由二次项产生的二次FBSDE的显式解

（16） 定理3.3IfΓ∈ Rn×nis正半限定FBSDE（12）-（13）为allt提供了一种独特的适应性解决方案（Xt、Yt、Zt）∈ [0，T]由xt=X+tZ{[A+σ′（R（u）+R′（u））]Xu+B+σ′R′（u）}du+tZσdWTu（17）Yt=expXt′R（t）Xt+R（t）Xt+R（t）, （18） Zt=[Xt′（R（t）+R′（t））+R（t）]σYt（19），其中R（t）是方程（14）的解，R（t）是方程（15）的解，R（t）由R（t）给出-ZTtK-R（s）B-R（s）σ′[R（s）]\'-Trσ′R（s）σds。（20） 证明：首先，我们必须证明（17）-（19）给出的（X，Y，Z）满足FBSDE（12）-（13）。用（19）除以（18），我们得到ztyt=[Xt′（R（t）+R′（t））+R（t）]σ。（21）将（21）代入（17），我们得到了由方程（12）给出的Xt的动力学。因此，由（17）给出的X满足SDE（12）。考虑函数f（t，x）=expx′R（t）x+R（t）x+R（t）. 利用Xtin（17）的动力学，将其^o公式应用于f（t，x），我们发现由（18）和（19）定义的Yt=f（t，Xt）和Zt满足{Xt′R（t）Xt+˙R（t）Xt+˙R（t）Xt+˙R（t）+Xt′（R（t）+R′（t）AXt+B′（R（t）+R′（t）Xt+[Xt′（R（t）+R′（t）+R′（t）+t）AXt+tσ′R（t）σ+[Xt′（R（t）+R′（t））+R（t）]σ′[（R′（t）+R（t））Xt+R′（t）]Ytdt+Yt[Xt′（R（t）+R′（t））+R（t）]σdWTt（22），其中˙Rk（t）=ddtRk（t），k=0,1,2。将（22）中的（21）替换为[Xt][R（t）+R′（t）A+（R（t）+R′（t））σ′（R′（t）+R（t））]Xt+[˙R（t）+B′（R（t）+R′（t）+R（t）A+R（t）σ′（R′（t）+R（t））]Xt+ztztzt+Ytσ′R（s）σ+R（t）σ′R′（t）}Ytdt+ztdwt。（23）将等式（14）-（15）和（20）代入等式（23），得到由（17）-（19）确定的YT=YT-TZt{Yu[Xu′ΓXu+RXu+k]+ZuZu′Yu}du-Tzudwtu。根据（14）-（15）和（20）在t=t时的边界条件，我们从方程（18）中得出，t=exp（XT′R（t）XT+R（t）XT+R（t））=exp（XT′n×nXT+01×nXT+0）=1。C.B.海德曼和X。

2014年12月11日QTSMs中二次FBSDE的周显式解（X，Y，Z）由（17）-（19）给出，满足FBSDE（12）-（13）。其次，我们证明了解的唯一性。设（X，Y，Z）为FBSDE（12）-（13）的任意适配解。定义“Yt=Xt′R（t）Xt+R（t）Xt+R（t），“Zt=[Xt′（R（t）+R′（t））+R（t）]σ′Yt，然后“Zt”Yt=[Xt′（R（t）+R′（t））+R（t）]σ。（24）将It^o公式应用于f（t，x）=x′R（t）x+R（t）x+R（t）。式中，X由（12）给出，以确定f（t，Xt）=d log\'Yt={Xt′˙R（t）Xt+˙R（t）Xt+˙R（t）+X′t（R′（t）+R（t）AXt+R（t）AXt+B′（R（t）+R′（t）Xt+R（t）B+[Xt′（R′（t）+R（t）+R（t））+R（t）]σ′R（s）σ} dt+[Xt′（R′（t）+R（t））+R（t）]σdWTt。（25）将等式（14）、（15）、（20）和（24）代入等式（25）中，以确定log`Yt={Xt′ΓXt+RXt+k-\'Zt\'Zt\'Yt+\'Zt\'YtZt\'Yt}dt+\'Zt\'ytdwt和log\'Yt=0。Solog’Yt=-TZt{Xu′ΓXu+RXu+k-“祖祖瑜”+“祖祖瑜”都-TZt“Zu”YudWTu。（26）从方程式（16）中减去方程式（26）得到最终结果-日志“Yt=-祖祖瑜-“祖祖语”于语+“祖祖语”于语”都-TZt{ZuYu-“祖”于}dWTu=-TZt{（祖语）-祖语-\"祖语\"}du-TZt（祖语）-\"祖语\"dWTu。（27）定义^Yt=logYt-对数“Yt^Zt=ZtYt-“Zt”Yt。然后方程（27）变成^Yt=-TZt^Zu^Zu\'du-TZt^ZudWTu。（28）根据Kobylanski（2000，定理2.3）的结果，BSDE（28）允许唯一的适应解（^Yt，^Zt）=（0,01×n）。所以我们有Yt=\'Yt和Zt=\'Zt。这意味着FBSDE（12）-（13）的任何适配解（X，Y，Z）必须满足（17）、（18）和（19）。由于Yt=P（t，t），定理3.3的一个简单推论给出了零息票债券价格是因子过程的指数二次函数。推论3.4如果因子过程由（2）给出，短期利率过程由假设2.1表示，则零息债券价格具有指数二次型，P（t，t）=exp{Xt′R（t）Xt+R（t）Xt+R（t）}，其中R（t）、R（t）和R（t）分别解方程（14）、（15）和（20）。C.B.海德曼和X。

