连续过程的鲁棒基本定理

对所有P都是非负的∈ P.为了与经典文献一致，以下超边缘理论用setQ表示：=[P∈PQPof在-ζ局部鞅测度之前；参见定义3.3。接下来的MMA 5.2提供了一个与设置Qof SuperMartingalMeasures等效的版本。定理5.1。让NA（P）保持，让T∈ R+设f：Ohm → [0, ∞] 是一个更高的半解析，GT可测函数和supQ∈QEQ[f1ζ>T]<∞.然后是SUPQ∈QEQ[f1ζ>T]=minx: H∈ H（x）与x+（HoS）T≥ f P-所有P的a.s∈ P.为了证明这个定理，我们首先证明Q可以等价地被它的陈述所取代。引理5.2。让NA（P）保持，让T∈ R+设f：Ohm → [0, ∞] 具有可测量的功能。然后是SUPQ∈QEQ[f1ζ>T]=supQ∈QEQ[f1ζ>T]。证据自从Q Q、 我们只需要证明一个非平凡的不等式。FixQ∈ Q、 让P∈ P是这样的<<ζP。通过附录中的备注A.3，我们可以构建一个cádlág适应的过程Y≥ 0，这是qp的-ζ密度之前的值。然后，与[28，命题3.2]相同的论点表明，我们可以写出Y=yd，其中D是D=1的anF+可预测的非增量过程，Y是一个P-a.s.严格正的cádlág（F+，P）-局部鞅，因此ys也是一个（F+，P）局部鞅。应用附录中的定理A.6，我们构造了Q~ζP，其相对于P的前ζ密度为Y。显然，EQ[f1ζ>T]=EP[YTf]≥ EP[YTf]=自f起的等式[f1ζ>T]≥ 0.仍然需要证明Q∈ QP，从Y是（f+，P）-局部鞅并且ζ在Q下是可预测的这一事实直接得出；参见附录中的定义A.4和定理A.6。本节剩余部分将用于定理5.1的证明。在证明过程中，T>0是固定的，f满足定理中所述的总和。我们将使用引理5.2，不再赘述。

为了简化符号，我们可以假设S=S1[[0，ζ[[上半解析函数的定义在附录A.1节中回顾。特别是，任何Borel函数都是上半解析函数。此外，我们设置g:=f1ζ>T；注意，g与f一样是上半解析函数。我们从证明定理的简单不等式开始∈ 假设存在H∈ H（x）使得x+HoST≥ g P-a.s.代表所有人∈ P.修正Q∈ Q然后就有了P∈ P使得Q~ζP。附录中的备注A.5表明，ζ是G+的质量强化GQ+的可预测停止时间。因此，H′：=H1[[0，ζ[[在Q+上是可预测的，因此x+H′oS在Q下是一个非负的局部鞅，特别是一个Q-超鞅≤ T}，我们看到x+H′oST≥ GQ-a.s.，现在考虑预期收益率x≥ 等式[g]。从那时起∈ Q是任意的，不平等“≥” 定理的基本原理如下。为了完成定理的证明，我们将在这一部分的剩余部分构造一个策略H satisf yingsupQ∈QEQ[g]+HoST≥ g P-所有P的a.s∈ P.（5.1）给定t≥ 0和一个上半解析函数h≥ 0开Ohm, 我们需要（h）（ω）：=supQ∈Qt（ω）EQ[ht，ω]，ω∈ Ohm.此外，我们表示F*= （F）*t） t∈R+。引理5.3。过程{Et（g）}t∈[0，T]是a（Q，F）*)-allQ的超级艺人∈ Q、 特别是对于所有的Q∈ 问题：证据。