm，因此，不能购买风险资产单位的代理人的最佳行为是将投资于风险资产的资金与现金财富的比率保持在区间[0，q]内*] qM在哪里∈ （0，q）*).风险规避者的最优消费和销售策略9以下定理描述了第二种非退化情况（定理4中的第三种情况）下问题的解。在这种情况下，最佳策略是首先持有捐赠资产，并用初始财富为消费融资。当流动财富耗尽时，消费将通过出售捐赠资产进一步融资。在这里，关键的thr eshold z*= ∞.定理9。假设≥ δR和if R<1，<δR+1-R.让n在[0,1]上求解（3.6）。对于给定的参数组合，我们有q*= 1.如图6所示，设N（q）=N（q）-R（1）- q） R-1.那么N是单调的。设W与N成反比。对于R<1，定义γ：（1，∞) 7.→ R乘以（3.18）γ（v）=ln v1- R+R1- Rln m（1）-1.- R^∞v（1）- 西南副翼西南副翼。如果R>1定义γ：（0,1）7→ R乘以（3.19）γ（v）=-在虚拟现实中- 1.-RR- 1ln米（1）-R- 1^v（1）- 西南副翼西南副翼。设h与γ成反比，g（z）=（R/β）Rh（lnz）。然后，值函数V由（3.20）V（x，y，θ，t）=e给出-βtx1-R1- Rgyθx, x>0，θ>0，可以通过连续性扩展到给定的v（x，y，0，t）=e-βtx1-R1- RRβR、 （3.21）V（0，y，θ，t）=e-β-ty1-Rθ1-R1- RRβRm（1）-R.（3.22）最优消费过程C*由C给出*t=C（X）*t、 Yt，Θ*t） 式中，C（x，y，θ）如（3.16）所示，最佳持有量Θ*tof固定资产和由此产生的财富过程由（3.23）Θ给出*t=（θt）≤ τθe-βRm（1）（t-τ）t>τ，X*t=（x）-\'tC（X）*s、 Ys，θ）ds t≤ τ0 t>τ，其中τ=inf{t≥ 0:X*t=0}。最后，确定性等效值由（3.17）给出。备注10。

注意limz↑∞z（g（z）-zg′（z）1-R）-1/R=βm（1）/R，因此通过连续性，我们可以设置C（0，y，θ）=yθβm（1）/R。然后对于t>τ，我们得到了C*t=C（0，Yt，Θ）*t） =βRm（1）YtΘ*t、 四,。F=F（x，y，θ，t）的证明和验证论证∈ C1,2,1,1使得Fx>0定义运算符L和M byLF=supc>0E-βtc1-R1- R- cFx+ αyFy+Ft+ηyFyy=R1- 重新-βRtF1-1/Rx+αyFy+Ft+ηyFyy，MF=Fθ- yFx。备注11。（Xt，Yt，Θt，t）的状态是[0，∞) × (0, ∞) × [0, ∞) × [0, ∞), 我们要确定这个区域的L和M，包括边界。在实践中，我们应用于风险规避代理10的最优消费和销售策略的所有函数的形式都是F（x，y，θ，t）=e-βtF（x，y，θ）对于与t无关的函数F，在这种情况下Ft=-βF，后一种形式在t=0时得到了很好的定义。此外，我们通常只在θ>0时需要MF。然后，给定定义为x>0的F，我们可以通过连续性定义x=0时的F，然后MF | x=0也定义得很好。θ=0时的LF可通过类似方式定义，即通过连续性定义θ=0时的F。为了定义θ>0时x=0时的LF，我们将F的域扩展到x>-θy，然后证明fx和F的其他导数在x=0上是连续的。4.1. 贬值的ass等情况下的验证引理。假设≤ 我们的目标是证明定理4（1）的结论成立。从命题1我们知道q*= 0.通过（4.1）G（x，y，θ，t）=e定义候选值函数-βtRβR（x+yθ）1-R1- Rx≥ 0, θ ≥ 0.候选最佳策略是立即出售风险资产的所有单位。GCA的领域可以扩展到-θy<x<0表示θ>0，使用与（4.1）中相同的函数形式。在证明定理之前，我们需要下面的引理。引理12。假设≤ 0.考虑（4.1）中构造的候选值函数。

然后在（x）上≥ 0，θ>0）我们有MG=0，在（x）上≥ 0, θ ≥ 我们有LG≤ θ=0时等于0。证据给定（4.1）中候选值函数的形式，我们有mg=e-βtRβRy（x+yθ）-R- E-βtRβRy（x+yθ）-R=0。另一方面，如果x>0LG=β，则写入z=yθ/xRβ重新-βt（x+yθ）1-R1- R“（1）- R） z1+z-δR（1）- R）z1+z#≤ 0，z=0时相等。如果x=0，则LG=βG（1- R） [-δR]<0。定理13。假设≤ 那么值函数是（4.2）V（x，y，θ，t）=e-βtRβR（x+yθ）1-R1- R、 以及最优持有量Θ*对于固定资产，最优消费过程C*由此产生的财富过程由（4.3）给出(△Θ*)t=0=-θ、 C*t=βR（x+yθ）e-βRt，X*t=（x+yθ）e-βRt证明。请注意，（4.3）中给出的候选最优策略是出售风险资产的全部股份，并设定一个时间零点（即*= x+yθ），然后从流动财富中为消费融资，由此产生财富过程（x*t） t≥0是确定性的，并演变为dX*t=-C*tdt。这给了X*t=（x+yθ）e-因此，候选最优策略是可容许的。（4.3）isE“^”中提出的策略下的价值函数∞E-βtC*t1-R1- Rdt#=^∞E-βtβR1.-RE-βRt（x+yθ）1.-R1- Rdt=RβR（x+yθ）1-R1- R=G（x，y，θ，0）。因此V≥ G.风险规避者的最优消费和销售策略11现在，考虑一般可接受的策略。首先假设R<1。定义流程M=（Mt）t≥0by（4.4）Mt=^te-βsC1-Rs1- Rds+G（Xt，Yt，Θt，t）。将推广的It^o公式[6，第4.7节]应用于Mt并抑制参数（Xs-, Ys，Θs-, s） 在G的导数中，lea ds toMt- M=^tE-βsC1-Rs1- R- CsGx+αYsGy+ηYsGy+Gsds+^t（Gθ）- YsGx）dΘs+X0≤s≤t[G（Xs，Ys，Θs，s）- G（Xs）-, Y-, Θs-, （s）- Gx(△十） s- Gθ(△Θ）s]（4.5）+^tηYsGydBs=Nt+Nt+Nt+Nt。（请注意，在总和中，我们允许在s=0时进行投资组合再平衡。）引理12意味着LG≤ 0和MG=0，这导致Nt≤ 0和Nt=0。

