路径积分与资产定价

根据1=GZ的要求确定∞-∞dy′exp-αh（y′）-Y*我××Zy（t）=y*, y（T）=y′Dy exp-学士学位（116）其中bs=ZTds˙y（s）+αy（s）（117）这使得usG=expα（T）-（t）（118）与上一节完全平行——详情见附录B。对于一般函数f（Xt，t），Dy（111）上的路径积分不是高斯的。我们可以使用“半经典”近似：v（z，t，t）=expα（T）- （t）Z∞-∞dy′p2πφ（T）exp-αh（y′）-Y*我-eScl（119）何处≡是[ycl（s）]，而ycl（s）是由r–ycl（s）决定的=五(港币),港币(港币),港币(港币)y、 ycl（t）=y*, ycl（T）=y′（120）同样，φ（T）由-φ（s）+U（s）φ（s）=0，φ（t）=0，˙φ（t）=1（121）U（s）≡五(港币),港币(港币),港币(港币)y（122）注意，如果函数f（Xt，t）是二次函数（或线性函数），则（119）是精确的。6.1黑色卡拉辛斯基模型让我们举例说明关于黑色卡拉辛斯基模型的上述讨论：f（Xt，t）=exp（Xt）（123）我们有*=σln锆*（124）r*≡ 雷克斯普θα（125）V（y）=αy+r*exp（σy）（126）U（s）=α+r*σexp（σycl（s））（127），其中ycl（s）满足以下运动方程˙ycl（s）- α-ycl（s）- 2r*exp（σycl（s））=2E，y（t）=y*, y（T）=y′（128），其中E是积分常数。计算v（z，t，t）现在很简单：y和φ（t）是通过求解微分方程得到的，y′上的积分是快速收敛的。6.2“二次”模型事实上，为了确保短期利率是非负的，我们甚至不需要像Black Karasinski模型这样的高非线性模型。因此，考虑一个f（Xt，t）=1+b（t）Xt+a（t）Xt（129）的模型，只要b（t）<4a（t）且a（t）>0，短期利率严格正。“半经典”近似是精确的——路径积分是高斯的——即使对于非常数a（t）和b（t）。为了简单起见，让我们把重点放在常数系数a和b的情况下。二次模型（129）和线性情况之间有一个关键区别。

因此，从（95）（考虑到（96）），可以得出Vasicek/Hull-White模型中的渐近（即大T）产量（具有恒定的效率）为负，除非σ≤ 2αθ. 在路径积分语言中，这是由于势（93）中的线性项（对应于波动性）下的无界f，它与二次项（对应于均值回归）竞争。对于σ>2αθ，波动率“赢”和对应于短期利率负值的模式会影响债券价格。相比之下，在二次模型中，如果我们希望允许零短期利率，我们可以把这个条件放宽到b（t）≤ 4a（t）。在Vasicek/Hull White模型中，频谱——或者说，大致上是一组有助于债券和其他类别的短期利率值——是离散的。然而，只有当σ≤ 2αθ.（129）无论σ如何，渐近收益率总是正的。在路径积分语言中，这是由于势（93）中的附加二次项（源于（129）中的二次项）随波动性增加，并补偿线性项的负贡献。二次模型（129）很好地说明了路径积分法的实用性。在pa t h积分语言中，事情很简单——我们只需要理解如何一次计算高斯路径积分，并在各种模型中反复使用相同的工具。然而，在PDE语言中，事情看起来要复杂得多。因此，短速率SDE的读数为：drtr=2√aσsrtr-1.-b4adWt+2α1.-b4a+ aσ+2√A.θ+αb2asrtr-1.-b4a-2αrtr#dt（130）让我们定义一下≡ Wt+σθ+αb2at（131）那么我们有下面的SDE:drtr=2√aσsrtr-1.-b4adfWt+2α1.-b4a+ aσ-2αrtrdt（132），这是一个移位的Cox-Ingersoll-Ross过程。

然而，虽然WT是一个Q-布朗运动，其中Q是风险中性度量，但FWTG通常不是一个Q-布朗运动——它是一个在不同度量P下的P-布朗运动。因此，通过（132）重写SDE（130）没有得到任何结果。我们仍然需要解决一个与（130）相对应的更复杂的定价PDE（75），为了简洁起见，我们在这里不再详细说明。似乎不太可能根据简单直观的论点写下DE（130）和相应的定价PDE。一直以来，在路径积分语言中，这个模型是完全可解的。6.3短期利率正如引言中提到的，path integr al INA既不是灵丹妙药，也不是旨在产生“根本性的新结果”。然而，在某些情况下，它确实提供了一些优势。因此，正如我们在上一小节中所说，在≤ 4a，那么二次模型中的光谱是严格正的，分别为σ。事实上，为了获得非负光谱，可以进一步放宽该条件（见下文）。在特殊情况下，b=-2 aθ/α（其中必须有a<α/θ）我们有fwt=Wt。二次模式l中的路径积分联合计算非常简单，可以使用附录a中的高斯路径积分公式与Vasicek/Hull-White模型中的路径积分联合计算类似。为了简洁起见，我们跳过了细节，尤其是在下一小节的上下文中。在某种意义上，二次模型比bruitforce数值方法对定价PDE（75）具有“计算”优势，因为在这种情况下，路径积分是Ga-ussian，可以通过分析进行评估。