让我们≤ t、 鉴于命题4.5和引理A.7，我们可以修改[37，定理2.3]的证明，以确定Et（g）是F*t-可测上半解析，即所有ω的（g1ζ>t）（ω）=Es（Et（g）1ζ>t）（ω）∈ Ohm,这就是（g1ζ>t）=ess supQQ′∈QQsEQ′[Et（g）1ζ>t|Fs]Q-a.s.适用于所有Q∈ Q、 式中QQs={Q′∈ Q:Q′=Q在Fs}上。自{ζ>T} {ζ>t}表示t≤ T，我们有g1ζ>T=f1ζ>Tζ>T=f1ζ>T=g。因此，上面的简单公式是toEs（g）=es（Et（g）），s≤ T≤ T（5.2）安第斯山脉（g）=ess supQQ′∈QQsEQ′[Et（g）|Fs]Q-a.s。

尽管如此，Q∈ Q、 s≤ T≤ T.（5.3）我们的假设是：∞ 和（5.2）在s=0的情况下应用∈QEQ[Et（g）]<∞ 对于所有的t；特别地，Et（g）在所有Q下都是可积的∈ 问：此外，（5.3）得出的结果是（g）≥ EQ[Et（g）| Fs]=EQ[Et（g）|F*s] Q-a.s.适用于所有Q∈ Q、 s≤ T≤ T、 这是理想的超级马丁的属性。引理5.4。定义：t=lim supr↓t、 r∈QEr（g）对于t<t和Z′t:=ET（g），设N是所有ω的集合∈ Ohm 使得Z′（ω）不是cádlág，并且Z:=Z′Nc。然后（Zt）t∈[0，T]是一个cádlág，g+适应的过程，它是所有Q的Q-超马尔可夫过程∈ Q.此外，Z≤ supQ∈QEQ[g]和ZT=gp-a.s.适用于所有P∈ P.（5.4）证据。回想引理5.3。超鞅的修正定理[15，定理VI.2]得出，N是Q-极的，其定义上的极限实际上是Q-极集合外的极限，而且Z′是（G+，Q）-超鞅f或所有Q∈ 问：看到了吗∈ 我们定义了一个任意的P∈ P表示N为-null。实际上，我们可以分解N asN=（N∩ {ζ ≤ T}）∪ （N）∩ {ζ>T}）。第一个集合是P-null，因为{ζ<∞} 被认为是P极的。我们知道存在Q∈ Q这样P~ζQ.因为N是相对于F的Q-null*T、 存在一个FT-可测Q-零集NQsuch，N NQ。现在~ζQ意味着NQ∩ {ζ>T}是P-null，然后N也是∩ {ζ>T}。因此，我们有了N∈ N尤其是N∈ 这意味着Z:=Z′nci仍然是所有Q的（G+，Q）-超鞅∈ Q、 除此之外，Z的所有路径都是cádlág。此外，对于任何P∈ P、 从gt=FTP-a.s.和（5.3）中可以看出，ZT=Z′T=ET（g）=gp-a.s.这仍然是（5.4）的第一部分。因为Zis G0+是可测量的，所以对于任何P，G0+等于F0+直到P-空集∈ P、 还有P∈ P在F0+上由一些Q支配∈ Q、 必须证明这一点≤ supQ′∈QEQ′[g]≡ E（g）Q-a.s.适用于所有Q∈ 问：这个事实的证明类似于[34，不等式（3.3）]的证明。

也就是说，它遵循引理5.3和ZthatsupQ′的构造∈QEQ′[Z]≤ supQ′∈QEQ′[g]。然后，一个显示supQ′∈QEQ′[Z]支配着任何Q的Q-本质上确界∈ 通过验证Q在F0+可测量的等效测量变化下是稳定的，参见定理A.6。我们省略了细节。引理5.5。让Q∈ 然后存在一个GQ+可预测过程hqq，它在Q下是S-可积的，这样z- HQoS是[[0，ζ]上的非递增Q-a.S[[∩[0，T]]。