半正定估计的Fourier估计方法

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英文标题：
《The Fourier estimation method with positive semi-definite estimators》
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作者：
Jir\\^o Akahori, Nien-Lin Liu, Maria Elvira Mancino and Yukie Yasuda
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  In this paper we present a slight modification of the Fourier estimation method of the spot volatility (matrix) process of a continuous It\\^o semimartingale where the estimators are always non-negative definite. Since the estimators are factorized, computational cost will be saved a lot.
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中文摘要：
本文对连续It^o半鞅现货波动（矩阵）过程的Fourier估计方法作了一点改进，其中估计量总是非负定的。由于估计量是因式分解的，因此计算成本将大大降低。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：Applied, computational and theoretical statistics: e.g. statistical inference, regression, time series, multivariate analysis, data analysis, Markov chain Monte Carlo, design of experiments, case studies
应用统计、计算统计和理论统计：例如统计推断、回归、时间序列、多元分析、数据分析、马尔可夫链蒙特卡罗、实验设计、案例研究
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：stat.TH is an alias for math.ST. Asymptotics, Bayesian Inference, Decision Theory, Estimation, Foundations, Inference, Testing.
Stat.Th是Math.St的别名。渐近，贝叶斯推论，决策理论，估计，基础，推论，检验。
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PDF下载：
--> The_Fourier_estimation_method_with_positive_semi-definite_estimators.pdf (301.84 KB)

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关键词：Fourier four Our Fou Multivariate

FOURIER估计法，带有正半定义估计MATORSJIR^O AKAHORI、NIEN-LIN LIU、MARIA Elvila MANCINO和YUKIE YASUDAAbstract。在本文中，我们对连续It^o Emi鞅的现货波动率（矩阵）过程的傅里叶估计方法进行了一点修改，其中估计量总是非负定义的。由于估计器的系数化，计算成本将大大降低。1.引言在本文中，我们对It^o半鞅现货波动率（矩阵）过程的傅里叶估计方法进行了一点修改。该方法最初由Paul Malliavin和第三作者在[3,4]中介绍。修正的主要目的是构造始终保持非负确定性的矩阵的n估计量。本研究的一个动机是使傅里叶方法在应用于“动态主成分分析”时更容易实现，这是现场挥发度估计的一个重要应用（见[1,2]）。由于矩阵缺乏对称性，其估计的特征值有时是非正的，甚至更糟的是，没有nreal。非政府组织Ogawa的方法[6]等基于综合波动率有限差（FD）的方法并非如此。然而，与FD方法相比，傅里叶方法有许多优点，其中对非同步观测的鲁棒性最为重要，因此本文中提出的修改非常重要。有一个副产品的修改；由于引入了非负性的对称性，我们的估计量被分解，这可以节省大量的计算成本。本论文的结构如下。我们将首先介绍傅立叶型估计器的代理形式（定义1），并讨论它如何作为召回（第2.2节）。

在评论了经典的一个日期之后：2014年10月。通过选择“纤维”（备注2）获得，我们将介绍此类估计器的类别（第3节），每个估计器都用正定义函数标记。作为主要结果，我们将证明它的正不确定性（定理4）。此外，我们还指出（注意5），在有限群的作用下，一些新引入的正半有限估计量简化为经典估计量。在第3.2节中，我们将给出估计量（定义6）的因式表示，该估计量通过Bochner对应的度量进行参数化。表达式的使用可能会降低计算成本，第4节中的简单实验将对此进行说明。第3.3节给出了一个重要的注释，即作为估计序列，参数化度量应该是近似核。文中给出了三个内核示例（示例1-3），其中两个用于第4节介绍的简单实验。本文不研究极限定理；中心极限定理的一致性。关于这些方面的更详细研究将发表在另一篇论文中。致谢。这项工作得到了JSPS KAKENHI赠款编号25780213、23330109、24340022、23654056和nd25285102的部分支持。2.重新讨论了傅里叶方法。1.通用傅里叶估计。设X=（X，·，Xd）是一个二维连续半鞅。

