条件偏好序及其数值表示

就决策理论而言，彩票——或概率分布——通常被用作决策的对象。我们定义（A）：={u：Ohm → P使得μ是A-可测的}，其中P是一组彩票。有条件彩票可以被视为一种依赖于状态的彩票，提供每个状态ωA彩票u（ω，dx）。自始至终，我们用P（A）表示依赖于状态的可测彩票集。与随机变量类似，它定义了一个条件集，其中ua是限制于事件a的条件彩票，对于每两个条件彩票u、ν和事件a，条件彩票η=ua+ν|对应于条件彩票u1A+ν1Ac。另一个典型的对象是Anscombe-Aumann法案，它是彩票的延伸。实际上，条件彩票P（A）的条件集，严格来说，已经代表了Anscombe-Aumannacts。然而，在我们的上下文中，决策是有条件的，因此就可用的信息A而言，决策是实现的。在目前的形式中，Anscombe-Aumann行为是一种依赖于状态的彩票，但对于决策者无法做出唯一决策的更大的事件代数B而言，它是可测量的。与L（B）一样，条件Anscombe-Aumann行为的条件集定义为asP（B）：={u：Ohm → P使得μ是B-可测的}。

条件集之间的关系由条件包含来描述，条件包含具有两个维度，一个经典包含和一个条件：o一方面，每个非空集Y 稳定的X，也就是X | A+y | Ac∈ Y代表每个人，Y∈ Y和A∈ A、 是X的条件子集。o另一方面，X | A是一个条件集，但在相对代数AA:={B上∩ A:B∈ A} 它实际上是一个L-模，正如[21,22]中所研究和介绍的那样。结合两个维度，一个条件集Y被称为条件地包含在X中，表示为dy v X，如果Y=Z | A表示某个稳定的Z X和条件a∈ 答：在这种情况下，我们说Y是一个条件集，在A上“生存”，如果我们想强调这个条件集生存的条件，我们将其表示为Y | A。条件包含如图1a所示。如果A=, 然后X| livesnowhere，尤其是livesnowhere，有条件地包含在任何条件集中，因此有条件地包含在emptyset中。条件powersetP（X）：={Y:yvx}={Y:Y=Z|A，对于某些事件A∈ A和稳定集Z 十} 由X的所有条件子集的集合组成。示例2.5。在例2.1中，集合{x，y} X不稳定，因为X | A+y | Ac6∈ {x，y}。因此{x，y}不是条件集，而Z:={x；y | a+x | Ac}是稳定的，因此是Xliving on的条件子集Ohm. 然而，Y:={x | A，Y | A}是生活在A上的x的条件子集。实际上，Y | A=Z | A。两个条件集Y，Z的条件交集是最大条件A的交集*其中Y和Z有一个非空的经典交点，如图1b所示。条件并集（a）对条件包含的说明。

（b） 条件交叉的图解。在两个条件子集Y中，Z是所有元素的集合，这些元素可以被连接起来，使得连接的每一部分都有条件地落在Y或Z中。条件并集由Y t Z定义：={Y | A+Z | B:Y | A∈ Y | A，z | B∈ Z | B和A∩ B=}如图1c所示。最后是条件补语Y@of条件子集Y是所有不属于Y的元素Y的集合，如图1d所示。[14]中的一个主要结果是，条件幂集与这些运算一起形成了一个完备的布尔代数P（X），t，u，@，X|, 十、.按照经典构造，条件幂集允许定义条件关系、函数、拓扑和其他条件结构，参见[14]。（c） 有条件结合的例证。（d） 条件补语的说明。3.条件优先顺序对于论文的其余部分，X表示一个条件集。一个条件二元关系<是一个存在于其上的条件子集gvx×XOhm 我们写x<y当且仅当（x，y）∈ 特别是，传统的二元关系首先是一种经典的二元关系。然而，由于图形是一个条件集，并且为（x | a，y | a）写x | a<y | a∈ G | A，以下附加属性显示o一致性：如果x | A<y | A和B A、 然后x | B<y |B；o稳定性：如果x | A<y | A和x | B<y | B，那么x | A∪ B<y|A∪ B对应于引言中提到的两个规范性属性。给定一个条件关系，~ 表示二元关系的对称部分，我们使用符号X y当且仅当每个非空事件A的x<y和y | A 6<x | A∈ A.换句话说，x y表示在任何非空条件下，x严格优先于y。二者都~ 和是条件二元关系。定义3.1。

