无套利理论

考虑一个存在num’eraire策略的标记。当且仅当存在纯投资目标时，才存在投资消费目标。证据假设η是一个具有相应财富过程η·P=N的数值策略。假设η是一个具有H=0的自我融资投资消费策略，最后假设K是一个策略，包括在t时刻持有投资组合，而不是消费金额（Ht）- Ht+1）·Pt，这笔钱转而投资于num’eraire portf olio。Innotation，K由kT=Ht+ηtt定义-1Xs=1（Hs- Hs+1）·psn注意（Kt- Kt+1）·Pt=（Ht- Ht+1）·Pt- ηt+1·Pt（Ht）- Ht+1）·PsNt+（ηt- ηt+1）·Ptt-1Xs=1（Hs- Hs+1）·PsNs=0so K是一种纯投资策略，假设η是纯投资。最后，如果HT+1=0，则KT·PT=NTTXs=1（Hs- Hs+1）·PSN≥ 特别地，K是纯投资套利当且仅当H是投资-消费套利。与这些弱化的套利概念相对应的是弱化的鞅扩散概念。定义4.4。有符号鞅定义是一个（不一定是正的）适应过程，使得py是一个n维鞅。在这种情况下，可以制定一个有效的条件来排除套利。定理4.5。假设每T>0，就存在一个有符号鞅def fl atorYT=（YTt）0≤T≤t几乎可以肯定YTT>0。当没有纯粹的投资悲剧时。如果另外，YTt≥ 几乎可以肯定≤ T≤ 那么就不存在终端消费套利。该证明利用了命题2.7。

细节被省略了。正如我们可以将鞅变量视为投资消耗效用最大化问题的对偶变量，如第2节所述，很容易看出，我们可以将设计的鞅函数视为效用最大化问题的对偶变量，其纯投资目标为[u（HT·PT）]：H纯投资，H·P=X。现在我们有了几个可用的套利概念，我们回到了泡沫问题。从经济角度讲，如果某项资产的当前价格高于其基本价值的某个数量，那么该资产就存在泡沫。当然，基本价值应该以某种方式反映资产的未来价值。因此，如果存在投资-消费套利，可以很自然地说离散时间市场存在泡沫。我们现在将举一个这样一个市场的例子，它具有额外的属性，即不存在终端消费套利，因此也不存在纯投资套利。这种想法是，必须在市场上进行充分投资的代理人，例如需要持有某个行业资产的基金经理，不能利用“明显的”无风险盈利机会。在第5节中，我们将表明，这种情况与连续时间现象类似，当市场没有绝对套利，但有相对套利时，由于可接受性约束，明显的风险较低的利润是不可能锁定的。考虑一个有一种资产的市场，其中价格由Pt={t<τ}给出，对于某个正的、有限的停止时间τ。从某种意义上说，这项资产的基本价值为零，因为对于所有的t，Pt=0≥ τ. 对于投资者来说，最明显的策略是在短时间内出售资产，并消耗收益。然后在时间τ时，投资者从市场上免费回购资产。我们考虑两种情况。

首先，如果τ是无界的，根据我们的定义，这种策略不是投资消费套利，因为我们要求套利在非随机时间T结束。的确，假设τ不仅是无界的，而且在事件{t上也是无界的- 1<τ}条件概率P（t<τ| Ft-1） 对于所有的t来说，几乎肯定是绝对的≥ 1.在这种情况下，我们可以通过定义Y=t来找到一个martinga le def-flator Y∧τYs=1P（s<τ| Fs-1)-1.现在假设τ被一个常数N限定，因此τ≤ 几乎可以肯定。这里有一种投资-消费套利：只需卖空一股资产，然后消耗收益。在表示法中，设Ht=-1比0≤ T≤ N和HN+1=0。相应的消费策略是C=1，Ct=0表示1≤ T≤ N.另一方面，由于没有num’eraire资产，因此无法通过终端消费策略锁定这种套利。实际上，如果HP=0，那么HtPt≤ 0代表全部≥ 0.有人可能会把这个例子解释为一个带有泡沫的离散时间市场。如果很多交易者无法在特定的时间范围内从市场账户中提取交易收益，那么这种泡沫的存在可能有经济原因。或者，我们可以通过使用定理4看到，没有终端消耗。5.通过找到一系列非负符号鞅函数，即使τ几乎肯定有非随机时间N的界。事实上，对于T<N的情况，让YTt=1表示所有0≤ T≤ 对于T的情况≥ N、 设YTt={0≤t<t}。注意，在bot h病例中，P YTis amartingale，因为t<N病例中的P ytt=1，t<N病例中的P ytt=0≥ Ncase。5.连续时间内的相对套利和泡沫在本节中，我们讨论了相对套利年龄的概念，以及连续时间市场中对泡沫的一个流行定义。

