混合指数Levy模型的随机和递归方法，

具体来说，使用ψ+q（θ）和ψ-q（θ）满足q/（q+ψ（θ））=ψ+q（θ）ψ-q（θ）表示θ∈ R、 混合指数跳跃扩散的维纳-霍普夫因子可以通过某些有理函数（见[37]）：引理2.3确定。设q>0。函数ψ+qandψ-qare由ψ+q（s）显式给出：=m+Yi=11.- is/α+im++1Yi=11.- is/ρ+i（q）-1,(2.4)Ψ-q（s）：=m-Yj=11+是/α-JM-+1Yj=11.- is/ρ-j（q）-1.（2.5）维纳-霍普夫因子ψ+qandψ-qare有理函数意味着，当Cram’er-Lundb-erg方程的根不同时，运行的上确界XΓ1，qan和下确界XΓ1，qof X在Γ1，q，其中xt:=sups≤tXsand Xt:=infs≤txs表示X a t t的运行上确界和内确界∈ R+也遵循混合指数分布。引理2.4。设q>0，并假设（2.3）的根是不同的。随机变量xΓ1，q，-XΓ1，q和XΓ1，q混合了指数分布，密度为u1，q，u1，q和u1，q由u1给出，q（X）=m++1Xi=1A+i（q）ρ+i（q）e-ρ+i（q）x，u1，q（x）=m-+1Xj=1A-j（q）(-ρ-j（q））eρ-j（q）x，x>0，（2.6）u1，q（x）=m++1Xi=1Bi（q）e-ρ+i（q）xI（0，∞)（x） +m-+1Xj=1Cj（q）e-ρ-j（q）xI(-∞,0）（x），x∈ R、 （2.7）对于i=1，m++1和j=1，M-+ 1，A+i（q）：=Qm+k=1（1）- ρ+i（q）/α+k）Qk6=i（1）- ρ+i（q）/ρ+k（q）），A-j（q）：=Qm-k=1（1+ρ）-j（q）/α-k） Qk6=j（1）- ρ-j（q）/ρ-k（q）），（2.8）Bi（q）：=A+i（q）ψ-q（ρ+i（q））ρ+i（q），Cj（q）：=A-j（q）ψ+q（ρ）-j（q））(-ρ-j（q）），（2.9），其中我们定义了A±k≡ 1在m±=0的情况下（即，如果没有正/负跳跃）。证据很容易验证函数的系数（1- is/ρ+i（q））-而q+i的函数（φ）和q+i的函数（φ）分别是q+i的部分分解- is/ρ-j（q））-1在函数q/（q+ψ（s））和ψ的部分分式分解中-由Bj（q）和A给出的q（s）ar e-j（q）分别为。

随后反转傅里叶变换均方根（1-is/ρ+i（q））-1和（1）- is/ρ-j（q））-1给出了xΓ1，q，-XΓ1，q和XΓ1，q。功能Ohmn、 qand Dn，qand density un，qc可以通过组合函数的形式来明确识别Ohm1，qa和D1，q（如下所示）与（1.2）和（1.3）中的关系。从这些递归关系的形式来看，函数Ohmn、 q，Dn，qan和un，qc可以表示为指数的线性组合，其权重由某些多项式给出。下面的结果给出了显式表达式。6 ALEKSANDAR MIJATOVI\'C，MARTIJN PISTORIUS，JOHANNES Stolter考虑多项式eP±k，i，n，eP±i，j，k，和实数ec±i，j，由ZXP+k，n（y）e定义-ρ+ky-ρ+i（x）-y） dy=e-ρ+kxeP+k，i，n（x）- E-ρ+ixec+k，i，n，ZxP-k、 n（y）e-ρ-基尼-ρ-i（x）-y） dy=e-ρ-kxeP-k、 i，n（x）- E-ρ-伊克斯-k、 i，n，Zxeρ+i（z）-x） π，j，n（x）- z、 y- z） u（z）dz=m++1Xk=1eP+i，j，k，n（x，y）e-ρ+kx，Zxe-ρ-j（x）-z） un（z）dz=m-+1Xk=1eP-i、 j，k，n（x）e-ρ-kx，其中我们表示ρ+h=ρ+h（q）和ρ-h=ρ-h（q）和P+k，nandp-k、 明确定义多项式。事实上，存在多项式和常数来证明上述关系，然后进行重复的分部积分。通过归纳，给出了函数un，q，Dn，qand的下列表达式Ohmn、 qc可以导出：命题2.5。