如果X上的条件二元关系<isoref-exive:X<X表示每X；o，则称为条件优先顺序及物性：从x<y和y<z开始，x<z；o本地完成：每x 6~ y存在一个非空事件a，使得x | a y | A ory | A x | A.虽然条件偏好不是完全的，但下面的引理表明，局部完备性允许我们为每两个元素导出一个分区，在该分区上可以进行比较。引理3.2。设<是X和X，y上的条件优先顺序∈ X.存在条件a、B、C的一对不相交族，使得a∪ B∪ C=Ohm 安德斯| A~ y | A，x | B y | B和y | C x | C.证明。让x，y∈ X和de Finea=∪{A∈ A:x |A~ y |A}，B=∪{B∈ A:x |b y |B}和C=∪{C∈ 答：是的~Cx}这是x在条件上等价、严格优于或劣于y的最大条件。由于条件关系的一致性，因此这些条件是相互不相交的。为了自相矛盾，假设D:=A∪B∪C 6=Ohm. 因此，在外，也就是说，以Dc为条件，元素x与y既不等价，也不严格地优于或劣于y。否则，这与A、B和C的定义相矛盾。定义y=x | D+y | Dc是以D为条件的x，y是以Dc为条件的。从X6开始~ y和~ 是一个条件等价关系，它遵循X 6~ ~y，否则x | Dc~ y | d与A的定义相矛盾。通过局部完备性，存在一个非空条件E，使得x | E ~y | E或~y | E x | E.在不丧失普遍性的情况下，假设x | E 因为y | D=x | D~ x | D通过反射性和一致性，可以得出E与D不相交，换句话说E 华盛顿。特别是，|y | E=y | E意味着x | E y | E，与 6=E Dc与B的最大值相矛盾。因此D=Ohm 证据到此为止。例3.3。

让我们在引言中对这个例子进行完整的形式化描述。从示例2.1中重新调用A={\'no information\'、\'sunny\'、\'not sunny\'、\'full information\'}={, A、 Ac，Ohm},由两个无条件选择x=\'going for a walk\'andy=\'going the museum\'生成的条件集由x={x，y，x | a+y | Ac，y | a+x | Ac}给出。有条件的偏好是存在的，它通常包含x<x，y<y，x | A+y | Ac<x | A+y | Ac，y | A+x | Ac<y | A+x | Ac。此外，如果天气晴朗，个体更喜欢散步，否则更喜欢去博物馆。这是translatesintox | A y | A和y | Ac x | Ac。由于偏好被假定为有条件的，因此它也适用于x |A+y | Ac<y | A+x | Ac，x<y | A+x | Ac，x | A+y | Ac<y。例如，关系式x<y | A+x | Ac表明，在任何情况下，如果天气晴朗，出去散步，去博物馆都比去博物馆好。检验表明，条件偏好确实是一种传递和反射的条件关系。如前所述，这种关系并不表明X比y更受欢迎，也就是说，她是想去散步还是去博物馆。然而，存在一个条件A=\'sunny\'，使得x | A<y | A，这表明它是局部完全的。特别是引理3.2中给出的划分对应于tox| ~ y|, x | A y | A，y | Ac x | Ac.还要注意，条件集允许解决以下难题：定义Y={z y} ，严格优于y的元素集。在经典设置中，此集合为空。事实上，没有比去博物馆更好的选择，因为以Ac为条件，y是最大的优先顺序。然而，正如我们的直觉所暗示的，这个集合不应该是空的，实际上它是有条件的非空的，因为Y={x|A}。

