无套利理论

投资消费套利是一个可预测的过程，即存在一个非随机的m时间范围T>0，其性质为oH∈ H0，T，oP（（Ht- Ht+1）·对于某些0≤ T≤ T）>0，其中H=0。假设根据上述定义，Harbis是一种套利行为。如果H∈ 对于一些初始财富X和时间范围T，然后H+Harb∈ HX，T.此外，如果功能Ct7→ u（c，…，cT）严格地增加，然后u（H+Harb）>u（H），因此策略H+Harbis严格地优先于t-o-H。特别是，最优投资问题没有解决方案。在第6节中，我们证明了一个逆命题是正确的：如果没有套利，那么就有可能建立一个具有最大化者的最优投资问题。现在我们来看一下投资消费策略的资产定价第一基本定理。定理2.10。以下是等价的：（1）市场没有投资-消费套利。（2） 存在一个局部鞅函数。（3） 存在一个鞅函数。（4） 对于每一个非随机om T>0和每一个正适应p过程（ηT）0≤T≤T、 存在一个鞅定义（Yt）0≤T≤Tsuch就是≤ ηt对于所有0≤ T≤ T上述（1）和（3）的等价性才是故事的真正关键。条件（2）是一些技术上的问题，但很有用，因为它比条件（3）更容易检查。条件（4）将在下一节中证明非常有用，因为它意味着对于任何FT可测随机变量ξt，存在鞅定义Y，使得ξt可积。

请注意，尽管（4）暗示（3）是事实，但这个论点并不像它所说的那么微不足道，因为条件（4）适用于每个固定的时间范围，而条件（3）表示（PtYt）t≥0是有限地平线上的鞅。我们现在证明条件（2）和（3）的等价性。证明（2）<=> （3） 定理2.10。由于马氏体也是局部鞅，我们只需要证明（2）=> (3).设Y是局部鞅，因此py是局部鞅。请注意，如果我们假设每个资产价格都是非负的，那么≥ 0几乎可以肯定是所有1≤ 我≤ n和t≥ 0，我们可以引用命题7.8，得出Py是真鞅的结论，因此，Y是真鞅的定义。在一般情况下，我们引用了卡巴诺夫定理[11]，即下面的定理7.9，它说存在一个等价测度Q，使得Py是Q下的真鞅dQdP |英尺,我们看到P^Y是P下的真鞅，因此^Y是真鞅的导数。我们现在证明了局部鞅的存在意味着不存在投资-消费套利。这是一个众所周知的论点，但为了完整起见，我们将其包括在这里。证明（2）=> （1） 和（4）=> （1） 定理2.10。修正T>0，并确定策略H∈H0，T.如果（Yt）0≤T≤这是一个局部鞅，那么，命题2.7意味着“TXs=0CsYs#=0，其中Ct=（Ht- Ht+1）·Pt。因为Yt>0和Ct≥ 几乎可以肯定的是≥ 0，π孔原理和上面的等式几乎可以确定所有0的Ct=0≤ T≤ T因此，H不是投资-消费套利。

（1）的证明=> （2） ，即无套利既意味着局部鞅的存在，也意味着（1）的存在=> （4） ，即在有限的时间范围内，存在合适的基础结构，更具技术性，并推迟到第6节。备注2.11。注意（1）中的单周期情况=> （4） 我们的num’eraire Free基本定理的含义是Proposition 2.12。让p∈ Rn为常数，P为Rn中的随机向量，其性质为h·P≤ 0≤ h·P意味着h·P=0=h·P当存在一个有界的Y>0时，E（py）=P。应该注意的是，这种情况可以从经典的数相依周期基本定理：命题2.13中推导出来。设X为Rd中的随机向量值，其性质为a·X≥ 0表示a·X=0。然后存在一个有界Z>0，使得E（XZ）=0。命题2.12的证明。考虑到可能性空间(Ohm, F、 让我们 是新来的州吗Ohm, 通过让^Ohm = Ohm ∪ {},^F=σ（F{}) 设^P为^F的测量值，使得^P（A）=P（A），如果A∈ 范德普{} =.最后，定义（ω）=P（ω）如果ω∈ Ohm-p如果ω=注意如果a·X≥ 0^P a.s.然后a·P≥ 0 P-a.s和a·P≤ 假设a·P=0 P-a.s和a·P=0，这同样意味着a·X=0^P a.s。因此，命题2。13^上存在有界ZOhm 使得^E（ZX）=0。设Y是Z对的限制Ohm y=Z(). 根据需要，上述方程变为E（Y P）=Yp。不幸的是，很难将这一证据适用于多期案件。2.3. 超级复制。我们现在转向超级复制的双重特征。这是该领域的一个经典定理，但我们将其包括在这里，因为如果知道它在不假设数存在的情况下成立，可能会令人惊讶。定理2.14。假设至少存在一个鞅函数。

