由二次项产生的二次FBSDE的显式解

在与CIR模型相对应的一维情况下，随机流的半群性质可以用来表明该系数是确定性的。不幸的是，在因子过程是多维的情况下，Elliott和van der Hoek（2001）的keyapproximation引理的证明存在差距，该引理用于声称线性ODE的系数是确定的（见Hyndman（2009，2011））。Hyndman（2009）的FBSDE方法证明，作为主要结果的推论，随机流动方法中债券价格的线性常微分方程系数实际上是确定性的。在高斯因子过程的情况下，利率是因子过程的二次函数，可以考虑一维情况下的随机流动方法。我们发现，尽管因子过程是高斯过程，且流量的导数是确定性的，但为了获得债券价格的ODE，仍然需要改变度量。假设在风险中性概率空间上给出了因子过程的动力学Xt(Ohm,F，{Ft，t≥ 通过一维模型dxt=β（α-Xt）dt+σdWt（49）C.B.Hyndman&X.Zhou 2014年12月11日QTSMs中二次FBSDE的显式解，以及由因子过程的二次函数r（Xt）=cXt+bXt+a（50）给出的无风险利率rtis（49）的解从X开始∈ 时间t的R≥ 也就是说，Xt，xssatis fiesxt，xs=x+sZtβ（α-xu，xu）du+σsZtdWu，s∈ [t，t]。我们将Xt、XS称为与因素过程相关的随机流。包括Elworth（1978）、Bisit（1981a，b）和Kunita（1984，1990）在内的许多作者对随机流动进行了广泛研究。地图x→ Xt，xsis Q-几乎可微及导数满足性Xt，xsx=1-βZst徐先生xdu，s≥ t（51）Protter（1990，定理39，p 250）。

方程（51）可以独立于x求解。如果Dtssatis fiesDTS=1-βsZtDtudu（52）那么（52）的唯一解是指数=e-β（s）-t） 。（53）即Dts=Xt，xsx不依赖于所有0的x≤T≤ s≤ T根据Xt的Markov性质，P（t，t）=P（t，t，Xt），其中P（t，t，x）=E经验-TZtr（文，徐）杜. （54）继Elliott和van der Hoek（2001）和Hyndman（2007a，b，2009）之后，采用（54）对x的导数，我们发现P（t，t，x）x=E-TZtr′（Xt，xu）徐先生xdu经验-TZtr（文，徐）杜= EL（t，t，x）exp-TZtr（文，徐）杜, （55）其中l（t，t，x）=-TZt（2cXt，xu+b）Dtudu。由于b（x，t）：=β（α），我们可以交换期望和微分的顺序-x） σ（x，t）：=σ满足x中的线性增长条件和全局Lipschitz条件，b（x，t）和σ（x，t）的偏导数是连续的，满足多项式增长条件，函数-RTtr（x）du具有满足多项式增长条件的两个连续导数（见Friedman（1975年，第117-123页））。与Elliott、van der Hoek（2001）和Hyndman（2007b）的工作不同，在高斯因子驱动的ATSMs的情况下，我们可能不会从方程（55）中的期望中考虑L（t，t，x），因为该函数依赖于xu。因此，尽管假设2.1给出的瞬时利率模型是由高斯因素驱动的，但我们在Elliott和van der Hoek（2001）和Hyndman（2007a，2009）中引入了概率测度的变化。也就是说，为了将公式化方程（55）作为一个常微分方程，我们表达了前向测度下的条件期望。这种选择的动机是平方高斯过程和前面提到的CIR过程之间的关系。C.B.海德曼和X。

