路径积分与资产定价

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《Path Integral and Asset Pricing》
---
作者：
Zura Kakushadze
---
最新提交年份：
2016
---
英文摘要：
  We give a pragmatic/pedagogical discussion of using Euclidean path integral in asset pricing. We then illustrate the path integral approach on short-rate models. By understanding the change of path integral measure in the Vasicek/Hull-White model, we can apply the same techniques to \"less-tractable\" models such as the Black-Karasinski model. We give explicit formulas for computing the bond pricing function in such models in the analog of quantum mechanical \"semiclassical\" approximation. We also outline how to apply perturbative quantum mechanical techniques beyond the \"semiclassical\" approximation, which are facilitated by Feynman diagrams.
---
中文摘要：
我们给出了在资产定价中使用欧几里德路径积分的实用/教学讨论。然后，我们说明了短利率模型上的路径积分方法。通过理解Vasicek/Hull-White模型中路径积分测度的变化，我们可以将相同的技术应用于“不易处理”的模型，如Black-Karasinski模型。在量子力学“半经典”近似下，我们给出了计算此类模型中债券定价函数的显式公式。我们还概述了如何将微扰量子力学技术应用于“半经典”近似之外，这是由费曼图促成的。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
--
一级分类：Physics        物理学
二级分类：High Energy Physics - Theory        高能物理-理论
分类描述：Formal aspects of quantum field theory. String theory, supersymmetry and supergravity.
量子场论的形式方面。弦理论，超对称性和超引力。
--
一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
--

---
PDF下载：
--> Path_Integral_and_Asset_Pricing.pdf (306.92 KB)

2022-5-7 00:29:07 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：资产定价 Mathematical Quantitative Perturbative mathematica

路径积分和资产定价卡库沙泽§+1§QuantigicSolutions LLC1127 High Ridge Road#135，斯坦福德，CT 06905+第比利斯自由大学，商学院和物理学院240，第比利斯大卫·阿格马什·内布·莱利，0159，乔治亚州（2014年10月6日；修订：2015年2月20日）摘要我们对在资产定价中使用欧几里德路径积分进行了实用/教学讨论。然后，我们说明了短速率模型上的路径积分方法。通过理解Vasicek/Hull-White模型中路径积分测度的变化，我们可以将相同的技术应用于“不可伸缩”模型，如Black-Karasinski模型。我们在量子力学“半经典”ap近似下给出了计算此类模型中债券定价函数的显式公式。我们还概述了如何在“半经典”近似之外应用微扰量子力学技术，这是由费曼图促成的。Zura Kakushadze博士是QuantigicrSolutions LLC的总裁，第比利斯自由大学的正式教授。电子邮件：zura@quantigic.comDISCLAIMER当前位置通讯作者使用此地址的目的仅限于表明其在出版物中的专业地位。特别是，本文内容并非投资、法律、税务或任何其他此类建议，也不代表Quantigic Solutions L C网站www.Quantigic的观点。或他们的任何其他伙伴。1引言费曼（1948）在其关于量子力学路径积分公式的开创性论文中谦逊地指出：“该公式在数学上等同于更常见的公式。因此，没有根本上的新结果。然而，从新的角度认识旧事物是一种乐趣。

此外，对于一些问题，新观点具有明显的优势。”费曼指的是他在那篇论文中描述的量子力学的路径积分公式，与现有的等效公式t离子、薛定谔波动方程和海森堡矩阵力学有关。随后，他将路径积分应用于量子电动力学，并开发了费曼图技术（费曼，1949），该技术已被用于以惊人的精度计算量子场论中的各种实验测量量。费曼路径积分的欧几里德版本可以应用于金融领域，包括资产定价问题，这一点早已为人所知。与量子力学一样，金融中的路径积分既不是万能药，也不是产生“根本新结果”的必然选择。相反，仅在量子力学（和量子场论）中，它是一个等价的公式，在某些情况下，它提供了对旧问题的内在清晰和洞察。因此，当随机微分方程和定价偏微分方程恰好难以使用或难以记录时，路径积分有时可以提供通向可能解决方案的路径的更清晰视图。正是基于这种理解，在这些注释中，我们试图在资产定价的背景下讨论帕特h积分。我们从经典力学（第2节）开始，然后讨论量子力学的费曼路径积分公式（第3节）。我们没有给出费曼帕特h积分的推导——我们的目标是资产定价中的路径积分。为此，我们接着讨论egr al的欧几里德路径（第3.3小节），这是与资产定价相关的（第4节）。