在这种情况下，它还提供了一个“直观”的优势，这不仅是因为解析解，还因为路径积分方法使写下这个模型变得明显，而在PDElanguage中，同一个模型似乎非常复杂，没有“直观”。在这里，我们举了另一个路径积分语言的例子，它提供了一个简单的直观图像，可以得出定性的非平凡结论，并提出新的想法。因此，让我们回到定价函数（73）。替代方法不是假设SDE（74）或RTI是Xt的函数，其中Xt紧随其后（102），而是考虑形式为rt=V（Wt，t）的短速率过程，其中函数V（x，t）使得R具有期望的性质，例如，V（x，t）从下方（或从下方和上方）有界。然后（73）由以下积分v（x，t，t）=ZV（x（t），t）=zDx exp给出(-eS）（133），其中“有效”动作为：eS=ZTtds˙x（s）+V（x（s），s）（134）这只是一个欧几里德粒子的路径积分，其势为v（x，t）。在短期内，利率起着非常重要的作用。因此，在不进行任何计算的情况下，我们可以得出这样的结论：在时间均匀的情况下，如果整体V（x）没有明确的时间依赖性，为了获得负的渐近键收益率，不要求V（x，t）即短速率为非负。它要求V（x，t）的能谱是离散的，基态能量是非负的。例如，考虑一个谐振子势V（x）=ωx-V.能量谱由En给出=n+ω -五、 n=0，1，2，所以基态能量≥ 如果V≤ω、 短期利率不一定是正的，但以rt为界≥ -ω/2.

这为简单的短期利率模型（如Ho和Lee模型）开辟了一条新途径，其中短期利率允许为负值，离散光谱通过为基础布朗运动Wt（与rt相反）引入反射基来实现，由此产生的债券收益率曲线具有正交感收益率的合理形状。此外，这允许对具有更现实的时间依赖性漂移的病例进行分析处理。这一想法最近在（Kakushadze，2016）中得到了探讨。总之，资产定价中的路径积分——就像物理学中的路径积分一样——是一种补充方法。因此，在物理学中，存在初始条件V（x（t），t）=z的路径积分对x（t）可能没有唯一解的问题。然后，我们必须总结所有这些解决方案对应的贡献。在量子力学中=n+~ω - 五、 所以E>-这是一个纯粹的量子效应。当反射屏障代替Wt时，时间相关漂移不易处理。更容易，例如，通过Feynman Diagram的微扰理论（见下文）。但也有一些问题并非如此，例如，使用路径积分求解氢原子光谱会很麻烦，而薛定谔方程是一种更方便的方法。类似地，在资产定价环境中，例如，使用路径积分在二次模型（129）中为债券定价似乎比求解pricingPDE（75）容易得多。然而，在PDE语言中，用障碍解决问题（如（Kakushadze，2016）中涉及边界的问题通常更容易。7结论性意见在我们上面的讨论中，有（106）是很重要的，因为它允许我们确定x*在（110）中。

如果x*无法确定，否则我们会被困住。另一个问题是，如果σ依赖于t，则pAT h积分测度的变化更为重要，需要特殊的t检验（参见，例如，（Otto，1998））。然而，这是一个没有实际意义的问题，因为我们无法*反正我们也做不到。我们假设σ是常数。然而，从先验角度来看，依赖于t的θ和α并不存在障碍。事情有点复杂，但仍然可以处理。上面提供了所有必要的成分，因此读者应该能够计算出细节。另一点涉及“半经典”近似的有效性。在量子力学中，它是领先的量子修正——在小极限下，相对于经典背景xclare，更高的修正对应于量子函数ξ的更高阶。在资产定价方面，我们没有~。“数量”的类比是随机性或波动性——如果波动性为零，则不存在随机性。所以，“半经典”近似的意思是，它是一个小的“波动”近似。然而，这并不是说这是一个小的σ近似值，其中σ在（102）中定义。的确，σ是一个量纲参数。无量纲展开参数为≡√T- 当<< 1.这可以通过重新校准看到≡ （T）- t） E和y≡√T- 它们在“有效”行动中（11 3）。超出“半经典”近似的更高修正可以用微扰理论计算。基本思想是我们可以计算路径积分zξ（t）=ξ（tf）=0Dξexp-Ztftdt Lqu（ξ，˙ξ，t）≡ Kqu（x，t；xf，tf）（135），其中lqu（ξ，˙ξ，t）≡˙ξ+五、十、x=xclξ+∞Xk=3k！千伏xkx=xclξk≡ L（2）qu（ξ，˙ξ，t）+bVqu（ξ，t）（136）通过扩展指数，我们得到了形式为hξ（τ）ξ（τ）ξ（τ）的n个（积分）相关函数的有限系列。

