连续过程的鲁棒基本定理

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英文标题：
《Robust Fundamental Theorem for Continuous Processes》
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作者：
Sara Biagini, Bruno Bouchard, Constantinos Kardaras, Marcel Nutz
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We study a continuous-time financial market with continuous price processes under model uncertainty, modeled via a family $\\mathcal{P}$ of possible physical measures. A robust notion ${\\rm NA}_{1}(\\mathcal{P})$ of no-arbitrage of the first kind is introduced; it postulates that a nonnegative, nonvanishing claim cannot be superhedged for free by using simple trading strategies. Our first main result is a version of the fundamental theorem of asset pricing: ${\\rm NA}_{1}(\\mathcal{P})$ holds if and only if every $P\\in\\mathcal{P}$ admits a martingale measure which is equivalent up to a certain lifetime. The second main result provides the existence of optimal superhedging strategies for general contingent claims and a representation of the superhedging price in terms of martingale measures.
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中文摘要：
我们研究了一个连续时间金融市场在模型不确定性下的连续价格过程，通过一系列可能的物理测度来建模。引入了第一类无套利的稳健概念${rm NA}{1}（\\mathcal{P}）$；它假定，一个非负面的、非分散化的主张不能通过使用简单的交易策略而免费获得超额收益。我们的第一个主要结果是资产定价基本定理的一个版本：${\\rm NA}{1}（\\mathcal{P}）$成立当且仅当每个$P\\in\\mathcal{P}$允许一个鞅测度，该测度在某个生命周期内是等价的。第二个主要结果给出了一般未定权益最优超边际策略的存在性，以及超边际价格的鞅测度表示。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
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关键词：Mathematical Quantitative Optimization Presentation Applications

连续过程Sara Biagini的鲁棒基本定理*Bruno Bouchard+Constantinos KardarasMarcel Nutz§2018年8月17日摘要我们研究了模型不确定性下具有连续价格过程的连续时间金融市场，通过一系列可能的sical测度进行建模。引入了第一类无套利的稳健概念NA（P）；它指出，一个非负的、非差异性的规则不可能通过使用简单的交易策略而被免费超越。我们的第一个主要结果是资产定价基本定理的一个版本：NA（P）成立当且仅当每个P∈ P允许一个鞅测度，它相当于某个生命周期。第二个主要结果给出了一般未定权益最优s超套期保值策略的存在性，以及超边际价格的鞅测度表示。资产定价基本定理；第一类套利；超边缘二元性；非显性ModelAMS 2010受试者分类91B25；60G44；93E20*比萨大学经济与管理系，比萨，萨拉。biagini@ec.unipi。它+Ceremede，巴黎多芬大学和佳洁士大学，bouchard@ceremade.dauphine.fr.由ANR Liquirisk和Avenir投资公司（ANR-11-IDEX-0003/Labex Ecodec/ANR-11-LABX-0047）支持的研究英国伦敦经济与政治学院统计系。kardaras@lse.ac.uk.§纽约州北哥伦比亚大学统计与数学系，mnutz@columbia.edu.NSF资助的研究授予DMS-1208985和DMS1512900。

作者要感谢副主编和审稿人的建设性评论。1简介我们考虑的是一个股票连续交易的金融市场。假定（贴现）股价过程S是连续的，但它在随机模型意义下的分布不一定是未知的。相反，市场是在概率测度族P下考虑的：每个P∈ P被理解为S的现实世界动态的一个可能模型。在此背景下研究了两个基本问题：是否存在套利及其与线性定价规则（资产定价基本定理）的关系，以及无套利价格的范围（超边缘定理）。我们引入了一个强大的市场生存能力概念，称为第一k ind的无套利，表示为NA（P）。给定或有索赔f≥ 0在到期日T时，假设vsimp（f）是在所有模型P下同时使FSIMP超化所需的最小初始资本∈ P、 vsimp（f）：=infx: H带x+HoST≥ f P-a.s.适用于所有P∈ P.在上面，我们只允许简单的交易策略H，因此没有与定义随机积分HoS相关的模拟——没有半鞅假设。然后我们的条件NA（P）假设Vsimp（f）=0意味着所有P的f=0 P-a.s∈ P.反过来说，如果P{f>0}>0对某些P成立，那么价格vsimp（f）应该是严格正的∈ P.当P为单态时，该条件对应于[26，定义1.1]；事实证明，这是一个市场可行性的概念，非常适合连续时间内的模型不确定性。基本定理的主要目的是从没有套利机会的情况下，推导出可套利测度或线性定价规则的存在性。在经典情况[11,13]中，这个度量相当于物理度量P。