在德布鲁定理4.6的证明中观察到了这一事实的重要性，该定理的定义为Z±以构造条件数值表示。回想一下，我们假设A是一个代数，它可以被分解成这样一种方式，即关于并和交的形成，它是完整的。例3.4。在A-可测随机变量例2.3的框架中，L（A）上的自然偏序由x>y当且仅当x（ω）≥ 几乎所有ω的y（ω）都是条件参考顺序的一个例子。事实上，这是一致的，因为如果事件A上的随机变量x大于随机变量Y，那么在任何事件B上也是如此 A.同样，它是稳定的、可反射的和可传递的，甚至是不对称的，因此是条件偏序。然而，它也在本地完成。实际上，如果x6=y，那么紧接着事件B:={ω：x（ω）>y（ω）}或事件C:={ω：x（ω）<y（ω）}是非空的。实际上，定义事件A={ω：x（ω）=y（ω）}，B={ω：x（ω）>y（ω）}和C:={ω：x（ω）<y（ω）}提供了引理3.2的划分。由于条件有理数Q与a-可测随机变量的子集重合，因此几乎可以确定它们的条件全序。备注3.5。一般来说，条件偏好可以是a上的等价关系，也可以是Ac上严格非平凡的等价关系。然而，兴趣的情况存在于Ac上。因此，在本文中，我们假设条件偏好是条件非平凡的，即存在一对x，y∈ 例如 Y4.条件数字表示下一步，我们将讨论此类条件排名的量化。首先，我们需要条件函数的概念。

条件函数f:X→ 两个条件集之间的Y是一个具有稳定性附加性质的经典函数：f（x | a+Y | Ac）=f（x）| a+f（Y）| Ac。示例4.1。例2.3中引入的L（B）元素的A-条件期望是一个条件函数。的确，对于每一个x，y∈ L（B）和每个A∈ 它包含sf（x | A+y | A）：=E[1Ax+1Acy | A]=1AE[x | A]+1AcE[y | A]=f（x）| A+f（y）| ac1是A-可测的。例4.2。对于q=q | A+q | Acand r=r | B+r | Bc，定义q asq+r上的条件加法和条件绝对值：=q+ron A∩ Bq+ron A∩ Bcq+ron Ac∩ Bq+ron Ac∩ b与| q |：=|q | A+|q | Ac。加上条件乘法的类似定义，这些运算使q成为[14]中定义的条件全序域。特别是，这允许通过条件ballsBr（Q）：={p，在Q上定义Q上欧几里德拓扑的条件变量∈ Q:| Q- p | 6r}，代表q∈ Q和r∈ Q++:={p∈ Q:p>0}。它的行为类似于Q上的标准拓扑，具有附加的局部属性：Br（Q）|A+Br（p）|Ac:=Br |A+r | Ac（Q | A+p | A），每一个r，r∈ Q++和Q，p∈ Q++。换句话说，a上3个条件的邻域和ACI上2/5的条件邻域本身就是条件有理3 | a+2/5 | Ac的条件邻域。对于量化，我们第二个需要实线的条件模拟，它允许表示条件偏好。用R表示的条件实数是通过采用康托构造从条件有理数中获得的，即识别Q中的条件Cauchysequences。与标准理论一样，条件实数可以被描述为一个条件域，其中每个有界子集都有一个内确界和一个上确界，并且是拓扑条件可分的。特别是，Q在R中是条件密集的。备注4.3。

在事件代数的上下文中，条件实线R正好对应于具有[21]中介绍的L-拓扑的随机变量L（A）的条件集，如[14]所示。因此，在下文中，读者可能总是认为条件实线是A-可测随机变量的集合。特别是，条件数值表示将条件引用映射到A-可测随机变量之间几乎确定的顺序。定义4.4。条件优先顺序<在X上的条件数值表示是一个条件函数U:X→ R使得x<y当且仅当U（x）>U（y）。（4.1）注意每个条件函数U:X→ 通过（4.1）定义条件优先顺序。此外，如果U:X→ R是一个条件数字表示，则为o U是每一个条件严格递增函数的条件数值表示→ R.备注4.5。例如，在[24]中研究的条件熵货币效用函数是条件确定性等价物的特殊情况，由u（x）=ln给出E前任A., 十、∈ L（B）是一种条件偏好的表示。实际上，这个函数是局部的，因为对于每个∈ A伊索尔德苏（x | A+y | Ac）=lnEeAx+1AcyA.= 自然对数AE前任A.+ 1AcE嗯A.= 1AlnE前任A.+ 1AclnE嗯A.= U（x）| A+U（y）| Ac。同样的论证适用于引言中提到的所有条件确定性等价物、条件/动态风险度量或可接受性指数。给定一个条件优先顺序，我们讨论了条件数值表示存在的必要和充分条件。第一个结果是Debreu在[9]中陈述的有条件版本，并需要有条件有序密集的概念。

