无套利理论

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英文标题：
《Arbitrage theory without a num\\\'eraire》
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作者：
Michael R. Tehranchi
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  This note develops an arbitrage theory for a discrete-time market model without the assumption of the existence of a num\\\'eraire asset. Fundamental theorems of asset pricing are stated and proven in this context. The distinction between the notions of investment-consumption arbitrage and pure-investment arbitrage provide a discrete-time analogue of the distinction between the notions of absolute arbitrage and relative arbitrage in the continuous-time theory. Applications to the modelling of bubbles is discussed.
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中文摘要：
本文发展了一个离散时间市场模型的套利理论，该模型不假设存在一个非固定资产。在此背景下，资产定价的基本定理得到了阐述和证明。投资-消费套利和纯投资套利概念之间的区别提供了连续时间理论中绝对套利和相对套利概念之间区别的离散时间模拟。讨论了气泡模型的应用。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Arbitrage_theory_without_a_numéraire.pdf (295.51 KB)

2022-5-7 00:56:46 上传

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关键词：无套利 Mathematical Quantitative Applications mathematica

没有数字的任意年龄理论剑桥大学迈克尔·R·特兰丘大学摘要。本文发展了一个离散时间市场模型的套利理论，而不假设存在一个num’eraire资产。在此背景下，资产定价的基本定理得到了阐述和证明。投资-消费套利和纯投资套利概念之间的区别提供了连续时间理论中绝对套利和相对套利概念之间区别的离散时间模拟。讨论了气泡模型的应用。1.引言在大多数套利理论中，等价鞅测度的概念处于中心地位。事实上，Harrison&Kreps[8]的离散时间资产定价基本定理（适用于有限样本空间的模型）和Dalang、Morton&Willinger[6]的离散时间资产定价基本定理（适用于一般模型）指出，当且仅当存在等价鞅测度时，不存在套利。一个等价的马丁酒度量是以给定数量的项定义的。Recala num’eraire是一种资产，或者更一般地说是一种por tfolio，其价格在任何时候都是严格正的，概率为1。与给定的等价鞅测度相关联的是一个正适应过程。这个过程通常被称为鞅衰减，但也被称为apricing核、随机贴现因子或状态价格密度。似乎鞅函数在金融数学文献中的作用不那么显著，尽管从某种意义上说，它们更为基本。事实上，它们是投资者最佳投资问题的自然对偶变量，具有经济学解释，即最大预期效用对当前财富水平的敏感性。

此外，与等价鞅测度的概念不同，马尔代尔导数的概念是以完全与数值无关的方式定义的。请注意，为了确定等效的马丁格尔度量，有必要假设至少存在一个数值。这一假设在金融数学文献中随处可见，但正如我们将看到的，这并不是严格必要的。特别是，在本文中，我们考虑了一个离散时间ar比特率理论，没有假设anum’eraire的存在，我们将看到资产定价的基本定理可以在这种情况下公式化。从美学的角度，或者可能是迂腐的角度来看，我们摒弃了在主题上不必要的假设，并用更基本的鞅定义来重新表述无套利市场的特征。然而，还有其他原因削弱了该定理的假设。日期：2021 9月9日。关键词和短语：鞅波动、数值、价格泡沫、仲裁年龄。2010年数学学科分类：60G4291B25。虽然关于存在一个数字时代愤怒的假设似乎没有争议，但它也不是完全无辜的。事实上，人们对稳健套利理论越来越感兴趣，该理论放弃了存在单一主导指标的假设。例如，参见Bouchard&Nutz[1]和Burzoni，Frittelli&Maggis[2]最近的论文，了解离散时间资产定价基本定理的健壮版本。从信贷融资的角度来看，存在数字风险的假设似乎相当有力。

事实上，在处理一系列可能的单一措施时，坚持在所有这些措施下都有一个价格几乎肯定为正的资产，这可能要求过高。我们对套利理论进行更一般的处理的一个好处是，它提供了离散时间理论中的一些类似物，这些类似物以前通常被认为只是连续时间现象。特别是，我们将看到，投资-消费套利和纯投资套利概念之间的区别提供了连续时间理论中绝对套利和相对套利概念之间区别的具体时间模拟。特别是，当市场不承认价格泡沫时，可能存在离散时间的价格泡沫，其精神与Cox&Hobson[5]和Protter[14]提出的连续时间泡沫概念相同。本文的作者安排如下。在第2节中，我们介绍了本文的注释和基本定义以及主要结果：无数值离散时间模型中无轨道的特征描述。在此背景下，我们还描述了未定权益的最小超额复制成本，并表明鞅变量可作为最优投资问题的对偶变量，即使不存在数值。在第3节中，我们介绍了纯投资策略的概念，并描述了可通过此类策略复制的或有权益。我们回顾了完整市场的概念，并指出，如果市场是完整且无障碍的，那么必然存在一个无风险的市场。此外，当我们假设存在一个数时，我们重新获得了经典的无套利结果。