ξ（τn）i≡Zξ（t）=ξ（tf）=0Dξexp-Ztftdt L（2）qu（ξ，˙ξ，t）ξ(τ)ξ(τ) . . . ξ（τn）（137）与n≥ 式中，L（2）qu（ξ，˙ξ，t）是（136）中的二次部分。这些n点相关器可以使用生成函数lz[J]进行评估≡Zξ（t）=ξ（tf）=0Dξexp-ZtftdthL（2）qu（ξ，˙ξ，t）- J（t）ξ（t）i（138）这是一个高斯帕斯积分，可以快速计算。然后我们有hξ（τ）ξ（τ）。ξ（τn）i=Z[0]ΔδJ（τ）ΔδJ（τ）。ΔδJ（τn）Z[J]J=0（139）和kqu（x，t；xf，tf）=exp-ZTFTDBVQUΔδJ（t），tZ[J]J=0（140），其中bvqu（ξ，t）包含ξ中的立方项和/或更高项。在微扰理论中，相关器（140）可以按顺序计算。在每一阶上，函数导数都变成了一个组合问题，由费曼通过一个简洁的图解r epresenta离子解决了这个问题，该图解由传播子s和顶点的相互作用构造而成（参见，例如，（Corradini，201 4），（Kleinder，2004）和（Rattazi，2009）），可以很容易地用于资产定价。通过路径积分的条件期望这里我们给出了第4节通过pa t h积分讨论的形式（61）的过程的条件期望的例子。下面的表达式是精确的，即“半经典”近似是精确的，因为这些路径积分是高斯的V（x，t）≡ 0，ρ（x，t）≡ 我们有ρ（t）独立于ρ经验-ztftdρ（t）˙x（t）P、 Ft，x（tf）=xf=exp-Ztdtρ（t）˙x（t）×p2π（tf）- t） 经验-hxf-十、-Rtftdtρ（t）i2（tf- t） +Ztftdtρ（t）(141)经验-ztftdρ（t）˙x（t）P、 Ft=exp-Ztdtρ（t）˙x（t）×expZtftdtρ（t）（142）最后一个等式再现了一个众所周知的结果V（x，t）=ωx，ρ（x，t）≡ 0，ω=常数。式（6-7）如下：-φ（t）+ωφ（t）=0，φ（t）=0，˙φ（t）=1（143），所以我们有φ（t）=sinh（ω（t）- t） ）/ω。

另外，xcl（t）=xsinh[ω（tf- t） ]+xfsinh[ω（t）- t） ]sinh[ω（tf）-t） [144）eScl=ω（x+xf）cosh[ω（tf）- t） ]- 2xxfsinh[ω（tf）-t） （145）对于预期，我们有经验-ωztftd x（t）P、 Ft，x（tf）=xf=exp-ωZtdt x（t）×rω2πsinh[ω（tf）- t） ]exp-ω（x+xf）cosh[ω（tf）-t） ]- 2xxfsinh[ω（tf）- t） ](146)经验-ωztftd x（t）P、 Ft=exp-ωZtdt x（t）×pcosh[ω（tf）- t） ]exp-ωxtanh-t） ]（147）这些结果是使用路径积分“毫不费力”获得的V（x，t）=ωx，ρ（x，t）≡ ρ（t）与x无关，ω=常数。ρ（t）项不影响φ（t）。在这种情况下，它只通过xcl进行了修改，这是Euler-Lagrange运动方程的解——xcl+˙ρ=ωxcl（148），受边界条件xcl（t）=x，xcl（tf）=xf的约束（为了简洁起见，我们跳过细节）。B测量值的变化在（96）和（118）中我们讨论了额外的标准化因子G。我们从Q-布朗运动Wt和P-布朗运动Wt开始，通过fwt=Wt+Ztγsds（149），其中可预见过程γsis由γs=-αfWs（150）测量值的变化由（84）给出。LetP（x，t；xf，tf）≡ h1iWt=x，Wtf=xf=p2π（tf- t） 经验-（xf- x） 2（tf）- （t）（151）我们可以通过路径积分（Wsis被x（s）代替）来写这个概率：P（x，t；xf，tf）=Zx（t）=x，x（tf）=xfDx exp-Ztft˙x（s）ds（152）我们有∞-∞dx′Zx（t）=x，x（tf）=x′dx exp-Ztft˙x（s）ds= 1（153）现在让我们在将度量值从Q t更改为P:eP（y，t；yf，tf）时执行相同的步骤≡经验ZtftγsdfWs-γ-sdsfWt=y，fWtf=yf=Zy（t）=y，y（tf）=yfDy exp-Ztft[˙y（s）+αy（s）]ds=rα2πsinh[α（tf- t） ]exp-α[byf- by]2 sinh[α（tf- t） ]！（154）byf在哪里≡ yfex（α（tf）-t） /2）然后≡ 是的(-α（tf）- t） /2）。

