由二次项产生的二次FBSDE的显式解

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英文标题：
《Explicit solutions of quadratic FBSDEs arising from quadratic term
  structure models》
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作者：
Cody Hyndman and Xinghua Zhou
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  We provide explicit solutions of certain forward-backward stochastic differential equations (FBSDEs) with quadratic growth. These particular FBSDEs are associated with quadratic term structure models of interest rates and characterize the zero-coupon bond price. The results of this paper are naturally related to similar results on affine term structure models of Hyndman (Math. Financ. Econ. 2(2):107-128, 2009) due to the relationship between quadratic functionals of Gaussian processes and linear functionals of affine processes. Similar to the affine case a sufficient condition for the explicit solutions to hold is the solvability in a fixed interval of Riccati-type ordinary differential equations. However, in contrast to the affine case, these Riccati equations are easily associated with those occurring in linear-quadratic control problems. We also consider quadratic models for a risky asset price and characterize the futures price and forward price of the asset in terms of similar FBSDEs. An example is considered, using an approach based on stochastic flows that is related to the FBSDE approach, to further emphasize the parallels between the affine and quadratic models. An appendix discusses solvability and explicit solutions of the Riccati equations.
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中文摘要：
我们给出了某些具有二次增长的正倒向随机微分方程（FBSDE）的显式解。这些特殊的FBSDE与利率的二次期限结构模型相关联，并表征零息票债券价格。由于高斯过程的二次泛函和仿射过程的线性泛函之间的关系，本文的结果自然与Hyndman（Math.Financ.Econ.2（2）：107-1282009）的仿射项结构模型的类似结果相关。与仿射情形类似，Riccati型常微分方程显式解成立的一个充分条件是在固定区间内可解。然而，与仿射情况相比，这些Riccati方程很容易与线性二次控制问题中的方程相关联。我们还考虑了风险资产价格的二次模型，并根据类似的FBSDE描述了资产的期货价格和远期价格。考虑一个例子，使用与FBSDE方法相关的基于随机流的方法，进一步强调仿射模型和二次模型之间的相似性。附录讨论了Riccati方程的可解性和显式解。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Explicit_solutions_of_quadratic_FBSDEs_arising_from_quadratic_term_structure_models.pdf (294.13 KB)

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关键词：BSDE FBS SDE Differential Mathematical

基于二次项结构模型的二次FBSDE的显式解*+和周兴华——2014年12月11日摘要我们提供了某些具有二次增长的正倒向随机微分方程（FBSDE）的显式解。这些特殊的FBSDE与利率的二次期限结构模型相关联，并以零耦合债券价格为特征。由于高斯过程的二次泛函和非线性过程的线性泛函之间的关系，本文的结果自然与Hyndman（Math.Financ.Econ.2（2）：107-1282009）的短期结构模型的类似结果相关。与有限情形类似，显式解成立的充分条件是Riccati型常微分方程在固定区间内的可解性。然而，与具体情况相反，这些Riccati方程很容易与线性二次控制问题中出现的方程相关联。我们还考虑了风险资产价格的二次模型，并根据类似的FBSDE描述了资产的期货价格和远期价格。考虑一个例子，使用与FBSDE方法相关的基于随机流的方法，进一步强调af fi和二次模型之间的相似性。

附录讨论了Riccati方程的可解性和显式解。关键词：二次项结构模型；正倒向随机微分方程；零息债券价格；二次价格模型；期货价格；远期价格；里卡蒂方程。JEL分类：E43、G12、G13数学学科分类（2000）：60G35、60H20、60H30、91B28、91B70*通讯作者：电子邮件：科迪。hyndman@concordia.ca+康科迪亚大学数学与统计系，加拿大魁北克蒙特勒伊州迈松纽韦大道1455号，H3G 1M8加拿大安大略省伦敦西部大学应用数学系，N6A 5B7C。B.Hyndman&X.Zhou QTSMs中二次FBSDE的显式解20141年12月11日引言一类重要的期限结构模型是期限结构模型（ATSMs）。ATSMI的定义特征是时间t的价格∈ 单位面值T的[0，T]到期零息债券，用P（T，T）表示，是一个n维因子过程的指数函数。也就是说，乘以0≤T≤ TP（t，t，Xt）=expB（t，t）′Xt+C（t，t）其中B（t，t）是n×1向量，C（t，t）是标量。因此，债券收益率是因子过程的一个明确函数。ATSMs的类别包括Vaˇsiˇcek（1977年）、Cox、Ingersoll和Ross（1985年）、Duf fie和Kan（1996年）、Duf fie等人（2003年）和许多其他模型。尽管ATSMs有一些吸引人的特性，但已经证明它有一些经验上的局限性。例如，Dai和Singleton（2000）表明，ATSM无法捕捉掉期收益率分布的某些方面，这表明ATSM可能忽略了经验观察到的非线性。