设ξ是一个适配过程，使得ξY是所有鞅函数Y的上鞅，其中ξY是一个可积过程。然后存在一种投资消费策略H，即H·P≤ ξHt+1·Pt≤ ξt≤ Ht·P证据推迟到第6节。请注意，给定一个非负FT可测量的随机变量XT，我们可以找到最小过程（XT）0≤T≤Tsuch表示XY是所有Y的超级艺人byXt=ess supYtE（XTYT | Ft）：Y一个鞅定义，使得XTYTis可积定理2.14说有一个策略H，使得HT·PT≥ 几乎可以肯定，H·P≤ X.换句话说，Xbounds是超级复制conting entclaim的初始成本，支付ξT.3。纯投资战略与上述投资消费战略相比，我们现在介绍纯投资战略的概念。定义3.1。策略H被称为纯投资策略，如果（Ht- Ht+1）·几乎可以肯定，对于所有t≥ 1.对于纯投资策略，我们将约定H=H.3.1。复制和第二基本定理。我们已经准备好描述可通过纯投资实现的或有权益。同样，这个结果并不是特别新，但有趣的是，它在不假设存在数字的情况下成立。定理3.2。假设至少存在一个鞅函数。设ξ是一个适应过程，使得ξY是所有鞅函数Y的鞅，使得ξY是一个可积过程。然后存在一个纯投资策略H，使得Ht·Pt=ξt对于所有t≥ 0.特别是，如果ξ是一个FT可测量的随机变量，因此存在一个常数ξ，使得对于所有的鞅变量Y，E（ξTYT）=ξY，对于ξTYTis i可积分，则存在一个纯投资策略H，使得HT·PT=ξT。

如果ξY是所有适当可积鞅函数Y的鞅，那么根据定理2.14，存在一个投资-消费策略H，使得ξt≤ Ht·ptal几乎可以肯定≥ 1和tξ≥ 因此，通过设置X=ξ和Xt=Ht·Ptfort≥ 1，我们看到Ct=Xt- Ht+1·PTI对所有t均为非阴性≥ 0.现在fix一个这样的Y和letmt=XtYt+t-1Xs=0CsYs。注意，根据命题2.7，M是一个局部鞅。因此这个过程就是M- ξY是线性局部鞅。但请注意，自从Xt≥ 我们有那个吗- ξtYt≥ 0因此是M- 根据命题7.8，ξY是真鞅。然而，E（Mt- ξtYt）=（X- ξ） Y=0，因此所有t的Mt=ξtyt≥ 0表示所有t的Xt=ξt≥ 根据需要0。现在假设ξ是一个给定的FT可测随机变量，例如E（ξTYT）=ξY，对于所有鞅定义Y和一个给定的实数ξ。LetDt=ess supYYtE（ξTYT | Ft）- ess infYYtE（ξTYT | Ft），其中基本上确界和内确界都是适当可积的鞅定义。注意，DY对于所有Y都是次鞅，但DT=0=D。因此对于ll0，DT=0≤ T≤ 所以我们可以将ξT=ess supYYtE（ξTYT | Ft）=ess infYYtE（ξTYT | Ft）设置为0<T<T，并应用前面的结果。备注3.3。[20]中给出了这个定理的另一个证明，即市场拥有一个num’eraire资产。我们现在回顾一个定义。定义3.4。如果对于每一个T>0和FT可测量的随机变量ξT，存在一个纯投资策略H，使得ht·PT=ξT，则市场模型是完整的。在这个框架中，我们可以说明资产定价的第二个基本定理。定理3.5。假设市场没有套利。当且仅当Y=1的鞅函数恰好存在时，市场是完整的。证据假设有一个独特的martinga le Deflator，Y=1。设ξ为任意可测的Random变量。通过定理2.10的蕴涵（3），我们可以假设ξTYTis可积。