这里的结果并不是新的，而是为上一节的讨论提供背景。与绝对套利的概念相反，相对套利可以描述如下。和之前一样，我们给出了一组可接受的交易策略和该集合上的一组偏好关系。与基准可容许策略H相关的套利策略H是一种策略HREL，即对于所有偏好关系，H+Hrelis可容许且优先于H。注意，与绝对套利的情况不同，相对套利不一定是可伸缩的，因为不能保证H+kHrelis在k>1时是可容许的。与绝对套利的情况一样，从模型中排除相对套利也可能是可取的，但论据较弱。例如，如果存在相对套利，那么在均衡状态下，没有代理人会执行基准策略H。特别是，如果他的代理人对其中一项资产采取买入并持有策略，那么在均衡状态下，没有代理人会在该资产中持有不稳定的头寸。对于我们的离散时间模型，如果初始成本Hrel·P=0消失，且与H+hreld相关的消费流以严格的正概率支配与H相关的消费流，则很自然地说Hrelis是与H相关的套利。很容易看出，在这种情况下，Hrelis也是一种绝对套利。因此，我们将触角简化为连续时间模型。我们考虑一个具有连续半鞅价格过程P的市场。首先，我们定义了一套自我融资的投资消费策略a*=H:P-可积，H·P-ZH·dP在下降.为了避免额外的复杂性，并强调相对套利和绝对套利之间的差异，我们现在假设存在一种新的套利策略。

回想一下，在离散时间设置中，这意味着上一节讨论的各种套利注意事项是一致的。特别是，为了简单起见，我们只考虑纯投资套利的情况。一套适当的自我融资纯投资策略成为可能o=H:P-可积，Ht·Pt=H·P+ZtHs·dPsa。s、 尽管如此，t≥ 0.与离散时间设置不同，众所周知，在连续时间内，我们必须限制投资者可用的策略，以避免双重策略产生的微不足道的套利。因此，我们假设，对于每一个可接受的策略，投资者的财富保持非负。也就是说，我们让a={H∈ A.o: Ht·Pt≥ 所有t均为0 a.s≥ 0}.如果H是给定的可容许策略，则相对套利hrela是H+Hrelis生成的财富g在任何时候都是非负的；是的，我们有hrel·P=0和hrel·Pt≥ -Ht·Pta。s、 尽管如此，t≥ 0另一方面，候选绝对套利应该是相对于任何可容许H的套利，因此它产生的财富应该是非负的：Habs·P=0和Habst·Pt≥ 所有t均为0 a.s≥ 0我们在此陈述一个充分的条件，以排除套利，例如提案5.1。如果存在一个正连续半鞅Y，使得yp是局部鞅e，则不存在绝对套利。如果过程H·py是真鞅，则不存在相对于可容许策略H的套利ge。证据让K成为一个可接受的策略。根据It^o的公式、渡边坤田公式和我们拥有的自我融资条件kT·PtYt=K·PY+ZtKs·d（PsYs）。特别地，通过右边的积分表示，我们得到了K·P是局部鞅。通过可容许性，这个局部鞅是非负的，因此可以用Fatou引理分解。