此外，Ahn和Gao（1999）通过实证证明，非固定期限结构模型优于单因素固定期限模型。为了解决ATSMs的局限性，几位作者提出使用二次项结构模型（QTSMs）。在QTSM中，零息票债券价格是因子过程Xt乘以0的指数二次函数≤T≤TP（t，t，Xt）=expXt′A（t，t）Xt+B（t，t）′Xt+C（t，t）其中A（t，t）是非奇异n×n矩阵，B（t，t）是n×1向量，C（t，t）是标量。Ahn等人（2002年）介绍了全面的QTSM，并研究了这些模型的特征。Chen等人（2004年）和Leippold and Wu（2000年）研究了与QTSMs相关的定价问题。关于QTSM的其他相关研究包括Levendorskii（2005）和Boyarchenko及Levendorskii（2007），这些研究进一步证明，与ATSM相比，QTSM可以捕捉经济因素之间的非线性，并在构建模型时提供更大的灵活性。此外，如Chen等人（2004年）和Leippold and Wu（2000年、2002年）所示，由于欧式期权的价格可以通过类似于ATSMs的傅里叶变换方法计算，因此QTSM在分析上是可处理的。Gaspar（2004）还考虑了债券、期货和远期价格的二次期限结构。在本文中，我们使用两种非传统但相关的定价方法来考虑QTSM。第一种方法，也是我们的主要关注点，是基于前向-后向随机微分方程（FBSDE），我们将其称为FBSDE方法，之前在Hyndman（2005、2007a、2009）的ATSMs中介绍过。通过首先用耦合非线性FBSDE的解描述因子过程和债券价格，然后证明FBSDE的存在性、唯一性和显式解，定价问题得以解决。

FBSDE方法的关键结果是Yong（1999）提出的一种方法的扩展，该方法用于证明特定耦合线性FBSDE到非线性FBSDE的存在性、唯一性和显式解，非线性FBSDE是ATSMs中债券定价问题的特征。Hyndman（2009年）的最终价格模型（APM）采用了相同的技术来描述期货价格和远期价格。在本文中，我们将FBSDE方法推广到风险资产的QTSMs和二次价格模型（QPM）的期货和远期价格背景下的债券定价问题。我们得到了表征这些价格的结果，这些结果与TSM情况类似，特别是提供了具有显式解的二次FBSDE的新例子。我们简要考虑的第二种方法基于Elliott和van der Hoek（2001）、Grasselli和Tebaldi（2007）以及Hyndman（2007b，2009）研究的随机流方法。该方法给出了某些ATSMs定价问题的封闭形式解。Geman和Yor（1993）和Yor（2010）已经证明，在某些限制条件下，CIR过程是贝塞尔过程，这意味着CIR过程和QTSM在某些情况下是等效的。基于这一事实，我们将随机流量法和FBSDE法的技术推广到QTSMs。论文的结构如下。第2节简要介绍了建模框架和符号。第3节回顾了零息票债券价格的FBSDE方法，并将Hyndman（2009）的结果从ATSMs扩展到了QTSMs。第4节考虑了风险资产价格是因子过程（QPM）的指数二次函数（包括零息票债券价格）的模型，并将FBSDE方法应用于期货价格和远期价格。第5节简要介绍了QTSMs的随机流量方法。

