条件偏好序及其数值表示

这些结果的条件对应项也是基于第7节中Debreu的Gap引理的条件适应的。定义4.7。设<是条件拓扑空间X上的一个条件优先序。如果U（X）：={y，则<是条件上半连续的∈ X:y<X}对于X是条件闭的∈ 一个有条件的数字表示U:X→ 如果{x，R称为条件上半连续∈ X:U（X）>m}对于每m是有条件闭的∈ R.定理4.8。设<是条件第二可数拓扑空间X上的条件上半连续偏好序。然后<允许条件上半连续数值表示。特别是，如果<是条件连续的，那么它允许条件连续的数值表示。例4.9。例2.3中的条件集L（B）是应用Rader定理的典型框架。事实上，只要B足够正则，那么L（B）就是条件范数kxk=E[|x | | a]的条件秒可数Banach空间。因此，从现在起一年内随机结果集上的任何条件上的半连续条件偏好序<在明天的信息条件下允许一个数字表示U，使得x<y当且仅当U（x）>U（y）几乎肯定。5.条件冯·诺依曼-摩根斯特恩表示一个经典的偏好类别是根据冯·诺依曼和摩根斯特恩[41]得出的精确数值表示。有条件的陈述如下。设X是存在于某个条件向量空间1上的条件凸子集。

我们说，X上的条件优先顺序满足o条件独立公理：如果X 然后是αx+（1）- α） z αy+（1）- α） z代表每一个z∈ X和每个α∈]0, 1];o 条件阿基米德公理：如果x Y 然后是αx+（1）- α） z Y （β1+）- β） 对于某些α，β∈]0,1[.U<的条件实值数值表示是条件确定的，ifU（αx+（1- α） y）=αU（x）+（1- α） U（y），每x，y∈ X和每个α∈ [0, 1].条件拓扑与经典拓扑相对应，但关于并集和区间的条件运算，请参见[14]。其条件拓扑由条件可数邻域基生成。也就是说，U（x）={y∈ X:y<X}和U（y）={y∈ X:X<y}对于每个X都是条件闭的∈ 也就是说，一个可分的σ-代数。定理5.1。设<为满足条件阿基米德公理和独立公理的条件偏好序。然后，<允许一个条件模糊表示U。此外，如果^U是另一个条件模糊表示，则^U=αU+β，其中α>0和β∈ R.Neumann和Morgenstern的结果向前迈进了一步，他们提供了一个效用指数，根据期望值对各种商品进行排名。在我们的上下文中，在示例2.4中，实线上的条件乐透是条件setP（A）：={u：Ohm → 其中P表示实线上的一组确定性彩票。我们赋予这个条件集条件弱*由有界函数Cb（A）的条件集生成的拓扑：={f:Ohm → Cbsuch the f是可测的}其中cb是从实线到实线的连续函数集。换句话说，一个函数∈ Cb（A）是一个依赖于状态的连续函数u（ω，x），即依赖于状态的效用指数。

条件标量积由随机变量ω7给出-→ hf，ui（ω）=ZRf（ω，x）u（ω，dx），对于几乎所有ω∈ Ohm这是R=L（A）的一个元素。在这个框架中，冯纽曼和摩根斯坦的经典表示定理延续如下。定理5.2。设<是彩票P（a）的条件凸集上的条件偏好序。假设<ful满足条件独立性和阿基米德公理，<较弱*-不断的然后存在一个唯一的，直到严格正的条件af fine转换，条件效用函数u∈ C（A）使得u<ν当且仅当ifZu（ω，x）u（ω，dx）≥几乎所有ω的Zu（ω，x）ν（ω，dx）∈ Ohm.证据这是定理5.1和Riez定理的条件版本的结果，参见[26]。6.进一步的条件表示在经典情况下，定理4.8的假设在经验上和数学上都存在问题，原因如下o许多实用表示的拓扑结构不是二次可数的，也不是均匀可度量的；o要求上半连续性是一个经验性问题，尤其是对于不可度量的拓扑，因为它实际上是不可靠的。这些与条件实线R上的条件分布有关，有关此类条件概率分布的构造和定义，请参见Jamneshan等人[26]。第一点的答案是以下命题，它依赖于基于[14]中引入的条件紧性概念的条件版本的BanachAlaoglu。提议6.1。设Y是一个条件可分的局部凸拓扑向量空间，其中包含一个条件可数的邻域基0，并用X表示其拓扑对偶，赋予其条件弱*拓扑σ（X，Y）。

