回报与风险之间的非线性权衡：一种制度转换

实证方法我们现在介绍研究中使用的实证模型。本文的主要组成部分之一是国家相关风险价格和国家相关条件效用的假设。该模型遵循Whitelaw（2000）中的均衡模型，表明收益和风险之间存在非线性关系。我们假设条件波动率的二元GARCH动力学，更具体地说，Baba等人（1990）的BEKK模型。该模型的主要优点是，它可以保证协方差矩阵是正定的（二次型）。第3.1节介绍了在收益和风险之间建立线性关系的独立于州的多因素模型。第3.2节介绍了依赖于状态的多因素模型。这些模型通过风险溢价和条件波动率的制度转换过程，建立了非线性风险收益权衡模型。尽管序列水平中也存在一些序列自相关，但我们不考虑均值方程中包含任何结构，因为GARCH建模消除了标准化假设中的任何序列相关性。标准化残留结果可根据要求提供。3.1. 独立于状态的多因素模型我们从默顿（1973）的ICAPM模型导出了一个多因素模型。

理论默顿模型中的市场风险溢价定义为：（），WW WBt W t WB tW WJ W JE RJσ- -= +         （1） 其中，J是效用函数（下标表示偏导数），W是财富水平，B是描述经济中投资机会状态的变量，（），t是总财富的预期超额收益，W tσ和，WB tσ分别是超额收益与投资机会集的条件变差和条件协方差，和WWWJ WJ   ,WBWJJ   是价格的风险因素。利用该模型，我们在时间序列维度上实证检验了聚合（线性）风险收益权衡。“一般”模型允许时变条件二阶矩，但市场风险的风险系数价格J W   跨期成分风险   随着时间的推移保持不变（Scruggs and Glabadanidis 2003）。因此，考虑到理论框架和所采取的假设，将超额市场收益与风险因素联系起来的实证模型如下所述：、10 11、12、20 21、22、mt mt mb mt mb tb tb tb t tb trrλλσλσελλσελσλσελσε=++=+++（2）其中rm、tand rb表示市场投资组合和替代投资组合的超额市场收益，分别地i=1,2和j=0,1,2的ijλ是待估计的参数，代表不同的风险价格；和，mtσ，btσ，mb t表示条件二阶矩（市场方差，跨期套期保值分量方差以及市场组合和套期保值分量之间的协方差）或风险因素。

还估计了该模型的“受限”版本，其中替代投资集是时不变的（=）（类似于1998年的托斯克鲁格斯）。如上所述，有必要对波动性（风险因素）的动态做出假设，以便从经验上验证理论ICAPM模型。为了分析双变量关系，文献中使用最广泛的模型之一是Babaet al.（1990）的BEKK模型。该模型设置了以下协方差方程：，\'\'\'\'1 1，mt mb tt t tmb tH CC A b H b- - - = = + +   （3） 式中，C是常数的下三角2x2矩阵，a和B是参数tε的2x2对角矩阵-是创新的Tx2向量-是滞后协方差矩阵。对角BEKK模型比完整模型更节省，并且在表示方差和协方差的动态方面表现良好（Bauwens等人，2006年）。该模型通过拟极大似然函数的最大化来估计，假设新息服从正态二元分布：（）t tN H.t t tθθθπε   ∑（4） 式中| Ht |表示协方差矩阵的行列式，Ω表示设置为tandθ的信息是未知参数的向量。3.2. 制度转换多因素模型我们现在引入一个不同的多因素模型，其中风险价格和条件二阶矩都取决于市场状态。在这种情况下，我们建议两个州。考虑到经验关系中的制度转换，我们可以获得风险价格和条件二阶矩的状态依赖估计。这意味着，按照怀特劳（2000年）提出的一般均衡模型，预期收益和风险之间存在非线性和状态依赖关系。