在资产定价背景下，我们讨论了半经典近似的模拟，在量子力学中相当于保持领先的量子修正，而在资产定价中，它具有小“波动性”近似的含义（在第7节中讨论）。在定价PDE语言中，这是WKB近似值。这种近似下的路径积分是高斯的。超越这种“半经典”近似等于做微扰理论，微扰理论在量子力学和欧几里德路径积分中得到了很好的理解，并通过费曼图技术得到了极大的促进。路径积分在资产定价中有多种应用，包括期权定价和利率产品。一个自然的应用是短期利率模型中的债券定价。在第5节中，为了说明路径积分技术的使用，我们给出了Vasicek/Hull-Whitemodel中债券定价函数的两行推导。然后，通过仔细改变路径积分测度，我们得到了相同的结果（在常数参数的情况下）。在这个过程中，如何将路径积分方法推广到传统方法变得很明显。一些读者可能希望跳过第2节和第3节。“不易处理”的短期利率模型，如Black Karasinski模型，我们将在第6节中讨论。我们给出了在“半经典l”近似下计算此类模型中债券定价函数的显式公式。我们在第7节做了一些总结，包括如何在“半经典”近似之外应用微扰技术的概述。附录A提供了一些高斯路径积分。

附录B给出了措施变更的一些细节。经典力学关于沿x轴的一维运动的牛顿第二定律是：F=MA（1），其中m是物体的质量，a≡ ¨x是它的加速度，F是它所受的力。乐舞团≡ -五、x（2），其中函数V称为势能。一般来说，V是x和t的函数。mot离子（1）的方程式为：m¨x=-五、x（3）这个方程可以通过定态作用原理导出。设x（t）是连接两个时空点（x，t）和（xf，tf）的连续路径F，其中tf>t≡ S[x（t）]是定义的≡ZFdt L（x，˙x，t）（4），其中L是拉格朗日函数≡m˙x-V（5）注意，只有当V有明确的时间依赖性时，L才有明确的时间依赖性。现在考虑路径x（t）的一个小变化→ x（t）+δx（t），其中δx（t）在路径的端点处消失：δx（t）=δx（tf）=0。动作的变量为：δS=ZFdtL十、-滴滴涕L ˙xδx（t）（6），其中我们通过部分积分，并考虑到表面项消失。当且仅当ifddt时，函数导数δS/δx（t）消失L ˙x=Lx（7）变量上的每个点代表一个时间导数。通常不太准确地提到行动最少的原则。这是因为δx（t）是任意的，受tand tf处的边界条件约束。这是欧拉-拉格朗日方程，也就是运动方程（3）。因此，经典轨迹是通过要求动作函数是静止的来确定的。请注意，经典轨迹是确定性的：（3）是一个二阶微分方程，因此通过指定端点（x，t）和（xf，tf），路径x（t）是唯一固定的。