证据设σnbe为与Q相关的宣布序列f或ζ，并设置τn:=σn∧T设Q′是fta上的一个概率，它等价于Q，因此Sτnis a Q′-局部鞅；我们证明了Zτ是Q′-超鞅。实际上，让Y′=（Y′t）t∈[0，T]是Q′相对于qa的密度过程和过滤GQ+，一个具有单位期望的严格正Q-鞅。定义\'t:=Y\'t∧τn，t≥ 0;那么Y′是概率Q′相对于Q的密度过程，这是验证Q′的基本方法∈ 因此，Z是一个由Emma 5.4设计的Q′超级艺术家。当Gτn+上的Q′=Q′时，Zτ是一个Q′-超马氏体。因此，我们可以应用经典的可选分解定理（见[22]）来获得被积函数HQ，nsuch thatZτn- HQ，noSτnis非递增Q-a.S.结果之后是一个极限n的通道→ ∞.定理5.1的证明结束。我们现在可以用类似于[34，定理2.4]的证明的参数来构造（5.1）中的H。为此，我们重新定义S=S1[[0，ζ[[]。此外，我们将在过滤G和NP中工作 G、 我们可以假定，在ζ之前，S的所有路径都是连续的，而不失一般性。（d+1）维过程（S，Z）在所有Q下本质上是一个G+半鞅∈ Q也就是说，S在ζ处可能没有一个leftlimit。

在构造[31，命题6.6]之后，存在一个G+可预测（因此G-可预测）过程C（S，Z），其值为inSd+1+（非负有限对称矩阵集），在ζ之前具有Q-Q.S.连续且不减损的路径，并且在每个Q下与Q-a.S.和h（S，Z）重合∈ Q、 ζ之前。这里h（S，Z）表示Q下（S，Z）的第二个特征；i、 （S，Z）的连续局部鞅部分的二次协变量过程。设CS为对应于S的d×d子矩阵，设Cszb为对应于S和Z的二次协变量的d维向量。设At:=tr Cst为CS的迹；然后，在ζ之前，CS<< A Q-Q.s.和CSZ<< A Q-Q.s.（即，绝对连续性在极坐标集之外保持）。因此，对于cSt定义的导数，我们有dCS=cSdA Q-Q.s.和dCSZ=cSZdA Q-Q.s.：∈Sd+}，~cSt:=lim supn→∞CSt- CS（t）-1/n）∨0At- A（t）-1/n）∨0和cSZt:=~cSZt{~cSZt∈Rd}，~cSZt:=lim supn→∞CSZt- CSZ（t-1/n）∨0At- A（t）-1/n）∨0，其中所有操作都是组件式的，并且0/0:=0。Let（cS）⊕成为cS的Moore–Penrose伪逆，并定义G-可预测过程H:=（cSZ（cS）⊕关于[[0，ζ][[∩[[0，T]]，否则为0；我们证明了H s指数（5.1）。修正Q∈ Q.根据引理5.5，存在一个S-可积过程HQanda非减量过程KQsuch thatZ=Z+HQoS- [0，ζ]上的KQQ-a.s[[∩[0，T]]。（5.5）该主张未使用针对[31]主要结果的过滤可分离性假设。因此，通过它的等距，这意味着H在Q下是s可积的，在[[0，ζ]上Hos=HQos Q-a.s[[∩[0，T]]。现在（5.5）意味着- Z- HoS是[[0，ζ]上的非递增和非直观Q-a.S[[∩[0，T]]。注意到ztζ≤t=Et+（f1ζ>t）1ζ≤t=Et+（f1ζ>tζ≤t） =Et+（0）=0q-a.s，我们在[[0，t]\\[[0，ζ[]上看到Z=0。