设ξt=YtE（YTξt | Ft）。注意ξY是鞅。因此，ξY′也是任意形式的鞅，因为Y′=Y′。根据定理3.2，存在一个纯投资策略，如H·P=ξ。因此，市场是完整的。相反，假设市场是完整的。设Y和Y′为鞅，使得Y=Y′=1。修正T>0。根据完整性，存在一种纯粹的投资策略H，即HT·PT=（YT- 其中Z=（YT+Y′T）。（稍后将使用因子Z来确保可积性。）由于H·py是命题2.7的局部鞅，在时间T处具有非负值，因此它是命题7.8的真鞅。特别是H·P=E[（YT- Y′T）ZYT]。通过与Y′相同的论证，我们得到了h·P=E[（YT- Y′T）ZY′T]。减去yieldsE[（YT- Y′T）Z]=0所以根据鸽子洞原理，我们得到了P（YT=Y′T）=1。在离散时间模型中，完整市场有更多的结构：定理3.6。假设有n个资产的市场模型是完整的。每个t≥ 0，样本空间的每个分区Ohm 不超过正概率事件。特别是，n维随机向量在一组至多个元素中取值。证据修正t≥ 1.让我们，Apbe是Ohm 变成不相交的英尺-1-所有i的P（Ai）>0的可测量事件。类似地，设B，BQ应该是一个划分为非空事件的分区。我们将展示q≤ NP结果将由归纳法得出。首先要注意的是，随机变量的集合{B，…，Bq}是线性独立的，特别是它的s跨度的维数正好是q。假设市场是完整的，每个B都可以通过纯投资策略复制。亨塞斯潘{B，…，Bq} {H·Pt:H是Ft-1-meas。

}.我们只需要证明右边的空间的维数为mo st np。现在请注意，如果一个随机向量H是Ft-1-可测量，则每个Aj上只取一个值，最多取p值h，惠普。因此{H·Pt:H是Ft-1-meas.}={h·PtA+…+hp·PtAp:h，…，hp∈ Rn}=span{PitAj:1≤ 我≤ n、 一,≤ J≤ p} ，结束论点。最后的结果表明，在一个完整的市场中，我们自动拥有一个数字资产集，因此在这种特殊情况下，不需要对通常的套利理论进行上述推广。首先回顾一些定义：定义3.7。一个数值策略是一个纯inves tme nt策略η，使得ηt·Pt>0几乎肯定适用于所有t≥ 0.定义3.8。无风险策略是一种纯投资策略η，使得ηt·Ptis Ft-1-可测量的所有t≥ 1.定理3.9。提供完整的市场模型，不存在投资消费套利。然后存在一个无风险的num’eraire策略。证据根据完整性，可以获得零息票。也就是说，对于每一个T>0，存在一个纯投资策略HTT，使得HTT·PT=1 a.s。通过无套利，债券的数量是：设置BTt=HTT·PT，我们几乎可以肯定所有0的BTt>0≤ T≤ T现在通过βt=tYs=1（1+rs）定义货币市场账户过程β，其中rt=Btt-1.- 1.注意，β是可预测的，且严格为正。此外，设ηt=βtHtt。该组合对应于在期限（t）内将债券的β膜与到期日t相结合- 1，t]就在它成熟之前。首先要注意的是，βt=ηt·Pt，因为Btt=Htt·Pt=1。最后请注意，可预测过程η是一种自我融资的纯投资策略，因为ηt+1·Pt=βt+1Ht+1t+1·Pt=βt+1Ht+1t·Pt（因为Ht+1是纯投资）βt+1Bt+1t=所需的βTA。3.2. Num’eraires和等价鞅测度。

