连续过程的鲁棒基本定理

定义τn=infT∈ R+：X1/n，Hnt<0∈ T+，Gn=Hn]]0，τn]]。然后τn∈ T+作为S的路径是正确连续的，因此GNI是一种简单的可预测策略。因为τn=∞ P-a.s.，我们有Gn=HnP-a.s。；特别是，GnT仍然满足X1/n，GnT≥ g P-a.s.此外，τnguarante的定义表明X1/n，GNI是非负的P-q.s.——s的连续性在这一步中至关重要。考虑者f:=infn∈NX1/n，GnT∈ L+（FT）并注意，vsimp（T，f）=0在定义中保持不变。此外，我们还有f≥ gP-a.s.，因此P{f>0}>0，与NA（P）相矛盾。因此，（3.1）已经建立。第三步。鉴于（3.1），NA（P）如何暗示QP6=,对于任意但固定的P∈ P.因此，我们基本上处于经典随机分析和金融领域；特别是，我们可以使用附录中的工具以及[26,27]。定义Xsimp，Pas形式为Xx、HF或x的所有过程的类别∈ R+和H∈ 辛，P（x）。集合{X∈ Xsimp，P:X=1}具有[27，定义1.1]的基本性质，需要得出结论，即Xsimp，P是P-半鞅的，参见[27，定理1.3]，并且（立即扩展）条件NA（P）对Xsimp的闭包xp也是有效的，P-半鞅拓扑；见[27，备注1.10]。特别地，一个标准的局部化和积分参数（使用S在P下的局部有界性）表明S本身是一个P-半鞅。这个集合与所有的P-a.s。P下S的非负随机积分，使用一般可预测和S-可积被积函数。这可以通过使用简单随机积分相对于一般随机积分的密度（在半鞅拓扑中）以及一个同样使用S具有连续路径P-a.S的参数来看出。

因此，利用XP的NA（P）条件，我们推断了严格正（F+，P）-局部鞅Y的存在性，Y=1，使得Y S是（F+，P）局部鞅；参见[26，定理4]。现在我们可以使用附录中的定理A.6来构造一个概率Q~ζP，使得Y是Q相对于P的前ζ密度。利用Y S是（F+，P）局部鞅，ζ在Q下是可预测的（对于后者，参见附录中的定义A.4和定理A.6）和备注A.2，我们可以构造所需的T+值序列（τn）n∈那是什么·∧τnisan（F+，Q）-鞅∈ 最后一个事实就是Q∈ 然后得出结论。4.前ζ超鞅测度的动态规划性质为了证明第5节中的超鞅定理，必须知道（超）鞅测度集满足某些动态规划性质。在本节中，我们对作为我们模型主要对象的集合P施加假设，并展示这些属性是如何被相应的超鞅测度集合继承的。4.1附加假设和符号从现在起，我们假设波兰空间E是拓扑向量空间，路径ω∈ Ohm 从x点开始*= 0∈ E.对于x，y∈E，我们使用约定x+y=△ 如果x=△ 或y=△ . 莱特≥ 0.给定ω，ω∈ Ohm, 我们设定（ω）tΩ）s=ωs[0，t）（s）+（ωt++ωs-t） 1[t，∞)（s） 。同时给出一个过程Z，我们定义Zt，ωs（～ω）：=Zt+s（ωt~ω），s≥ 0;请注意，时间变量的变化是我们定义的一部分。我们将arandom变量ξ视为一个时间常数的过程，因此ξt，ω（～ω）：=ξ（ω）tω）。我们用P表示(Ohm) 上所有概率测度的集合Ohm, 配备了弱收敛的顶级理论。

