无套利市场的Banach几何

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英文标题：
《Banach geometry of arbitrage free markets》
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作者：
A. V. Lebedev, P. P. Zabreiko
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  The article presents a description of geometry of Banach structures forming mathematical base of markets arbitrage absence type phenomena. In this connection the role of reflexive subspaces (replacing classically considered finite-dimensional subspaces) and plasterable cones is uncovered.
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中文摘要：
本文描述了构成市场套利缺位型现象数学基础的Banach结构的几何结构。在这方面，自反子空间（取代经典的有限维子空间）和塑性锥的作用被揭示。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Banach_geometry_of_arbitrage_free_markets.pdf (226.12 KB)

2022-5-7 01:24:40 上传

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关键词：Banach NAC BAN 无套利 Mathematical

套利自由市场的Banach几何a。V.列别捷夫*ul比亚里斯托克大学数学研究所。白俄罗斯国立大学波兰力学和数学系阿卡德米卡2号，PL-15-267 Bialystok，Nezavisimosti公共图书馆，4，220050，白俄罗斯明斯克。P.Zabreiko+白俄罗斯国立大学力学和数学系，pr.Nezavisimosti，420050，白俄罗斯明斯克，白俄罗斯2018年10月5日摘要本文描述了构成市场套利缺失型现象数学基础的Banach结构的几何结构。在这种联系中，反应子空间（取代经典的有限维子空间）和塑性锥的作用被揭示出来。关键词无套利市场·鞅测度·塑性锥·反应存在子空间数学学科分类（2010）91B25·46A22·46B10·46B20·46B99内容1激励示例——一期市场模型。资产定价基本定理的几何公式32分离定理、塑性锥和反射子空间73无套利市场几何124具有任意金融市场策略的市场的无套利标准子空间17*电子邮件：lebedev@bsu.by（相关授权人）+电子邮件：zabreiko@mail.ruIntroductionThe本文分析了可以解释为无套利市场现象的Banach结构的几何结构。在数学金融理论中，这个领域的主要作用是所谓的“资产定价基本定理”（事实上，在这个名称下有一系列与所讨论的情况有关的结果）。

资产定价的基本定理将无套利市场（即不允许产生两倍严格正概率的无风险索赔的市场；准确定义将在下文第1节中给出）与鞅的存在联系起来，鞅是由与初始鞅等价的度量生成的。值得一提的是，许多研究人员对这一主题做出了贡献。其中包括F.布莱克、M.斯科尔斯、R.默顿、J.哈里森、S.普利斯卡、S.罗斯、D.M.克雷普斯、R.达朗、A.莫顿、W.威林格、D.克拉姆科夫、J.贾科德、A.N.谢里亚夫、D.R.罗克林、F.德尔班、W.沙切梅耶、余。卡巴诺夫和其他许多人。我们无法完整说明与主题相关的来源和名称，例如[4]、[11]和[10]以及其中引用的来源。正如所强调的，资产定价的基本定理用随机对象描述了自由市场的套利现象。众所周知，在有限维情况下，可以通过几何对象获得相应的描述。Stiemke’sLemma给出了有限维几何准则（特别是，它暗示了哈里森-普利斯卡定理）。本文的结果在一般的Ba-nach空间情况下属于这个方向（特别是，参见定理3.8和备注3.9）。作为一个激励性的例子，我们在这里考虑一个单周期金融市场模型，在这个模型中，可以给出一个等价于初始鞅测度的鞅测度的存在性准则。我们证明了具有“无仲裁”和“鞅”几何行为的主Banach空间对象是可塑性锥和弹性子空间。

而构成数学基础的主要Banach几何结果是Mazurs的凸集分离定理、Krasnosel’skij对可塑性圆锥体的描述以及Banach空间弹性的EberleinˇSmul’jan准则。此外，还发现几何上的“martinga lness”可以直接用初始（而非对偶）对象来表示，并对应于套利可能性基础与财务策略空间的距离（定理3.1的条件2）。这篇文章实际上构成了[9]材料的某种补充和重新排列。此外，我们还增加了对所得结果的讨论，以使其与其他结果和分析领域的相关性更加透明。本文的组织结构如下。初步的第1节将介绍和解释将进一步分析的几何对象。在这里，我们回顾了一个单周期市场模型和相应的资产定价基本定理（定理1.2），并给出了它的几何形式（定理1.3），特别是得出等式L∩ K={0}，其中L是一个子空间，K是给定Banach空间中的某个锥，作为描述无套利的关系；和关系L⊥∩~K 6=, 其中，K是属于K的一个圆锥*描述了一个商业衡量标准的存在。本文的目的是对这类对象及其相互关系进行一般的Banach分析。第二节收集和讨论了有关分离定理、可塑性锥和反射子空间的已知结果，这些结果将在续集中使用。文章的主体部分从第3节开始，它展示了一幅关于无障碍现象的巴纳赫几何图。这里，定理3.1给出了阿马丁格尔测度存在条件的另一种描述。