2014年12月11日QTSMs中二次FBSDE的显式解回顾了正向测量的定义3.1，并注意到，对于任何FT可测量的随机变量，ET |~n|∞ Bayes定理的一般版本（见Karatzas和Shreve（1991年，引理3.5.3））给出了thatET[~n| Ft]=∧-式（9）给出∧T，从式（10）我们可以写出∧T=exp-tRr（徐）杜P（t，t）P（0，t）。（57）将等式（9）和（57）代入等式（56），注意expRtr（徐）杜英尺是可测量的，到英尺P（t，t）=Eexp-TZtr（Xt，Xtu）du英尺. （58）因此，在等式（58）中，我们发现P（t，t，x）十、x=Xt=P（t，t，Xt）ETL（t，t，Xt）英尺（59）类似于债券价格的线性颂歌。为了解方程（59），我们必须首先考虑条件期望对Xt的依赖性。为了推导正测度下XuXt的动力学，我们必须使用Girsanov定理刻画QT下的布朗运动。正如inElliott和van der Hoek（2001）所说，我们可以证明∧t=∧-tZΘu∧udWu，其中Θu=-σETL（u、T、Xu）傅. （60）因此，根据Girsanov定理，由wtt=Wt+tZΘudu（61）定义的过程wtt是关于前向测度QT的标准布朗运动。使用方程（60）-（61）在正向测量下，Xt，xs的动力学为Xt，xs=x+sZt{β（α-Xt，xv）-σΘv}dv+σsZtdWTv。（62）将It^o的乘积规则应用于（52）给出的dts和（62）给出的Xt，xs的动力学。然后，由于Dts（x）是有限变化的，我们有xt，xsDts=x+sztdtvdx，xv+sZtXt，xvdDtv=x+αβsZtDtvdv-2βsZtXt，xvDtvdv+σsZtDtvdWTv-σsZtDtvETTZv（2cXv，xv+b）Dvvx=XvdvFvdv。（63）C.B.Hyndman&X。

2014年12月11日，QTSMs中二次FBSDE的周显式解在x=Xt时评估方程（63），并在正向测量QTto FINDET[Xt，XtsDts | Ft]=Xt+sZt下采用Ft条件期望αβ数字电视-2βET[Xt，XtvDtv | Ft]-σTZvET[DtvET[（2cXv，Xvv+b）Dvvdv | Fv]| Ft]dv。（64）根据条件期望的塔性质，自t≤ 五、≤ s≤ T，方程（64）二重积分中的条件期望变成[DtvET[（2cXv，Xvv+b）Dvv | Fv]| Ft]=ET[Dtv（2cXv，Xvv+b）Dvv | Ft]=2cET[dtvdvvvvvvvxv，Xvv | Ft]+bdtvdv，（65），其中我们使用了Dvvis≤ 五、≤ 五、≤ T根据我们的流动特性，对于t≤ 五、≤ 五、≤ T，Xv，Xvv=Xv，Xt，Xtvv=Xt，Xtv（66），根据等式（53）或链式法则，我们得到了dtvdvv=e-β（v）-t） e-β（v）-v） =e-β（v）-t） =数字电视。（67）然后，将方程（65）和（67）代入方程（64）以确定[Xt，XtsDts | Ft]=Xt+αβsZtDtvdv-2βsZtET[Xt，XtvDtv | Ft]dv-bσszttzvdvdv-2cσsZtTZvET[Xt，XtvDtv | Ft]dvdvv。（68）对于t≤ 五、≤ 定义g（T，v，x）=ET[Xt，xvDtv]。然后，根据Xt的马尔可夫性质，~g（t，v，Xt）=ET[Xt，XtvDtv | Ft]和等式（68），我们得到了~g（t，s，Xt）=Xt+αβsZte-β（v）-t） dv-2βsZt~g（t，v，Xt）dv-bσsZtTZve-β（v）-t） dvdv-2cσsZtTZv＠g（t，v，Xt）dvdv。（69）方程（69）可通过考虑x来求解∈ R、 非线性积分方程g（t，s，x）=x+αβsZte-β（v）-t） dv-2βsZtg（t，v，x）dv-bσsZtTZve-β（v）-t） dvdv-2cσsZtTZvg（t，v，x）dvdvv。（70）对方程（70）进行两次关于s的微分，我们得到以下等价ODEg′（t，s，x）=-αβe-β（s）-（t）-2βg′（t，s，x）+bσe-β（s）-t） 带边界条件的+2cσg（t，s，x）（71）sg（t，t，x）=x（72）g′（t，t，x）=αβ-2βx-bσTZte-β（v）-t） dv-2cσTZtg（t，v，x）dv。（73）常微分方程（71）有一般解g（t，s，x）=c（x）e(-β+√β+2cσ）s+c（x）e(-β-√β+2cσ）s+bσ-αβ-β-2cσ·e-β（s）-t） C.B.海德曼和X。