对任何人来说∈ N∪ {0}我们有+1，q（x）=m++1Xk=1P+k，n+1（x）e-ρ+kxI（0，∞)（x） +m-+1Xk=1P-k、 n+1（x）e-ρ-kxI(-∞,0）（x），x∈ R、 Dn+1，q（x，y）=un+1，q（y）-m++1Xi=1m-+1Xj=1Pi，j，n+1（x，y）e-ρ-j（y）-十）-ρ+ix，x∈ R+，x≥ YOhmn+1，q（x，y）=q-（n+1）·n+1Xk=1un+2-k、 q（x）英国，q（y）- x） ，x，y∈ R、 与之前一样ρ-j=ρ-j（q）和ρ+i=ρ+i（q），和P+k，1≡ Bk（q），P-k、 一,≡ Ck（q）和Pi，j，1≡Eij（q）ρ-J-ρ+i:=A+i（q）A-j（q）ρ+i（q）ρ-j（q）ρ-J-ρ+i，其中P±k，n+1和Pi，j，n+1是多项式，c±k，i，n是递归定义的实数∈ N、 如下所示：P+k，N+1（x）=m-+1Xr=1Cr（q）Z∞e（ρ）-R-ρ+k）zP+k，n（x+z）dz+Bk（q）c-k、 r，n+m++1Xr=1Br（q）eP+k，r，n（x）- ec+r，k，n,P-k、 n+1（x）=m++1Xr=1Br（q）Z-∞e（ρ+r）-ρ-k） zP-k、 n（x+z）dz+Ck（q）c+k，r，n+M-+1Xr=1Cr（q）eP-k、 r，n（x）- 欧共体-r、 k，n,π，j，n+1（x，y）=Z-∞π，j，n（x）- z、 y- z） k+1e，y+1e，ρ-M-+1Xk=1eP-i、 k，j，n（y）- x） +Bi（q）Z∞P-j、 n（y）- 十、- z） e（ρ）-J-ρ+i）zdz+Ei，j（q）ρ-J- ρ+iZ∞un，q（z）eρ-jzdz-m++1Xk=1m-+1Xl=1Ek，l（q）ρ-L- ρ+kZ-∞Pi，j，n(-z、 y- 十、- z） eρ+iz-ρ-lzdz，c-k、 r，n=Z-∞e（ρ+k）-ρ-r） zP-r、 n（z）dz，c+k，r，n=z∞e（ρ）-K-ρ+r）zP+r，n（z）dz。证据通过结合恒等式P[XΓ1，q∈ dx，x- XΓ1，q∈ dz]=P[XΓ1，q∈ dx]P[-XΓ1，q∈ dz]，x，z∈ R+（遵循X的维纳-霍普夫因式分解）和引理2.4，进行一维线性积分，我们得到了函数D1，q的表达式。增量场的马尔科夫性质和平稳性Ohm1，q（x，y）=q-1u1，q（y）- x） u1，q（x），从那里我们得到函数的形式Ohm1，通过插入uq的表达式（2.7）。

un+1，q，Dn+1，qand的表达式Ohmn+1，q根据关于n的归纳、随机和递归方法，7利用（i）un+1，qi等于un，qa和u1，q的卷积这一事实，作为X增量的独立性和平稳性的结果，（ii）D1，qa的形式和（1.2）中的递归关系，以及（iii）的形式Ohm1，Q和（1.3）中的递归关系。3.收敛性和误差估计随机方法包括通过在随机时间Γn，n/t评估的f的期望值E[f（Γn，n/t）]来近似时间t>0时函数f的值f（t），该期望值E[Γn，n/t]遵循伽马分布，期望值E[Γn，n/t]=t，方差E[（Γn，n/t）]- t） ]=t/n。由于随机变量Γn，n/t随n趋于一致而收敛到t，因此误差E[f（Γn，n/t）]- 对于任何有界且连续的函数f，f（t）收敛到零。如果f是有效的牙齿，则误差可以按1/n的幂展开，如以下结果所示：定理3.1。设k为给定的非n负整数，并考虑f∈ C2k+2（R+）。有…存在，bk+1:R+→ R这样我们就有了∈ R+，（3.1）nk+1“E[f（Γn，n/t）]- f（t）-kXm=1米（t）Nm#=bk+1（t）+o（1）as n→ ∞.特别地，用f（m）表示f的第m个导数，我们有b（t）=tf（2）（t），b（t）=tf（4）（t）+tf（3）（t），b（t）=tf（6）（t）+tf（5）（t）+tf（4）（t），b（t）=tf（8）（t）+tf（7）（t）+13tf（6）（t）+tf（5）（t）。备注3.2。（i） 定理3.1暗示对于f∈ C（R+）用E[f（Γn，n/t）]逼近f（t）的误差线性衰减，即E[f（Γn，n/t）]- f（t）=b（t）n+o（n），因为n趋于一致。（ii）定理3.1还证明了如果函数f足够光滑，则使用理查森外推来提高收敛速度的合理性。

