基于Blackwell可逼近性的对数最优投资组合选择

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英文标题：
《Log-Optimal Portfolio Selection Using the Blackwell Approachability
  Theorem》
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作者：
Vladimir V\'yugin
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We present a method for constructing the log-optimal portfolio using the well-calibrated forecasts of market values. Dawid\'s notion of calibration and the Blackwell approachability theorem are used for computing well-calibrated forecasts. We select a portfolio using this \"artificial\" probability distribution of market values. Our portfolio performs asymptotically at least as well as any stationary portfolio that redistributes the investment at each round using a continuous function of side information. Unlike in classical mathematical finance theory, no stochastic assumptions are made about market values.
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中文摘要：
我们提出了一种利用经过良好校准的市场价值预测构建对数最优投资组合的方法。Dawid的校准概念和Blackwell可接近性定理用于计算校准良好的预测。我们使用这种“人工”的市场价值概率分布来选择投资组合。我们的投资组合的表现至少与任何平稳的投资组合一样，都是渐进的，即使用边信息的连续函数在每一轮重新分配投资。与经典的数学金融理论不同，市场价值没有随机假设。
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分类信息：

一级分类：Computer Science        计算机科学
二级分类：Artificial Intelligence        人工智能
分类描述：Covers all areas of AI except Vision, Robotics, Machine Learning, Multiagent Systems, and Computation and Language (Natural Language Processing), which have separate subject areas. In particular, includes Expert Systems, Theorem Proving (although this may overlap with Logic in Computer Science), Knowledge Representation, Planning, and Uncertainty in AI. Roughly includes material in ACM Subject Classes I.2.0, I.2.1, I.2.3, I.2.4, I.2.8, and I.2.11.
涵盖了人工智能的所有领域，除了视觉、机器人、机器学习、多智能体系统以及计算和语言（自然语言处理），这些领域有独立的学科领域。特别地，包括专家系统，定理证明（尽管这可能与计算机科学中的逻辑重叠），知识表示，规划，和人工智能中的不确定性。大致包括ACM学科类I.2.0、I.2.1、I.2.3、I.2.4、I.2.8和I.2.11中的材料。
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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关键词：Blackwell 投资组合选择 Black 投资组合 Well

使用Blackwell可接近性理论记录最优投资组合选择俄罗斯科学院信息传输问题研究所弗拉基米尔·维尤金，莫斯科大剧院。19，莫斯科GSP-4127994，俄罗斯电子邮件：vyugin@iitp.ruAbstract.本文的目的是将博弈论方法应用于最优投资组合构建的经典问题。我们提出了一种利用收益向量的精确预测构造对数最优投资组合的方法。Dawid的校准概念和Blackwell可接近性定理用于计算校准良好的预测。我们使用收益向量的“人工”概率分布来选择投资组合。我们的投资组合至少和任何使用边信息的连续函数在每一个位置重新分配投资的固定投资组合一样，具有渐近性能。与经典数学金融理论不同，没有对转向向量进行随机假设。1引言本文所考虑的股票市场模型是Breiman[5]、Algoet和Cover[2]以及Cover[8]等人研究的模型；另见Gy–orpfy等。[15].考虑一个投资者，他可以使用k金融工具（资产、债券、现金、游戏收益等），并且可以根据por tfolio vector b=（b（1），…）在每一轮中重新分配他的财富，b（k））。市场时间的演变由一系列回报向量（市场价值）x，x。。返回向量x=（x（1），x（k））是k个非负数的向量，代表给定交易周期内的价格关系。也就是说，x的第j个c组分x（j）表示资产j的收盘价和开盘价之比。换言之，x（j）是交易期间资本投资于第JT资产的系数。

我们支持这些c分量是有界的X（j）∈ [λ，λ]对于所有1≤ J≤ k、 其中0<λ<λ<∞.我们假设这些资产是可任意分割的，在任何给定的交易期间，它们都可以以当前价格无限量购买或出售；没有交易成本，投资者可以在每个交易期开始时根据投资组合向量b=（b（1），b（k））。向量b的第j部分b（j）说明了投资者在资产j中的投资比例。我们假设b（j）≥ 所有j均为0，kpj=1b（j）=1。这意味着投资策略是自我融资，不包括资本消耗。b成分的非负性意味着不允许卖空和保证金买入股票。设Γ表示投资组合向量b的单纯形。设s表示投资者的初始资本。然后，在首次交易期结束时，投资者的财富为comesS=s（b·x）=SkXj=1b（j）x（j），其中“·”表示内积。从最初的财富S开始，经过T个交易周期，一个“投资策略”b，BTST=STYt=1（bt·xt）。为了简单起见，下面我们假设S=1。在模拟市场演化行为时，序贯投资理论考虑了两种主要方法。在概率方法中，我们假设返回向量Xt是随机过程Xt序列的实现，其中t=1，2。