证明了这个条件可以用多种形式给出，比如对偶项，也可以用不包含对偶对象（鞅测度）的直接几何形式（条件2）给出。很容易看出，获得的条件对无套利性（推论3.2）是有效的，但不幸的是，正如示例所示，一般来说，它们不是必要的条件。定理3.4（本文的主要结果）给出了无障碍市场的完全Banach几何（必要和充分条件）。特别是，它表明资产的完整性假设（dim L<∞) 可通过反射条件（L=L）放松**) 对应的子空间。这些结果描述了可塑性锥体和反应基质在整个戏剧中的作用。作为有限维情况下这一基础的副产品，我们推导了Stiemke引理（定理3.8和备注3.9）的某些附加信息，作为直接的补充，我们还获得了所考虑情况下资产定价基本定理的定义版本（定理3.10）。在本文的最后，我们将在第4节中讨论无套利市场标准，该标准对策略子空间没有任何假设（即对资产的性质没有任何假设）。在这里，可以根据初始对象（定理4.5）和对偶项（定理4.1）获得相应的标准。然而，与定理3.4相反，后一个准则没有利用鞅测度。它是根据第3.4条条件4）的精神制定的，实际上与关于双极的经典定理有关。1个令人振奋的例子——单期市场模型。资产定价基本定理的几何表述这是一个初步部分。

它的目标是解释什么样的Banach结构将被进一步分析为具有“无仲裁”和“鞅”几何行为的对象。也就是说，在下面给出的一个激励模型例子的基础上，我们表明，考虑等式L是很自然的∩ K={0}（1.22），其中L是子空间，K是给定Banach空间E中的某个锥，作为描述不存在r位r年龄的关系；和关系L⊥∩~K 6= （1.23），其中K是属于K的某个圆锥体*描述鞅测度的存在。如果读者认为这个观点是显而易见的（已知的），可以立即转到从第3节开始的文章的主要部分。作为一个启发性的例子，我们回顾了单周期市场模型的资产定价基本定理，并给出了它的Banach几何公式（定理1.3）。单周期市场模型如下所述。让我们用π表示：=（π，π）：=（π，π，…，πd）∈ Rd+1+时刻t的（初始的，已知的）价格系统。ByS:=（S，S）：=（S，S，…，Sd）我们表示时刻t的价格系统，即概率空间上的非负随机变量族(Ohm, F、 P）（在哪里(Ohm, F、 P）是（可能）场景的空间）。假设所有欠考虑的随机变量都是可和的，即Si∈ L(Ohm, P），i=0，d；（在相应的数学金融领域，考虑随机变量是正常的，我们假设可和性至少有两个原因：一方面，我们在进一步的分析中简单地引入了banach几何，另一方面，在单周期模型中，这种假设是很自然的——没有它，我们甚至无法为t所考虑的情况（定理1.2））。

该变量被假定为无风险债券，也就是说，它不是随机的：≡ （1+r）π，（1.1），其中r被解释为银行利率（纯粹出于数学原因，可以假设r>-1). 在下面的内容中，我们假设π=1，（1.2）这是价格π未被估计。因此：≡ （1+r）；（1.3）一个（起始）投资组合是一个向量ξ：=（ξ，ξ）：=（ξ，ξ，…，ξd）∈ Rd+1，其中值ξ可以为负值。购买投资组合的价格（在t时刻）等于ξ·π：=dXi=0ξiπi.（1.4），投资组合的价值（在t时刻）是随机变量ξ·S=dXi=0ξiSi（ω）=ξ（1+r）+ξ·S。（1.5）套利机会是一个投资组合ξ∈ Rd+1，比如ξ·π≤ 0，但是ξ·S≥a、 e.0和P（ξ·S>0）>0.如果市场是无套利的（即没有满足上述关系的投资组合），则有理由认为它是公正的。用所谓的附加净收益来表示无套利条件是很方便的。回想一下，贴现净收益（t时刻）是Yi给出的随机变量：=Si1+r- πi，i=1，D（1.6）让我们用Y表示贴现净收益的向量Y:=（Y，…，Yd）。由（1.1）我们得到Y=S1+r- π=0，因此y不起任何作用。引理1.1。[6]、引理1.3和条件（1.3）]以下条件是等价的：1）市场是无阿尔比悲剧的；2） 如果ξ∈ Rdsatisξ·Y≥a、 e.0，那么ξ·Y=a.e.0。这个引理有明确的几何解释。LetL:={ξ·Y，ξ∈ Rd}=（dXi=1ξiYi，（ξ，…，ξd）∈ Rd）（1.7）是向量（函数）Yi，i=1，…，生成的子空间，d、 用L1+表示非负函数的锥sl1+：={f∈ L(Ohm, P），f≥ 0}. 引理1.1意味着市场是无套利的<=> L∩ L1+={0}。