假设它的二次变量（矩阵）过程几乎肯定是绝对连续的。在本文中，我们对所谓的现货波动过程的统计估计感兴趣；d[Xj，Xj′]tdt（ω）=:Vjj′t（ω），0≤ T≤ 1, 1 ≤ j、 j′≤ d、 作为t中的函数，尤其是当d≥ 2，对于给定的Xjon观测值，是一个分区j:0=tj<···<tjNj=1，j=1，··，d。为了便于注释，我们将时间间隔标准化为[0，1]。我们从关于观测集的傅里叶估计的一般形式开始，以获得一个统一的视图。定义1。设K是Z的有限子集，S={S（K）菲涅兹：k∈K、 （s，s′）∈ S（k）=> s+s′=k}是k上的一个“纤维”，c是k上的一个复杂函数。与（k，s，c）相关的傅里叶估计是一个由（V（k，s，c））j，j′（t）=NjXl=1Nj′Xl′=1Xk明智定义的d×d矩阵∈Kc（k）e2πiktX（s，s′）∈S（k）e-2πistjle-2π是\'tj\'l\'XjlXj′l′（1）≤ j、 j′≤ d） ，（2.1）在哪里Xjl:=Xjtjl- Xjtjl-1.备注2。如果我们对某个正整数取K={0，±1，··，±L}，对某个正整数M取S（K）={（S，S′）|S+S′=K，S=0，±1，··，±M}，c（K）=（1）-|k | L+1）/（2M+1），则估计量V（k，S，c）与[4]中介绍的估计量一致。事实上，有了这些参数，我们就有了（V）j，j′（t）=LXk=-L1.-|k | L+1e2πikt·2M+1MXs=-MNjXl=1Nj′Xl′=1e-2πistjle-2πi（k）-s） tj′l′XjlXj′l′。（2.2）含有狄里克莱和费耶尔核；DM（x）=x | s|≤Me2πisx=sin（2M+1）πxsinπx和kl（x）：=LL-1XM=0DM（x）=x | k|≤L-1.1.-|k | Le2πikx=Lsin（Lπx）sin（πx）,我们可以将（2.2）改写为（V）j，j′（t）=（2M+1）Xl，l′KL+1（t）- tjl）DM（tjl）- tj′l′）XjlXj′l′=（2M+1）Xl，l′sin{（l+1）π（t- tjl）}）sin（π（t）- tjl）！sin{（2M+1）π（tjl）- tj′l′）sinπ（tjl）- tj′l′）·XjlXj′l′。(2.3)2.2. 启发式推导。

在这里，我们对傅里叶方法背后的思想给出了一个启发性解释，该方法最初在[3,4]中提出，现在扩展到（2.1），以包括一类将在下一节中介绍的正最小估计量。仔细看（2.1）或（2.2），我们注意到，虽然我们很天真，但我们可以假设（V（K，S，c））j，j′（t）~Xk∈Kc（k）e2πiktX（s，s′）∈k（S）泽-2πisudXju泽-2π是‘udXj’u=Xk∈Kc（k）| S（k）| e2πiktZe-2πikud[Xj，Xj′]u+Xk∈Kc（k）e2πiktzux（s，s′）∈S（k）（e）-2πisue-2π是\'vdxj\'v+e-2π是\'ue-2πisvdXj′udXjv）=:I+II。（2.4）术语I可以理解为Vjj′的Fourier级数的加权部分和，如果正确选择权重c（k）| S（k）|，则其可能一致收敛（在（2.2）的情况下，它是Fej | er核）。termII消失了，大概是因为，P（s，s′）∈S（k）（e）-2πisue-2πis′v类似于Adichlet核D（u-v） ，弱收敛于delta测度。3.半正定傅里叶估计在金融应用中，我们通常对计算（现货）波动率矩阵的秩感兴趣。由于它是正半确定的，因此通过对正半确定值的数量进行假设检验来估计等级。然而，估计器（2.2）或等价于（2.3）给出的估计器有时不能是对称KM（t-tl）DL（tl）-tl′）在l，l′中是不对称的，因此它的特征值并不总是实数。这给估计波动率矩阵的秩带来了一些麻烦。在这里，我们提出了一类将被证明是对称和正半有限的傅里叶估计。备注3。我们必须注意的是，综合波动率矩阵[4]中定义的前估值器（第0系数）的正半不确定性在[5]中得到了证明。正傅里叶估计。本文的主要结果是定理4。