，并描述一个统计模型。如果一个市场过程是无记忆的，也就是说，它是一系列独立且同分布（i.i.d.）的随机回报向量，那么Morvai[19]表明*= argmaxbE（log（b·X））在以下意义上是绝对最优的：对于任何具有有限（（log（b·X））的投资组合向量b，最优性的一个条件是→∞特洛格斯*TST≥ 0几乎可以确定，在哪里*T=QTt=1（b*· Xt）和ST=QTt=1（b·Xt）。但是，如果不同交易周期的回报向量具有统计依赖性，i.i.d.模型是有效的，这在现实市场中似乎是如此。在一般情况下，我们考虑一个任意的随机过程X，X。生成返回向量x，x。。Algoet[1]和Cover[2]已经构建了所谓的对数最优预测策略。让X，X。这是一个随机的、遍历的过程。表示文本-1=X，Xt-1.A功能b*（·）被认为是对数最优的港口策略*（Xt）-1） ·Xt）=maxb（·E）log（b（Xt-1） ·Xt）对于所有t.让我们*t通过对数最优投资组合策略b获得财富*（·）T交易期之后。然后，对于任何静态和随机过程，以及任何其他投资策略b（·），lim infT→∞特洛格斯*TST≥ log后面的0（2）表示底2上的对数，当Xiare一致有界时为真。几乎可以肯定。这样的策略也被称为通用的，关于过程X，X。。此外，Algoet[1]和Gy¨orpfy以及Sch¨afer[14]已经证明，对于所有平稳过程和遍历过程类，存在一个一致普适的策略。这意味着战略b*（·）的存在使得对于任何平稳和遍历过程X，X。渐近不等式（2）是最确定的。Gy–or fi和Sch–afer称该方案为基于直方图的投资策略。

Gy–orpfy[15]将这个结果扩展到基于内核的情况。这些论文没有研究收敛速度。另一种“最坏情况”方法允许返回序列x，x。采用完全任意的价格，没有建立随机模型来研究价格相关关系的产生机制。这种方法是由封面[8]设计的。封面显示存在投资策略b*t（所谓的universalportfolio）表现几乎与最佳投资组合一样好，因为对于任何收益序列x，x。，s*T≥ 计算机断层扫描-K-第一（b）对于所有T，其中c是正常数（取决于k），S*T=QTt=1（b*t·xt）是通用投资组合策略实现的财富，ST（b）=QTt=1（b·xt）是任意常数投资组合b实现的财富。通用投资组合被定义为组合b*T=RbPT-1（db），其中PT-1（分贝）=（夸脱）-1t=1（b·xt）/Z）D1/2（db），Z=RQT-1t=1（b·xt）D1/2（db），D1/2是Γ上的1/2-Dirichlet分布。这种方法的进一步发展见Cover和Ordentlich[9]、Vovkand Watkins[20]、Blum和Kalai[4]等。在这种方法中，将获得的财富与一类参考策略中最好的财富进行比较。封面[8]所考虑的参考策略类别是由所有向量b定义的所有恒定投资组合类别∈ Γ . Cover and Ordentlich[9]将这种方法扩展到了一种情况，即引用策略可以使用有限集合中状态形式的边信息。这种最坏情况下的方法的优点是，它避免了在股票市场上强加统计模型，结果适用于所有可能的序列x，x。。在这种情况下，这种方法非常稳健。在第2节中，我们将采用最坏情况和随机方法相结合的方法。我们构造了回报向量的“人工概率分布”。