或者，它是通过指定初始条件唯一确定的：x（t）=x和˙x（t）=v，其中v是速度v≡ ˙x at t=t.3量子力学和路径积分相反，量子力学不是确定性的，而是概率性的。我们只能确定一个量子粒子在（x，t）处开始的概率P（x，t；xf，tf）。这是因为海森堡的测不准原理：在量子力学中，不可能100%确定地同时指定位置和速度（见下文）。一种思考方法是，从（x，t）开始，粒子可以通过概率分布的有限条路径。概率P（x，t；xf，tf）由P（x，t；xf，tf）=hxf，tf | x，ti |（8）给出，其中概率振幅由费曼的第次积分（费曼，1948）hxf，tf | x，ti=Zx（t）=x，x（tf）=xfDx exp给出i~S（9） 其中，积分覆盖连接点（x，t）和（xf，tf）的所有路径，而dx包括一个适当的积分度量，我们将在下面定义。还有，~是（约化的）普朗克常数。路径积分（9）可以看作是一个N→ ∞ N的极限- 1.积分。让我们把区间[t，tf]分成N个子区间：ti≡ 钛-1+ti，i=1，N、 与tN≡ tf。让xi≡ x（ti），带xN≡ xf。我们可以通过（x（ti）离散导数˙x（ti）-x（ti）-1))/ti=（xi）-xi-1)/ti，i=1，N.作用式（4）中的积分可离散如下：≡NXi=1钛m（xi）- xi-1)2钛- 五（十一）-1，ti-1)（10） 然后路径积分（9）可以定义为zx（t）=x，x（tf）=xfDx exp是吗~≡ 画→∞NYi=1rm2πi~提赞-1Yi=1dxiexp不是吗~（11） 又称波函数，矩阵元，传播子或相关子。又名。

函数积分或有限维积分。通常，在定义离散化导数和积分时有多种选择，在连续介质极限中基本上是无关紧要的。其中每个- 1） 积分x，xN-1在实线R上。我们不会推导（11）中度量的标准化。在量子力学的背景下，它可以被认为是固定的，或者使用（11）和（9）作为概率振幅的定义，并将其与实验进行比较，或者将其与量子力学的等效公式相匹配，例如薛定谔方程，它本身与实验进行比较。在随机过程的背景下，路径积分的解释不同于量子力学，我们将使用（条件）期望的定义直接确定度量。3.1量子力学中的经典路径积分是有用的，因为基于物理直觉，它有助于开发同样适用于金融的方法。在量子力学中，帕特·h积分提供了一幅直观的画面，或与确定性经典动力学建立了联系。直觉上，量子效应与~非零有关。因此，根据海森堡测不准原理σxσp≥~（12） 其中σx和σpare是位置x和动量p的标准偏差≡ m˙x.So，~是对经典动力学偏离的度量——在极限范围内~→ 位置和动量（or，相当于速度v=˙x）都是已知的，因此是经典的决定论。路径积分提供了一种优雅而直观的理解方法。在~→ 极限为0时，路径积分（9）中的指数因子exp（iS/~）振荡非常快，因此路径积分的主要贡献来自那些使作用平稳的路径，而这些正是Euler-Lagrange方程（7）中的经典路径。

经典轨迹支配着~~中的路径积分→ 0限制。3.2半经典近似由于经典路径在小极限中占主导地位，经典路径周围的函数应描述量子修正。这个简单的观察使pathintegral成为一个强大的计算工具。设xcl（t）为欧拉拉格朗日方程（7）的解，其边界条件为xcl（t）=x和xcl（tf）=xf。设x（t）是具有相同边界条件的一般路径：x（t）=xandx（tf）=xf。设ξ（t）≡ x（t）- xcl（t）。这个量子函数在路径的端点消失：ξ（t）=ξ（tf）=0（13）。此外，我们可以将作用分解为经典和量子片段：S=Scl+Squ（14）我们有（N- 1） 积分为xnix fixed:xN=xf。何处≡ S[xcl（t）]=Ztftdtm˙xcl- V（xcl（t），t）（15） 安德斯库≡Ztftdt Lqu（ξ，˙ξ，t）（16）其中Lqu（ξ，˙ξ，t）≡m˙ξ-五、十、x=xclξ-∞Xk=3k！千伏xkx=xclξk（17）由于经典轨道xcl（t）的欧拉-拉格朗日方程（7）和ξ（t）的边界条件（13），Squas中的ξ没有线性项，它消失了。如果我们现在定义ξ≡√~ ξ、 我们有S~=Scl~+S（2）qu[eξ]+∞Xk=3~（k）-1） /2S（k）qu[eξ]（18），其中S（2）qu对应于（17）中ξ项中的四次项，而S（k）qu，k>2对应于高阶项。后者被额外的力量压制住了√~主要的量子修正来自于二次曲线。只保留二次项称为半经典近似。如果V是二次函数x，那么就没有高阶项，这就产生了一个精确的结果。在这里，我们将不做任何计算，在量子力学的情况下，我们感兴趣的是将路径积分应用于资产定价。