给定一个概率R∈ P(Ohm), 我们定义，ωbyRt，ω（A）=Rωt{ωt~ω：~ω∈ A} ，A∈ F、 其中，Rω是给定FsatisfyingRωt{ω′的R的正则条件分布∈ Ohm : ω′=ω在[0，t]}=1，ω上∈ Ohm.Ftis可数生成的事实保证了Rωtis的存在；参见引理A.7和[46，定理1.1.8和第34页]。然后得出R-a.e.ω的厄特，ω[ξt，ω]=ERωt[ξ]=ER[ξ| Ft]（ω）∈ Ohm. （4.1）我们假设我们的集合P允许一系列（t，ω）-条件模型。更准确地说，我们从一个{Pt（ω）：t族开始∈ R+，ω∈ Ohm}P的子集(Ohm) 如果ω|[0，t]=|ω|[0，t]，则在Pt（ω）=Pt（)ω）的意义下进行调整。特别地，P=P（ω）独立于ω。与[30,37]中ζ的情况相比，我们施加了以下结构条件≡ ∞.定义4.1。一个适应族{Rt（ω）：t∈ R+，ω∈ Ohm} p的子集(Ohm) 在ζ之前是分析性的且稳定的，如果以下条件适用于所有t≥ s≥ 0,ω ∈ Ohm 和R∈ Rs（ω）。（A1）{（R′，ω）：ω∈ Ohm, R′∈ Rt（ω）} P(Ohm) × Ohm 是分析型的。（A2）Rt-s、 ω∈ Rt（ω）sω）表示R-a.e.ω∈ {ζs，\'ω>t}。（A3）如果ν：Ohm 7.→ P(Ohm) 这是英国《金融时报》-s-可测核与ν（ω）∈ Rt（ω）sω）表示R-a.e.ω∈ {ζs，\'ω>t}，则由\'R（A）定义的测度：=ZZ（1A）t-s、 ω（ω′）νR（dω′；ω）R（dω），A∈ F、 式中，νR（ω）：=ν（ω）1{ζs，\'ω>t}（ω）+Rt-s、 ω{ζs，\'ω≤t} （ω），属于Rs（\'）ω。条件（A1）具有技术性质；它将用于可测量的选择参数。条件（A2）和（A3）是自然一致性条件，表明该家族在“调节”和“粘贴”下是稳定的附录A.1节回顾了分析集的定义。假设4.2。对于一个{Pt（ω）：t族，我们有P=pf∈ R+，ω∈ Ohm}在ζ之前是分析性的和稳定的。此外，St，ω是Pt（ω）-q.s。

ζt之前连续，ω- t、 f或所有t∈ R+和ω∈ Ohm.这类集合P的一个典型例子是它的所有定律P的集合，即半鞅sr·αudu+R·σudWu，每一个定律都位于其自身的概率s空间上，布朗运动W，漂移率α在给定的可测集合A中取值 Rd，和波动率σs，比如在正定d×d矩阵的给定可测集合∑中取值。在这种情况下，我们可以为所有（t，ω）取Pt（ω）=P，因为集合A和∑是常数；参考[32]。连续性条件显然满足规范选择S=带，然后NA（P）保持，例如，当A和∑是紧的。4.2在-ζ超鞅测度之前，出于技术原因，可以方便地使用s超鞅（而不是局部鞅）测度。本节的目的是定义一系列满足定义4.1条件的超可度量；它将用于构造超边缘定理（定理5.1）中的最优策略。我们首先需要定义前ζ绝对连续性的条件概念。定义4.3。Let（t，ω）∈ R+×Ohm P，Q∈ P(Ohm). 我们写Q<<ζt，ωP（有一些符号滥用）ifQ<< 财政司司长∩ {s<ζt，ω- t} ，s∈ R+。我们还需要考虑以（t，ω）为条件的财富过程∈ R+×Ohm.更准确地说，LetxImpt（ω）：=1+（HoSt，ω）τnH，St，ω：H∈ 辛普森∈ N, （4.2）其中hsimpi是所有简单可预测过程的集合，τnH，St，ω：=infs≥ 0:（HoSt，ω）s/∈ (-1，n）.在这里停车-1对应于财富过程的非负性，而在n处停止只是为了技术上的方便。本规范对xImpt（ω）的定义要点是对ω有一个可处理的依赖关系；在这方面，我们注意到集合hsimpi独立于ω。定义4.4。Let（t，ω）∈ R+×Ohm 和P∈ P(Ohm).