这一分布由Dawid[10]、[11]意义上经过良好校准的预测确定；这些预测是使用博弈论的布莱克威尔可接近性定理构建的。在构建此类预测时，没有对收益向量进行随机假设。我们通过方案（1）构造了一个对数最优投资组合，其中数学期望E超过了经过良好校准的预测确定的概率分布。我们的对数最优投资组合至少渐进地表现为均方根，以及任何使用边信息的连续函数在每一个位置重新分配投资的固定投资组合。在第3节中，我们讨论了性能条件的收敛速度。这种方法在博弈论中并不新鲜。例如，福斯特·安得沃拉[12]，[13]提出了一个“经过校准”的预测方案，这在事后看来是一致的。它允许代理选择对预期结果的最佳响应。另见Mannor和Shimkin[17]。本文的目的是将这些博弈论方法应用于最优投资组合构造的经典问题，以获得文献[14]，[15]中结果的进一步推广。与大多数以前的工作不同，我们使用了更广泛的投资者策略参考类别——我们将我们的por tfolio策略的绩效与所有t的固定投资者策略进行比较，其中zt是一个辅助信息，由连续函数bt=b（zt）定义。在第4节中，我们证明了如果允许b（zt）是不连续的，我们不能证明我们的投资组合策略b的渐近最优性*t、 2主要结果拉克韦尔可逼近性定理。我们将使用Blackwell可接近性定理来定义我们的通用投资组合选择随机策略。回想一下博弈论的一些标准概念。考虑两个玩家之间的一场游戏，他们的动作（纯策略）是有限的，I={s。

，sN}和J={a，…，aM}。第一个参与者的混合策略是I上的概率分布，由向量P=（P（1），p（N）），其中p（1）+。p（N）=1和p（i）≥ 0表示所有i。用P（i）表示一组Fir stplayer的所有混合策略。类似地，设P（J）是第二个参与者的所有混合策略的集合。考虑一个完全可重复的ga me，在每一轮t中，第一个玩家宣布一个混合策略Pt∈ P（I）和第二个玩家宣布为纯策略jt∈ J.在那之后，第一个玩家拿起它∈ 我通过PTA和Receives分发了一份报酬（it，jt）。玩家可以独立宣布他们的动作，或者在对手设置中，第二个玩家在第一个玩家宣布动作后宣布一个元素。对于第一个玩家的随机在线策略，我们指的是一个有限序列P，P。在他的混合策略中，每个PTI都是有条件的（关于过去的动作i，j，…，it-1，jt-1） I.设向量值支付函数f（si，aj）的概率分布∈ 给定，这里是≥ 1，是的∈ 一、 还有aj∈ J.通常，f（P，aj）=NPi=1f（si，aj）P（i）和f（P，Q）=NPi=1MPj=1f（si，aj）P（i）Q（J），其中P=（P（1），p（N））和Q=（Q（1），q（M））分别是P（I）和P（J）的元素。注意Blackwell定理（见下面的定理1）适用于lnorm inRd。在一些特殊情况下，我们还考虑了形式k·k。在所有其他情况下，我们使用形式k·k。选择范数l，l∞, 在这个阶段是不相关的，因为所有规范在有限维空间上都是等价的。差异出现在第3节，我们在定理3中计算收敛速度。对于任何子集U rdx和任意向量x∈ Rd，从x到U的距离是定义的距离（x，U）=infy∈Ukx公司- yk。跟在布莱克威尔后面 如果一个随机的非线性策略P，P。

第一个玩家的存在如此有限→∞distTTXt=1f（it，jt），U！=0表示P-几乎所有序列i，i。第一个玩家的动作不考虑第二个玩家如何选择j，j。，其中P是由P，P，….生成的总体概率分布。。Blackwell[3]对向量Payoff函数的情形提出了极大极小定理的推广。特别地，他证明了以下定理。定理1。闭凸子集U RDI对于第一个玩家来说是可接近的，并且仅当对于每个混合策略Q∈ 第二个玩家的P（J）是混合策略P∈ 第一个参与者的P（I）的存在使得f（P，Q）∈ 我们将此理论应用于对数最优投资组合选择。最优投资组合构建。在博弈论框架下，我们认为市场过程是两个参与者之间的博弈：市场和投资者。在确定性对抗环境中，市场过程描述如下。在每个时间段t的开始，投资者观察所有过去的走势和一个侧面信息ZT，它是某个紧凑度量空间C的一个元素，选择一个投资组合向量bt。在这个时间段结束时，市场观察所有过去的走势，选择一个回报向量xt。之后，投资者更新他的财富St=St-1·（bt·xt）。为了简单起见，我们假设C是某个闭合区间inR。如果一个投资策略由一个函数定义，从所有信号集到所有投资组合的单纯形：bt=b（zt）表示所有t，则该策略称为平稳策略。我们将游戏中使用的所有基本集离散化。对于一个nyk，设C={C，…，cK}是一个有限的网格∈ C安cj∈~C的存在使得kz- cjk<ν，其中ν是取决于K的精度水平。回想一下，对于任何返回向量x=（x（1），x（k）），x（i）∈ [λ，λ]，当eλ和λ是实数时，0<λ<λ。对于任何M，定义一个有限的网格a={a。