特别是E（KT·PTYT）≤ K·PY。现在让K=H+H*其中H·py是真正的martinga le和H*· P=0，我们有（H*T·PTYT）≤ 因此，不存在相对于H的套利。因为我们可以让H=0，所以不存在绝对套利。备注5.2。此处使用的绝对套利通知与第一类无套利（NA1）的数量独立性密切相关。最近，已经证明了与上述命题相反的一个命题，即市场模型具有NA1当且仅当存在一个局部市场模型，在Kardaras[13]的一维案例和Schweizer&Takaoka[19]的多维案例中。备注5.3。注意，当Y是局部鞅定义时，过程M=H·P Y始终是局部鞅。它是真鞅当且仅当M是DL类的o，即随机变量{Mτ的集合∧t：τa停止时间}对所有t是一致可积的≥ 0.当M是真鞅，H是数值策略时，可以定义与H相关的等价鞅测度，如第3.2节所述。相对套利的概念与无风险消失免费午餐（NFLVR）密切相关。事实上，考虑参考策略H是一个数值的情况，因此它产生了一个严格正的财富过程N。在这种情况下，一个候选相对套利*是这样的，贴现财富*· P/N从下方以常数为界-1.Delbaen&Schachermayer[7]的一篇著名论文证明了上述命题的另一个相反命题，即市场模型具有NFLVR的充要条件是存在等价的西格玛鞅测度。一个典型的例子是，一个相对套利但没有绝对套利的市场有两个资产。第一种是单位价格不变的现金，第二种是正价格过程的高风险股票。

假设S是一只本地的马丁格尔。过程P=（1，S）是一个局部鞅，所以我们可以把Y=1作为一个局部鞅函数。根据命题5.1，不可能存在绝对套利。此外，由于持有静态现金头寸的价值是恒定的，因此与策略（1，0）相比，不可能存在ar比特率。然而，现在假设S是一个严格的局部鞅（因此是一个超鞅），过滤是由布朗运动产生的，S的波动率是严格正的。那么，相对于持有一股股票的策略（0，1），确实存在相对套利。事实上，对于任何固定期限T>0，都存在一种纯粹的投资交易策略，例如hrept·Pt=E（ST | Ft）≤ 利用鞅表示定理。请注意，stra tegy H*= Hrep- （0，1），即渴望动态复制策略并做空股票，是一种相对套利。自从H*这本身是不可接受的。这个例子所展示的现象被用来模拟价格泡沫，因为购买和持有股票的简单策略由动态复制策略Hrep控制。有关这一点的讨论，请参见Herdegen[9]关于Schweizer[18]的最新论文。然而，上面的例子基本上使用了连续时间的特殊性质。事实上，如果S是离散时间内的正局部鞅，则S根据命题7.8自动成为真鞅。备注5.4。上面讨论的连续时间泡泡和最后一节的离散时间泡泡之间有一个诱人的相似之处。事实上，在连续时间内，当正过程M=NY是一个严格的局部鞅函数时，气泡就会出现，其中N是一个数值，Y是一个局部鞅函数。

回想一下，连续正严格局部鞅可以如下构造。设X是关于测度P的连续非负真鞅，其中X=1。确定时间范围T>0，并用DensityDQDP=XT定义绝对连续的测量值Q。现在让τ=inf{t≥ 0:Xt=0}是X第一次达到零。最后，设M为definedasmt={t<τ}Xt。过程M是一个Q-局部鞅。实际上，很容易检查停止时间序列τn=inf{t≥ 0:Xt=1/n}将M局部化为有界Q-鞅。此外，从Q（τ）开始，M几乎肯定是严格正的Q≤ T）=EP（XT{τ）≤T}=EP（Xτ{τ≤T}=0。然而，请注意eq（XT）=P（τ>T）。特别地，M是真Q-鞅当且仅当X是严格正P-几乎肯定。例如，有关更多细节，请参阅Ruf&Rungaldier[16]的论文。作为上述讨论的结果，在连续时间故事中，如果某个过程X以正概率为零，则存在一个气泡。另一方面，在离散时间理论中，如果存在一个非负符号的鞅定义，则不存在终端消费套利。然而，如果Y为零，可能存在投资-消费套利——也就是泡沫。6.校样6。1.定理2.10的证明。回想一下，我们只需要证明（1）同时包含（2）和（4）。首先，我们需要一个额外的等价的，但更技术性的理论公式。10：定理6.1。定理2.10的条件（1）-（4）等价于每t的条件（5）≥ 1和正Ft可测ζ，存在一个正Ft可测随机变量Z和正Ft-1-可测量的dom变量R≤ Rζalmos t surelyandE（PtZ | Ft-1） =Pt-1在广义条件期望的意义上。证据（5）=> （2） 定理6.1。每个t≥ 1.让ZT成为这样（PtZt | Ft-1） =Pt-1在广义条件期望的意义上。