在一维情形下，我们给出了基于流方法的零息票债券价格的显式解。第6节总结并在附录中考虑了某些矩阵Riccati型微分方程的可解性，这为本文的主要结果提供了充分条件。C.B.Hyndman&X.Zhou在2014年12月11日的QTSMs中给出了二次FBSDE的显式解42预备知识和符号我们将开始分析风险中性过滤概率空间(Ohm, F，{Ft，t≥ 0}，Q）表示0≤T≤ T*T在哪里*是固定的、有限的投资期限，{Ft}是一个正确的、连续的、完全的、满足通常条件的过滤，Q是风险中性（鞅）测度。在这些假设下，如Shreve（2004，第411页）所述，到期日t时零息债券的价格为t≤T*由p（t，t）=EQ经验-ZTtrudu英尺（1） 其中RTI是瞬时无风险利率。在指定无风险利率的动态后，可以用几种不同的方法计算条件预期（1）。关于风险中性概率空间(Ohm, F，{Ft，t≥ 0，Q）假设无风险利率是一个Rn值的{Ft}适应状态过程的函数，作为高斯随机微分方程（SDE）dXt=（AXt+B）dt+σdWt，X=X（2）的解给出，其中a=[ai，j]是一个（n×n）矩阵，B=[~bi]\'是一个（n×1）列向量，σ=[σi，j]是一个（n×n）矩阵，Wt=[W（1）t，·，W（n）t]′关于（Ft，Q）的标准布朗运动。

我们假设无风险利率RTI由因子过程的二次函数给出。假设2.1瞬时无风险利率过程由rt=r（Xt）给出，其中Xt是方程（2）的强解，对于x∈ Rn，r（x）=x′Γx+Rx+k，（3）其中Γ=[γi，j]是一个正半定义（n×n）-矩阵，r=[r，…，Rn]是一个（1×n）-行向量，k是一个标量，使得k≥RΓ-1R′。（4） 对高斯短期利率模型（如Vaˇsiˇcek（1977）模型）的一个常见批评是产生负利率的可能性。然而，在这种情况下，由于Γ是正半定义，等式（3）中r（x）的下界是（k）-RΓ-当x=-Γ-1R′。因此，假设2.1给出的模型，在等式（4）的限制下，产生了t的非负瞬时利率过程rt=r（Xt）≥ 0.假设2.1和方程（1）现在可用于将前向-后向随机微分方程（FBSDE）方法扩展到Hyndman（2009）的ATSMs的期限结构建模，以适用于QTSMs。与Hyndman（2009）的主要区别在于，在本文中，因子过程的动力学由高斯（而非af fi fine）过程给出，而无风险最低利率是因子过程的二次（而非af fi fine）函数。这种扩展的动机是，n维Ornstein-Uhlenbeck过程的平方分量之和可以与CIR过程相识别，如Elliott和Kopp（2005，pp。

271-273），更一般地说，由Geman和Yor（1993）和Yor（2010）描述的布朗运动和平方贝塞尔（BESQ）过程之间的关系。3 QTSMs和FBS之间的联系我们简要回顾了前向-后向随机微分方程的推导，该方程通过考虑过程Shs=exp来表征因子过程和债券价格-Zsr（徐）杜andVs=EQ经验-中兴（徐）都财政司司长（5） C.B.Hyndman&X.Zhou在2014年12月11日的QTSMs中给出了二次FBSDE的显式解∈ [0，T]。假设2.1始终有效，但是，如果等式（5）定义的过程V是（Ft，Q）鞅，则无论因素过程的动力学或无风险率对因素的函数依赖性如何，表征更普遍有效。由于Hsis Fs可从方程（1）中测量，因此P（s，T）=（Vs/Hs）是显而易见的。根据鞅表示定理emshreve（2004，定理5.4.2），存在一个Fs适应过程Js=[J（1）s，···，J（n）s]，表示为一个（1×n）向量过程，例如vs=V+ZsJudWu。（6） 由于恒生指数变化有限，因此满足了动态性，恒生指数=-r（Xs）Hsds。It^o的公式给出了Ys=（Vs/Hs）satifiesys=Y+Zsr（Xu）Yudu+ZsZudWuwhere Zu=（Ju/Hu）。从（3）中减去y的动力学，我们得到y=y-ZTsr（徐玉都）-ZTsZudWu。由于YT是T时的T到期零息票债券价格，我们从方程（1）中得出YT=P（T，T）=1。因此，在风险中性概率空间上(Ohm,F，{Ft，t≥ 0}，Q），我们对s有这个∈ [0，T]过程（Xs，Ys，Zs）满足系统Xs=X+Zs（AXu+B）du+ZsσdWu（7）Ys=1-ZTsr（徐玉都）-ZTsZudWu。（8） 方程（7）-（8）构成正倒向随机微分方程（FBSDE）。