，aM}在集合[λ，λ]kof的所有返回向量中∈ [λ，λ]kan元素ai∈■埃克斯塔卡-aik<u，其中M=（1/u）k.对于任何向量r a∈~A，设δ[A]=（0，…，1，…，0）是集中在集合A的元素A上的概率分布。在这个维度M的向量中，第i个坐标为1，所有其他坐标为0。考虑关于集合C元素的条件上所有概率分布的集合P（|a | C）。任何此类分布由KM维向量P=（P（ai | cj）：1定义≤ 我≤ M、 一,≤ J≤ K） ′，其中mpi=1p（ai|cj）=1≤ J≤ K、 也就是说，考虑到cj∈~C，p（·| cj）=（p（ai | cj:1≤ 我≤ M） ′是nM维概率向量。在接下来的内容中，我们忽略了四舍五入的问题。x′是向量x的转置。设P（|a | C）={s，…，sN）是集合P（|a | C）中的一个网格∈P（~A | C）an si∈~P（~A |C）的存在使得kP- 锡克。现在我们应用定理1。考虑一个完全重复的游戏中的两个玩家，其中第一个玩家的移动是N元素集I=~P（~a | | C）的元素，第二个玩家的移动是KM元素集J=~a×~C的元素。在任意一轮，第一个玩家输出一个预测点∈~P（~A|C）和第二个玩家输出结果（xt，zt）∈ J.设sibe为集合＠P（＠A＠C）的第i个向量，cj为集合＠C的第J个元素，A∈~A，0KMbe——KM维零矢量。Payoff函数f的值是维数KMN:f（si，（a，cj））的向量=纳米。NMgj（si，（a，cj））纳米。纳米,式中，gj（si，a）是其第j个N个M维列向量，定义为N个M维列向量的组合：gj（si，（a，cj））=MMδ[a]- si（·| cj）M。

M,式中δ[a]-si（·| cj）是两个M维列向量的差异，它是复合向量gj（si，（a，cj））的第i个分量。我们现在定义凸集U={x∈ RKN M:kxk≤ M.根据定义，第一个参与者的随机策略是序列P，P。，其中，每个PTI都是I=~P（~a | C）上的条件概率分布（关于两个玩家的过去动作）。如果一个随机策略P，P。第二层的存在使得→∞dist（f（pt，（xt，zt）），U）=0几乎肯定不考虑第二个玩家的移动（x，z），（x，z）。，轨迹p，p。根据总体概率分布P和pt分布∈~P（~A | | C）对于所有t.对于Theo-rem 1，闭凸集U是可逼近的当且仅当对于每个t∈ P（~A×~C）和P∈ P（~P（~A | C））的存在使得f（P，Q）∈ U设Q′（cj）=PMi=1Q（ai，cj）是Cand上的边际概率分布，Q′（ai|cj）=Q（ai，cj）/Q′（cj）是条件概率，其中1≤ J≤K.让我来∈~P（~A |C）使ksk-Q′k<和P=δ[sk]是集中在sk上的＠P（＠A＠C）上的概率分布。然后通过定义f（P，Q）=（g（P，Q），gj（P，Q），gK（P，Q）），其中gj（P，Q）=MMQ（a，cj）- sk（a | cj）PMi=1Q（ai，cj）。Q（ai，cj）- sk（ai | cj）PMi=1Q（ai，cj）。Q（上午，cj）- sk（aM | cj）PMi=1Q（ai，cj）M。M=== Q′（cj）MMQ′（a|cj）- sk（a | cj）。Q′（ai|cj）- sk（ai | cj）。Q′（aM|cj）- sk（aM | cj）M。M一个人≤ J≤ K.从这个kf（P，Q）K=PKj=1Q′（cj）ksk（·cj）- Q′（·| cj）k<之后是f（P，Q）∈ U.投资者（第一参与者）的随机在线策略是指一系列条件概率分布Pt=Pt（s |σt，zt），t=1,2。，在P（|A | C）上，其中s∈~P（~A |C），σt=（z，P，x。