对于离散时间市场中的模型不确定性，[7]的基本定理产生了一个鞅测度族Q，使得每个P∈ P由鞅测度控制；P族和Q族是等价的，因为它们具有相同的极集合。在连续过程的当前设置中，我们发现一个结果，在每个P都允许一个等价的鞅测度Q的意义上，该结果更强。另一方面，需要在较弱的情况下定义等价性：有必要考虑鞅函数中的质量损失；因此，测度Q可以在P的支撑之外分配质量。因此，测度的等价性只适用于一个随机时间ζ，鞅性质也是如此。更准确地说，我们假设我们的模型是建立在规范空间上的Ohm 在可能跳到墓地状态之前连续的路径，ζ是跳的时间。这种“寿命”是有限的，因此在所有P∈ P、 但我可以在someQ下生活吗∈ 问：有了这些概念，我们的基本理论版本就说明了NA（P）对每个P都成立当且仅当∈ 存在一个局部鞅测度，使得Q和P在ζ之前是等价的。有关精确的说明，请参见定义3.3和定理3.4。[17]中考虑了一个相关的设置，其中S是连续路径空间中的规范过程。粗略地说，这里考虑的市场模型对应于宣布股票价格的所有路径都是可能的，或者包括P中的所有度量。因此，没有必要定义套利；在某些情况下，后者的缺失隐含在所有路径都是可能的事实中。

然而，在[17]中所述的对偶结果暗示了一个基本定理方向的结论；也就是说，在这个结果的条件下，必须至少存在一个鞅测度。文献[18]中报告了斯科罗霍德速度的类似结果。我们还参考了[12]f对交易期权背景下不同套利概念的讨论。有关离散时间无摩擦市场鲁棒基本定理的版本，请参见[1,7,8,43]；对于具有交易成本的离散时间市场，请参见[2,3,6,19]。本文的第二个主要结果是在我们的背景下提出了一个超边缘理论。假设NA（P）成立，让f≥ 0是一个目标，可在时间T测量。然后，我们建立了对偶性SUPQ∈QEQ[f1ζ>T]=infx: H带x+HoST≥ f P-所有P的a.s∈ P;当然，这是一个最优的交易策略。参见定理5.1中的精确陈述。证明中的论证线类似于[34]，其中假设P首先由鞅测度组成。在本例中，鞅性质仅在ζ之前成立，这需要一些额外的考虑。一般来说，在P由鞅测度组成的情况下，超边定理得到了很好的研究；参考[5,16,20,30,36,38,39,41,44,45]等，或当认为股票和期权的所有路径都可能交易时；参见，例如[10,12,17,18,23,25]。我们还参考[1,3,7,19,35]了解具体的时间市场。最后，在即将进行的独立研究[9]中，将通过功能分析方法，在比我们更普遍的市场中，在比NA（P）更强的条件下，确定成年差距的缺失。本文的其余部分组织如下。

第2节详细介绍了该设置，其中我们还定义了NA（P）。在第三节中，我们将讨论我们对资产定价基本定理的理解。第4节提供了一些关于前ζ等价鞅测度的技术结果；在第5节中，我们研究了超边缘定理。最后，附录收集了关于F"ollmer出口测度和本文正文中使用的特定路径空间的辅助结果。2.设置2。1可测空间和模型不确定性我们首先构建底层可测空间(Ohm, F） 我们把报纸通读了一遍。设E是一个波兰空间，设dEbe是一个与E拓扑结构一致的完备度量，E邻接一个孤立的“墓地”状态△, 我们将与E:=E一起工作∪ {△}. 很容易看出，E是度量单位E（x，y）：=1下的波兰空间∧ dE（x，y）1{△/∈{x，y}}+1{△∈{x，y}∩{x6=y}，x，y∈E.然后我们定义Ohm 是所有路径的空间ω：R+→从阿吉文点x开始的E*∈ E、 是[0，ζ（ω））上的cádlág和[ζ（ω）上的常数，∞), 式中ζ（ω）：=inf{t≥ 0：ωt=△}是ω的“寿命”。函数ζ取（0，∞] 自从x*∈ 这些路径是连续的。在引理A.7的附录中Ohm 具有自然的波兰拓扑结构。我们用B=（Bt）t表示∈R+标准过程，由Bt（ω）=ωt和F=（Ft）t定义∈R+自然过滤，Ft=σ（Bs，s≤ t） 最终F=σ（Bs，s∈ R+。F停止时间的集合用T表示。包含F的最小右连续过滤用F+=（Ft+）t表示∈R+，而T+是所有F+停止时间的集合。有了这些概念，我们观察到{ζ≤ t} ={B（t）=△} ∈ 全速飞行∈ R+和ζ∈ T为了表示模型的不确定性，我们将使用(Ohm , F） ，而不是单一的衡量标准。