（1.9）上述观察结果表明，自然会将L1+视为套利可能性的圆锥体（利润圆锥体），并将l视为金融市场策略的子空间。显然，获得等式L的（几何、代数等）条件的描述是很重要的∩ L1+={0}发生。定理1.2（资产定价基本定理）给出了金融数学中最著名的市场无套利条件。为了阐明这个定理，我们回顾了一些注释。一个量度Q被称为相对于初始量度（符号Q）是绝对连续的 P），如果Q和P定义在同一σ-代数F上，且P（A）=0=> Q（A）=0。据说Q等于P（符号Q）≈ P），如果Q P和P 这就是P（A）=0<=> Q（A）=0。根据R adon–Nikodim定理，如果Q P，则存在一个函数ψ∈ L1+，这样q（A）=ZAψ（ω）dp对于每个A∈ F.这个函数ψ被称为测度Q对测度P的Ra don–Nikodim导数，用d Qd P表示。定理1.2。【资产定价基本定理；【6】、定理1.6】就上述对象而言，下一个关系是：无套利<=> 存在一个测度P*≈ 有界的P*d P，就是这样*（Yi）=0，i=1，d，（1.10）这里是EP*（Yi）是Yi的期望，即EP*（Yi）=ZOhm叶萍*=ZOhm易d P*d Pd.P。（1.11）如果满足条件（1.10），则P*被称为鞅（或风险中性）测度。因此，定理1.2可以用以下方式改写：市场是无套利的<=> 存在一个鞅e测度P*≈ P和Edd P*现在让我们实现定理1.2的几何重新表述。

这将使我们能够在下文（第2节）中揭示这类现象的一般几何性质，尤其是直接重新定义所提到的资产定价基本定理（见定理3.1.0）。让我们考虑一个Banach空间L(Ohm, P）。通常，这个空间的元素是可积函数的等价类，其中两个函数的等价性几乎处处由它们的相等性给出；范数由积分给出。因此，所有的质量和不平等都被理解为“几乎无处不在”。众所周知，f是对偶空间L(Ohm, P）*我们有我(Ohm, P）*= L∞(Ohm, P）（其中∞(Ohm, P）是本质有界函数的等价类的Banach空间（essup-范数）。在这个例子中，元素sx*∈ L∞(Ohm, P）与泛函（L的元素）一致(Ohm, P）*) 通过耦合<x*, u>=ZOhmux*d P，u∈ L(Ohm, P）。（1.12）该关系还表明，函数x*∈ L(Ohm, P）*可以用关于P电荷F的绝对连续性来表示，比如d Fd P=x*∈ L∞(Ohm, P），即<x*, u>=ZOhmu d F=ZOhmUd Fd Pdp=ZOhmux*d P，u∈ L(Ohm, P）。（1.13）在此基础上，我们确定(Ohm, P）* F<->d Fd P∈ L∞(Ohm, P）。（1.14）让我们也注意到，条件（1.10）（即马丁尼度）就是记录P*⊥ 易，我=1，d，（1.15）易在哪里∈ L(Ohm, P），P*与功能EP一致*在L(Ohm, P）（见（1.11）），以及⊥ 表示P之间的正交性*易建联，这就是平等<P*, Yi>=0。显然，条件（1.15）等同于条件P*⊥ L，（1.16），其中L是向量Yi生成的子空间（1.7），i=1，Da和（1.16）都不是记录中的*∈ L⊥, （1.17）其中⊥ L(Ohm, P）*是L上湮灭的泛函的子空间。现在让我们考虑L上非负f函数的锥L1+（1.8）(Ohm, P）。

拜尔*1+ L(Ohm, P）*= L∞(Ohm, P）我们表示L1+上非负泛函的锥，即*1+：={x*∈ L∞(Ohm, P）：<x*, u>≥ 每u 0∈ L1+}。显然，L*1+与圆锥体L重合∞+L中的非负函数∞(Ohm, P），即*1+=L∞+:= {x*∈ L∞(Ohm, P），x*≥ 0}. （1.19）我们用L表示∞+圆锥体∞+:= {x*∈ L∞(Ohm, P），x*>a、 e.0}。（1.20）回顾带电荷的泛函的识别（参见（1.13）、（1.14）），我们不认为初始测度P和泛函x之间的等效性*∈ L∞(Ohm, P=L(Ohm, P）*由下一段关系记录≈ 十、*<=> 十、*∈~L∞+. （1.21）现在考虑到记录（1.15），（1.17），（1.21）以及引理1.1（条件（1.9）），我们可以用引理1.3的形式重写定理1.2。【资产定价的基本定理：几何公式】对于前面描述的对象，有两个条件是等价的：1）L∩ L1+={0}（=无套利）；2） L⊥∩~L∞+6=  （=鞅测度的存在性）。上述观察结果表明，考虑等式是很自然的∩ K={0}，（1.22），其中L是一个子空间，K是给定Banach空间E a s关系中的某个锥，描述了无套利；和关系⊥∩~K 6=, （1.23）式中，K是属于K的某个圆锥*（K）*是描述marting-ale测度存在性的非负泛函（K）的锥。这将是我们进一步分析套利自由市场几何结构的起点，将在后续章节中实施。2分离定理、可塑性锥和反射曲面为了描述任意年龄自由度的几何性质，也就是说，为了找到完整时间的标准（1.2 2），我们需要一些与凸集、分离定理、锥和子空间相关的已知结果。为了便于介绍，我们在本节中回顾它们。设X是拓扑线性空间，a，B 十、