路径积分与资产定价

（28）中的路径积分为：Zeξ（t）=eξ（tf）=0Dξexp-S（2）[eξ]= NYnλ-1/2n=N[det（C）]-1/2（38），其中C的行列式正式定义为其特征值的乘积。被称为Schr¨odinger Operator。3.4.1 Gelfand-Yaglom定理计算Schr¨odinger算子行列式是由Gelfand-Yaglom定理（Gelfand-Yaglom，1960）促进的，根据Gelfand-det（C）det（C）=φ（tf）φ（tf）（39），其中可以考虑两个具有Dirichlet边界条件的Schr¨odinger算子，并且Cφ=0，φ（t）=0，˙φ（t）=1（40）Cφ=0，φ（t）=0，˙t）=1（41）将该定理应用于C=C和C=C*, 其中C在（30）中定义，而*是薛定谔算子f还是自由粒子（V=0）C*≡ -滴滴涕（42）并注意到φ*（t） =t- t、 我们有det（C）=det（C*)φ（tf）tf- t（43），其中φ（t）是以下初值问题的解：-滴滴涕+U（t）φ（t）=0，φ（t）=0，˙φ（t）=1（44），如果需要，这很容易用数字实现（见下文）。因此，我们的路径积分减少到zeξ（t）=eξ（tf）=0Dξexp-S（2）[eξ]=eNstf- tiφ（tf）（45），其中≡ [det（C）*)]-1/2N（46）我们甚至不需要计算N，这可以通过离散化，计算（N）来实现-1） int egr als，然后取N→ ∞ 极限——因为如果我们知道振幅hxf，tf | x，ti*对于自由粒子的情况，我们可以直接计算。这正是我们在资产定价方面将遵循的方法。另见例如（Burghelea等人，1991年），（Coleman，1979年），（Dunne，2008年），（Forman，1987年），（Kleinder和Chervyakov，1998年），（Kleinder，2004年），（Kirsten和McKane，2003年，2004年），（Le vit和Smilansky，1977年），（Simon，1977年）。3.4.2 Van Vleck-Pauli-Morette公式在明确知道SCLA是X和X函数的情况下，我们甚至不需要求解（44）。

我们可以用Van Vleck-Pauli-Morette公式来代替：φ（tf）=-Scl十、然而，在实践中，通常可能更容易求解（44）。3.5算子期望值到目前为止，我们已经讨论了概率振幅hxf，tf | x，ti。更一般地说，我们可以考虑期望值shxf，tf | A（t）| x，ti≡Zx（t）=x，x（tf）=xfDx exp-S~A（t）（48），其中l.h.s.被解释为opera t或A（t）的期望值，而r.h.s.A（t）是由x（t）、其导数和t.LetA构造的函数（al）≡ 经验(-eA/~）。然后我们有hxf，tf | A（t）| x，ti≡Zx（t）=x，x（tf）=xfDx exp-eS~！（49）在哪里≡ S+eA。一般来说，如果NEA不是t的局部函数，而是一个泛函，则通过半经典近似，将基于S的EulerLagrange方程的经典解展开为二次函数，来近似该路径积分是不正确的。相反，我们必须围绕基于“有效”作用的欧拉-拉格朗日方程的经典解展开。然而，这些事件甚至可能不是本地的。在这种情况下，上述方法不能直接应用。这将限制A（见下文）。4资产定价中的路径积分在资产定价中自然会出现欧几里德路径积分。假设我们有一个证券柜，一个现金债券，让我们假设Bt是确定性的。假设X是T。那么，在时间t时索赔的价格为g byVt=BthB-1TXiQ，Ft（50）这里Q是贴现股价Zt的度量≡ B-1是一个鞅，条件期望h·iQ，fti沿e的后半部分定义。g、 ，这可能是一个看涨期权/看跌期权/二进制期权或其他衍生工具。具有初始段Ft的路径。下面我们用路径积分语言讨论这种条件期望。