每一个∈ P被解释为现实世界动力学的可能模型；没有做出任何让步。我们说，如果一个属性对所有的P都持有P-a.s.，那么它准肯定地持有P（或P-q.s.）∈ P.我们将假设ζ=∞ P-q.s.因此，在现实世界的模型下，墓地状态实际上是不可见的；它的作用是吸收某些鞅测度的剩余质量。给定σ-G F、 我们用L+（G）表示所有[0]的集合，∞]-P-q.s.定义的有值、G-可测量随机变量。2.2交易和套利可交易资产由一个Rd值、F适应和右连续过程S:R+×建模Ohm → 使S的路径是P-q.S.连续的。在本阶段，没有对S进行其他假设；特别地，不假设半鞅性质。然而，由于我们的无套利条件，结构性房地产将紧随其后。一个简单的可预测策略是过程H=Pni=1hi]]τi-1，τi]]，其中hi=（hji）j≤dis Fτi-1+-对所有人来说都是可测量的≤ n、 和（τi）i≤这是一个τ=0的非减量T+值s等式。给定初始资本x∈ R+和简单可预测的策略H，我们定义了相关的财富过程XX，H=x+HoS=x+nXi=1dXj=1hjiSjτi∧·- Sjτi-1.∧·.此外，我们将Hsimp（x）定义为所有简单可预测过程的类，因此Xx，hre表示非负P-q.s.（s superscript“simp”在下文中充当“simple”的助记符。）给定T∈ R+和f∈ L+（FT），letvsimp（T，f）：=infnx∈ R+：H∈ HSMP（x）与Xx，HT≥ f P-q.s.obe索赔f相对于简单策略类的超边际价格。然后我们可以引入第一类无套利的概念，即当且仅当索赔为空P-q.s.定义2.1时，超边际价格为空。

我们说NA（P）在T∈ R+和f∈ L+（英尺），vsimp（T，f）=0==> f=0 P-q.s。当P为单态时，该条件与[26，定义1.1]一致。我们定义了有关过滤F+的简单可预测策略；然而，我们称这类可预测的过程(Ohm, F） 与地球上的可预测过程一致(Ohm, F+。符号]]τi-1，τi]]表示随机积分。3资产定价的基本定理为了说明我们对资产定价基本定理的理解，我们首先需要引入前ζ等价的概念。定义3.1。给出了P和Q的两个度量(Ohm, F） ，我们说Qis pri或to-ζ相对于P绝对连续，如果Q<< P在空间（{t<ζ}，Ft）上保持不变∩ {t<ζ}）对于所有t∈ R+。这种关系用q表示<<ζP。如果Q<<ζP和P<<ζQ，我们说P和Q在-ζ等价之前，并用Q表示这一事实~ζP。在这一定义中，等价是指非规范化度量。也就是说，即使度量值是概率(Ohm, F） ，它们不需要是（{t<ζ}，Ft）上的概率∩ {t<ζ}），和Q~ζP并不意味着P（A）=1意味着Q（A）=1，即使A∈ 英尺∩ {t<ζ}。第二个值得注意的地方是（在《金融时报》上，尽管t∈ 两个概率的R+）等价性通常意味着在-ζ等价性之前，但反之则失败。下面的simpleexample演示了这些现象。例3.2。假设E是单身。那么，F是使ζ为停止时间和Ft的最小过滤∩{t<ζ}={, {t<ζ}对所有t∈ R+。因此，对于任意两个概率p和Q，在-ζ之前等价(Ohm, F） 等于检查P{ζ>t}>0当且仅当Q{ζ>t}>0时，对于所有t∈ R+。