设Y=1，Y=Z··Zt。注意，根据下文第7b节中的命题7.6，过程Y P是一个局部鞅。因此，它是一个局部鞅函数。证据（5）=> （4） 定理6.1。通过将给定的正过程η替换为^ηt=min{ηt，e-kPtk}。我们可以假设过程Pη是有界的。特别地，一旦我们证明给定η=（ηt）0≤T≤t存在一个局部鞅，例如≤ ηt或0≤ T≤ T，我们可以得出结论，Y是一个真正的鞅函数，因为过程py是可积的。给定过程η=（ηt）0≤T≤Twe将构造随机变量（Zt）1≤T≤Tsuch Thatch过程（Yt）0≤T≤这是一个局部鞅函数，其中Yt=YZ··Zt。我们只需要证明我们能以这样的方式来建造≤ ηt.Letζt=ηt/ηt-1.根据条件n（5），t存在正随机变量zt和正FT-1-可测随机变量RT-1.如此≤ RT-1ζT。现在我们通过指定ζT向后进行-1.ζ找到ZT-1.Zand对应的边界RT-2.RT-3.真是太好了≤ Rt-1ζt通过ζt=ηtηt-1.1+Rt.过程Yt=η1+RZ···zt是一个局部鞅函数，使得Yt≤ ηt或0≤ T≤ 如你所愿。现在我们走相反的方向。以下证明改编自罗杰斯[15]关于假设存在num’era ir e资产情况下的Dalang–Morton–Willinger定理的证明。其目的是证明无套利意味着某个纯投资效用优化问题有一个最优解。这里的想法非常相似：没有人认为某个投资-消费效用最大化问题有一个最优解。证明（1）=> （5） 定理6.1。修正t≥ 1，并假设给出了正Ft可测随机变量ζ。

用ζ代替ζ∧ 1假设ζ有界，则没有损失。设^ζ=ζe-kPtk/2并定义函数F:Rn×Ohm → R byF（h）=eh·Pt-1+E[E]-h·Pt^ζ| Ft-1].更准确地说，设u为给定Ft的（Pt，ζ）的正则条件联合分布-1，andletF（h，ω）=eh·Pt-1（ω）+Ze-h·y-kyk/2zu（dy，dz，ω）。注意，t F（·ω）处处都是有限值，因此是平滑的。我们将证明，无投资消费套利意味着对于每个ω，函数F（·ω）都有一个极小值H*（ω） 以至于*是《金融时报》-1-可测量。根据最低订单条件，我们有0=F（H）*) = 嗯*·Pt-1吨-1.- E[E]-H*·Pt^ζPt|Ft-1] 因此我们可以取z=e-H*·Pt-1.-H*·Pt^ζ。请注意≤ Rζ，其中R是Ft-1-可测随机变量r=e-H*·Pt-1+kH*k/2。基于上述目标，我们定义函数Fk:Rn×Ohm → R byFk（h，ω）=F（h，ω）+khk/k。现在对于固定ω，函数Fk（·ω）是光滑的，严格凸的和Fk（h，ω）→ ∞ 作为khk→ ∞.特别是，存在一个唯一的极小值Hk（ω），根据命题7.10，Hk为Ft-1可测量。我们将利用两个观测站。首先，请注意，HK享有某种非简并酰化性质。为了描述它，letU（ω）={u∈ 注册护士：u·Pt-1（ω）=0，P（u·Pt=0 | Ft-1） （ω）=1}设V（ω）=U（ω）⊥. 注意，对于每个ωsinceF（u+V）=F（V）和henceFk（u+V），最小值Hk（ω）都在V（ω）中≥ Fk（v）每当你∈ U和v∈ 第二，注意F（香港）→ infhF（h）几乎可以肯定，sincelim supkF（香港）≤ 林素福（香港）≤ lim supkFk（h）=所有h的F（h）∈ 注册护士。现在，letA={supkkHkk<∞}英国《金融时报》-1-序列（Hk（ω））kis有界的可测集。因此，通过命题7.11，我们可以提取出一个可测量的子序列，在该子序列上，HK收敛于a到aFt-1可测量的H*. 注意，通过F的光滑度，我们得到了F（H）*) = 林克夫（香港）安永酒店*在第二次观测中是F的极小值，一旦证明P（a）=1，证明就完成了。