条件子集zvx是条件序稠密的，如果对于每个X，y∈ X和X y、 存在z∈ Z使得x<Z<y。感兴趣的情况是当Z是条件可数的，也就是说，存在一个条件注入φ：Z→ Q.等价地，如果Z是条件序列Z=（zn）n，则Z是条件可数的∈N是条件自然数。条件序列和标准序列之间存在差异：与经典情况类似，Z中的条件序列（zn）是条件函数f:N→ Z、 N7→ f（n）=zn。然而，稳定性产生zn | A+zm | Ac=f（n）| A+f（m）| Ac=f（n | A+m | Ac）=zn | A+m | Ac。换句话说，以A为条件的序列步骤n和以acres为条件的序列步骤m导致序列步骤n |A+m | Ac。定理4.6。X上的条件优先顺序<仅当X具有条件可数顺序稠密子集时，才允许条件数值表示。证据if部分：在不丧失一般性的情况下，假设Z={zn:n∈ N} 是X的条件可数阶稠密子集，它不是条件有限的。考虑nowZ+（x）：={z∈ Z:Z x} 还有Z-（x） ：={z∈ Z:x z} 。因为<是一个条件二元关系，所以Z+（x）和Z-（x） 是每x的Z的条件子集∈ X.然而，如例3.3所述，Z±（X）可能都存在于小于Ohm.进一步，（Z±（x））x∈Xis是条件幂集P（Z）中的条件族，即每x=x | a+x | Ac，Z±（x）=Z±（x）| a+Z±（x）| Ac∈ 由于及物性，X<y意味着Z+（X）vz+（y）和Z-（y） v Z-（x） 。（4.2）根据条件顺序密集度，x y意味着有z∈ Z使得x 在某个事件A和x中 关于Ac.Thusz | A的y∈Z-（x） \\Z-（y）|A和z | Ac∈Z+（y）\\Z+（x）|来点ACZ∈ Z和A∈ A.

（4.3）现在设u是Z上的严格正条件测度，即每n的u（{zn}）>0∈ N.定义U（x）=u（Z-（x） )- u（Z+（x））每x∈ 那么U是一个条件函数，因为（Z±（X））X∈Xis是一个条件族，u是一个条件函数。一方面，从（4.2）和u有条件地增加，x<y意味着U（x）>U（y）。另一方面，假设 某个非空事件A上的y。在不丧失一般性的情况下，A=Ohm. 然后从（4.3）和u为正，得出x y yieldsU（x）=u（Z）-（x） )- u（Z+（x））>u（{z}）+u（z）-（y） )|A.-u（Z+（y））- u（{z}）|Ac=u（{z}）+U（y）>U（y）。从<的条件完备性可以得出U是一个条件数值表示。唯一的如果部分：一个允许条件数值表示的条件优先顺序是条件完备的，因为条件实数是如此。它认为Y:=Im（U）是R的一个条件子集。用引理7.1选择一个条件可数阶密子集I v Y。那么Z:=U-1（I）是条件可数的，由于U是一个条件数值表示，它是条件有序稠密的。设A为Z+（x）存在的事件。这意味着不存在z∈ Z，因此Z严格优先于Ac上的x条件。由于Z是条件有序密集的，因此x是Ac条件下的最大元素。例如，定义u（{zn}）=2-n:=P-nk | Ak每n=Pnk | Ak∈ N.条件可数阶稠密子集的存在性相当于技术性质。在经典案例中，Debreu[9,10]和Rader[36]表明，在某些拓扑假设下，存在一个数值表示。更重要的是，通过德布鲁的间隙引理，保证了上半连续或连续表示的存在。