在(Ohm, F） ，可以规定概率赋予任何给定的法律ζ；设P为P{ζ<∞} = 0和Q等于Q{ζ>t}=exp(-t） 对于t∈ R+，因此P是（{t<ζ}，Ft）上的概率∩ {t<ζ}）对于所有t∈ (0, ∞), 而Q是一个严格的子概率。还要注意的是，概率P和Q在ftwhenvert上并不相等∈ (0, ∞); 的确，P{ζ≤ t} =0和Q{ζ≤ t} >0代表所有t∈ (0, ∞).我们参考第A.2节进一步讨论之前的-ζ等价，并继续讨论局部鞅测度的相关概念。定义3.3。修正P∈ 概率(Ohm, F） 是对应于P if Q的前ζ等价局部鞅测度~ζP存在一个非减量序列（τn）n∈N T+使得（i）τn<ζ∈ 林和林→∞τn=ζ保持Q-a.s.，（ii）（St）∧τn）t∈R+是所有n的（F+，Q）-鞅∈ N.所有此类概率Q的类别将用QP表示。以下是本节的主要结果，即资产定价的基本理论。在目前的版本中，它指出定义2.1的条件a（P）成立当且仅当我们能为每个可能的模型P找到（至少）一个先验ζ等价的局部鞅测度∈ P.定理3.4。当且仅当QP6= 尽管如此，P∈ P.我们强调，这个结果需要S的连续性；将其与[7]的离散时间情况进行比较。以下是该定理的直接结果，但实际上将在其证明过程中建立。推论3.5。让NA（P）等一下。那么S是eachP下的半鞅∈ P.准确地说，我们应该在上述陈述中指出过滤。事实上，P-半鞅性质在任何过滤F、F+或FP+（P-F+的增强）中等价成立，或者更一般地在任何中间过滤F中成立 G FP+；参见[31，提案2.2]。

我们将在第5节中阐述这一事实。定理3.4的证明。第一步。我们首先证明了简单的含义；也就是说，我们假设QP6= 尽管如此，P∈ P.修复T∈ R+和f∈ L+（FT）带Vsimp（T，f）=0。此外，让P∈ P可以任意但固定；我们需要证明f=0p-a.s。实际上，让xsimp成为所有形式为Xx，Hfor x的进程的类∈ R+和H∈ 辛普森（x）。根据假设，存在一些Q∈ QP。设（τn）n∈Nbe定义3.3中出现的定位序列。因为过程停止了·∧τ是Q-鞅，它遵循X·∧τ是所有X的局部Q-鞅∈ XSIMP和n∈ N.一个直截了当的论证表明x1[[0，ζ[]是所有X的Q-超鞅∈ Xsimp。让Xn∈ xsimp应确保Xn=1/n和XnT≥ f P-q.s.，则上述超鞅性质产生等式[f1T<ζ]≤ 等式[XnTT<ζ]≤ 等式[Xn]=1/n，n≥ 因此，等式[f1T<ζ]=0，这意味着Q{f>0，T<ζ}=0。从那时起~ζP和ζ=∞ P-a.s.，由此得出P{f>0}=0。这是定理3.4中“如果”蕴涵的完整证明。第二步。相反的含义将通过第三个等价条件建立。为此，考虑NA（P）：=NA（{P}）作为fixedp∈ P也就是说T∈ R+和f∈ L+（FT），vsimp，P（T，f）=0==> f=0 P-a.s.，其中vsimp，P（T，f）=inf十、∈ R+：H∈ Hsimp，P（x）与Xx，HT≥ f P-a.s。Hsimp，P（x）是所有简单可预测过程的类，例如，它的非负P-a.s.我们认为NA（P）成立的当且仅当NA（P）对所有P成立∈ P.（3.1）事实上，观察到Hsimp（x） Hsimp，P（x）表明NA（P）对所有P的有效性∈ P意味着NA（P）。要看到相反的情况，假设有∈ 使NA（P）失效。然后，就没有了∈ R+andg∈ L+（FT）使得vsimp，P（T，g）=0，P{g>0}>0。也就是说，对安恩来说∈ N存在Hn∈ Hsimp，P（1/n）使得X1/n，HnT≥ g P-a.s。