然后X上的每一个条件上半连续偏好序都允许一个上半连续的数值表示。例6.2。假设我们对一个代理人的决策感兴趣，根据明天的信息A，在一年后的随机结果之间进行决策，这对于一些更广泛的信息代数B是可测量的 A.进一步假设这些随机结果是有界的，也就是说，属于以下条件集∞（B） ：={x:Ohm → R使得x是可测的，并且有一个A-可测的随机变量}。从[22]可知，如果B足够正则，则示例2.3中引入的L（B）的条件对偶是条件可分的。因此，如果<是σ（L∞（B） ，L（B））-上半连续，那么它允许一个数值表示U。如果进一步，<iso条件凸：x<y意味着αx+（1）- α） y<y表示每一个条件实数0 6α6 1，它描述了一种多样性偏好单调性：x<y，每当x 6 y时，它描述了对几乎肯定更好的结果的偏好；然后，通过[5,13]和[4，定理2.12和备注2.13]中的条件延拓，证明U是条件拟凸和单调的，并允许以下鲁棒表示U（x）=infQ∈R（Q，等式[x | A]）对于唯一条件风险函数R： ×R→ [-∞, ∞] 哪里 相对于参考度量，概率度量集是绝对连续的。对于第二个问题，我们证明了利用单调性的自动连续性结果也扩展到了连续情况，并得到了以下结果。提议6.3。设<是条件Banach空间x上的条件完全偏好序。

假设<是条件凸且单调的，并且满足上阿基米德公理：如果x<y z、 然后存在α∈ 0<α<1的R αx+（1）- α） z.<是条件上半连续的。让我们在[4]中给出的框架中说明这种自动连续性结果。通过xt，xt+1，xTwe表示从给定未来时间t开始的未来累积现金流。我们对投资者对这些未来现金流的评估感兴趣，但前提是此时的可用信息a:=at。时间s的信息用a表示，它保持为 As+1的特征可在[4，定理2.12和备注2.13]中找到。它也适用于弗里切特晶格。每一天≥ t、 现金流x适合于Asand是平方可积的，即E[|x|At]<∞.我们用byL（As，s）表示≥ t） :=x=（xt，…，xt）：xs∈ L（As），s=t，T这是一个条件反射希尔伯特空间，见[14,22]。我们用o 相对于参考测度，概率测度Q的集合绝对连续D贴现因子集，即那些过程D=（Dt，…，Dt），其中1=Dt>Dt+1>…>DT>0，其中Ds为-1适应。下面是eq“TXk=tDk（xk- xk-1)At#是现金流xk的预期贴现值- xk-1折扣系数D∈ D在概率模型Q下∈ . 由于[4]中讨论的原因，我们用Q表示 D∈   具有L-可积条件的Q，D的集合。提议6.4。设<是L（As，s）上的条件优先顺序≥ t） 。