我们引入了setsPζt，ω（P）={Q∈ P(Ohm) : Q<<ζt，ωP}，Yt（ω）=Q∈ P(Ohm) : X1[[0，ζt，ω-t[[是一个Q-超鞅] 十、∈ Xsimpt（ω）,Qt（ω，P）=Pζt，ω（P）∩ Yt（ω），Qt（ω）=[P∈Pt（ω）Qt（ω，P）。Qt（ω）的元素在给出（t，ω）的-ζ绝对连续上鞅测度之前被调用。我们观察到{Qt（ω）：t族∈ R+，ω∈ Ohm} 是改编的。此外，我们从定理3.4中回忆起，Q6= 在NA（P）下。在本小节的剩余部分，我们证明了{Qt（ω）}族继承了{Pt（ω）}定义4.1的性质。提案4.5。家族{Qt（ω）}满足（A1）-（A3）。这个证明被应用到后面的引理中。为了便于参考，我们首先陈述以下标准结果。引理4.6。设A为Borel空间，设（A，ω）∈ A×Ohm 7.→ ξ（a，ω）∈R+是可测量的。然后，（a，R）∈ A×P(Ohm) 7.→ ER[ξ（a，·）]是令人厌烦的。证据例如，参见[37，定理2.3]证明中的步骤1。引理4.7。存在一个可数集H hs与可数集T 有界停止时间的T具有以下性质：给定（T，ω）∈ R+×Ohm Q∈ P(Ohm) 使得St，ω是ζt，ω之前的Q-a.s.conti numous- t、 我们在（i）X1[[0，ζt，ω]之间有等价性-t[[是所有X的Q-超鞅]∈ Xsimpt（ω），（ii）X1[[0，ζt，ω-t[[是所有X的Q-超鞅]∈~Xt（ω），（iii）EQ[Xσσ<ζt，ω-[t]≥ 等式[Xττ<ζt，ω-t] 为了X∈~Xt（ω）和σ≤ τinT，其中Xt（ω）的定义与（4.2）类似，但仅使用i nteh∈~H.此外，如果St，ω[[0，ζt，ω-t[[是Q下的半鞅，上述等价于（iv）X1[[0，ζt，ω]-t[[是所有X的Q-超鞅]∈ Xt（ω），其中Xt（ω）的定义类似于（4.2），但使用任意可预测的被积函数。证据对于每个人来说≥ 0，设∧fsf是生成Fs的可数代数；参见引理A.7。设T为所有停止时间τ=nXj=1tjAj的集合，其中n∈ N、 tj∈ Q+和Aj∈：/Ftj。

此外，让我们来看看H Hsimpbe是所有进程的集合sh=nXj=0αj]tj，tj+1]，其中n∈ N、 0=t≤ T≤ · · · ≤ tn∈ 对于某些aij，Q+和形式为αj=nXi=0aij的每个随机变量αj∈ QD和Aij∈：/Ftj。很明显，（i）=>（二）=>（三）。要知道（iii）意味着（i），fix Q∈ P(Ohm)还有X∈ Xsimpt（ω）。我们首先观察到，必须证明（i’）EQ[Xσ∑<ζt，ω-[t]≥ 等式[Xττ<ζt，ω-t] 为了所有的X∈ Xsimpt（ω）和所有σ≤ τinT。事实上，因为T包含τ=u1A+v1a和σ=u形式的所有停止时间，其中u≤ 五、∈ Q+和A∈~Fu，可以很容易地得出，（i\'）意味着X1[[0，ζt，ω]的上鞅性质-t[[在有理时间，然后R+上的超鞅性质后跟右连续性。以表明（iii）意味着（i\'），fixσ≤ τ和T∈ R+应为τ≤ T该索赔将通过传递到不等式eq[Xσ∑<ζt，ω]中的适当限制来实现-[t]≥ 等式[Xττ<ζt，ω-t] )；（4.3）我们将自己定义为证据的草图。