风险分散：一项基于过滤模型的持续性研究

虚线是与使用整个1997-2012年期间作为时间窗口获得的聚类相对应的值（23）。可以观察到，最低值与2007-2008年金融危机前后的时期有关。为了分析聚类所表达的经济信息量（Mantegna，1999），（Co ronnello et al.，201 1），我们测量了调整后的兰德指数Radj（Hubert and Arabie，1985），该指数介于时间窗口的DBHT聚类和工业部门股票分类产生的社区划分之间。Radjis是一个指数，用于衡量同一组对象（本例中为股票）上两个不同分区之间的相似性，范围从0（无相似性）到1（完全一致性）。我们在附录a中提供了该指数的形式定义。因此，RADJ提供了基于相关性的聚类中包含的行业信息的度量。我们使用行业分类基准（ICB）；这是一个将股票分为四个层次的分类，即在114个子部门、41个部门、19个不同的超级部门，依次集中在10个不同的行业。为了考虑所有这些层次，我们测量了每个层次和DBHT聚类之间的Radj（Tk）。在图1b）中，我们绘制了DBHT集群和ICB行业、超级部门和子部门之间的Radj（Tk）随时间的演变（为了简单起见，我们不绘制非常接近超级部门值的部门数据）。人们可以看到，ICB的信息显示，2007-08年金融危机期间，该指数显著下降，从2010年起将部分恢复。

有趣的是，在危机之前，行业、超级部门和子部门的界限明显不同（ICB超级部门与DBHT的相似性最高，其次是行业和子部门），而在危机和危机后时期，它们的价值非常接近。因此，从危机开始，相关性聚类不再适用于区分不同水平的ICB：这可能表明，这种行业分类正在成为分散风险的不太可靠的基准。这些结果与包括雅虎分类在内的其他行业划分相一致。调整后的兰德指数还可以作为一种工具，通过测量两个相邻时间窗口（我们表示RT）的两个聚类之间的指数来分析DBHT聚类的持久性-1，Tadj（Tk）这样的数量）。这给出了一个局部持久性的度量：索引值的下降表明相邻nt聚类之间的相似性降低，因此持久性降低。在图1c）中，我们绘制了RT-1、Tadj（Tk）与时间的关系。我们可以观察到，集群持续性随着时间的推移发生显著变化，尤其是随着金融危机的爆发和2010年的复苏而下降。值得指出的是，危机期间的下降似乎比实际爆发的下降早了几个月（2007年8月，垂直虚线）：这可能会突显出将聚类作为预测系统性风险的工具的可能性。然而，2010-2012年这段时间再次呈现出稳步下降的趋势。

有趣的是，持久性的模式似乎与聚类和ICB之间的相似性有关，更高持久性的时期以更高的经济信息量为特征。然而RT的缺点-1，Tadj（Tk）作为持久性的一种度量，它在任何时候都只提供关于前一个相邻时间窗口的持久性信息。它并没有说明每个聚类的长期鲁棒性。为了研究这一方面，我们将在下一节中讨论一组分析，这些分析将评估每次聚类的持久性，从而提供一个更完整的画面。结构变化图调查每个聚类的长期持久性，我们为每个时间窗口计算了相应聚类和任何其他时间的聚类之间的调整后兰德指数：结果总结在（对称）矩阵s:s（Ta，Tb）=Radj（Xa，Xb）（3）中，其中Xa和Xb分别是时间窗口Ta和Tb处的DBHT聚类。我们的数据集的矩阵s如图2 a）所示。我们观察了两个主要区块，第一个是危机前的区块，另一个是危机后的区块，其中一个在集群中具有高度相似性。这两个块的相互相似性很低（矩阵的右上角/左下角）。第一个区块在2007年开始失去其紧凑性，第二个区块在2009年年初非常迅速：在这两次金融危机爆发之间，展示了一系列极其多变的集群，它们与任何其他时间窗口都没有表现出相似性。为了更好地突出这些制度的变化，我们绘制了图。

2 b）-e）矩阵s中的四行，以s为例，说明危机前（2003年9月至10月），危机（2007年8月，爆发危机，2008年11月至12月，雷曼兄弟违约后，c）和d）以及危机后（2010年4月至5月）期间的行为。垂直虚线显示了时间窗口的结束位置，该时间窗口的聚类采用相似矩阵s 14/02/200114/02/200315/02/200515/02/200717/02/200915/02/201121/11/201214/02/200114/02/200315/02/200515/02/200717/02/200915/02/201121/2011/2012a）0.20.40.812000 2002 2002 200200717/2002002002002002012010 2010 20140.40.60.8120-2003年10月b）2000年2002年2006年2008年2010年2012年201400.20.40.60.81tRadjNov-2008年12月d）2000 2002 2004 2008 2010 2012 201400.20.40.60.81tradj 2007年7月至8月c）2000 2002 2004 2006 2008 2010 2012 20140.20.40.60.81tRadjApr-2010年5月e）图2：基于聚类的持久性分析。a） 相似矩阵显示基于c相关的DBHT聚类的时间演化。每个条目s（Ta，Tb）分别是聚类Xa和Xbat时间窗口Ta和Tb之间的调整后的兰德指数（等式3）：值越高表示相似性越高。该矩阵显示了两个主要的高内部相似性块，一个是pr-ecrisis，另一个是pos-t-crisis。2007-2008年介于这两个区块之间，与其他任何时间窗口的相似性都很低，显示出极其多变的结构。图b）-e）显示了四个样本时间窗口（即。