假设它是凸的：x<y意味着αx+（1）- α） 对于每个条件实数0 6α6 1，y<y单调性：x<y，每当x>YS，每个s≥ t、 o上阿基米德：如果x<y z、 然后存在一些条件实数0<a<1，比如y αx+（1）- α） z.那么，<是上半连续的，并且允许上半连续的数值表示U，其中鲁棒表示U（x）=infQD∈DRQ D等式“TXk=tDk（xk- xk-1)在#！（6.1）对于唯一的最小风险函数R：  D×R→ [-∞, ∞].这种表述表明，对未来现金流的凸和单调条件评估是对概率的审慎评估，以及对模型不确定性的贴现。如果我们能确保上半连续、拟凸、条件和单调数值表示U的存在性，那么表示6.1的存在性和唯一性是[4，定理3.4]的结果。然而，L（As，s）≥ t） 作为一个Banach空间，命题ful的假设满足命题6.3的假设，因此我们得到了上半连续数值表示的存在性。7.s，t的条件间隙引理∈ 我们用s6t表示[s，t]={u∈ R:s6u6t}如果s<t我们表示[s，t[={u∈R:s6u<t}，]s，t]={u∈ R:s<u6t}，和]s，t[={u∈ R:s<u<t}，R上的所有条件凸子集Ohm. 在R的条件拓扑中，条件凸子集[s，t]是条件闭的，而[s，t]是条件开的。条件凸子集I是区间。区间由s=inf I和t=sup I表示，一般用（s，t）表示。在条件作用下，R的所有条件凸子集都被刻画为条件区间。

如果我们假设一段时间还活着Ohm, 凸性产生（s，t）=[s，t]|A+[s，t[|B+]s，t]|C+]s，t[|D（7.1），其中A=E∩ F，B=E∩ Fc，C=Ec∩ F、 D=Ec∪ Fc和E=∪{E:s |E∈ I |E}和f=∪{F:t|F∈ 如图1所示。图1：间隙图示。设svr和（S，t）为（S，t）v的区间S@.检验表明，存在一个唯一的最大间隔*, T*) 关于条件包含，使得（s，t）v（s*, T*) 五、S@.这样一个inf S@<S的最大区间*6吨*< 啜饮S@on在什么条件下*, T*我们的生活被称为S的条件间隙。请注意，S的任何条件间隙（S，t）都可以分解为（S，t）={S}|A+（S，t）|B∩ B= s<t在B上，即（s，t）的条件内部存在于B上。此外，s的条件间隙族本身是稳定的，因此s的每个条件间隙都存在于相同的条件下。事实上，假设两个条件间隙（s，t）和（s，t）分别存在于事件A和B上，以及事件A上 然后得出（s，t）=（s，t）| av（s，t）| A+（s，t）|B∩ AcvS@contradicting（s，t）的极大值。因此A=B。s，t可能达到±∞ 在一些积极的条件下。可以在严格小于Ohm.引理7.1。有条件完成的命令>仅限于任何生活在Ohm 允许条件可数阶稠密子集。证据与条件间隙类似，我们将前一个后继定义为最大间隔（s，t）vS@but在s<t的附加条件下，换句话说，这些是条件极大的非平凡条件间隙。与条件空白相似，S的前辈-后辈对形成一个条件家族，因此都生活在相同的条件下。

根据定义，该条件小于条件缺口所在的条件。现在，在条件作用下，我们可以假设S的条件间隙都存在Ohm.从B1/m（q）到m∈ N和q∈ Q是拓扑学的一个条件可数基，是B1/m（Q）u所居住的那些区间的族Ohm 是一个条件可数族，我们表示它（Un）。通过条件选择公理，见[14，定理2.17]，存在一个条件可数族（un），使得un∈ 让A进一步成为S的前辈和后继者的有条件家族（si，ti）生存的条件。因此，U=（un）t（si）是S的一个条件可计数的阶密子集Ohm. 事实上，让s<t代表s，t∈ S和B（S，t）是前导后继对的条件，即S是（si）元素的最大条件。因此，存在v∈ 因此在Bc上S<v<t。因此，我们可能会发现q∈ Q和n∈ n确保s<q- Bc上的1/m<v<q+1/m<t确保了家族（un）中存在一些unin，使得Bc上的s<un<t。因此u=s | B+un | Bc∈ U和s6u6t。然后我们剩下来证明U是有条件可数的。由于（un）是条件可数的，根据[14，引理2.33]，它足以证明开集的条件族]si，ti[=]si，ti[i∈一、 其中（si，ti）是前置后继者的条件集合，是有条件可数的。在不失普遍性的情况下，假设这个家庭还活着Ohm. 对于任意两个]si，ti[和]sj，tj[这样的si6=sj]在任何非空条件下，其结果是]si，ti[u]sj，tj[=R|. 这提供了一个条件成对不相交的条件开集族Ohm.