在本节中，我们回顾了num’eraire和等价鞅测度的概念。本节的主要目的是协调其他作者使用的概念和术语。现在我们回顾一下等价鞅测度的定义。现在，我们将看到，一旦指定了一个数字，那么，定义3.10中的“马丁格尔定义”和“等效马丁格尔度量”基本上是相同的概念。假设存在一个与财富η·P=N对应的num’eraire策略η。相对于这个num’eraire的等价鞅测度是与P等价的任何概率测度Q，使得贴现资产价格P/N是Q下的鞅。提案3.11。假设Y是模型的鞅函数，η是一个n-um\'erairestrategy，其值为η·P=n。确定时间范围T>0，并通过densitydQdP=nytny定义一个新的测量Q。那么Q是有限期模型（Pt）0的等式鞅测度≤T≤相反，设Q是（Pt）0的等价鞅测度≤T≤T.LetYt=NtEPdQdP |英尺.那么Y是一个鞅函数。证据首先，我们需要证明，提议的密度实际上定义了一个等效的可能性度量。由于η是一种纯投资策略，而N在定义上是正的，因此过程NY是命题2.7的鞅。特别是，上面的随机数m变量dQ/dp是正值。此外，由于NY是一个鞅，所以我们有ep（NTYT）=YN=> EPdQdP= 1.现在我们将证明折扣过程P/N是Q.for0下的鞅≤ T≤ T Bayes公式yieldsEQPTNT |英尺=EPdQdPPTNT |英尺EPdQdP |英尺=EP（PTNT | Ft）EP（NTYT | Ft）=PTNT因为根据鞅的定义，Py和NY都是鞅。现在是相反的情况。设Q为等效的马尔廷加测度，Y由公式定义。PtYt=EQPTNT |英尺EPdQdP |英尺= EP（YTPT | Ft），因此Y是马丁加酒。

推论3.12。考虑一个带有数字的有限期市场模型。当且仅当存在等价鞅测度Mark 3.13时，不存在纯投资套利。请注意，此处定义的等效鞅测度仅在具有固定时间范围的市场模型中才有意义。一般来说，即使没有仲裁，也不存在一个等价的度量，在该度量下，折扣市场价格是有限期内的鞅，因为市场可能无法一致可积。这种技术性问题可以通过调用本地等效度量的概念来解决。然而，请注意，资产定价的基本定理，当根据价格密度进行统计时，同时适用于所有时间范围。4.套利和离散时间泡沫的其他概念我们现在重新考虑上述套利的定义。事实上，在金融建模中自然出现了许多不同的套利概念。在金融市场模型中，很难给出价格泡沫的精确数学定义。一个可能的定义是，如果存在一个不正确的套利概念，而不是一个更强的概念，那么就存在一个泡沫。我们现在详细阐述这一点。假设我们得到了一组可容许的交易策略和一组偏好关系。绝对套利是一种策略Habsuch，对于任何可容许的H，策略H+Habsis也可容许，对于所有偏好关系，H+Habsis严格优先于H。绝对套利在某种意义上是可伸缩的，这对allk来说是如此≥ 0战略Hk=H+K是可行的，Hk+1优先于战略Hk。通常认为不考虑这种套利的模型是可取的。

事实上，如果价格是从竞争均衡中得出的，那么所有的代理都会重新保持其最优配置。然而，如果市场允许绝对套利，那么对于任何代理来说都不存在最优策略：给定任何策略，代理可以找到另一种严格首选的策略。第2.2节定义的投资-消费套利是绝对套利。特别是，当我们的偏好关系类由公式（1）给出的效用函数给出时，没有证据表明这是合适的概念，其中函数Ct7→ u（c，…，cT）正严格地增加。为了了解可接受策略和偏好关系的选择如何影响套利这一概念，假设我们考虑在固定日期仅从消费中获得效用的投资者，其效用函数为for mU（H）=E[U（HT·PT）]。在这种情况下，套利的恰当定义是：定义4.1。终端消费套利是指在T>0的时间范围内，使得p（HT·PT>0）>0的投资消费套利。在上述定义中，我们允许投资者在终止日期前消费；然而，投资者在早期消费时没有收到任何效用。也就是说，我们修改了偏好关系集，同时定义了给定的可接受策略集{HX，T:X，T}。如果我们还通过坚持投资者在终止日期前不消费来修改可接受的策略集，我们还有另一种类型的任意年龄：定义4.2。纯投资套利是指在T>0的时间范围内（Ht）为0的终端消费套利≤T≤这是一种纯粹的投资策略。以下命题表明，当存在一个数字时，这些不同类型的套利是一致的：命题4.3。