在这里，关于回报和风险之间是否存在基本权衡的研究是以每种制度为条件的（由市场的波动水平定义）。这种建模使我们有机会分析一种不同的、更复杂的风险回报关系，而不是理论上的ICAPM模型中简单的线性关系。在这些假设下，该模型中的平均方程规格定义为：、10、11、12、、20、21、、22、、t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t s m t s s s s mb t s s s b t t s s b t srrλ∑λ∑ελ∑λ∑ε∑ε=+++（5）其中，rm t，stand rb t，t，t，t，star state依赖于（取决于潜在变量st=1,2）超额市场和成分收益，分别地i=1,2和j=0,1,2的tij sλ是状态相关参数；，tmts，tbt-sand，tmb-t是状态相关的条件二阶矩；而tm t sand、tb t sε是依赖于国家的创新。假设依赖于状态的条件二阶矩遵循GARCH双变量动力学（更具体地说，是BEKK模型）。也就是说，有尽可能多的协方差矩阵。与状态相关的协方差矩阵为：，\'\'\'\'\'\'，11，，TTTTTTTTTTTMTSMBTSTSTSSMBSBSBTSHCABHBσεεσ- - - =   = + +  （6） 其中（对于st=1,2），Astand和Bst是参数的2x2对角矩阵，Cst是常数的2x2低三角矩阵。之前的研究在对股票和期货时间序列建模时考虑了三种状态（如萨诺和瓦伦特2000），结果表明，第三种状态只反映了收益序列中的奇数跳变。

人们发现，这个第三国的解释力很低。从一个区域到另一个区域的转移由一个隐变量控制，该隐变量遵循一阶马尔可夫过程和概率转移矩阵xp（Hamilton 1989）。（）111t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t- -- -（7） 其中，p和q是处于状态1和状态2的概率，前提是在前一阶段，该过程分别处于状态1和状态2。由于这种状态依赖性和GARCH模型的递归性质，除非获得创新和协方差的独立估计，否则最大似然函数的构造和估计将是困难的。为了解决这个问题，我们使用了一种类似于Gray（1996）中使用的组合方法。

这种方法允许我们通过将状态相关的协方差矩阵和新值与每个状态的先验概率加权，来获得协方差矩阵和新值的状态独立估计。（8）和（9）给出了事前概率（使用t-1处的信息集在t期间处于每个状态的概率）：（）11；*1.1 2 ;t t t tP s p s q p sθθ- - - - -= Ohm = = Ohm + - = Ohm(8)()()1 12 ; 1 1 ;t t t P sθθ- -= Ohm = - = Ohm,（9） 在哪里；pskfrskpskpskpfrskθθ=Ohm = Ohm= Ohm == Ohm = Ohm（10） k=1，2是过滤后的概率（信息设置为t时处于周期t中的每个状态的概率）。假设依赖于状态的新息服从正态二元分布（），~0，tt ts sN Hε，通过最大化以下最大似然函数来估计未知参数θ的向量：（）（）（）（）（）t t tθθθπε   （11） 其中，依赖于状态的似然函数由处于每个状态的事前概率加权。在这种依赖于状态的模型中，我们无法直接解释代表投资者的风险厌恶系数的大小。

与本文提出的单一制度多因素模型不同，伴随市场风险因素的系数不能被视为投资者的风险规避，而是风险的市场价格（见默顿1973年，怀特劳，2000年）。然而，我们可以根据这个风险价格的符号以及各州之间这个价格的相对比较来近似估计风险规避。实施这两种类型的模型，线性和非线性，可以让我们重新审视美国市场的风险回报关系模式，并阐明关于其标志和意义的经验争论。下一节将提供这些结果的详细估计和讨论。4.-实证结果我们转向上一节中提出的模型的实证结果。我们使用用于跨期套期保值部分的不同代理来估计这些模型。模型I（线性和状态相关）使用5年期T债券作为跨期享乐成分的代理。模型II采用10年期国债，模型III采用20年期国债，模型IV采用等权债券组合，采用类似方法。第4.1节显示并讨论了线性模型（无区域切换）在一般和限制情况下的结果。第4.2节解释了非线性多因素模型（一般和受限）的结果，包括制度转换，以及它们对试图揭示市场中的总风险收益权衡的影响。4.1.- 多因素模型估算估算模型如第3.1节所述。我们估计了模型的一个受限版本，其中我们假设对冲部分的风险溢价为常数，即λ=λ=0。在模型的一般版本中，我们自由地估计所有参数。