Zhou在2014年12月11日的QTSMs中给出了函数c（x）和c（x）仅依赖于x的二次FBSDE的显式解。应用边界条件（72）-（73），我们发现c（x）=αβ+σbη-2cσ（bσ）-αβ）βη·（e）-β（T-（t）-1） +x(-β+η）e(-β-η） （T）-t） +（bσ）-αβ）βη+（bσ）-αβ)(-β+η）η·e(-β-η） （T）-t） e(-β+η）Thβ+η+(-β+η）e2η（t-T）i，c（x）=αβ+σbη-2cσ（bσ）-αβ）βη·（e）-β（T-（t）-1） +x(-β-η） e(-β+η（T）-t） +（bσ）-αβ）βη+（bσ）-αβ)(-β-η） η·e(-β+η（T）-t） e(-β-η） Thβ-η+ (-β-η） e2η（T）-t） i，其中η=pβ+2cσ。因此，由于在x=Xt时，g（t，s，Xt）满足方程（69），我们通过边值问题（71）-（73）的唯一性得到了0的thatET[Xt，XtsDts | Ft]=g（t，s，Xt）（74）≤ T≤ s≤ T也就是说，ET[Xt，XtsDts | Ft]是Xt的确定函数。考虑等式（59）中的条件期望。根据富比尼定理和方程（74），我们得到了L（t，t，Xt）英尺= -TZtET（2cXt，Xtu+b）Dtu英尺du=-bTZtDtudu-2cTZtg（t，u，Xt）du=c（Xt）(-β-η） σ·（e）(-β+η）T-e(-β+η）t）+c（Xt）(-β+η）σ·（e）(-β-η） T-e(-β-η） t）+bη-2c（bσ）-αβ）βη·（e）-β（T-（t）-1).（75）在（59）中替换（75）并写出P（t，t，x）十、x=Xt=P（t，t，Xt）（A（τ）Xt+B（τ））（76）式中（τ）=2c（e2ητ）-1)β-η+ (-β-η） e2ητ，（77）B（τ）=hαβ+（Bσ）-αβ）βηih(-β-η） （e2ητ）-1) -2ηi+（bσ）-αβ)(β-η） η·（e2ητ）-1） +2ηeητ·bση-2cσ（bσ）-αβ）βησh（β+η）（e2ητ）-1） +2ηi（78），其中τ=T-t、 常微分方程（76）的解P（t，t，Xt）=expn·A（τ）Xt+B（τ）Xt+C（t，t）o，（79）其中C（t，t）是Rto R的一个可微函数。根据费曼-卡克定理卡拉茨和什里夫（1991），P（t，t，x）在（54）中定义了柯西问题0=P（t，t，x）t+β（α）-十）P（t，t，x）x+σP（t，t，x）(十）-（cx+bx+a）P（t，t，x），（80）1=P（t，t，x）。（81）在PDE（80）中替换（79）并除以P（t，t，Xt），我们有XtA（τ）t+Xt·B（τ）t+C（T，T）t+（βα）-βXt）[A（τ）Xt+B（τ）]+σh（A（τ）Xt+B（τ））+A（τ）i=cXt+bXt+A（82）C.B.海德曼&X。

2014年12月11日QTSMs中二次FBSDE的周显式解比较方程（82）两侧的系数，得到C（T，T）0的常微分方程=C（T，T）t+βαB（τ）+σB（τ）+σA（τ）-a（83）0=C（T，T）。（84）求解常微分方程（83）-（84），并表示C（τ）=C（T，T），我们有C（τ）=bσ-2αβb-2αβc2ητ+对数2ηe（η+β）τ（β+η）e2ητ+η-β+2c（bσ）-αβ）+2β（b+2cα）（bσ）-αβ）（β+η）eητ-βσ（b+2cα）η（β+η）h（β+η）e2ητ+η-βi+βσ（b+2cα）-2c（bσ）-αβ)-2β（b+2cα）（bσ-αβ)(β+ η)2η(β+ η)-aτ。（85）总结本节的材料，我们得到以下结果，表明P（t，t，Xt）是因子过程的指数二次函数。t的定理5.1∈ [0，T]对于所有x∈ R、 P（t，t，Xt）=exp·A（τ）Xt+B（τ）Xt+C（τ）,其中A（τ）、B（τ）和C（τ）分别由（77）、（78）和（85）给出。马尔可夫性质P（t，t）=P（t，t，Xt）给出了零息票债券价格的以下特征。推论5.2如果因子过程由（49）给出，短期利率由函数（50）表示，则零息债券价格isP（t，t）=expn·A（τ）Xt+B（τ）Xt+C（t，t）o，其中A（τ）、B（τ）和C（τ）分别由（77）、（78）和（85）给出。推论5.2与Nawalkha等人（2007年，第487-488页）的结果一致。在高维情况下，随机流动方法需要在模型中添加一些参数限制，类似于格拉塞利和特巴尔迪（2007）研究的ATSM情况。