呈现的特征说明了FBSDE（7）-（8）的适应解（Xs、Ys、Zs）的存在性和唯一性，如Pardoux和Peng（1992）所述（关于FBSDE的讨论，参见alsoEl Karoui等人（1997）和Ma and Yong（1999）。然而，由于z·是由鞅表示定理的应用而产生的，所以解的封闭形式是未知的。为了得到一个封闭形式的解，我们接下来应用一个测度变化，并考虑新测度下FBSDE的动力学。然后，将Yong（1999）的方法用于线性FBSDE的情况，以得到非线性FBSDE，我们能够证明存在唯一性，并提供显式解。回想一下远期措施的定义：定义3.1以零息债券为基准。定义∧T=P（0，T）-1exp-中兴（徐）都. （9） 然后用qt（A）定义T向前测量qt:=ZA∧TdQ，A.∈ FT.定义∧t=E[∧t | FT]并注意∧t=EP（0，T）-1exp-徐都英尺= 五、-1E经验-徐都英尺= 五、-vt。（10） C.B.Hyndman&X.Zhou 2014年12月11日QTSMs中二次FBSDE的显式解将方程（10）替换为方程（6），以确定V∧s=V∧+sZJudWu。（11） （11）的两边除以vt∧的动力学由∧s=∧+sZJuVdWu=1+szjuvhuvuvudwu=1+sZY给出-1祖∧乌德乌。然后，根据Girsanov定理，过程{WTt}0≤T≤定义为WTT的Tde=Wt-tZZu′yudu是前向测度QT下的标准布朗运动。因此，在正向测量QT下，FBSDE（7）-（8）变为X=X+sZ（AXu+B+σZu′Yu）du+sZσdWTuYs=1-TZs余（许）+祖祖余杜-TZsZudWTufor s∈ [0，T]。特别是对于QTSM，r（Xt）由（2.1）给出，我们有s∈ [0，T]Xs=X+sZ（AXu+B+σZu′Yu）du+sZσdWTu（12）Ys=1-TZsYu[Xu′ΓXu+RXu+k]+ZuZu′Yu杜-TZsZudWTu。（13） FBSDE（12）-（13）是非线性的，包括BSDE驱动器中的两个二次项，并且完全耦合。

此外，鉴于BSDE驱动程序中的二次项（Xu′ΓXu），它不属于Hyndman（2009）中考虑的类别。根据里克特（2012）的说法，很少有二次BSDE的显式解可用的例子。显然，Hyndman（2005、2007a、2009）的研究结果提供了一些例子。Weshall证明，独立于已经介绍的构造，FBSDE（12）-（13）提供了另一个例子。与Hyndman（2005、2007a、2009）的结果类似，该解被解释为Riccati型ODE的解。Riccati方程和可解性的充分条件如下。引理3.2如果Γ∈ Rn×nis正半定义Riccati型微分方程0=ddtR（t）+（R′（t）+R（t））A-Γ+（R（t）+R′（t））σ′（R（t）+R′（t）），R（t）=0n×n（14）0=ddtR（t）+R（t）A+B′（R（t）+R′（t））-R+R（t）σ′（R（t）+R′（t）），R（t）=01×n（15）允许唯一解R（·）∈ Rn×n，R（·）∈ R1×t∈ [0，T]。证明：如果我们设置定理a.1的方程（86）-（87），则非对称矩阵Riccati方程（14）是附录中考虑的更一般方程的特例。因此，由于Γ是正半定义，我们拥有（Υ+Υ′）是正半定义，（Θ+Θ′）是负半定义。也就是说，定理A.1的条件是满足的，所以（14）给出的R（t）在区间[0，t]上有唯一解。然后，方程式（15）的解来自推论A.4，θ=0，ψ=R.C.B.Hyndman&X。2014年12月11日QTSMs中二次FBSDE的周显式解考虑到BSDE（13）的对数，简化了主要结果的证明。根据s到T的^o公式，我们得到logys=-TZs{ZuZu\'Yu+Xu\'Xu+RXu+k}du-Tzzzuyudwtu。