在第4节中，我们探讨了套利的其他概念，并表明它们在一般情况下是不等价的。我们还讨论了如何利用这些差异来定义离散时间模型中的气泡，以及第5节中提到的连续时间模型中气泡的流行定义。在第6节中，我们给出了主要结果的证明，以及从最优投资问题中产生的关键经济见解。这里的思想起源于罗杰斯[15]对达朗-莫顿-威林格定理的证明。特别是，我们提供了全部细节，因为它们非常简单且具有概率性，并且不依赖于函数空间中的凸分析或分离定理的任何知识。此外，我们使用这种基于效用最大化的框架，为超可复制权利要求的特征化提供了新的证明。最后，在第7节中，我们包含了一些关于可测量性和离散时间局部市场的技术引理。我们在这里注意到，我们不依赖任何一般的可测量选择定理，而是更倾向于动手治疗。2.投资消费策略我们考虑一个一般的无摩擦市场模型，其中有n个资产。我们让Pit表示时间t时资产i的价格，在这里我们做一个简化的假设，即没有资产支付股息。我们使用符号Pt=（Pt，…，Pnt）来表示资产价格的向量，我们将这些价格建模为一个n维适应随机过程P=（Pt）t≥0定义一些概率空间（Ohm, F∞, P） 过滤F=（英尺）t≥时间是离散的，所以旋转t≥ 0代表t∈ {0, 1, 2, . . .}. 我们还将使用无方程a·b=Pni=1aibitodenote，这是Rn中常见的欧几里德内积。备注2.1。不，我们不做任何关于随机变量符号的假设。当Pit=0时，资产无价值；当Pit<0时，资产实际可变现。

这种灵活性允许我们处理索赔，如远期合同，其支付可以是正的、零的或负的。然而，在离散时间套利理论的大多数表述中，我们假设至少有一种资产的价格是严格正的，也就是说，至少有一种i，几乎可以肯定所有t都大于0≥ 0.这种资产被称为num\'erair e，因为其资产的价格可以写成num\'erair价格的倍数。通常，由于以下示例，数字存在的假设被视为自然现象。在第一个例子中，我们做了一个老生常谈的观察，即根据定义，价格必须以某种货币确定。因此，我们可以选择num’era ire资产作为货币本身，在这种情况下，Pnumt=1代表所有t。在第二个例子中，我们假设有一家中央银行在每个时间t发行债券，在时间t+1到期。此外，假设中央银行完全无风险，利率为常数r>0。货币市场账户在一个货币单位的初始投资时的价值为（1+r）t。在这样的市场设置中，一个人可以将价格Pnumt=（1+r）t分配给num’eraire资产。注意，在第二个例子中，我们通常不将货币本身作为资产包含在我们的市场模型中。事实上，否则的话，在货币市场上持有短期头寸和长期头寸的套利就微不足道了。因此，在这种模型中，我们认为货币是一种记账单位和交易手段，但货币市场扮演着价值储存的角色。在本文处理的模型中，我们只是简单地去除了存在某种价值存储的假设。

例如，这使我们能够模拟一个正在经历剧烈波动的经济体，其中每一项资产（甚至货币本身）在未来变得毫无价值的可能性都不是零。因为没有价值储存，我们认为价格是以某种易腐消费品计价的。当然，我们必须允许农民消费这种商品。Carr，Fisher&Ruf[3]的论文中考虑了一个相关的具有过度膨胀的连续时间市场模型。对于流程P所描述的市场，我们现在介绍一位投资者。假设t hathit是我在交易期间持有的资产股份数（t- 1.t]的时间。我们将允许其为正、负或零，解释为如果Hit>0，投资者为多头资产i，如果Hit<0，投资者为空头资产。此外，我们不要求它们是整数。和往常一样，我们对n维过程H=（Ht，…，Hnt）t的可能动力学引入了自融资约束≥1.定义2.2。投资消费策略是一个满足自我融资条件的n维可预测过程≥ Ht+1·P几乎可以肯定≥ 1.备注2.3。其想法是投资者将初始资本投入市场。Hethen消耗了一个不负n的量C，并通过选择投资组合权重H的向量将剩余部分投资到市场中∈ Rn使得H·P=X- C.在未来的每个时间t≥ 1.投资者的消费前财富只是其当前持有资产的市场价值xt=Ht·pto。他再次选择一个非负的消费量，并使用消费后的财富Xt- Ct=Ht+1·Ptto重新平衡他的港口，直到时间t+1时，市场时钟再次滴答作响。假设战略H是可预测的，这说明投资者并没有洞察力。