尽管如此，本节中考虑的示例说明了具有高斯因子过程的一维QTSM中的随机流动方法与一维ATSM模型的相似性，并为改变度量的必要性提供了进一步的动机。6结论在本文中，我们将Hyndman（2009）在有限期结构模型背景下引入的FBSDE方法扩展到二次期结构模型（QTSM），其中因子过程是高斯的，无风险利率是因子过程的水龙函数。在刻画了因子过程和债券价格在前向测度下的耦合二次FBSDE之后，我们证明了FBSDE的存在性和唯一性，并给出了一个显式解。该方法提供了具有显式解的二次FBSDE的新示例。我们将FBSDE方法推广到考虑风险资产的期货价格和远期价格，现货价格由因子过程的指数二次函数给出，我们称之为二次价格模型。我们的结果受到Elliott和van der Hoek（2001）的随机流方法的推动，就像ATSM的情况一样，我们简要考虑了一维QTSM，以说明为什么测量技术的改变是必要的，即使这些因素是高斯的。本文的结果可以很容易地推广到考虑系数随时间变化的高斯因子模型。C.B.Hyndman&X.Zhou在QTSMs 2014A年12月11日附录中给出了二次FBSDE的显式解。我们考虑了一个非对称Riccati型矩阵微分方程的可解性，其中包括定理3.3、4.3和4.7中给出的FBSDE可解性的必要条件，以及它们的推论，这些推论刻画了债券、期货和远期价格。

虽然本附录中给出的结果比我们的目的所需的结果更一般，但我们认为它作为可解非对称Riccati型方程的一个例子具有独立的意义。证明方法包括将非对称Riccati型微分方程分解为Gombani和Runggaldier（2013）采用的线性二次型最优控制（LQC）的经典对称矩阵Riccati方程和一个斜对称矩阵的和。有关LQC的Riccati方程的更多详细信息，请参见Anderson and Moore（1971）和Barnett（1971）。关于Riccati方程的全面信息可在Lancaster和Rodman（1995年）和Abou Kandil等人（2003年）中找到。我们将我们的结果与Gombani和Runggaldier（2013）中提出的QTSM债券价格相关。然而，我们的方法和模型参数化与Gombani和Runggaldier（2013）不同，因此我们得到的结果略有不同。然而，正如下一个结果所显示的那样，两者之间存在着密切的关系。定理A.1考虑R（t）dR（t）dt+（[R（t）]′+R（t））A+（[R（t）]′+R（t））σ′（[R（t）]′+R（t））的一般（n×n）矩阵Riccati型微分方程-Υ=0（86）R（T）=Θ（87），其中（Υ+Υ′）为正半定义，（Θ+Θ′）为负半定义。然后（i）在整个区间[0，t]上始终存在（86）-（87）的解R（t），并且可以表示为R（t）=-（U（t）+V（t））（88）其中U（t）满足dDTU（t）+U（t）A+A′U（t）-2U（t）σ′U（t）+Q=0（89）U（t）=C（90），其中Q=（Υ+Υ′）和C=-（Θ+Θ′）和V（t）由V（t）=C+ZTt[U（s）A给出-A′U（s）+Q]ds（91）式中Q=（Υ-Υ′）和<<C=-(Θ-Θ′).（ii）（89）-（90）的解总是存在于区间[0，T]中，它可以表示为U（T）=Y（T）X（T）-其中X和y满足线性微分方程ddtX（t）Y（t）=A.-2σσ′-Q-A′X（t）Y（t）X（T）Y（T）=IC.