通过条件选择公理[14，定理2.17]，我们选择Q元素的条件族（qi），这样qi∈]si，ti[对于每个i.对于P=t{qi}vq，定义f:i→ P，i 7→ 气。该函数是一个定义良好的条件函数。事实上，对于qi=qj，它遵循的是qi∈]si，ti[u]sj，tj[。两者都是S的条件间隙，这意味着]si，ti[=]sj，tj[因此i=j。这也表明f是条件注入，因此Iis最多是条件可数的。定理7.2（德布鲁间隙引理）。对于每一个svr，都存在一个条件严格递增函数g:S→ R，使得g（s）的所有条件间隙（s，t）的形式为（s，t）={s}|A+]s，t[|B。这个定理说，存在一个严格递增的s变换，使得任何形式为（7.1）的条件间隙在一个间隙中变换，该间隙在条件上是空的，一个单态集或一个开放集。下面的论证遵循了[33]中的证明思想。证据第一步：根据引理7.1，让U={un:n∈ N} 我们构造了一个条件递增函数f:U→ [0，1]。设H是在没有间隙存在的条件下的集合，它保持S=R，其中Q是条件可数阶稠密子集。条件函数f:V→ [0,1]，其中V={uk:16k6n}，n∈ N或V=U，且f（U）=1/2，f（uk）=supl6k-1{f（ul）：ul<uk}+infl6k-1{f（ul）：英国<ul}，k>2。根据定义，任何f∈ H在其域上有条件严格递增，H是一个条件集。此外f:{u}→ [0,1]f（u）=1/2是H的一个元素，因此H继续存在Ohm. 我们证明了存在一个函数f∈ H和域U。f:V→ [0,1]和g:W→ [0,1]在H中，定义f 4 gif V W和f=g限制在V上。

现在（fi）是H中的一个链，定义f:V:=tVi→ [0,1]，u=Puj | Aj7→ f（u）=Pfj（uj）|ajuj∈ Vjfor every j在H中是一个定义良好的条件函数。事实上，H是一个条件集，是相互之间和Viv Vjif fi4 fj的限制。ByZorn引理，存在一个极大函数f∈ H、 f:V→ [0，1]。接下来我们展示V=U。为了矛盾起见，假设V={uk:16k6n}代表一些n∈ 在一些不平凡的事件上。在不丧失一般性的情况下，假设A=Ohm. 定义g:{uk:16K6N+1}→ [0，1]通过在{uk:16k6n}和g（un+1）=supl6n{f（ul）：ul<un+1}+infl6n{f（ul）：un+1<ul}上设置g=f，对于那些n6m6n+1，可以得出m=n | A+（n+1）|并且我们设置了g（um）=g（un）| A+g（un+1）| Ac→ [0，1]是H的一个元素，它与onV和f重合。由于g定义在vt{un+1}上，它与f的极大性相矛盾。因此，极大函数f的域∈ H是你。第二步：让U={un:n∈ N} f:U→ [0,1]如前一步所述。假设你还活着Ohm 满足（a）V t W=U，（b）V 6 W，（c） 是V和W分别具有最大值和最小值的唯一条件。然后呢∈Vf（s）=inft∈Wf（t）。通过（b）它持有supVf（s）6 infWf（t）。为了显示逆不等式，根据（c），假设V和W分别没有一个最大值和一个最小值是不够的，因为当时的差距是最大的。为了矛盾起见，在条件作用下，假设supvf（s）+ε<infWf（t）对于某些ε>0。选择s=嗯∈ V和t=un∈ 这样的话，supvf（s）- ε6f（s）6supvf（s）和infWf（t）6f（t）6infwf（t）+ε。（7.2）根据经典约定，emptyset上的内确界和上确界分别等于1和0。