由于H在该集合中也消失了，我们得出结论Z- Z- HoS是[[0，T]]上的非递增和非正Q-a.S。特别是Z+HoS≥ 0 Q-a.s.作为Q∈ Q是任意的，它很容易跟随Z+HoS≥ 零时零时零时零时零时零时零时零时零时零时零时零时零时零时零时零时零时零时零时零时零时零时零时零时零时零时零时零时零时零时- Z- HoS是所有P在[[0，T]]上的非递增P-a.S∈ 因此，我们有SUPQ∈QEQ[g]+HoST≥ Z+HoST≥ ZT=gp-a.s.适用于所有P∈ Pand H∈ H（x）表示x=supQ∈QEQ[g]。这就完成了（5.1）和定理5.1的证明。附录。1.度量理论中的概念给出了一个可测空间(Ohm, A） 让P(Ohm) A上所有概率测度的集合。A的普遍完成是σ场∩P∈P(Ohm)AP，其中AP表示A的P-完成。当Ohm 是一个具有Borelσf场B的拓扑空间(Ohm), 我们赋予P(Ohm) 具有弱收敛的拓扑结构。假设Ohm 是波兰人，然后是P(Ohm) 他也是波兰人。A子集A Ohm 如果它是另一个波兰空间在aBorel可测映射下的Borel子集的图像，则称为解析。解析集在可数并集和交集下，以及在Borel函数的正映象和逆映象下是稳定的。任何Borel集都是解析的，任何解析集都是普遍可测的。A功能f：Ohm → [-∞, ∞] 是上半解析的如果{f≥ c} 是解析forevery c吗∈ 特别是，任何Borel函数都是上半解析函数。关于这些结果和进一步的背景，请参阅[4，第7章]。A.2 F"ollmer的退出措施关于F"ollmer退出措施的重要参考文献为[21]和[29]；参见[40]及其参考文献，了解最新发展。与定义3.1相比，本节的第一个结果提供了一个替代性的、似乎更强的、对ζ之前绝对连续性概念的描述。引理A.1。设ξ为随机时间，P，Q∈ P(Ohm). 然后（A）∩{τ < ξ}) = 0 => Q（A）∩{τ < ξ}) = 0  τ ∈ T+，A∈ Fτ+（A.1）在当且在ly ifP（A）上成立∩ {q<ξ}）=0=> Q（A）∩ {q<ξ}）=0 Q∈ Q+，A∈ Fq。（A.2）证据。

很明显，（A.1）意味着（A.2）。相反，我们首先要注意的是，检查（A.1）F停止时间在Q中的取值非常多+∪ {∞}. 的确，让τ∈ T+被给予；然后τn:=inf（k+1）2-n:0≤ K≤ n2n，τ≤ k2-N（在哪里 = ∞) 是这样的停止时间和τn的序列↓ τ . 诺瓦∩ {τn<ξ}增加到A∩ A的{τ<ξ}∈ Fτ+ Fτn；因此，如果（A.1）对每个τn有效，那么P（A∩ {τ<ξ}）=0意味着P（A∩ {τn<ξ}）=0这又意味着Q（A）∩ {τn<ξ}）=0，因此Q（A）∩ {τ<ξ}）=0的单调收敛性。任意F-停止时间τ，Q中有无数个值+∪ {∞} 形式为τ=Pni=1tiAi，其中n∈ N、 钛∈ Q+∪ {∞} 还有Ai∈ 它们是不相交的。因此，R（A∩ {τ<ξ}）=nXi=1RA.∩ {τ ≤ ti}∩ 艾岛∩ {ti<ξ}, R∈ {P，Q}因此（A.2）意味着（A.1）。备注A.2。让Q~ζP。引理a.1的结果是Q和P在Fτ上是等价的+∩任意τ的{τ<ζ}∈ T假设（τn）n∈Nis是一个非减量T值序列，使得τ：=limn→∞τn≥ ζ在Q-a.s.意义上保持不变。因为{τ<ζ}∈ Fτ+∩ {τ<ζ}的Q-测度为零，我们得出结论，P{τ<ζ}=0，即τ≥ ζ在P-a.s.