我们的讨论是一般性的，不限于股票。考虑t=0和某个水平时间t之间的P-布朗运动（这里P是度量）。设x（t）为Wt的值（x（0）=0）。我们将划分时间间隔[t，tf]，0≤ t<tf≤ T，分为N个子区间[ti]-1，ti]，tN≡ tf，ti- 钛-1.≡ ti>0。让xi≡ x（ti），xN≡ xf，xi≡ xi- xi-1.让我们看看，0≤ T≤ T是一个可预见的过程，也就是说，at只取决于路径Ft={（x（s），s）|s∈ [0，t]}:At=A（Ft）（51）条件期望（这里Ft={（x*（s） ，s）|s∈ [0，t]，x*（0）=0，x*（t） =x}，其中x*（s） 是固定的）hAtfiP，英尺（52）可以被认为是钛→ 0，即，N→ ∞, 相应离散表达式的极限：hAtfiP，Ft=limN→∞NYi=1Z∞-∞dxi√2πtiexp-(xi）2钛自动变速驱动桥油液温度，英尺（53）t，英尺=A（英尺∪ 这个极限不过是一个欧几里德路径积分hatfip，Ft=Zx（t）=xDx exp(-S） Atf，Ft（55），其中Dx包括一个正确标准化的测量值（见下文），和[x]≡Ztft˙x（t）dt（56）是R上自由粒子的欧几里德作用泛函（与之前一样，˙x（t）中的点表示时间导数）。让我们注意到路径积分（55）和量子力学欧几里德路径积分（19）在单位上的一些直接差异。这里我们有无规数m或~，x（t）没有长度的维数，而是长度的维数√t、 也就是说，在m=~=1的单位中，两条路径的积分是相同的。在这些单元中，（2）和（53）中的离散度量是相同的。注意，（53）中的度量是布朗运动度量P的一个集合。又名。

一个维纳过程。在这种情况下，只有x（t）=xis固定，xN=xf被整合在一起——见下文。回想一下，测量（22）是通过要求与实验一致来确定的，无论是直接的还是通过使用薛定谔方程（例如，薛定谔方程）的推导来确定的，薛定谔方程本身是通过实验验证的。在量子力学的背景下，我们考虑了两个端点都固定的路径。这里我们也有以下条件期望：hAtfiP，Ft，x（tf）=xf=limN→∞N-1Yi=1Z∞-∞dxiNYi=1√2πtiexp-(xi）2钛Atf，Ft=Zx（t）=x，x（tf）=xfDx exp(-S） Atf，Ft（57）注意hatfip，Ft=Z∞-∞dx′hAtfiP，Ft，x（tf）=x′（58）在资产定价环境中，我们主要对后一种条件预测感兴趣。至少≡ 1条件表达式（57）是从（x，t）开始并在（xf，tf）结束的概率：h1iP，Ft，x（tf）=xf=P（x，t；xf，tf）=p2π（tf）-t） 经验-（xf- x） 2（tf）- （t）（59）第3.4小节中的讨论保持不变（m=~=1），我们可以通过注意Scl=（xf）立即在（45）中进行讨论- x） /2（tf）- t） φ（t）=t- 在这种情况下，n=p2π（tf- t） （60）通过使用离散化定义（57）并采用大N限值进行直接（繁琐，尽管是直接）计算，可以获得相同的结果。使用路径积分技术可以让我们快速而优雅地找到答案。现在我们有了Fixeden，我们可以用Atof the formAt=exp计算（模拟）期望值的“半经典”近似值（57）-Ztdt′[ρ（x（t′），t′）˙x（t′）+V（x（t′，t′）]≡ Atexp(-eAt）（61），其中ρ（x，t）和V（x，t）是确定性函数。因此，删除≡ S+eAt（62）然后“半经典”近似由hatfip，Ft，x（tf）=xf=Atp2πφ（tf）exp给出-eScl（63）注意，在量子力学的背景下，这个量可以解释概率振幅。或PDE语言中的WKB近似值。

我们将使用“半经典”近似。何处≡eS[xcl]，xcl（t）是Euler-Lagrange方程的解（受边界条件xcl（t）=x和xcl（tf）=xf）0=ddt的约束）埃尔 ˙x-埃尔x=¨x+ρ（x，t）T-V（x，t）x（64），其中“有效”拉格朗日数定义为通孔=ZtftdteL（65），并由下式给出=˙x+ρ（x，t）˙x（t）+V（x，t）（66），-φ（t）+U（t）φ（t）=0，φ（t）=0，˙φ（t）=1（67）U（t）≡V（xcl，t）十、-ρ（xcl，t）十、t（68）注意，局部的ρ（x，t）˙x项INL只是简单地移动五/x比ρ/t、 我们在附录A中讨论了一些明确的例子。以下是注意事项。Atin（61）形式的选择是基于这样一个要求，即“有效”作用是一个局部泛函，不包含高于x的导数。即使是局部的，IfeL依赖于x（t）的高导数，那么我们在近似中不再有Schr¨odinger算子，我们忽略了高于x的二次项。IfeL包含非局部项，例如eL（x，˙x，t）=˙x+Ztbtadt′γ（t′）x（t′）（69）如果γ（s）是某种确定性函数（例如，ta=0和tb=t，或ta=tand-tb=tf），那么我们讨论的方法不能直接应用。5短期利率模型的应用路径积分法可用于短期利率模型中的债券定价。短期利率模型假设风险中性度量Q和短期利率过程rt。