相似性矩阵的四个示例行）：在危机期间，相似性的衰减比危机前和危机后时期快得多。作为参考：图中的每个点都是该聚类和其他所有聚类在每个时间窗口之间的调整兰德指数，在相似性矩阵z 14/02/200114/02/200315/02/200515/02/200717/02/200915/02/201121/11/201214/02/200114/02/200315/02/200515/02/200717/02/200915/02/201121/11/2012a）0.960.970.980.9912000 2002 2004 2006 2008 2010 2012 20140.40.50.70.80.91t相关度-2003年10月b）2000年2002年2004年2008年2010年2012年20140.40.50.60.70.80.91tMetacorrelationNov-2008年12月d）2000 2002 2004 2006 2008 2010 2012 20140.40.50.60.70.80.91tMetaCorrelation 2007年7月至8月c）2000 2002 2004 2006 2008 2010 2012 20140.40.50.60.80.91tMetaCorrelation-2010年5月e）图3：基于元相关性的持久性分析。a） 相似矩阵z表示相关矩阵的时间演化。每个entryz（Ta，Tb）被计算为t时间窗Ta和Tb（等式4）的相关矩阵之间的相关性：值越高，表示相似性越高。图b）-e）显示了四个样本时间窗口的相似模式：危机年份的衰减远小于图2中相应的曲线。过去和未来。在危机前b）相似性在时间上向前和向后都表现出相当低的衰减：原始聚类在时间上仍然与第17个时间窗口向前/向后有60%的相似性。然而，这种下降趋势是显而易见的，在危机期间变得更加陡峭。从金融危机期间的时间窗口来看，c）和d），模式发生了随机变化：在几个月内，相似性下降了70-80%，无论是在时间上向后还是向前。

危机的两个阶段也揭示了一些差异：在危机早期，与危机前的相似性比危机后的相似性高，而在后雷曼兄弟时期，情况则相反。最后，后危机时期（e）显示了部分复苏的持续性，尽管与2003年的模式水平不同。人们可能想知道，通过研究原始的、未过滤的相关矩阵，是否可以直接检测到聚类分析所强调的这些结构变化。为了验证这一点，我们引入了一种不使用聚类的不同时间窗口之间相似性的替代度量，即相关矩阵对之间计算的相关性（元相关性）。这个度量是：z（Ta，Tb）=hρij（Ta）ρij（Tb）iijq[hρij（Ta）iij- hρij（Ta）iij][hρij（Tb）iij- hρij（Tb）iij]（4）式中，ρij（Ta）是在时间窗Ta和h。。。iijis是所有股票组合的平均值i，j。在Munnix等人（2012年）中，引入了另一种衡量方法，以确定金融市场的可能状态。在图3中，我们报告了矩阵z（Ta，Tb）和四个代表性时间行，对应于图2中选择的相同四个时间窗口。我们可以观察到，元相关性确实能够识别危机前和危机后的两个时间段，但在2007-2008年危机期间，也显示出一个较小的中间时间段，具有相对较高的内部相似性。这与我们在基于聚类的matr ix s中观察到的情况不同，在这些matr ix s中，危机期间的时间窗口甚至彼此都非常不同。此外，z区的危机前和危机后区块的内部相似性高于s区，尤其是在危机后年份。从图中的四个z时间行可以看出所有这些差异。

3 b）-e）：即使在危机时间窗口c）和d）中，可以观察到相似性的更快衰减，但衰减比相应的聚类图（图2 c）和d）要小得多。此外，与图2（e）中的聚类情况不同，危机后窗口（e）完全恢复了危机前的高持续性水平。因此，元相关性和聚类分析似乎描述了市场关联结构的细微差异。尤其是基于聚类的矩阵s在危机期间和危机后时期显示出更高的非平稳性。到目前为止，我们已经从全局的角度描述了集群的持久性，从整体上看集群。让我们在这里关注每个集群的演变，关注它们的组成如何随时间变化。分析这样一种演化并不是一件急事，主要问题是动态集群的易变性，这使得很难确定每个集群的后续者。可以采用许多不同的方法来解决这个社区跟踪问题（Fenn等人，2012年）。在这里，我们使用基于超几何分布的假设统计测试（Tumminello等人，2011年）来评估不同时期集群之间的相似性。

