条件偏好序及其数值表示

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英文标题：
《Conditional Preference Orders and their Numerical Representations》
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作者：
Samuel Drapeau and Asgar Jamneshan
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  We provide an axiomatic system modeling conditional preference orders which is based on conditional set theory. Conditional numerical representations are introduced, and a conditional version of the theorems of Debreu on the existence of numerical representations is proved. The conditionally continuous representations follow from a conditional version of Debreu\'s Gap Lemma the proof of which relies on a conditional version of the axiom of choice, free of any measurable selection argument. We give a conditional version of the von Neumann and Morgenstern representation as well as automatic conditional continuity results, and illustrate them by examples.
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中文摘要：
我们提供了一个基于条件集理论的公理化系统来建模条件偏好顺序。引入了条件数值表示，证明了Debreu关于数值表示存在性定理的条件形式。这些条件连续表示来自德布鲁的间隙引理的条件版本，其证明依赖于选择公理的条件版本，没有任何可测量的选择论证。我们给出了von Neumann和Morgenstern表示的条件形式，以及自动条件连续性结果，并用例子加以说明。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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PDF下载：
--> Conditional_Preference_Orders_and_their_Numerical_Representations.pdf (1019.8 KB)

2022-5-7 01:41:58 上传

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关键词：Presentation Quantitative conditional Presentatio Internation

条件偏好序及其数值表示Samuel Drapaua，1，Asgar Jamneshanb，2 august 292018Abstracts我们提供了一个基于条件集理论的公理系统来建模条件偏好序。引入了条件数值表示，证明了Debreu关于数值表示存在性定理的条件形式。这些条件连续的表示来自于德布鲁的间隙引理的条件版本，它的极限依赖于选择公理的条件版本，没有任何可测量的选择论证。我们给出了von Neumann和Morgenstern表示的条件形式，以及自动条件连续性结果，并用例子加以说明。关键词：条件偏好、效用理论、缺口引理、冯·诺依曼和摩根斯坦作者INFOaSAIF/（CAFR）和数学系，上海交通大学，上海淮海路211号，中国上海200030bKonstanz大学，斯特拉大学10，78464Konstanz，Germanysdrapeau@saif.sjtu.edu.cnasgar.jamneshan@康斯坦茨大学。dePAPER INFOAMS分类：91B06JEL分类：C60，D811。引言在决策理论中，偏好排序的规范框架经典地要求完全信息。然而，正如奥曼[2]所指出的那样，有充分的理由质疑完备性：在效用理论的所有公理中，完备性公理可能是最值得怀疑的。[. . . ] 例如，一个人被要求做出的某些决定可能涉及高度假想的情况，而他在现实生活中永远不会面对这种情况。在这种情况下，他可能会觉得自己无法做出“诚实”的决定。其他决策问题可能非常复杂，太复杂，无法凭直觉“洞察”，而我们的个人可能更喜欢在这些问题上不做决定。

在这种情况下强行做出决定是否“合理”？奥曼的评论得到了经验证据的支持，引发了对一般不完全偏好的解释、公理化和表征的深入研究，见[3,15,16,18,20,34,37]及其参考文献。这些作者认为，不完全性要么是由于现状（见Bewley[3]），要么是由于程序性决策（见Dubra和Ok[15]），数值表示是基于多种效用的。然而，奥曼的引用和与萨维奇的通信[38]揭示了依赖于状态的偏好的概念，表明决策背后缺乏信息是不完整性的自然来源。例如，考虑一个简单的情况，一个人必须在一个月后的周日去参观博物馆还是散步。她无法在这两种预期情况之间表达明确的偏好，因为这取决于对不确定因素的了解，如天气、随行人员的可用性等。这种基于信息的不完整性表明了一种偶然的完整性。例如，在“晴朗温暖的一天”活动中，她更喜欢散步。通过这种方式，一个复杂的决策问题，提供了充分的信息，导致了一个“诚实”的决策。目前的工作提出了一个框架，将或有决策及其量化的概念形式化。金融和经济学中的许多量化工具通过将预期结果映射到随机变量（例如，条件和动态货币风险度量[1,6,7,11]、条件预期效用和确定性等价物、动态评估指数[4,24]或递归效用[17,19]）来引入条件维度。