灰键过程由bt=exp给出Ztrsds（70）非本地债券可以被视为包含x的更高导数的有限系列条款，而债券价格由p（t，t）给出=经验-ZTtrsdsQ、 Ft（71）一般索赔X到期时t的价格t是vt=经验-ZTtrsds十、Q、 Ft（72）考虑索赔X=1（为了避免与总体V（X，t）混淆，我们使用小写V作为定价函数）：V（z，t，t）≡经验-ZTtrsdsQ、 rt=z（73），其中v（rt，t，t）=P（t，t），v（z，t，t）=1。在短期利率模型中，通常使用一个参数化的过程系列，并选择最适合市场的参数。因此，让我们假设rt满足以下SDE：drt=σ（rt，t）dWt+ν（rt，t）dt（74），其中σ（y，t）和ν（y，t）是确定性函数，WT是Q-布朗运动。定价函数v（z，t，t）满足定价PDE，这符合贴现债券过程z（t，t）的要求≡ B-1tP（t，t）=B-1tv（rt，t，t）是风险中性测度Q:ν（rt，t）下的鞅zv（rt，t，t）+tv（rt，t，t）+σ（rt，t）zv（rt，t，t）- rtv（rt，t，t）=0（75），边界条件v（z，t，t）=1.5.1路径积分近似，而不是假设（74）并求解定价偏微分方程，在上一节之后，我们可以将v（z，t，t）写成路径积分。我们将分两步进行。我们将展示Vasicek/Hull White模型。然后我们将讨论一个推广。在Vasicek/Hull-White模型中，短RATE SDE读数为：drt=σ（t）dWt+[θ（t）- α（t）rt]dt（76），其中σ（t）、θ（t）和α（t）仅依赖于时间。对于常数σ、θ和α，我们有平均值-r翻转Ornstein-Uhlenbeck过程。

目前，我们不会假设σ（t）、θ（t）和α（t）是常数。设β（t，t）≡ 经验-ZTtα（s）ds（77）η（t，t）≡因此，我们的定价函数v（z，t，t）为：v（z，t，t）=经验-rtη（t，t）-ZTtη（s，T）[σ（s）dWs+θ（s）ds]Q、 rt=z=exp-zη（t，t）-ZTtdsη（s，T）θ（s）-η（s，T）σ（s）（80）我们使用过的地方（142）。没有证据表明这个结果是准确的。5.2直接路径积分计算Vasicek/Hull-White模型的一个缺点是RTC有时会变为负。解决这个问题的一种方法是考虑formrt=rf（Xt）/f（X）的短期利率模型，其中Xt遵循Va-sicek/Hull-White模型：dXt=σ（t）dWt+[θ（t）- α（t）Xt]dt（81）这里f（y）是一个正函数，例如f（y）=exp（y），这是黑色Karasinsskimel模型。从路径积分中，我们可以立即看到，在一般情况下，“有效”作用是非局部的。在σ、θ和α为常数的情况下，问题是可处理的。现在，我们将通过使用测量值变化的直接路径积分计算，得出常数σ、θ和α的结果（80）。在这个过程中，如何处理更一般的情况（包括Black Karasinski模型）将变得清晰。我们有Q-布朗运动。