用不真实的(十） s=-Y(Θ）砂w书写θ=Θs-, x=Xs-, χ = -(Θ）搜索形式的非零跳inNis(N） s=G（x+yχ，y，θ）- χ、 （s）- G（x，y，θ，s）+χ[Gθ（x，y，θ，s）- yGx（x，y，θ，s）]。给出（4.1）中候选值函数的形式，很容易看出ψ（φ）=G（x+yφ，y，θ）-φ、 s）在φ中是常数，由此给出ψ（χ）=ψ（0）和yGx=Gθ(N） =0。那么，因为小于1，我们有0≤ Mt≤ M+Nt，局部鞅Ntis从下到hencea supermartingale有界。根据预期，我们发现E（Mt）≤ M=G（x，y，θ，0），它给出（4.6）G（x，y，θ，0）≥ E^te-βsCs1-R1- Rds+EG（Xt，Yt，Θt，t）≥ E^te-βsCs1-R1- Rds，其中最后一个不平等性出现在G（Xt，Yt，Θt，t）之后≥ 0代表R∈ (0, 1). 让t→ ∞ in（θ，x，y）导程≥ E^∞E-βtCt1-R1- Rdt，并且在可容许策略上取上确界会导致G≥ 五、附录C中考虑了R>1的情况。4.2. 定理4病态情形的证明。回想一下，我们是在R<1和的情况下≥ δR/2+1/（1）- R） 。当θ>0时，如果消费的预期效用是有限的，那么给出一个可接受策略的例子就足够了。注意V（x，y，0，t）=e-βtx1-RRRβ-R/（1）- R） 所以值函数在θ=0时不是连续的。考虑一对消费和销售策略（~C）t≥0，（ΘΘ）t≥0），由（4.7）Θt=Θt（φ）=e给出-φtθ，~Ct=~Ct（φ）=φYtΘt=φyθexpnβ（- δ/2 - φ/β）t+δpβBto，其中φ是某个正常数。风险规避代理人的最佳消费和销售策略12首先请注意，由于相应的财富过程满足Xt=-φYtΘtdt+YtdΘt=0，因此（~Xt）t≥0=x>0。

特别是，消费仅通过出售捐赠资产进行融资。与消费和销售过程（~C，~Θ）相对应的消费的预期贴现效用~G=~G（φ）由~G=E“^”给出∞E-βt~C1-Rt1- Rdt#=（φyθ）1-R1- 重新^∞经验β(1 - R） -δ-φβ- 1.t+（1）- R） δpβBtdt=（φyθ）1-R1- R^∞经验β(1 - R） -δR-1.- R-φβTd首先假设>δR/2+1/（1）- R） 。那么λ呢∈ （0,1）和φ=λβ（）- δR/2- 1/(1 - R） ）我们有 -δR-1.- R-φβ= (1 - λ) -δR-1.- R> 0，且G为有限。现在假设=δR/2+1/（1）- R） 。然后∧G（φ）=（φyθ）1-R（1）- R） φ（1）- R） =φ-R（yθ）1-R（1）- R） 和G（φ）↑ ∞ asφ↓ 0.4.3. 第一个非退化情况下的验证引理具有有限的临界运动比。假设0<<δR，如果R<1，则<δR+1-R.从命题1，我们现在k<q*< 1.回顾定义N（q）=N（q）-R（1）-q） R-W与N成反比，我们有h*= N（q）*).14号提案。（1） 当R<1时，N在[0，q]上增加*]. W在增加，0<W（v）<q*on（1，h）*). 当R>1时，N在[0，q]上递减*]. W减小，0<W（v）<q*on（h）*, 1).（2） 设w（v）=v（1）- R） W（v）。然后求出（4.8）δw（v）w′（v）- 五+ -δw（v）+五、-w（v）1- R1.-1/R=0。（3） 对于R<1和1<v<h*, 对于R>1和h*< v<1我们有w′（v）<1-Rw（v）/（1）-R） v）带w′（h）*) = 1.- Rw（h）*)/((1 - R） h*).命题14的证明见附录。现在定义[1，h]上的h*) bydhdu=w（h）=（1）- R） hW（h）受h（u）约束*) = H*. 然后h解（3.8）和w′（h）w（h）=dhdu。设g（z）=（Rβ）Rh（lnz）。然后g求解（3.9）。引理15。设m（q）*)-R、 z*g如定理6的等式（3.7）和（3.9）所示。那么，g（z），g′（z），g′（z）在z=z时是连续的*.证据