然而，很少有论文讨论这些条件量化工具背后的条件偏好公理化。在这个方向上，Luce和Krantz[31]的工作考虑并研究了与事件相关的偏好排序。Wakker[42]和Karni[27,28]进一步定义和扩展了他们的方法。Kreps和Porteus[29,30]以及Maccheroni等人[32]分别使用状态依赖来研究跨期偏好和动态偏好。值得注意的是斯基亚达斯的抽象方法[39,40]。他提供了一套公理，对随机变量的条件偏好进行建模，这些公理接受了公式u（x）=EQ[u（x）|a]的条件平均表示，其中a是表示信息的事件代数，Q是主观概率度量，ui是效用指数。与之前的工作一样，它的决策理论基础由一个完整的家族组成，即总的预序<a，每个事件一个∈ A、 以及一个一致的聚合性质，以获得条件表示。然而，决策者被假定隐含地考虑了大量完整的预订单。我们的公理化方法的不同之处在于，它考虑的是一个单一但可能不完整的优先顺序<，而不是一系列完整的优先顺序。即使一个人不能先验地决定任何两种预期结果或行为的x<y或y<x，也可能存在一个条件信息a，其中x比y更可取。在这种情况下，我们正式地写下x | a<y | a。

偶然信息集被建模为事件代数A=（A，∩, ∪,C, Ohm) 状态空间的性质Ohm.为了描述偏好的条件性质，我们要求<与信息一致地交互，也就是说，o一致性：如果x | A<y | A和B A、 然后x | B<y |B；o稳定性：如果x | A<y | A和x | B<y | B，那么x | A∪ B<y|A∪ B、 o局部完整性：对于每两个行为x和y，都存在一个非空事件a，使得x | a<y | a或x | a<y | a。鉴于我们所针对的有条件方法，这些假设具有一定的规范吸引力。在前一个例子中，consistency表示，如果一个人喜欢在“晴朗”或“温暖”的时候散步，而不是参观博物馆，那么她更喜欢在“晴朗”的时候散步。稳定性告诉我们，如果她喜欢在“晴天”或“雨天”散步，那么在至少满足其中一个条件的任何一天，她都会去散步。与经典偏好相反，我们只假设局部完备性：对于任何两种情况，只要提供足够的信息（可能非常精确），她都能够满足决策。在我们的例子中，存在着一种不太可能，但仍然不平凡的巧合，即“阳光充足”、“湿度在15%到20%之间”和“风速在0到10公里/小时之间”，在这种情况下，她更喜欢步行去博物馆。与经典完备性不同，在五步二叉树4.294.967.296中，判定所需的信息是总预序族的基数<a。条件集理论[14]允许或有信息是任何完整的布尔代数。事实上，事件越小，这一事件发生在世界的哪个状态就越准确。最精确的事件是单身。在两幕之间，x和y取决于对（x，y）。

注意，如果偶然信息集简化为琐碎信息A={, Ohm}, 然后，正如预期的那样，条件偏好是一个经典的CompleteReference顺序。特别是，经典决策理论是条件决策理论的特例。注意，我们的方法，如[29,31,39,40,42]所述，认为一组外部给定的信息或事件是不完整决策的来源。而在[3,15]和相关的不完全偏好后续文献中，不完全性和由此产生的多值表示是关于不完全性本质的内生信息。然而，不完全性并不存在于事件代数中，因此与或有决策没有具体关系。我们的方法也不是先验动态的，因为我们给出了一个单一的可用信息代数来进行或有决策。我们不解决随着新信息的披露而逐步学习的问题，这会导致决策的更新。Kreps和Porteus[29]以及Dillenbergeret等人[12]和Piermont等人[35]对决策过程中的这种增量学习方法进行了研究。在这些文章中，代理会随着时间的推移而学习，并可能根据新信息以及她之前的选择来改变她的行为。然而，潜在的信息结构是外生的——要么是通过过滤或随机树的固定动态结构，要么是通过消费路径产生的过滤，甚至是通过之前的偏好顺序产生的过滤。在这些情况下，我们的方法可以通过考虑一系列条件优先顺序<、<、<T关于事件代数的递增序列 A. · · ·  在 · · · 每一个时间点的每一个。

我们可以提供一个公理系统来描述每个给定时间的条件偏好顺序，并导出一系列条件数值表示。由于我们只讨论单一信息结构的情况，即在固定的给定时间t，我们有意在动态上下文中忽略以下两个问题。首先，时间t的决策是否受粘贴信息的影响，即马尔可夫决策与非马尔可夫决策。第二，对过去和最终未来决策的影响。换句话说，这些偏好随时间的相互依赖结构，以及在时间一致性方面对动态效用表示的后果。虽然是直观的，但从数学上看，不明显的是偶然的前瞻行为x | a的含义。它的形式化对应于条件集的概念，最近由Drapeau等人提出[14]。第2节给出了条件集的启发式介绍。对于详尽的数学演示，我们参考[14]。第3节给出了条件偏好的形式化和性质。在第4节中，我们讨论了条件数值表示的概念，并证明了Debreu连续数值表示的存在性结果的一个条件版本。尽管证明技术不同，但决策理论中的经典陈述转化为条件框架。例如，第5节介绍了冯·诺依曼和摩根斯特恩[41]经典表述的条件版本。Debreu的表示需要拓扑假设，而这些假设在实践中往往无法满足。在第6节中，我们提供了条件结果，允许在更一般的框架中扩展Debreu-andRader定理，并提供了自动连续性结果，允许通过拓扑假设。