2014年12月11日QTSMs中二次FBSDE的周显式解备注3.5 Riccati型微分方程（14）-（15）和（20）的解的存在性和唯一性与Gombani和Runggaldier（2013）的解类似，其中QTSM的特征是线性二次控制（LQC）问题。事实上，关于与LQC问题相关的Riccati方程的可解性，人们知道的要多得多，而在ATSMs中则是如此。我们将QTSM问题中出现的Riccati方程的显式可解性的详细讨论推迟到附录中，在附录中，我们考虑更一般的方程，包括（14）-（15），以及期货和远期价格结果中出现的方程，作为特例。接下来，我们考虑一个风险资产价格模型，该模型允许我们应用类似的技术来描述资产的期货价格和远期价格。4二次价格模型将风险资产视为因素过程的指数二次函数（2）。这类定价过程允许考虑零息债券的期货和远期合约，其中债券价格在推论3.4中给出。假设4.1假设因子过程的风险中性动态由等式（2）给出，且时间t时的资产S价格∈ [0，T]由S（T，Xt）给出，其中（T，x）=expx′a（t）x+b（t）x+c（t）（29）其中a（t）∈ Rn×n，b（t）∈ R1×n和c（t）∈ R在区间[0，T]上是连续的，a（T）是负半定义。等式（29）定义了二次价格模型（QPM）。接下来，我们扩展上一节和Hyndman（2009）的结果，以考虑与QPM相关的期货价格和远期价格。4.1期货价格考虑T——风险资产S在T时的期货价格∈ [0，T]定义为g（T，T）=等式[S（T，XT）|Ft]，其中S（T，x）由等式（29）给出。

与上一节的结果和Hyndman（2009）的结果类似，我们可以将因子过程和期货价格描述为FBSDE的解。定义Yt=G（t，t），这样，根据鞅表示定理，存在一个Ft自适应过程Zt=[Zt，…，Znt]，使得Yt=Y+ZtZudWu。（30）注意，Zu是一个（1×n）向量值过程。因此，Yt-YT=-ZTtZudWu。由于YT=G（T，T）=S（T，XT），我们对期货价格YT=S（T，XT）有如下BSDE-ZTtZudWu。取N（·）=exp（R·R（Xu）du）G（·，T）作为数值，通过氡-尼科德姆导数∧T=dPGdQ确定测量值pgFT=e-RTr（Xu）duN（T）N（0）=G（T，T）G（0，T）=S（T，XT）G（0，T）。（31）C.B.Hyndman&X.Zhou在2014年12月11日的QTSMs中给出了二次FBSDE的显式解，并从方程（30）和（31）中注意到∧t=EQS（T，XT）G（0，T）英尺=G（t，t）G（0，t）=YtY。将方程（30）除以Ygives，得出∧皮重∧t=1+ZtZuYdWu=1+ZtYuYZuYudWu=1+Zt∧uZuYudWu的动力学。然后，Girsanov定理给出了过程{WGt}0≤T≤Tde定义byWGt=Wt-ZtZu′yudu是一个标准的（Ft，PG）-布朗运动。将XT和YT的动态写入PGwe，类似于Hyndman（2009），我们获得了期货价格XT=X+Zt的以下二次FBSDEAXu+B+σZu′Yudu+ZtσdWGu（32）Yt=S（T，XT）-Ztzuzu’Yudu-ZTtZudWGu。（33）虽然X的动力学是高斯的，因此是Hyndman（2007b，2009）中考虑的一个特例，但由于终端条件的指数二次型，Y的动力学不同。然而，根据yndman（2009）和上一节的方法，我们能够证明以下结果，它给出了耦合二次FBSDE（32）-（33）的显式解。

