银行间网络中系统性风险的传播

由于概率β指的是在不创建任何节点的情况下添加链路，因此增加β值意味着增加平均网络连通性。反过来，参数α和γ与添加新节点有关，同时增加现有节点的连接。如上所述，对于银行间网络，节点的阶数kin表示其债务人的数量，因此α的较大值倾向于生成集中了许多信贷的节点，即，连接最紧密的节点是大型债权人。以一种互补的方式，较大的γ值（与α相反）往往会产生较大的应收账款节点。另一方面，参数δin和δ超出了节点之间分布的权重，导致每个人都有机会在连接过程中被选中。例如，当δin>0时，即使没有任何in-link的节点也可以选择接收概率为：p（u=ui）=δint+n（t）δin（5）的in-link。当δout>0时，也会出现类似的情况。在他们的工作中，Bollob\'as等人[12]表明，当节点数量变为完整性且连通性增加时，我们有：p（kin）~ 轻点-西宁（6）p（库特）~ 库蒂克-XOU Tout（7）式中：XIN=1+1+δin（α+γ）α+β（8）XOU T=1+1+δout（α+γ）β+γ（9）极限N→ ∞ 显然无法实现，但当节点数量增加且采用更连通的节点时，结果是有效的，即kinand Kout的幂律将出现在大网络分布的尾部。

通过使用不同的参数值进行几次模拟，我们发现，随着网络的增长，极限值的收敛从左侧开始，即从低于Xin和XOU T公式预测的值开始。我们希望将网络与Xin和XOU T的不同值进行比较（具有不同浓度的kinand kout），同时保持其他特征相似，例如平均连通性和链接分布的总集中度。我们对Xin和XOU Taround 2和3的值与估计的经验值一致的网络特别感兴趣（例如，Boss等人[8]，Cont等人[9]，Soram–aki等人[10]）。我们限制模型的自由度，对参数施加以下约束：α+γ=0，75（10）δin+δout=4（11）。对于α+γ=0，75，我们有β=0，25。由于β是在不添加新节点的情况下创建链路的概率，我们不能使用太小的β值，否则我们将拥有一个平均连通性非常低的网络。另一方面，我们希望α和γ的值足够高，以便在入度和出度的分布之间产生不对称。α+γ=0,75和β=0,25的值满足这些要求。例如，如果我们以1:3（或3:1）的比率使用值α和γ，则1000个节点的网络的估计指数xin和XOU t之间的对称性是明显的，这意味着，当α+γ=0,75时，值α=0.1875和β=0.5625（或α=0.5625和β=0.1875）。此外，δin和δ之间的差异导致估计指数xin和XOU T之间的不对称。

我们在比率1:3和3:1中使用δin和δout，以强调网络的不对称性。除了等式10和11，我们还将通过改变以下径向线来覆盖参数α×γeδout×δIn的空间：α=δoutδInγ→ α =4 - δinδinγ（12）等式12与约束条件10和11的交点为我们提供了一个集合（α，γ，δin，δout），它以成对的形式（XIN，XOU T），如图1.0246810γ，δin 0246810α，δoutα+γ=0.75δout+δin=42 4 6 8 10xin27xout=（XIN+15）/（XIN-1）网络GD0网络S00网络GC0图所示。1：参数空间和指数空间：空间α×γ和δout×δ在右上角以原点表示，指数空间XIN×XOU在左下角以原点表示。利用方程式10、11和12，我们将参数α、β、γeδout重新表述为δin的函数：α=12- 3δin（13）γ=δin（14）δout=4- δin（15）分别替换XINe-XOU方程中的表达式13、14和15，我们得到了两个参数方程：XIN=1+16+12δin（16）- 3δin（16）XOU T=1+68- 9δin4+3δin（17），我们最终得到：XOU T=XIN+15XIN- 1（18）因此，使用关系18构建的网络是通过单个自由度的变化生成的，具有相似的平均连通性和链路集中度（受约束条件10和11的限制），不同于对的值（XIN，XOU T）。如上所述，幂律分布的指数反映了分布的浓度：指数的绝对值越小，对应的分布越集中（Kunegis和Preusse[14]）。因此，指数xin和XOU之间的差异表示出内外度分布中浓度的差异。在我们的传染病研究中，我们选择了图1（方程式18）曲线上的三个点，代表三个不同的网络，命名为GD、Se-GC。