意义上也成立。特别是，如果ζ=∞ P-a.s.，由此得出τ=∞ P-a.s.备注a.3。设P和Q是两个概率测度(Ohm, F） withQ<<ζP和ζ=∞ P-a.s.通过利用Radon–Nikodym定理的适当版本和cádlíg修正程序，可以确定P-a.s.非负cádlíg适应过程Y的存在性，使得Q（aτ∩所有τ的{τ<ζ}）=EP[YτAττ<ζ]∈ T+和Aτ∈ Fτ+。（A.3）上述过程Y将被称为Q相对于P的前ζ密度过程。当Q为P时，P为正~ζP。请注意，（A.3）唯一指定了Q，因为∩ {T<ζ}，T∈ R+，在∈ ftfζ-= F也是π系统。

因此，Q相对于P的前ζ密度过程的规格是唯一定义为P消失集的。支持Q~ζP和Y是Q相对于P的前ζ密度过程。特别是，由于Q和P在F0+上相等，ζ>0，（A.3）给出EP[Y]=1。此外，对于0≤ s<t<∞ 作为∈ Fs+，注意ep[YtAs]=Q（As∩ {t<ζ}）≤ Q（As）∩ {s<ζ}）=EP[YsAs]，这意味着Y是（F+，P）-上鞅。接下来的定理A.6，本质上是由于[21]中的F"ollmer，与之前的观察相反：从概率P和候选密度过程Y开始，构造了一个概率Q，其中Y是相对于Q的前ζ密度。该陈述需要以下概念。定义A.4。如果存在T+值的s等式（τn）n，则ζ在概率Q下是可预测的∈n确保所有n和Q{limn的Q{τn<ζ}=1→∞τn=ζ}=1。很明显，可以选择上述停止时间顺序来避免增加。此外，请注意，在-ζ之前的等效概率变化下，ζ的可预测性并不保持不变。备注A.5。根据[24，定理4.16]，ζ在Q下是可预测的，当且仅当ζ等于(Ohm, F+。定理A.6。设Y为严格正（F+，P）-上鞅，ep[Y]=1。然后，存在Q~ζP使得Y是Q相对于P的前ζ密度过程。此外，如果Y实际上是（F+，P）-局部鞅，则ζ在Q证明下是可预测的。回想一下，对于ξ∈ T+，σ-场Fξ-由集合{As]生成∩ {s<ξ}:s≥ 0，作为∈ Fs}。有了这个定义，我们观察到F=Fζ-, 因为bt是Fζ--可测量的≥ 0

事实上，E∪ {△} 是A型还是A型∪ {△}, 哪里∈ B（E），对于任何这样的A，我们有{Bt∈ A} ={Bt∈ A}∩ {t<ζ}∈ Fζ-和{Bt∈ A.∪ {△}} = （{Bt∈ A}∩ {t<ζ}）∪ {ζ ≤ t}∈ Fζ-.根据[40，第4.2节]，我们可以构造ξ∈ 带P{ξ<∞} = 0安达概率Qon(Ohm, Fξ-), 这样的q（Aτ）∩ {τ<ξ}）=EP[YτAττ<ξ]适用于所有τ∈ T+和Aτ∈ Fτ+。特别地，Q{ξ>0}=EP[Y]=1。自Aτ∩ {τ < ξ ∧ ζ} ∈ Fτ+对于所有Aτ∈ Fτ+，上述公式也适用于ξ′：=（ξ∧ ζ)1ξ>0+ ζ1ξ=0. 因此，我们可以假设ξ∈ T+满意度0<ξ≤ ζ和P{ξ=ζ=1，以及Q（Aτ∩ {τ<ξ}）=EP[YτAττ<ξ]适用于所有τ∈ T+和Aτ∈ Fτ+。我们将把Qto扩展到F=Fζ上的概率Q-使Q{ξ=ζ}=1成立；这将立即建立（A.3）。