（92）此外，如果Φ（t，s）表示与ddtx（t）=[A]相关的基本解（转移矩阵）-2σσ′U（t）]x（t）（93）然后x和Y接受以下解释x（t）=Φ（t，t）andY（t）=U（t）Φ（t，t）。C.B.Hyndman&X.Zhou 2014年12月11日QTSMs中二次FBSDE的显式解证明：作为Gombani和Runggaldier的特例（2013，定理B.1）（ii）的证明紧随其后。证明（i）首先假设R（t）是区间[0，t]上（86）-（87）的解，并定义对称矩阵xu（t）=-（R（t）+[R（t）]′。（94）关于t的微分方程（94）我们通过（86）得出，U（t）满足ddtu（t）=-ddtR（t）+ddt[R（t）]\'=（[R（t）]′+R（t））A+（[R（t）]′+R（t））σ′（[R（t）]′+R（t））-Υ+A′（[R（t）]′+R（t））+（[R（t）]′+R（t））σ′（[R（t）]′+R（t））-Υ′= -U（t）A-A′U（t）+2U（t）σ′U（t）-（Υ+Υ′）给出（89）。在t=t时评估（94）并应用（87）givesU（t）=-（R（T）+[R（T）]′=-[Θ+Θ′=Cwhich为（90）。接下来，定义斜对称矩阵V（t）byV（t）=-（R（t）-[R（t）]\'（95）并根据t进行区分，以发现V（t）满足DDTV（t）=-ddtR（t）-滴滴涕[R（t）]\'= --（[R（t）]′+R（t））A-（[R（t）]′+R（t））σ′（[R（t）]′+R（t））+Υ+A′（[R（t）]′+R（t））+（[R（t）]′+R（t））σ′（[R（t）]′+R（t））-Υ′= -U（t）A-A′U（t）+Q. （96）在t=t时评估（95），并将（87）应用于FINV（t）=-（R（T）-[R（T）]′=-(Θ-因此，解（96）-（97）给出V（t）满足（91）。相反，假设R（t）由（88）-（91）定义。注意，（89）-（90）的任何解都是对称的，（91）给出的V（t）是斜对称的。因此，通过平方矩阵分解为对称矩阵和反对称矩阵之和的唯一性，我们必须有U（t）=-（R（t）+[R（t）]和V（t）=-（R（t）-[R（t）]′。

然后R（t）满足DDTR（t）=-ddtU（t）-ddtV（t）=-[-U（t）A-A′U（t）+2U（t）σ′U（t）-Q]-[-U（t）A+A′U（t）-~Q]=2U（t）A-2U（t）σ′U（t）+Q+~Q=2-（R（t）+[R（t）]′）A.-2.-（R（t）+[R（t）]′）σσ′-（R（t）+[R（t）]′）+ Q+~Q=-（R（t）+[R（t）]′A-（R（t）+[R（t）]′σ∑′（R（t）+[R（t）]′））+Υ，根据需要为（86）。最后，在t=t时评估（88）给定sr（t）=-（U（T）+V（T））=-C-~C=（Θ+Θ′）+（Θ）-Θ′）=Θ因此（87）是满意的。C.B.Hyndman&X.Zhou在2014年12月11日的QTSMs中给出了二次FBSDE的显式解。备注A.2定义了与（92）H相关的哈密顿量=A.-2σσ′-Q-A′.因为H是常数，所以有一个显式表示X（t）Y（t）= 呃(t)-（T）IC.因此，根据定理A.1，R（t）在区间[0，t]上有一个显式解。备注A.3在债券价格Υ=Γ和Θ=0的情况下。因此，根据假设2.1，由于Γ是正半限定的，并且隐式对称，我们得到ΓQ=0。此外，由于C=0，在债券价格的情况下，等式（91）简化为v（t）=ZTt[U（s）A-A\'U（s）]ds。为了提供与Gombani和Runggaldier（2013）的结果的精确对应，似乎我们应该为所有t的V（t）=0∈ [0，T]这在一维情况下显然是正确的，其中A是标量，然而，在多维情况下，结果并不明显。