网络GD更集中于债务人方面：债务的集中度高于产生的信贷，因此网络中最大的银行是系统的主要债务人。该网络的信贷集中度较高：最大的银行是该网络的主要债权人。该网络响应对称情况，即债务和信贷的集中程度相似。这些网络的极限值（XIN，XOU T）如表一所示。表一：极限值？？在指数XINe XOU T中，三个选定网络的平均连通性和基尼指数。XINXOU T<k>G GinGoutNetwork GD8。4286 3.1538 2.646（±0.039）0.457（±0.006）0.418（±0.013）0.746（±0.009）网络S5。0000 5.0000 2.663（±0.041）0.429（±0.006）0.578（±0.015）0.576（±0.012）网络GC3。1538.4286 2.652（±0.028）0.456（±0.008）0.748（±0.011）0.410（±0.008）这些值的选择考虑到我们模拟了1000个节点的小型网络（与实际金融网络一致，例如，Boss等人[8]，Soram–aki等人[10]，Mistrulli[15]），对于这些网络，估计的指数低于极限值。事实上，通过使用选定的参数生成1000个节点的网络，我们可以获得2.2到3.2之间的指数。具有这些参数值的网络如图2所示。根据Clauset al.[16]，使用离散功率定律的最大似然估值器来估计每个分布的幂律指数。表I还显示了生成的网络的平均连通性，<k>、链路分布的基尼系数G、入链路分布的基尼系数（入度分布）、基尼系数和出链路分布的基尼系数（出度分布）。

表中的值是具有1000个节点的网络20次模拟的平均值。为了更好地可视化网络，我们在图3中展示了网络GC、SandGD的示例，其中节点数N=100和N=1000。由100个节点组成的较小网络可以更好地可视化定向链路分布的差异。为了完成有关银行间网络的信息，有必要为链接分配权重，因为权重代表银行间风险敞口的大小。银行的度权重之和i代表其在金融系统其他机构中的应用（对其他银行的贷款），我们将其定义为银行资产BAi。out度权重之和代表i对其他金融机构的总债务（来自其他银行的贷款），我们称之为银行负债，BLi。如果j银行与i银行存在关联，我们将wji对i银行与j银行的风险敞口定义为：BAi=Xj∈{kiin}wji（19），其中{kiin}是对银行i负有义务的一组银行。

同样，如果i银行与j银行之间存在联系，我们将wij对i银行与j银行的义务定义为：BLi=Xj∈{kiout}wij（20）其中{kiout}是银行i有义务支付的一组银行。1100 1000 100001e-060.00010.011频率（N=106）1100 1000 100001e-060.00010.011In-degreeOut-degreeXin=2.9113（3.1538）Xout=5.6537（8.4286）网络GC01 100 10001e-060.00010.01110 100001e-060.00010.011In-degreeOut-degreeXin=4.0362（5.0000）Xout=4.0881（5.0000）在度和在度分布上的网络GC01 100 10001e-060.00010.00010100001e-060.00010.011In-degreeOut-degreeXin=5.9516（8.4286）Xout=2.8823（3.1538）网络GD01 10 1000.0010.010.11频率（N=103）110 000.0010.010.11In-degreeOut-degreeXin=2.2448（3.1538）Xout=3.1947（8.4286）110 100 IN度和out-degrees0。0010.010.111 10 1000.0010.010.11In-degreeOut-degreeXin=2.6253（5.0000）Xout=2.6186（5.0000）110 1000.0010.010.111 10 1000.0010.010.11In-degreeOut-degreeXin=3.0560（8.4286）Xout=2.2363（3.1538）图2：三个选定网络的进出度分布的对数曲线图。第一行：由10个节点生成的网络图GC和GD。第二行：用10个节点生成的相同网络的图。估计指数旁边的括号中的值指的是根据模型得出的极限值。在一项关于巴西银行间网络的研究中，Cont等人[9]强调了链接权重和节点连通性之间的非线性正关系，这与资产负债表规模和银行连通性正相关的普遍观点一致（Arinaminpathy等人[17]）。

根据这一假设，为了计算节点每个链路的权重，我们定义了以下链路权重表达式：o对于从i到j的链路：wij=kiout·kjinkmaxout·kmaxin（21）o对于从j到i的链路：wji=kiin·kjoutkmaxin·kmaxout（22），在等式21和22中kmaxin和kmaxout表示网络中发现的kinand kout的最大值。值构成相互曝光的矩阵n×n，W，其中每个元素wij∈ W代表银行JT对银行i的风险敞口。请注意，任何两家银行之间的相互风险敞口水平与网络的本地结构密切相关。一旦确定了银行资产和银行负债、BAI和BLi的价值，我们就确定了资产负债表的其他要素：非银行资产、非银行负债和权益。1.非银行资产，NBA：指除银行间资产外的所有应用。其中包括对非金融机构和家庭的贷款。2.非银行负债，NBL：指来自系统外的资金，主要由非金融机构的存款代表。图3：所选网络的可视化：N=100和N=1000.3。权益，E：代表股东投资银行的资金，即合伙人的资本。资产负债表以简化的形式表示，其中我们没有考虑不同的到期日以及资产流动性和风险的差异等因素。对于每家银行，i，资产负债表遵循总资产等于总负债的恒等式：BAi+NBAi=BLi+NBLi+Ei（23）反映了巴塞尔协议的最低资本规定，我们将每家银行的股权设定为其资产的比例：Ei=λi（BAi+NBAi）（24），其中λi表示资本/资产比率。对于这项工作中的模拟，我们将采用三个资本/资产比率值：资本不足情况，λ=0.01，以及λ=0.05和λ=0.1，与观察到的经验值一致（IMF[18]）。