这就是为什么在测度P下，它是y′上的积分≡ yfex（α（tf）-f） /2）（而不是超过y′的≡ yf）这相当于对x′积分≡ xf在量度Q下，因此（96）和（118）中的超标准化因子G。感谢Olindo Corradini对路径积分的讨论。我非常感谢彼得·卡尔，他邀请我在莫甘斯坦利的小组里举办研讨会，激发了我写这篇文章的动机。参考文献[1]安东诺夫，A.和斯派克特，M.（2011）一般短期利率分析。Ri sk杂志，2011年5月：66-71。[2] Baaquie，B.E.（1997）具有随机波动性的铂离子定价的路径积分方法：一些精确结果。《体格杂志》第7期（12期）：1733-1753年。[3] Baaquie，B.E.（2007）量子金融中耦合债券期权和互换期权价格的费曼扰动展开。一、理论。身体检查ewE 75:01670 3。[4] Baaquie，B.E.和Liang，C.（2007）量子金融中息票债券期权和互换期权价格的费曼扰动扩展。二、经验主义的体检E 75:016704。[5] Bennati，E.，Rosa Clot，M.和Taddei，S.（1999）衍生证券定价的路径积分方法：I.形式主义和分析结果。国际理论与应用金融杂志2（4）：381-407。[6] Black，F.a和Karasinski，P.（1991）短期利率为对数正态时的债券和期权定价。金融分析师杂志47（4）：52-59。[7] Blazhyevskyi，L.F.和Yanishevsky，V.S.（201 1）默顿-加曼模型中演化算子的路径积分表示核。康登斯。马特菲斯。1 4(2): 1- 16.[8] Bormetti，G.，Mont agna，G.，Moreni，N.和Nicrosini，O.（2006）采用路径积分法对外部期权进行定价。定量金融6（1）：5-66。[9] Burghelea，D.，Friedlander，L。和Kappeler，T.（1991）关于S.Commun上向量丛中椭圆微分算子和有限微分算子的行列式。数学

菲斯。138(1): 1-18.[10] Carr，P.，Ellis，K.和Gupta，V.（1998）奇异期权的静态对冲。《金融杂志》53（3）：1165-1190。[11] Chiarella，C.，El Hassan，N.和Kucera，A.（19 99）使用傅里叶-厄米特级数展开法在路径积分框架下评估美式期权价格。《经济动力与控制杂志》23（9-10）：1387-1424。[12] Chiarella，C.，El Hassan，N.和Kucera，A.（2008）路径积分框架下离散载体期权的评估。摘自：Kontoghiorghes，E.，Rustem，B.和Winker，P.（编辑）金融工程中的计算方法：曼弗雷德·吉利（Manfred Gilli）的《Hono-ur》论文集。柏林：斯普林格·维拉格，第117-144页。[13] 科尔曼，S.R.（1979）瞬子的使用。摘自：Zichichi，A.（编辑）《为什么亚核物理学》。纽约：全会出版社，第805-941页。[14] 科拉迪尼，O。（2014）费曼路径积分：量子力学、统计力学和量子场论领域的理论和应用。课堂讲稿。http://curso.unach.mx/%7Eocorradini/docs/LecturesUniMore2014%20OC.pdf[15] Cox，J.C.，Ingersoll，J.E.和Ross，S.A.（1985）利率期限结构理论。计量经济学53（2）：385-407。[16] Decamps，M.，De Schepper，A.和Goovaerts，M.（2006）资产负债管理的路径积分方法。Ph ysica A 363（2）：404-416。[17] Devreese，J.P.A.Lemmens，D.和Tempere，J.（2010）Black-Scholes模型中亚式期权的路径积分方法。Physica A 389（4）：780-788。[18] Dunne，G.V.（2008）量子场论中的函数行列式。J.Phys。A:数学。托尔。41(30): 304006.[19] 费曼，R.P.（1948）非相对论量子力学的时空方法。牧师。摩登派青年菲斯。20(2): 367-387.[20] 费曼，R.P.（1949）。量子电动力学的Spa ce时间方法。菲斯。牧师。76(6 ): 769-789.[21]Forman，R.（1987）函数行列式和几何学。发明数学