该证明独立于FBSDE的构造，类似于定理3.3的证明和Hyndman（2009）的结果，因此被省略。我们首先给出了Riccati方程可解的充分条件。引理4.2如果a（T）∈ Rn×nis负半限定Riccati型微分方程0=ddtRG（t）+[RG（t）]′+RG（t）A+[RG（t）]′+RG（t）σσ′[RG（t）]′+RG（t）, RG（T）=a（T）（34）0=ddtRG（T）+RG（T）nA+σ′[RG（t）]′+RG（t）o+B′[RG（t）]′+RG（t）, RG（T）=b（T）（35）允许唯一解RG（T）∈ Rn×nand RG（t）∈ R1×t∈ [0，T]。证明：结果如下，类似于引理3.2的证明，如果我们在方程（86）-（87）中设置了定理a.1的Υ=0和Θ=a（T），在推论a.4中设置了ψ=0和θ=b（T）。定理4.3如果a（T）∈ Rn×nis负半定义和S（t，x）由等式（29）给出。FBSDE（32）-（33）有一个唯一的解（x，Y，Z），由xt=x+Ztn给出A+σ∑′[RG（u）]\'+RG（u）徐+B+σ′[RG（u）]nodu+ZtσdWGuYt=expXt′RG（t）Xt+RG（t）Xt+RG（t）Zt=hXt′[RG（t）]′+RGt（t）+ 其中，RG（t）是方程（34）的解，RG（t）是方程（35）的解，RG（t）=c（t）+ZTtRG（u）B+RG（u）σ′[RG（u）]′+Trσ′RG（u）σ杜。（36）C.B.Hyndman&X.Zhou在假设4.1条件下，期货价格具有指数二次形式g（t，t）=expXt′RG（t）Xt+RG（t）Xt+RG（t）其中RG（t）和RG（t）是方程（34）-（35）的解，RG（t）由（36）给出。备注4.5请注意，Riccati方程（34）-（35）与债券价格相关的方程类似。

我们把（34）-（35）作为特例的更一般方程的存在性、唯一性和显式解的讨论推迟到附录中。接下来我们考虑风险资产的远期价格。4.2远期价格指T时间点风险资产的远期价格∈ [0，T]isF（T，T）=EQ[exp-RTtr（徐）杜S（T，XT）|Ft]P（T，T）（37），其中P（T，T）是在T时到期的零息债券在T时的价格。在无风险利率是确定性的情况下，期货和远期价格是相同的。因此，我们假设利率如第3节所示，风险资产价格S如等式（29）所示。此外，我们假设风险资产支付股息收益率（或便利收益率），因此贴现资产价格不是将等式（37）的分子减少为风险资产价格的Q鞅。与第3节中债券价格和Hyndman（2009）中APM中远期价格的情况类似，我们描述了公式（37）的因子过程和分子，即在时间T交付一单位风险资产的远期承诺的风险中性现值，即FBSDE。defi neVs=EQ[exp-中兴（徐）都S（T，XT）|Fs]和hs=exp-Zsr（徐）杜.让Ys=Vs/hs，注意Ys=F（s，T）P（s，T）。由于VS是一个鞅，根据鞅表示定理，存在一个适应过程Jt=[Jt，…，Jnt]，表示为一个（1×n）向量值过程，例如VS=V+ZsJudWu。

（38）应用It^o公式确定Yt满足BSDEYt=s（T，XT）-ZTtr（徐玉都）-ZTtZudWu（39），其中Zu=Ju/Hu。定义N（·）=F（·，T）P（·，T）的风险中性度量，用QF表示，用Radon-Nikodym导数ΓT=dQFdQ表示FT=F（T，T）P（T，T）F（0，T）P（0，T）exp-中兴（徐）都=S（T，XT）F（0，T）P（0，T）exp-中兴（徐）都.然后，利用Γt=EQ[Γt|Ft]，我们得到了Γt=Vt/Vand，通过等式（38），Γt=1+ZtΓuZuYudWu。C.B.Hyndman&X.Zhou在2014年12月11日的QTSMs中通过Girsanov定理给出了二次FBSDE的显式解，WFt=Wt-ZtZu′Yudu（40）是一个（Ft，QF）-布朗运动。使用方程（40）写出方程（7）和（39）给出的（X，Y）的动力学，在量度qf下，我们得到以下耦合二次FBSDEXt=X+ZtAXu+B+σZu′Yudu+ZtσdWFu（41）Yt=S（T，XT）-ZTtr（许）余+祖祖余杜-ZTtZudWFu。（42）请注意，FBSDE（41）-（42）与Hyndman（2009）中针对APM提出的FBSDE类似，不同之处在于X的挥发性动力学更简单，而函数r和S作为Xt的函数，分别是二次函数和指数二次函数，而非函数和指数二次函数。