让X∈ 应给出Xsimpt（ω），并回忆一下，在ζt，ω之前，St，ω是（Q-a.s.）连续的- t、 使用s-topping参数和单调收敛，我们可以简化为‘X:=X1[[0，ζt，ω-t[[是一致有界的。然后，使用支配收敛和另一个停止变元，我们可以简化为这样一种情况，即在ζt，ω之前，X也一致有界远离零- t、 使用标准参数，我们可以找到一个简单的可预测被积函数序列（Hk），该序列具有确定的跳跃时间，使得Xk:=1+HkoSt，ω→ [0，ζt，ω]上的Xuniformly- t[[在Q-概率中。由于X有界且远离零有界，因此¨Xk:=1+（HkoSt，ω）τnHk，St，ω[[0，ζt，ω-t[[→对于一个足够大的n，Q-概率中[0，T]的Xuniformly∈ N

经过加法近似，我们可以得到与Hk相同的性质∈~H，我们可以使用支配收敛证明（4.3）foreach‘xkim的有效性与‘X的有效性相同。如果St，ω是Q下的半鞅，我们可以证明（iii）通过使用类似的参数以及关于随机积分的标准结果暗示（iv），特别是[42，定理II.21和iv.2]。引理4.8。族{Qt（ω）}saties（A1）。证据修正t≥ 0.有必要证明集合Γ：={（ω，P，Q）：ω∈ Ohm, P∈ Pt（ω），Q∈ Qt（ω，P）} Ohm ×P(Ohm) ×P(Ohm)是分析型的。事实上，一旦建立起来，Qt（·）图就是Γ的投影；也就是说，（A1）是满足的。作为第一步，我们展示了图（Pζt，·（·））：={（ω，P，Q）：ω∈ Ohm, P∈ P(Ohm), Q∈ Pζt，ω（P）}是Borel（4.4），特别是解析的。事实上，它由引理A.1得出，Pζt，ω（P）=\\q∈Q+Pζt，ω（P，Q），其中Pζt，ω（P，Q）：=Q∈ P(Ohm) : Q<< P关于Fq∩ {q<ζt，ω- t}.因此，必须证明{（ω，P，Q）∈ Ohm ×P(Ohm) ×P(Ohm) : Q∈ Pζt，ω（P，q）}是固定q的Borel。由于FQ是可数生成的，参考引理A.7，一个标准参数（见[14，定理V.58，P.52]和随后的注释）表明，我们可以构造Borel函数Dq：Ohm×P(Ohm)×P(Ohm) → 因此，Dq（·，Q，P）是Q关于Fq上P的绝对连续部分的Radon-Nikodym导数的一个版本。然后，Q∈ Pζt，ω（P，q）当且仅当EP[Dq（q，P）1q<ζt，ω-t] {Q<ζ- t} 。利用（ω，P，Q）7→ EP[Dq（Q，P）1q<ζt，ω-[t]- Q{Q<ζt，ω- t} 通过引理4.6和A.7，我们得出结论（4.4）成立。设σ，τ∈ T和X∈ Xsimpt（ω）；回想一下，X=xh是形式（4.2）。然后是映射（ω，Q）∈ Ohm ×P(Ohm) 7.→ ψH，σ，τ（ω，Q）：=EQ[Xττ<ζt，ω-[t]- 等式[Xσ<ζt，ω-t] Borel是引理4.6的结果。