定义一个映射ψ：Ohm → Ohm 如下所示：对于ω∈ Ohm,当t<ξ（ω）和ψt（ω）=△ 当ξ（ω）≤ t、 因为F是由坐标投影和{ψ∈ ∧}=（{ω：ωt）∈ Λ ∩ E}∩ {t<ξ}）∪ {t≥ ξ} ∈ Fξ-坚持到底∈ E=E的R+和Borel子集∧∪ {△}, 因此ψ是（Fξ）-/F） -可衡量。通过构造，ζo ψ = ξ. 我们声称ξ≤ ξ o ψ也成立。事实上，自从ξ∧ t是英尺--可测量的∈ R+，[14，定理96，第一章V]暗示ξ∧ t=（ξ）∧ （t）o kt，其中k是通过kt（ω）=ω1[0，t）+△1[t，∞)对于ω∈ Ohm. 自ξ（ω）∧ t=ξo kt（ω）∧ t代表所有（ω，t）∈ Ohm x R+，插入t=ξ（ω）得到ξ（ω）=ξo kξ（ω）（ω）∧ ξ(ω) = ξ o ψ(ω) ∧ ξ(ω), ω ∈ Ohm,我们用kξ（ω）（ω）=ψ（ω）表示所有ω∈ Ohm. 因此，ξ≤ ξ o ψ. 最后一个不等式，结合ξ≤ ζ和ζo ψ=ξ，给出ζo ψ = ξ o ψ. 通过Q（A）=Q（ψ）定义F上的Q-1（A）对于所有人∈ F.通过构造，Q是Q的扩展，（A.3）遵循Q{ξ<ζ}=Q{ξ（ψ）<ζ（ψ）}=Q() = 最后，如果Y是（F+，P）-局部鞅，则（τn）是一个局部序列，并称为τ：=limn→∞τn。

注意τ=∞ = ζ在P-a.s.意义上成立。注释A.2，τ≥ ζ在Q-a.s.意义上成立。此外，从（A.3）中，我们得到所有n的Q{τn<τ}=EP[Yτn]=1∈ N.因此，ζ在路径空间的Q.A.3下是可预测的Ohm本节的目的是展示Ohm 具有自然的波兰拓扑结构，这是第4节和第5节中可测量选择参数所必需的。据我们所知，这个结果并没有包含在以前的文献中，只是提到了卢辛性质；参见，例如[29]。设D=Dx*([0, ∞); E） 是[0]上E值cádlágpath的通常Skorokhod空间，∞) 从x点开始*∈ E和δ∞是它的美国标准，呈现出波兰式的空间。我们可以想到一条路径ω∈ Ohm 由路径ω组成∈ D和一生z∈ (0, ∞]; 在这种情况下，使用quip（0，∞] 对于完全度量d（0，∞]（z，z′）=|z-1.- z′-1 |，在哪里∞-1:= 0. 更准确地说，给定z∈ (0, ∞], letez（t）：=（如果z=∞,z（1）- E-t） 如果z<∞.我们注意到ez:[0，∞) → [0，z）是一个单调双射；因此，与ez的预合成将变成一条路径ω∈ Ohm 寿命z=ζ（ω）转化为D元素。因此，我们可以定义δOhm（ω，ω′）=d（0，∞]ζ(ω), ζ(ω′)+ δ∞ω o eζ（ω），ω′o eζ（ω′）, ω, ω′∈ Ohm.引理A.7。空间(Ohm, δOhm) 是波兰人，其Borelσ场与F重合。此外，Fτ=σ（Bt∧τ、 t∈ R+）适用于任何F-停止时间τ；特别地，Fτ是可数生成的。证据很明显△Ohm定义一个度量标准Ohm. 此外，映射Ohm → D×（0，∞], ω 7→ω o eζ（ω），ζ（ω）允许倒×（0，∞] → Ohm, （ω，z）7→ (~ω o E-1z）1[0，z]△ 1[z，∞).通过δ的定义Ohm, 这些映射构成了Ohm 和D×（0，∞]; 特别地，Ohm 波兰语像D×（0，∞].让B(Ohm) 是Borelσ场上的Ohm. 证明F B(Ohm), 结果表明，计算结果Bt：ω7→ ωtis Borel可测量的任何函数≥ 0