我们用例子来说明每一种情况。这10个公理的选择不依赖于公理的条件选择，而依赖于公理的条件选择。第7节专门讨论这个条件间隙引理的公式和证明。在附录A中，我们收集了一些技术成果和大部分证据。不过，Dillenberger等人[12]考虑了一种静态方法，这种方法会导致确定性的动态效用估值。例如，时间一致性、贝尔曼原理、较弱的时间一致性等。这是数学金融领域深入研究的主题，参见[1,4,6-8]等。2.条件集如引言中所述，我们通过事件代数a对或有信息进行建模，决策者根据该信息对预期结果进行排序。出于技术原因，我们假设它是一个σ-代数，并定义了概率测度。因此，几乎可以肯定的是，将两个事件包括在内是可以理解的。集合X——在当前上下文中描述动作——是一个Aif的条件集合，它允许条件动作A:X→ X | A每项活动A∈ 满足一致性和聚合属性：一致性：对于任意两个动作x，y∈ X和事件A B、 如果动作x和y在B上重合，即x | B=y | B，那么它们也在A上重合，即x | A=y | A。稳定性：对于任意两个动作x，y∈ X和事件A∈ A、 存在一个行为z∈ 使得zcoincides与条件为A的X相交，反之则与y相交。我们表示这个元素z=x | A+y | Ac。直观地说，动作x7→ x | A告诉我们行为是如何以信息A为条件的，x | A代表x中以A为条件的行为。例2.1。

按照导言中的示例，有两个无条件的可选项sx=‘去散步’和y=‘去博物馆’，并且信息被简化为一个条件a=\'sunny\'，该条件产生代数a={0，a，Ac，Ohm} = {\'no information\'、\'sunny\'、\'not sunny\'、\'full information\'}。相应的条件动作集由x={x，y，x | A+y | Ac，y | A+x | Ac}给出。例如，如果天气晴朗，那么第x | A+y |幕将用于散步，否则将用于博物馆。例2.2。条件有理数定义如下：给定两个有理数q，q∈ Q和A事件∈ A、 设q:=q | A+q | Ac为条件有理数，条件为A和q。用Q表示的条件有理数集是一个条件集，其中条件作用由Q | B=Q | A给出∩ B+q | Ac∩ B∈ Q | B.条件自然数N的定义类似。与下一个例子类似，N和Q分别对应于具有理性值和自然值的随机变量集。在条件集理论中，任何完整的代数都可以被视为信息的来源，接下来的内容也适用于这个稍微更一般的框架。然而，从经济角度来看，大多数标准框架考虑事件的有限代数或σ-代数，其上有一个描述零测度事件的概率测度，即那些被认为从未发生的事件。一个σ-代数，如果集合几乎肯定是重合的，那么它们就被识别出来，这是完整的，见[14,25]。

如果不想考虑概率空间，则波兰空间的Borel集由范畴集分解为完全布尔代数。因为我们假设A可以被完成，所以任何事件分区（Ai）都需要连接属性 A.使徒行传系列（十一） 十、 我们表示X=Pxi |是唯一的元素，因此X与Ai上的xi条件一致。更一般地说，给定一个事件分区（An） A和相应的有理数族（qn） Q、 定义条件有理数Q:=Pqn | a为条件元素，其值qn在。例2.3。另一个例子是collectionL（A）={x：Ohm → 使得x是随机变量的A-可测}。给定一个随机变量x和一个事件a，x在a上的条件是限制x | a:a→ R、 ω7→ x | A（ω）：=x（ω）表示ω∈ A.对于任意两个随机变量x、y和事件A，z=x | A+y |对应于随机变量x1A+Y1ac，其中1Aa是事件A的指示函数。在许多情况下，信息代数A描述的是外部信息，但该信息仅部分可供代理人用于决策。例如，明天可用的信息决定了一年后到期的随机结果，并取决于该年的全部信息。这可以建模如下。给出另一个代数B，它有一个概率测度，这样a B、 我们可以定义（B）：={x:Ohm → R使得x可以用E[|x | | A]<∞} .作为一组B-可测量随机变量，对明天的信息A有明确的条件期望。检查表明，当考虑到较小代数A中的事件A的限制X | A时，它定义了A的条件集。例2.4。