考虑下面的P-布朗运动：fWt≡ Wt+Ztγsds（82），其中可预见的过程γ由（注意，在这种情况下，rt=XT）γt给出≡θ - αrtσ（83）更准确地说，即使θ和α依赖于t，这个问题也是可以处理的——见下文。一个类似但更“启发性”的计算在（Otto，1998年）中进行。测量值的变化由dqdp=exp给出ZTγsdfWs-ZTγ-sds（84）此外，我们有drt=σdfWt（85）和rt=r+σfWt（86）γt=ν- αfWt（87）ν≡θ - αrσ（88）定价函数由v（z，t，t）给出=经验ZTtγsdfWs-γ-sds- rsdsP、 fWt=（z）-r） /σ（89）这是一个高斯路径积分——回想一下，fwsis被x（s）取代，dfwsis被˙x（s）ds取代。我们可以通过观察到，对于常数参数，定价函数dep仅在t和t的组合中结束，从而简化计算- t、 因此需要计算v（z，0，t），其中r=z，所以ν=（θ）- αz）/σ，x上的初始条件是x（0）=0。另一个简化是通过将积分从x改为y来实现的≡ 十、- ν/α，因此γsis被-αy（s）（且测量不受影响）。然后我们得到以下路径积分：v（z，0，T）=GZ∞-∞dy′exp-θαT-α（y′）-να××Zy（0）=-ν/α，y（T）=y′Dy exp-锿（90）其中“有效”作用项=eS[y（s）]由eS=ZTdseL（y（s），˙y（s））（91）和“有效”拉格朗日表示为：eL（y（s），˙y（s））=˙y（s）+V（y（s））（92），其中V（y（s））=αy（s）+σy（s）（93）根据卡梅伦-马丁-吉尔萨诺夫定理，路径积分提供了有力的证明——详见（Kakusha Dze，2015）。此外，G是一个归一化因子。我们已经考虑了量度的变化，所以G应该是1。然而，事实并非如此。在我们计算路径积分后，我们将立即回到gm。Dy上的高斯路径积分可以用（146）来完成。

一个冗长而直接的计算给出了sv（z，0，T）=G exp-αT××经验-zeη（T）-θα[T- eη（T）]+σ2αhT- eη（T）-αeη（T）i（94）eη（T）≡1.-经验(-αT）α（95）这与（80）完全一致，系数不变，但预因子exp除外(-αT/2）。这是因为eg=expαT（96）为了看到这一点，让我们计算expectationu（z，0，T）≡经验ZTγsdfWs-γ-sdsP、 fWt=0（97）这应该等于1。让我们做上面的路径积分计算：u（z，0，T）=GZ∞-∞dy′exp-α（y′）-να××Zy（0）=-ν/α，y（T）=y′Dy exp-学士学位（98）其中“有效”动作bS=bS[y（s）]由bS=ZTD给出˙y（s）+αy（s）（99）这个给定su（z，0，T）=G exp-αT（100）所以，我们确实有（96）。这个额外的标准化因子是由于（98）中y′=y（T）的积分而产生的：我们必须对变量e进行积分，这样它就等于Q测度下x′=x（T）的积分，这个变量就是y（T）exp（αT/2）。我们在附录B中对此进行了更详细的讨论。有关离散化图片中的相关讨论，请参见，例如（Mor iconi，2004）。6正短期率模型的推广现在清楚地知道了如何将路径积分方法推广到一般模型，即FormRT=rf（Xt，t）f（X，0）（101）dXt=σdWt+[θ- αXt]dt（102），σ、θ和α为常数。（我们将在下面讨论t相关系数。）在不损失g通性的情况下，我们可以设置X=0，f（0，0）=1。我们有Q-布朗运动Wt。考虑下面的P-布朗运动：fWt≡ Wt+Ztγsds（103），其中可预见的过程γ由γt给出≡θ - αXtσ（104）度量的变化由（84）给出。

我们有dxt=σdfWt（105）和xt=σfWt（106）γt=ν- αfWt（107）ν≡θσ（108）定价函数由v（z，t，t）给出=经验ZTtγsdfWs-γ-sds- rf（σfWs，s）dsP、 fWt=x*（109）其中x*由方程式Rf（σx）确定*, t） =z（110）我们可以把定价函数v（x，t，t）写成路径积分：fWsis替换为x（s），dfWsis替换为˙x（s）ds。通过将积分从x t更改为y，可以实现简化≡ 十、- ν/α，因此tγ被替换为-αy（s）（测量结果不受影响）。然后我们得到以下路径积分：v（z，t，t）=GZ∞-∞dy′exp-αh（y′）- Y*我××Zy（t）=y*, y（T）=y′Dy exp-锿（111）由于我们在函数f（Xt，t）中允许显式的时间依赖性，定价函数不再只依赖于t- t组合。哪里*≡ 十、*-θσα（112）“有效”a ctio neS=eS[y（s）]由eS=ZTtdseL（y（s），˙y（s），s）（113）给出，“有效”拉格朗日读数为：eL（y（s），˙y（s），s）=y（s）+V（y（s），s）（114），其中V（y（s），s）=αy（s）+rfσy（s）+θα，s（115）此外，G是f因子的正规化。