特别地，如果编号1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415161718192021222301020304050聚类标签所有时期聚类a）基本材料消费品消费服务金融服务业工业土壤与天然气技术电信公用事业01020304050tSPersistence cluster 18 01/02/200103/01/200312/01/200524/01/200702/02/200909/02/201109/10/2012b）01020304050tSPersistence cluster 42007年10月10 10（10）10（10）2（10）2（10）10（10）2（2）2（10）10 10（10）2（2）10 10 10（10）2（10）10 10 10 10（10）10 10（10）10 10（10）10 10（10）10 10）10 10 10）10）10（10）10）10（10）10）10）10（10）10（10）10）10（10）10）10（10）10（10）10）10）10（10）10）10）10）10）10）10）10（10）10）10（10）10）10）10）10）10）10（10（10）10）10）10）10）10）10（10（10）10）10（10）10）10）10）10）10）10（10（10）10（10）10）10（10）10）10）10）10）10（10（10）10）10）10）10）10）10）2012年图4：团簇动力学组成（第一部分）。a） 聚类——通过计算1997-2012年整个时间窗口内的详细日志返回而获得的DBHT聚类的组成。y轴上显示了每个集群中的股票数量，不同的ICB行业有不同的颜色。b） 对于a）中的18号聚类，我们在每个时间窗口都检测到相应的“相似”（根据超计量测试）聚类，并及时绘制了成分图。大小等于零表示未找到“类似”群集。当发现多个“相似”簇时，只绘制最大簇的数据。c） -f）：分别为簇4、簇8、簇7和簇17绘制图，如b）所示。两个集群之间的共同股票数量足够高，足以拒绝检验的零假设，我们将这两个集群标记为“simila r”。此外，我们将在整个时间窗口（1997-2012）上计算的DBHT聚类作为一个基准聚类，通过它跟踪随时间窗口移动而获得的动态聚类的演化。

让我们在这里详细描述一下这个想法。我们称X为在整个时间窗口上获得的聚类，Yia聚类属于X，i=1。。。，Ncl。对于每个集群1 01/02/200103/01/200312/01/200524/01/200702/02/200909/02/201109/10/2012a）020406080spersistence集群6 01/02/200103/01/200312/01/200524/01/200702/02/200909/02/201109/2012b）020406080spersistence集群20 01/02/02/200103/01/01/200312/01/200524/02/2009002/2012012C）持久性集群01/02/200103/01/200312/01/200524/01/200702/02/200909/02/201109/10/2012d）020406080spersistence cluster 22 01/02/200103/01/200312/01/200524/01/200702/02/200909/02/201109/2012e）020406080spersistence cluster 15 01/02/02/200103/01/200312/01/200524/01/200702/02/200909/02/201109/2012f）图5：簇的动态组成（第二部分）。a） 对于图中的clusternumber 1。4 a）我们在每个时间窗口检测到相应的“相似”（根据超计量测试）聚类，并及时绘制了成分图。等于零的大小对应于未找到“类似”群集。当发现多个“相似”聚类时，只绘制最大聚类的数据。b） -f）：与a）中的图相同，分别用于集群6、20、14、22和15。颜色参考图4 a）中的图例。每个时间窗口Tk（k=1，…，n）我们都在时间Tk，XTk进行聚类，并确定属于XTk的聚类与Yi（ifany）相似。如果与Yi相同的股票数量足够高，足以拒绝超几何检验的无效假设（Musmeci et al.，2014），即考虑两个集群之间的随机重叠，则我们将集群标记为与Yi“相似”（测试的详细描述见附录B）。如果mo-rethan一个集群结果相似，我们考虑了最大的集群。

最终，对于每个Yi，每个时间窗口Tk都有一个集群，所有这些集群都与Yi具有高度的相似性。因此，我们可以从股票数量和相应的工业部门来跟踪它们的演变。测试的阈值选择为0。01，以及保守的Bonferroni校正（Tumminello等人，2011年）。图4 a）显示了在时间窗口199 7-2012上计算的DBHT聚类的组成：对于每个聚类，y轴显示其基数（即属于该聚类的股票数量），不同的颜色显示属于不同ICB行业的股票。无花果。4 b）-f）和5 a）-f）weplot，对于X中的11个大t集群，其相似集群的股票数量，以及它们在ICB行业方面的构成。当一个时间窗口找不到类似的聚类时，我们只剩下空的对应窗口。分析的聚类为聚类18、4、8、7、17、1、6、20、14、22和15。让我们总结一下主要发现：o总体而言，X中的所有簇在时间上都具有很高的持久性，几乎在每个时间窗口都显示出一个相关的“相似”簇。这一结果甚至更为显著，因为p e rsistence已经以一种相当保守的方式进行了评估，即采用Bonferroni校正的超几何测试。很少有集群在进化过程中表现出有限的差距（集群14、15、20和22），主要与金融危机相一致很少有集群s在产业构成方面也表现出持续性（集群s 4的情况是如此，在较小程度上，集群s 8的情况也是如此），但大多数集群表现出明显的演变。特别是，我们可以很好地区分危机前和危机后的状态，后者的特点是不同行业的混合程度更高。