如果（ω，Q）是这样的，则St，ω在ζt，ω之前是Q-a.s.连续的- t、 引理4.7表明∈ Yt（ω）当且仅当ψH，σ，τ（ω，Q）≤ 0H∈~H，σ≤ τ ∈~T。利用图（Pt）和图（Yt）的明显嵌入Ohm ×P(Ohm) ×P(Ohm), 因此，Γ=图（Pt）∩ 图（Pζt，·（·））∩ 图（Yt）=图（Pt）∩ 图（Pζt，·（·））∩\\H∈~H，σ≤τ∈~T{ψH，σ，τ≤ 0}.这里我们使用了，如果（ω，P，Q）属于第一个交点，那么St，ω是P-a.s.，因此Q-a.s.在ζt，ω之前是连续的- T参考假设4.2。上面的表示表明Γ是解析集的可数交。引理4.9。族{Qt（ω）}saties（A2）。证据为了简单起见，我们陈述了s=0的证明；对一般情况的调查立即展开。修正Q∈ Q然后Q∈ Q（P）f或someP∈ P.我们将显示qt，ω∈ Pζt，ω（Pt，ω）∩ Q-a.e.ω的Yt（ω）∈ {ζ>t}；这意味着引理，因为Pt，ω∈ Pt（ω）对P-a.e.ω成立∈ Ohm, 参考假设4.2，因此Q-a.e.ω∈ {ζ>t}as Q∈ Q（P）。设Y为Q相对于P的前ζ密度过程（有关该概念的详细信息，请参见备注A.3），并设置Y=1[0，t）+（Y/Yt）1[t，∞),我们使用约定0/0=0。我们首先确定≥ 0，我们有Qt，ω<< Fs上的Pt，ω∩ {ζt，ω- t>s}事实上dqt，ω=~Yt，ωsdPt，ω在Fs上∩ {ζt，ω- Q-a.e.ω的t>s}∈ {ζ>t}。的确，让g≥ 0是一个可测量的随机变量；然后存在一个Fs+t-可测的随机变量g，使得gt，ω=g。回顾（4.1），我们得到了Q-a.e.ω∈ {ζ>t}thatEQt，ω[g1ζt，ω-t> s]=EQ[\'g1ζ>s+t|Ft]（ω）=EP[（Ys+t/Yt）\'g1ζ>s+t|Ft]（ω）=EP[~Ys+t|g1ζ>s+t|Ft]（ω）=EPt，ω[~Yt，ωsg1ζt，ω-t> s]。我们特别证明了Qt，ω<< Fs上的Pt，ω∩ {ζt，ω- t>s}表示所有∈ Q+holds表示Q-a.e.ω∈ {ζ>t}，引理A.1表示qt，ω∈ Q-a.e.ω的Pζt，ω（Pt，ω）∈ {ζ>t}。还有待证明qt，ω∈ Q-a.e.ω的Yt（ω）∈ {ζ>t}。

（4.5）让X∈ 然后我们观察到X=\'Xt，ω代表一些\'X∈ Xsimp。此外，让我们∈ T是有界的，那么σ=？，σT，ω- 对于某些有界的‘σ∈ T满足‘∑≥ t（X和σ都不依赖于ω）。我们有xσ=（\'Xt，ω）\'）σt，ω-t=（\'X\'σ）t，ω（其中\'X\'σ被视为随机变量）和thusEQt，ω[Xσζt，ω-t> σ]=EQt，ω[（\'X\'σ）t，ωζt，ω>σt，ω]=Q-a.e.ω的等式[\'X\'σζ>σ| Ft]（ω）∈ {ζ>t}。Ifτ≥ σ ∈ T是有界的且¨τ≥ “∑具有明显的意义，我们从Q的上鞅性质推断∈ YthatEQt，ω[Xσζt，ω-t> σ]=EQ[\'X\'σζ>\'σ| Ft]（ω）≥ 等式[\'X\'τζ>τ| Ft]（ω）=EQt，ω[Xτζt，ω-t> τ]对于Q-a.e.ω∈ {ζ>t}。引理4.7表示（4.5），证明是完整的。引理4.10。族{Qt（ω）}satis fies（A3）。