支持K={0，±1，···，±2M}对于某些正整数，c i是K，and（K）上的一个正有限函数=({(-M+k+v，M- v） ：v=0，··，2M- k} 0≤ K≤ 2M{（M+k）- 五、-M+v:v=0，··，2M+k}-2米≤ k<0。那么，在（2.1）中定义的V（K，S，c）是正半定义。证据设aj，j=1，2，3是Z上的任意函数。从（K，S）的定义，我们注意到xk∈KX（s，s′）∈S（k）a（k）a（S）a（S′）=2MXk=02M-kXv=0a（k）a(-M+k+v）a（M）- v）+-1Xk=-2M2M+kXv=0a（k）a（M+k- v） a(-M+v）=:A+b这可以从以下简单的观察中看出：Pl=1Pl′=1al，l′（xlxl′）-xlxl′）=（a1,2- a2,1）（xx）- xx）。对于右手侧的第一项，A=2MXk=0MXu=k-马（k）a（k）- u）a（u）=MXu=-Mu+MXk=0a（k）a（k- u）a（u）=MXu=-MMXu\'=-ua（u+u′）a（u′）a（u），其中我们设置u=M- v在第一行，改变了第二行总结的顺序，并把u′=k- u、 同样，我们也有B=-1Xk=-2MM+kXu=-马（k）a（k）- u）a（u）=MXu=-M-1Xk=u-马（k）a（k）- u） a（u）=MXu=-M-U-1Xu\'=-Ma（u+u′）a（u′）a（u）。因此我们看到（3.1）Xk∈KX（s，s′）∈S（k）a（k）a（S）a（S′）=MXu=-MMXu\'=-Ma（u+u′）a（u′）a（u）。当a（k）=c（k）e2πikt，a（s）=e时应用（3.1）-2πistj′l′和a（s′）=e-2π是′tjl，我们得到（V（K，S，c））j，j′（t）=NjXl=1Nj′Xl′=1MXu=-MMXu\'=-Mc（美国）- u′）e2πiu（t-tjl）e-2πiu′（t-tj′l′）XjlXj′l′（1）≤ i、 j≤ d） 。（3.2）这里我们使用了变量u′7的明显变化→ -u′。现在，积极的不确定性很容易随之而来。事实上∈ Cd，wehaveXj，j′（V（K，S，c））j，j′（t）xjxj′=MXu=-MMXu\'=-Mc（美国）- u′）·dXj=1xjNjXl=1e2πiu（t-tjl）XjldXj′=1xj′Nj′Xl=1e-2πiu′（t-tj′l′）Xj\'l\'=MXu=-MMXu\'=-Mc（美国）- u′）f（u）f（u′）≥ 其中我们有putf（u）：=dXj=1xjNjXl=1e2πiu（t-tjl）Xjl。备注5。如果我们设为（3.2）N:=Nj=Nj′=2m+1，tjl≡ 1/N，c（k）=1- 最小值（|k |，|N- k |）/M，估计量（3.2）与L=M的（2.2）一致。

事实上，写tl=l/N表示l=1，··，N，我们注意到，对于t=l/N，（V（K，S，c））j，j′（t）=NXl，l′XjlXj′l′MXk=-MMX=-Mc（k）- s） e2πik（l）-l） 东北-2π是（l）-l′）N，通过变量（k，s）7的变化→ （k）- s-s） ，这是Z/NZ上的自同构，我们有=NXl，l′XjlXj′l′MXk=-MMX=-Mc（k）e2πik（l）-l） Ne2π是（l-l′）N.3.2。通过测量进行参数化。根据Bochner定理，我们知道对于每一个正半定函数c，R上都存在丰富的测度u，使得（3.3）c（x）=ZRe2πiyxu（dy）。因此，我们可以使用度量u而不是正半限定函数c重写正傅里叶估计（3.2）。在使用傅里叶方法估计spo t波动率矩阵时，度量u的表达式将非常有用。定义6。设u为有界测度，M为正整数。我们将（u，M）与现货波动率矩阵的估计器关联为：（V（u，M））j，j′（t）=ZRNjXl=1DM（t- tjl+y）Xjl·Nj′Xl′=1DM（t- tj′l′+y）Xj\'l\'u（dy），（1≤ j、 j′≤ d） 。（3.4）备注7。在定理4和关系式（3.3）中的假设下，我们得到V（K，S，c）（t）=V（u，M）（t）对于所有t∈ [0，1]。事实上，我们有（V（K，S，c））j，j′（t）=X1≤L≤Nj1≤l\'≤Nj′ZRX | k|≤MX | s|≤Me2πi（t）-tjl+y）ke-2πi（t）-tj′l′+y）su（dy）XjlXj′l′=X1≤L≤Nj1≤l\'≤Nj′ZRDM（t- tjl+y）DM（t- tj′l′+y）u（dy）XjlXj′l′=（V（u，M））j，j′（t）。注意，V（u，M）很容易被视为实对称，因此isV（K，S，c）也是如此。此外，更容易看出V（u，M）是正半定义。事实上，对于任意的x=（x，···，xd）∈ Rd，Xj，j′（V（u，M））j，j′（t）xjxj′=Xj，j′ZRX1≤L≤Nj1≤l\'≤Nj′DM（t- tjl+y）Xjlxj=ZRdXj=1X1≤L≤NjDM（t）- tjl+y）Xjlxj·dXj′=1X1≤l\'≤Nj′DM（t- tj′l′+y）Xj′l′Xj′u（dy）=ZRdXj=1X1≤L≤NjDM（t）- tjl+y）xju（dy）≥ 0.3.3. 关于措施选择的评论。