与第3节中针对APMs的bondand Hyndman（2009）案例的结果类似，以下结果给出了二次FBSDE（41）-（42）的显式解，该解与给出的构造无关，因此我们省略了证明。引理4.6如果Γ∈ Rn×nis正半定义和a（T）∈ Rn×nis负半限定，然后Riccati型微分方程0=ddtRF（t）+[RF（t）]′+RF（t）A+[RF（t）]′+RF（t）σσ′[RF（t）]′+RF（t）-Γ，RF（T）=a（T）（43）0=ddtRF（T）+RF（T）a+B′[RF（t）]′+RF（t）+ RF（t）σ′[RF（t）]′+RF（t）-R、 RF（T）=b（T）（44）承认独特的解决方案RF（T）∈ Rn×nand射频（t）∈ R1×t∈ [0，T]。证明：结果如下，类似于引理3.2的证明，如果我们在方程（86）-（87）中设置定理a.1的Υ=Γ和Θ=a（T），在推论a.4中设置ψ=R和θ=b（T）。定理4.7如果Γ∈ Rn×nis正半定义，a（T）∈ Rn×nis负半定义，r（x）由方程（2）给出，and（t，x）由方程（29）给出，然后FBSDE（41）-（42）有一个唯一的自适应解（x，Y，Z），由xt=x+ZtnhA+σ′给出[RF（u）]′+RF（u）伊苏+B+σ′[RF（u）]\'odu+ZtσdWFu（45）Yt=expXtRF（t）Xt+RF（t）Xt+RF（t）（46）Zt=hXt′[RF（t）]′+RF（t）Xt+[RF（t）]iσYt（47），其中RF（t）是方程（43）的解，RF（t）是方程（44）的解，RF（t）=c（t）-ZTtK-RF（u）B-RF（u）σ′[RF（u）]′+Trσ′[RF（u）]σ杜。（48）推论4.8在假设2.1和4.1的条件下，远期价格是因子F（t，t）=exp的指数二次函数Xt′RF（t）Xt+RF（t）Xt+RF（t）P（t，t）=expXt′RF（t）Xt+RF（t）Xt+RF（t）exp（Xt′R（t）Xt+R（t）Xt+R（t）），其中RF（t）和RF（t）是方程（43）-（44）的解；RF（t）由等式（48）给出；R（t）、R（t）和R（t）是方程（14）、（15）和（20）的解。C.B.海德曼和X。

2014年12月11日QTSMs中二次FBSDE的周显式解备注4.9比较定理3.3、4.3和4.7，我们看到，RF（t）和RF（t）的Riccati型方程（43）-（44）以及RF（t）的积分，如果我们进行某些参数限制，作为特例包括债券和期货价格的相应项。这种一般形式类似于线性二次控制（LQC）的Riccati型微分方程。此外，这些结果表明，我们的结果与Gombani和Runggaldier（2013）基于LQC的结果相符。我们讨论了一般Riccati型方程的显式可解性，其中（43）-（44）作为特殊情况，以及与附录中LQC的对应关系。在下一节中，我们简要介绍了toElliott和van der Hoek（2001）提出的随机流方法在QTSMs中的应用示例，该方法最初是在ATSMs的背景下开发的。与Hyndman（2009）第4节中针对ATSMs提出的方法类似，QTSMs随机流量的一般公式可针对QTSMs开发，并扩展至类似于Hyndman（2009）第5.2节和第5.4节中针对APMs提出的扩展的QPM。然而，与Elliott和van der Hoek（2001）和Hyndman（2007b）中考虑的由高斯因子驱动的非线性模型相比，我们在高斯因子驱动的二次模型的背景下考虑FLOWS方法的主要动机是为了表明，为了使该方法有效，必须改变度量。

这个目标可以通过考虑一维情况下的一个例子来实现。5随机流动Hyndman（2009）引入的描述ATSM中债券价格的FBSDE方法，并在本文中扩展到QTSM，其动机是Elliott和van der Hoek（2001）引入的随机流动方法。随机流动法将t到期零息债券在t时的价格表示为因子过程时间t时x值的函数，这种依赖关系表示为P（t，t，x）。通过取P（t，t，x）对初始条件的导数，然后利用随机流及其雅可比矩阵的性质，可以将P（t，t，x）表示为一个序数微分方程（ODE），它阐明了债券价格对因子过程函数依赖的性质。在Elliott和van der Hoek（2001）中，当因子过程是高斯的，利率是因子过程的一个函数时，因子过程对x的导数是确定性的，这一事实导致P（t，t，x）的线性常微分方程。在这种情况下，债券价格立即成为因素过程的指数函数。这些结果被扩展用于描述Hyndman（2007b）中高斯因子过程的指数函数资产的期货和远期价格。然而，在Elliott和van der Hoek（2001）中，当因子的动力学由一个非线性过程给出，且利率是因子的一个非线性函数时，因子过程中x的导数不是确定性的，这一事实需要改变度量，以获得债券价格满足的线性常微分方程。该线性常微分方程的系数是因子过程导数函数的条件期望。