请注意，虽然战略是可以通过定义来预测的，但我们选择了消费流C只是经过调整的传统。备注2.4。“自由处置”假设，或允许代理人“扔掉钱”，长期以来一直是经典套利理论的一部分，在套利理论中，存在着一个数量资产假设。事实上，在有限期离散时间模型或连续时间模型中，这种假设对于无套利的双重特征的形成是必不可少的。例如，参见Schachermayer的论文[17]。我们将看到，即使是有限水平离散时间模型，在没有数量的情况下，也需要这样的自由处置假设。假设这个市场上的投资者对一系列投资消费策略有偏好关系，那么他的目标就是在预算约束下找到最佳策略。为了定义想法，假设他的偏好有一个数字表示，因此策略his偏好策略H′当且仅当U（H）>U（H′，其中U具有加性预期形式（1）U（H）=E[U（C，…，CT）]，其中Xis是他的初始财富，t>0是固定的非随机时间范围，其中C=x-H·Pand Ct=（Ht）-Ht+1）·PTT≥ 1是投资者的消费。假设在时间T之后不允许他有负收益，投资者的问题是根据预算约束h·P最大化U（h）≤ X和横截条件HT+1=0。为了将来的参考，我们将让（2）HX，T={H：自我融资，H·P≤ 十、 HT+1=0}是这个问题的可行解集。套利的概念与这个最优投资问题是否有解密切相关。此外，我们将看到，mar t ingale过滤器是该优化问题的双重变量。

下面所述的基本定理建立了不存在套利和鞅微分器之间的联系。2.1. 鞅函数和最优投资。现在我们来定义一个鞅定义。出于技术原因，引入局部鞅定义的相关概念也很有用。定义2.5。（局部）鞅定义是一个三次正适应过程Y=（Yt）t≥使得n维过程py=（PtYt）t≥0是（局部）鞅。备注2.6。与鞅定义密切相关的一个概念是等价鞅测度，其定义见下文第3.2节。虽然等价鞅测度的定义是高度不对称的，因为它赋予了n项总资产中的一项资产显著的作用，但请注意，鞅定义在所有资产都被平等对待的意义上是完全对称的。支持许多论点的关键结果是以下命题：命题2.7。假设Y是一个局部鞅函数，H是一个投资消费策略。修正X≤ H·Pand let Ct=Xt- Ht+1·ptt≥ 0，其中Xt=Ht·Pt代表t≥ 1.工艺定义为MT=XtYt+t-1Xs=0csys是一个局部鞅。特别是，对于某些非运行dom T>0，如果HT+1=0，则netxs=0CsYs！=XY。证据注意，通过重新调整总和，我们得到了标识Ymt=XY+tXs=1Hs·（PsYs- 附言-1Ys-1).如果Y是一个局部鞅，那么根据命题7.7，M是一个局部鞅。对于第二种说法，请注意，如果H是HT+1=0的自我融资投资消费策略，则CT=XT，henceMT=TXs=1CsYs≥ 0.根据命题7.8，过程（Mt）0≤T≤这是一个真正的鞅，因此根据可选抽样定理，我们有e（MT）=M=XY。现在，我们将注意力转向上述效用优化问题。

特别是，我们将看到鞅微分器扮演着对偶变量或拉格朗日乘数的角色。下面的命题并不特别新颖，但它再次强调了效用最大化理论并不依赖于数量的存在这一事实。特别是，下面的理论让我们将马丁酒饮料理解为最佳消费流的边际效用。定理2.8。让投资-消费策略集HX，Tbe由等式（2）定义，U（H）由等式（1）f或H定义∈ HX，Tsuch表示，这一预期是明确的。此外，假设效用函数u是凸的，并且可微分，例如ct7→ u（c，…，cT）对于每个t严格递增。如果存在局部鞅定义Y和可行策略H*∈ HX，Tsuch thatYt=Ectu（C）*, . . . , C*T） |英尺在广义条件期望的意义上（回顾第7节），其中C*= 十、-H*· Pand C*t=（H）*T- H*t+1）·对于t≥ 1，然后是H*在U（H）的意义上是最优的*) ≥ U（H）表示所有可行的H证明。假设H与相应的消耗流C是可行的。首先观察sinceCt≥ 0和ctu（C）*) > 0通过插槽属性（下面的建议7.3）E计算机断层扫描ctu（C）*)|英尺= CtYtand由tower property（命题7.2）确定，即etxt=0Ctctu（C）*)!= ETXs=0CsYs！=我们在第二行和第三行之间使用了命题2.7。通过函数u的凸性，我们得到了u（C）≤ u（C）*) +TXt=0（Ct- C*（t）ctu（C）*)几乎可以肯定。根据双方的预期，并应用第一个观察值来抵消总和，得出结论。2.2. 套利与第一基本定理。我们将介绍以下定义：定义2.9。