根据（2.4）中的观察结果，我们可以坚持选择一系列正半定函数cN，其中N:=maxjnj为简单起见，因此cN（k）~|SN（k）| CN（k），其中内核（3.5）2MNXk=-2MNCN（k）e2πiksbehaves与Fej′er-one相似/优于Fej′er-one。第一个例子是费耶尔和的情况，其中cn（k）=1-|k | 2MN+1，或相当于ycn（k）=2MN+1，因此uN=2MN+1δ。在这种情况下，（2.4）中II的收敛性可能不好，从（3.4）的表达式可以更容易看出。请注意，由于| S（k）|=2M，估算值与原始值（2.2）完全不同- |前者为k |+1，而后者为2M，与k无关。因子| S（k）|对新引入的正半限定类估计值的一致性贡献较小。然而，看看上面的原始情况，我们注意到度量的属性选择将由（2MN+1）隐含-1×（δ近似核）。这里我们列出了可能的选择。例1。Let（3.6）CN（k）=1.-|k | 2MN+1E-γN | k |，式中，γN→ 0作为N→ ∞ . 在这种情况下，（3.7）uN（dy）=2MN+1πγNy+γNdy，柯西核。例2。Let（3.8）CN（k）=1.-|k | 2MN+1E-2πkLN，其中，LN→ ∞ a s N→ ∞. 在这种情况下，（3.9）uN（dy）=2MN+1rLN2πe-LNydy，高斯核。例3。我们让（3.10）CN（k）=1.-|k | 2MN+1.在这种情况下，其对应的度量是Fej!er核；（3.11）uN（{y}）=2MN+1sin（2MN+1）π赖氨酸πy= K2MN+1（y），y=K2MN+1，k=0，1，···，2MNif 2MN+1是质数。

这可以从以下关系中看出：1-|k | L=L-1Xt=0KL（t）e-2πikt，当L是质数时有效，由kl（t）=L表示-1Xk=-（L）-1)1.-|k | Le2πikt。值得注意的是，在这种情况下，我们不需要离散积分，因为它已经是离散的。在使用delta核时，需要正确选择核的近似参数和MN；delta近似参数为例1中的γ和例2中的ln。（例3的费耶尔案例是一个例外）。即使一致性结果只能说明渐近行为，人们仍然需要使用其他一些标准来优化选择。在下一节中，我们将给出一些模拟结果，以清楚地了解这个问题。4.实验结果在本节中，我们给出了一些简单实验的结果，以说明我们的方法是如何实现的我们将我们的估算方法应用于2008年3月31日至2008年9月26日的每日数据，即日本ZF债券价格暗示的零利率，到期日分别为2008年12月7日和2006年6月7日，到期日为2008年12月7日至2014年6月7日因此，我们将N=150（=njall j，观测日期等间距）和d=12我们为M in（3.4）和MNin（3.5）设置M=MN=1.5关于u的积分也被离散化；我们只使用[-1/2，1/2]而不是整个实线，实线离散为{-1/2+k/（2MN+1）；k=0,1，··，2MN}我们测试了Cauchy核估计器，实验1和实验2的例子1中的（3.6）具有不同的γN，实验3和实验4的例子2的高斯核具有不同的LN我们用的是八度音阶。

3.2.4和一台Vaio/SONY Windows 7 64bitOS笔记本电脑，处理器为Intel（R）Core（TM）i3-2310MCPU@2.10GHz 2.10GHz和RAM 4.00 GB。所有图表都显示了“动态主成分分析”的结果，其中从到p的图表分别显示了最大、最大+第二和前三个最大特征值的变化率。每个实验大约需要3分钟；似乎很快。我们看到了图1和图2以及图3和图4之间的相似之处。在这些实验中，我们看到了图1。实验1；γN=（2MN+1）-1/2≈ 0.1796图2。实验2；γN=（2MN+1）-1/4≈ 0.4238应该说精度没有得到充分的认可，但我们可以说，delta核的阶数对精度非常重要。参考文献[1]Liu，N.L.和Mancino，M.E.（2012）“应用于未来利率的傅里叶估计方法”，JSIAM信函4，17-20。[2] Liu，N.L.和Ngo，H.L.（2014）“用vie w向主成分分析逼近s potcross波动率矩阵的特征值”，arXiv:1409.2214[q-Fin.ST]。[3] Malliavin，P.和Mancino，M.E.（2002），“测量多元变量相关性的傅里叶级数方法”，金融与随机，6，第49-61页。图3。实验3；LN=2MN+1=31图4。实验4；LN=（MN+1）1/4≈ 2.36[4]Malliavin，P.和Mancino，M.E.（2009）多元有效性非参数估计的傅里叶变换方法《统计学年鉴》，第37卷，第4期，1983-2010页。[5] Mancino，M.E.和Sanfelici，S.：在存在异步交易和微观结构噪声的情况下，通过傅里叶方法估计协方差，《金融计量经济学杂志》（2011年第20期），第9卷，第2期，第367-408页。[6] Ngo，H.L.和Ogawa，S.：《点相对性蒙特卡罗方法和应用的函数估计的中心极限定理》（2009年），第15卷，第1期。