然而，物理图像引导我们找到了一种计算工具，在这个工具中，我们只保留二次项，并将高阶项视为微扰修正——在本例中是量子修正。正如我们将看到的，这也可以应用于sset定价。这就带来了欧几里得路径积分。3.3欧几里德路径积分从数学上讲，费曼路径积分（9）中的复相位可能令人不安。如果我们通过Wick-rot到达所谓的欧几里德时间，复相就会消失→ -信息技术然后我们得到欧几里德路径积分：hxf，tf | x，ti=Zx（t）=x，x（tf）=xfDx exp-SE~（19） 请注意，这与度量值（11）有关，它包含1/√~ 对于每个集成。又称WKB（Wentzel Kramers-Brillouin）近似。V（x）=mωx/2是谐波振荡器的电势。虽然费曼路径积分在数学上可能没有严格的定义，但基于它的费曼路径积分技术已被用于计算量子电动力学中的各种量，精度令人难以置信。例如，对细结构常数的独立测定结果在10%内一致-8精度。式中se=Zdt LE（x，˙x，t）（20）和LE=m˙x+V（21）Euler-Lagrange方程仍然是形式（7），L被LE代替。接下来，我们将重点讨论欧几里德路径积分（与资产定价相关），接下来我们将去掉下标“E”。从数学上讲，欧几里德路径积分看起来比费曼路径积分更“精确”，至少对于V≥ 0，在本例中，指数的参数是一个实的非负数。

离散化版本定义为viaZx（t）=x，x（tf）=xfDx exp-S~≡ 画→∞NYi=1rm2π~提赞-1Yi=1dxiexp-锡~（22）何处≡NXi=1钛m（xi）- xi-1)2ti+V（xi）-1，ti-1)（23）这里我们也可以考虑经典路径x（t）=xcl（t）+ξ（t）周围的函数，半经典l近似相当于只保留ξ中的二次项；S=Scl+Squ（24），其中Scl≡ S[xcl（t）]=Ztftdtm˙xcl+V（xcl（t），t）（25）和SQU≡Ztftdt Lqu（ξ，˙ξ，t）（26）其中Lqu（ξ，˙ξ，t）≡m˙ξ+五、十、x=xclξ+∞Xk=3k！千伏xkx=xclξk（27）接下来我们讨论如何在半经典近似中计算第八次积分。3.4高斯路径积分让我们在（27）中去掉O（ξ）项（如果有）。然后我们有hxf，tf | x，ti=exp-Scl~Zeξ（t）=eξ（tf）=0Dξexp-S（2）[eξ]（28）假设，如果V中存在任何明确的t依赖，则V是实的。式中ξ≡pm/~ξ，S（2）[eξ]≡Zdteξ（t）Ceξ（t）（29）和c≡ -ddt+U（t）（30）是一个二阶微分算子。赫鲁（t）≡M五、十、x=xcl（31），在通过（29）重写S（2）[eξ]时，我们使用了有界y条件seξ（t）=eξ（tf）=0。此外，我们将Dξ保留在（28）中——无论如何，我们必须确定度量值。在区间t上有一个薛定谔算子C∈ [t，tf]的dirichlet边界条件nseξ（t）=eξ（tf）=0。设ψn（t）是满足边界条件ψn（t）=ψn（tf）=0:Cψn（t）=λnψn（t）（32）Xnψn（t）ψn（t′）=δ- t′（33）Ztftψn（t）ψm（t）=δnm（34）我们有以下展开式：eξ（t）=Xncnψn（t）（35）和（2）[eξ]=Xnλncn（36）积分测度Dξ可以写成Dξ=NYndcn√2π（37），其中N是待确定的归一化常数。