证据同样，我们陈述了s=0情况的参数。让Q∈ Q然后∈ Q（P）对于某些P∈ P=P。此外，让t≥ 0，设ν为可测核，使得ν（ω）∈ Qt（ω）表示Q-a.e.ω∈ {ζ>t}。利用假设4.2和在定理4.8的证明中建立的可测性结果，可以得出集合{（ω，P′，Q′）：ω∈ Ohm, P′∈ Pt（ω），Q′=ν（ω），Q′∈ Qt（ω，P′）是解析的。让F*t利用可测选择定理，参见[4，命题7.49]，我们可以找到F*t可测量内核u′，使得u′（ω）∈ Pt（ω）和ν（ω）∈ Qt（ω，u′（ω））表示所有ω∈ F外{ζ>t}*t-可测Q-nullsetN′：/∈ Qt}∩ {ζ>t}和，例如，u′（ω）=Pt，ω代表ω∈ N′。然后我们可以找到一个Ft可测核u和一个P-空集N，使得u（ω）=u′（ω）代表所有ω/∈ N参考[4，引理7.27]。使用假设4.2和Q<<ζP，我们有u（ω）∈ P-a.e.ω的Pt（ω）∈ {ζ>t}；ν(ω) ∈ Qt（ω，u（ω））表示Q-a.e.ω∈ {ζ>t}。（4.6）根据假设4.2，度量‘P（A）：=ZZ（1A）t，ω（ω′）uP（dω′；ω）P（dω），A∈ Fis是P的一个元素；符号参见定义4.1。

集合Q（A）：=ZZ（1A）t，ω（ω′）νQ（dω′；ω）Q（dω），A∈ F.接下来，我们展示‘Q<<ζ′P；i、 e.“Q”<<\'P on Fs∩ {s<ζ}，s≥ 0.这对s来说是明确的≤ t因为“Q=Q”<<ζP=\'P在Ft.上，设s>t和letA∈ fst应确保P（A∩ {s<ζ}）=0。然后u（ω）{（A）∩ {s<ζ}）t，ω}=\'Pt，ω{（A）∩ {s<ζ}）t，ω}=0，因此`Qt，ω{（A∩ {s<ζ}）t，ω}=ν（ω）{A∩ Q-a.e.ω的{s<ζ}）t，ω}=0∈ {ζ>t}，乘以（4.6）。因此，Q（A∩ {s<ζ}）=EQE’Q[1A∩{s<ζ}| Ft]= 0根据需要。看到那Q∈ Y、 让X∈~X（回忆引理4.7中的符号）；那么X1[[0，ζ[]是一个Q-超鞅。此外，注意到Xt，ω是标度空间Xt（ω）Xsimpt（ω）的一个元素，我们得到了Xt，ω[[0，ζt，ω-t[[isaν（ω）-所有ω的上鞅，使得ν（ω）∈ Qt（ω）。使用Fubini的定理，可以得出X1[[0，ζ[[如所需]是一个“Q-超鞅”。我们已经证明了∈ Pζ（`P）∩Y 证据是完整的。5超边缘对偶在这一部分中，我们提供了超边缘对偶和非最优策略的存在性。为此，我们需要扩大可接受的策略集，允许持续交易。我们首先介绍过滤G=（Gt）t≥0，其中gt:=F*T∨ NP这里是F*这是FTA的普遍完成，NP是所有P的（F，P）-空集合∈ P.此外，假设4.2适用于本节。假设NA（P）保持不变，那么推论3.5暗示了每个P的S的（G，P）-半鞅性质∈ 因此，我们可以在所有可预测过程中引入L（P）类(Ohm, G） 在每个P下都是S-可积的∈ P.给定H∈ L（P）和P∈ P、 我们可以在P下构造通常的随机积分hoS（对P的依赖在符号中被抑制，但也可参见[33]）。为了x∈ R+，我们用H（x）表示所有H的集合∈ L（P）使得x+HoS保持P-a.S。