平均方程的估计参数如表2所示。A.[插入表2]该多因素模型的平均方程中的大多数参数都不显著。反映风险市场价格（λ）的系数为正，但在所有情况下均不显著。对冲成分风险因子（λ）也得到了类似的结果。如果假设收益率和风险在整个样本中都是可信的，那么这个meansour模型就无法检测到收益率和风险之间的显著关系。这一结果与其他风险收益关系研究（Baillie和di Gennaro，1990；Campbell和Hentschel，1992）相似，在使用类似的线性模型时也发现了不显著的关系。表2。B显示方差方程的参数估计。这些参数定义了动态和模式，然后是条件二阶矩。二元GARCHspecification很好地拟合了条件二阶矩动力学。对于两种风险因素（市场风险和投资机会集成分），都观察到了代表波动性冲击（a，a）和过去方差持续性（b，b）的参数的显著性。使用多因素模型，市场风险（b）和混合成分（b）这两个风险源的持续性水平相对较高，其值接近1。这种高持续性水平表明，在波动过程中存在几种机制，这与Lameroux和Lastraps（1990）的观点一致。这些作者指出，由于模型中存在并没有考虑到制度变化，方差的持续性可能被夸大。因此，忽视这些制度变迁可能会导致波动率估计的低效性，从而导致风险因素的低效性。

制度转换（RS）-GARCH模型允许我们同时考虑波动过程的不同状态，正如我们在下一小节中所解释的，并克服这一限制。更重要的是，这类模型允许我们分析更复杂的经验风险收益权衡形状，而这些形状是简单的线性模型无法检测到的。为简洁起见，不报告诊断测试，但可根据要求提供。4.2-政权转换多因素模型估计我们给出了第3.2节中所述的状态相关模型的估计。这些模型抑制了依赖于状态的风险价格和条件二阶矩。表3描述了在所有考虑的情况下，状态相关平均方程的估计值。如图3所示，我们可以将状态1和状态2分别与低波动期和高波动期联系起来。[插入表3]表3的面板A显示了低波动期（状态1）的平均方程结果。在所有考虑的情况下（对于模型的一般版本和限制版本中用作跨期套期保值组件的所有代理），都可以获得低波动状态（λ11，s=1）下风险市场价格的积极和显著估计。然而，这些风险价格的估计效率的大小取决于模型。此外，根据理论直觉，在大多数情况下，干扰的结果并不显著。原始平衡框架不包括截距项，但经验模型包括它以测试潜在的模型错误。该项的非显著性为这些低波动状态下的均衡模型提供了更多支持。

在一些规范中，还观察到风险溢价和套期保值成分（λ12，s=1）之间的协方差对市场风险溢价的正显著影响。这种协方差的演变对所需的总风险溢价没有明显的正面或负面影响（见图2）。风险价格乘以超额市场回报率和套期保值成分之间的协方差的估计乘积（）12，1mb tsλσ=意味着当协方差为负时，投资者所需的总风险溢价（）11，1 12，1m ts mb tsλσλσ=+将略低于市场风险溢价。然而，当协方差为正时，与套期保值成分相关的溢价将导致总风险溢价的更高值。[插入图2]表3的面板B显示了状态2的平均方程结果。这个政权没有明确的模式。在大多数情况下，高波动状态（λ，s=2）下的预期收益和风险之间没有显著关系。然而，在其他情况下，在波动性极高的情况下，存在负风险回报权衡。这一发现支持了Rossiand Timmerman（2010）的观点。在条件波动性较低的情况下，预期收益和风险之间存在正的权衡关系，但在波动性极高的情况下，这种关系会发生逆转。此外，状态1（对应于低波动状态）的风险系数价格高于状态2（对应于高波动状态）的风险系数价格。与第4.1节中的线性多因素模型不同，我们不能将该模型中的系数与风险规避系数直接关联（见Merton 1973）。