对于每家银行，资本/资产比率均从正态分布λi中提取~ N（λ，σ）受λi>λ约束，即σ是对最小λ的随机正偏差，表征银行资本化的异质性。使用σ=0.01进行模拟。为了表示非银行资产与总资产的比率，我们引入以下关系来定义每家银行的非银行资产，即：NBAi=ξ（BAi+BLi）（25）。通过这种方式定义，非银行资产是银行连通性（通过BAi和BLi）的函数，与余额规模与连通性相关的假设保持一致。让我们使用ξ作为校准因子来控制Baito与总资产的比率。恒等式23、24和25形成了一个方程组，通过该方程组可以确定Nblic的值：NBLi=（1- λi）（1+ξ）BAi+[（1）- λi）ξ- 1] 因此，非银行资产与总资产的比率和非银行负债与总负债的比率为：NBAiAi=ξ（BAi+BLi）（ξ+1）BAi+ξBLi（27）NBLiLi=（1）- λi）（1+ξ）BAi+[（1）- λi）ξ- 1] BLi（1）- λi）（1+ξ）BAi+（1）- λi）ξBLi（28）由于BAie-BLi是随机值（取决于网络形成过程），我们在三个可能的极限下评估方程27和28：1。白 布利：恩拜艾→ 1（29）NBLiLi→(1 - λi）ξ- 1(1 - λi）ξ（30）2。BAi=BLi:NBAiAi=2ξ2ξ+1（31）NBLiLi=2ξ（1- λi）- λi2ξ（1）- λi）- λi+1（32）3。白 布利：恩拜艾→ξξ+1（33）NBLiLi→ 1（34）图4显示了不同ξ值和三个λ值的比率27和28。对于本研究中的模拟，我们假设ξ=2，以获得非银行资产和非银行负债平均占总资产和负债50%以上的资产负债表。根据本节所述的方法，我们可以仅使用来自网络的信息以及参数λ和ξ来表示每家银行的资产负债表。

在下一节中，我们将描述网络中一家银行初始违约后的一连串故障。三、 银行间网络中的传染：违约级联和违约影响在本节中，我们介绍了用于评估银行间网络中损失传播的方法。我们模拟了一家银行的破产，该银行面临外部冲击，其非银行资产的总价值损失代表了外部冲击。对每家银行进行独立测试，并评估其违约对系统的影响。在一个假设的情况下，一家银行，即我，变得资不抵债，无法完全履行其义务。如果此时j银行意识到其交易对手i无法全额偿还其银行间负债，则j银行必须重新评估其在i银行的申请，从WIJT到wij：（wij）- wij）<0。这一过程对j的资本产生了不利影响，因为变异（wij- wij）作为损失纳入。碰巧，较小的值wij，违约银行i可以0 123-0.100.10.20.30.40.50.60.70.80.911.10 20NBL/LNBA/ABA<<BL0 123-0.100.10.20.30.40.50.60.70.80.911.100NBL/LNBA/ABA=BL0 123-0.100.20.30.40.50.70.80.911.1λ=0.01001NBL/LNBA/ABA/ABA>>，10.70.80.10.50.10.50.60.80.911.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10λ=0.100NBL/LNBA/AFIG。4：比率N BA/A和NBL/L作为λ三个值ξ的函数。效果取决于其他银行的财务状况，我为这些银行发放了贷款。

任何进一步的破产都会降低资产价值，增加已经违约的银行的损失。在他们的工作中，艾森伯格和诺伊[19]研究了计算银行在结算多边债务时能够支付的价值的问题。考虑到相互暴露的数组W，问题是确定支付向量p=（p，p，…，pn），其中：pi=nXj=1wij（35）。作者证明，在温和的正则条件下，有一个唯一的支付向量来解决系统，并开发了一个迭代算法来解决问题。在我们的工作环境中，当一个节点处于初始破产状态时，算法可以描述如下：1。假设所有其他银行都有能力偿还债务，计算第一银行倒闭给所有银行造成的损失。如果没有其他银行倒闭，停止，否则：2。j表示损失超过股本的银行或银行集团。计算银行i和j倒闭给所有银行造成的损失。重复步骤2，直到没有其他银行倒闭[24]。上述算法允许我们计算两个重要指标，以评估银行倒闭对网络的影响：违约影响和违约级联。对于银行i而言，违约影响是指金融系统总资产因传染损失而减少，占初始总资产的比例。如果我们将系统在初始时间的总资产表示为A，在最终时间（外部冲击后）表示为A，则默认影响由以下公式得出：DIi=A- 在- NBAiA（36）方程式（36）在计算初始影响（N BAi）时不包括初始影响值，仅代表因传染造成的损失。