由于近似误差以1/n的正整数幂表示，因此使用前n个值E[f（Γ1,1/t）]。，E[f（ΓN，N/t）]由p1显式给出：N=NXk=1(-1） N-该死！（N）- k） !！E[f（Γk，k/t）]，（3.2）（有关公式的推导，请参见[38，§1.3]）。特别要注意的是，为了使用外推（3.2），需要知道函数BM的存在，这样（3.1）就成立了，不需要找到它们的明确形式。在f的情况下∈ C2k+2（R+），k<N定理3.1意味着误差P1:N- 界面的f（t）：niso（N-K-1). 特别是，如果f是C∞然后错误P1:N- f（t）是O（N）-K-1） 对于每一个k，N趋于一致。参考[43]了解额外和插值理论的背景。定理3.1的证明。虽然我们希望这一结果在文献中是已知的，但我们无法找到参考资料并提供泰勒定理的简要证明，以及∈ C2k+2implyf（s）- f（t）=2k+1Xm=1（s）- t） 嗯！f（m）（t）+R（s，t），其中余项由R（s，t）=（s）给出-t） 2k+2（2k+2）！对于随机变量ξ/2k，替换为Γ/2k- f（t）]=2k+1Xm=2am，nm！f（m）（t）+E[R（Γn，n/t，t）]8亚历山达尔·米贾托维奇、马蒂恩·皮斯托留斯、约翰内斯·斯托尔泰斯和am，n=E[（Γn，n/t）- t） 这里我们有a1，n=0，因为期望值E[Γn，n/t]等于t。数sam，nare等于am，n=dmdumu=0M（u），其中M表示随机变量Γn，n/t的矩母函数- t由m（u）给出=1.-utn-nexp{-ut}，u≤新界。特别地，从M的形式可以看出，am，nare是1/n的正整数幂的线性组合。项的重新排序和简单的操作导致（3.1）中的恒等式。

接下来，我们将讨论上确界分布的近似公式m和集合的预期占用时间(-∞, x] L’evy桥过程x（0,0）→（t，y）从（0，0）到（t，y）（其定义在附录A中重新命名）：~dt（x，y）：=PX（0,0）→（t，y）≤ 十、, ~ωt（x，y）：=EZtInX（0,0）→（t，y）u≤xodu, 带（3.3）X（0,0）→（t，y）：=supu∈[0，t]X（0,0）→（t，y）u。通过X的空间和时间均匀性，在一般起点（s，z）的情况下，相应的量以~d和~ω×dt的形式给出-s（x）- z、 y- z） ωt-s（x）- z、 y- z） 。根据随机桥过程X（0,0），给出了~d和~ω的近似值→（n，q，y）（见附录A）如下：~D（n）q（x，y）：=PX（0,0）→（Γn，q，y）≤ 十、,~Ohm（n） q（x，y）：=E“ZΓn，qInX（0,0）→（Γn，q，y）u≤xodu#。我们推导出这些随机桥近似的下一个误差估计。推论3.3。让x，y∈ R和t>0。对于某些常数cdcω，对于所有正整数n，（3.4）~D（n）n/t（x，y）-~dt（x，y）≤Cdn，~Ohm（n） n/t（x，y）- ~ωt（x，y）≤Cωn.证明。由于XT的分布具有连续的密度pt（y）和s 7→~ds（x，y），s7→ ~ωs（x，y）和s7→ ps（y）是pt（y）>0的Cat s=t，在（3.4）中的估计值之后，将定理m 3.1应用于函数ST 7→~x（y）t→ ~ωt（x，y）pt（y）和t7→ pt（y）。4.数值说明：首次通过时间概率和占用时间为提供随机方法的数值说明，我们采用递归公式（见命题2.5）来近似路径相关泛函的以下期望：Psupu∈[0，t]X（0，X）→（t，y）u≤ ZEZtInX（0，x）→（t，y）u∈（a，b）odux=1，y=1.1，z=1.2，t=1，a=1.05，b=1.25，对于基本的L’evy过程x等于具有典型参数的HEJD过程的情况，详见表1。结果如表2和图1所示。

表2中列出了与aΓ（n，n）相对应的随机LΓevy桥的首次通过概率和预计占用时间的值——对于许多n值，固定时间T=1的随机性。我们还报告了通过应用理查森外推P1:nof阶数n得出的结果，使用了（3.2）中定义的第一个结果。相关绝对误差的对数如图1所示。根据Richardson外推后得到的P1:11的值计算误差，n=11级。根据经验，我们观察到，对于两种不同的泛函，未外推结果的误差衰减率（近似）是线性的，符合推论y 3.3中给出的理论误差界：事实上，对数-对数图中的普通最小二乘（OLS）回归线（深灰色）的斜率等于更多数值示例参见[44，第3章]。混合指数L’EVY模型的随机和递归方法9表1。本文中使用的模型参数。Kou模型的参数取自[32]，HEJD模型的参数取自[27]，MEJD模型的参数取自[13]（后两个模型的参数已使用我们的符号重新表示）。KOU H EJD MEJDσ0.2√0.042 0.2λ 3.0 11.5 1.0α+50 (5, 10, 15, 25, 30, 60, 80) (213.0215, 236.0406, 237.1139, 939.7441, 939.8021)α-25（5,10,15,25,30,60,80）（213.0215,236.0406,237.1139,939.7441,939.8021）p+0.3（0.05,0.05,0.1,0.6,1.2,1.9,6.1）* 0.51/λ（4.36515,1.0833，-5,0.0311,0.02045）p-0.7 (0.5, 0.3, 1.1, 0.8, 1, 4, 2.3) * 0.64/λ（4.36515,1.0833，-5,0.0311,0.02045）图1。

递归算法产生的结果绝对误差的对数（a）单侧首次通过概率和（b）HEJD过程下预期的占用时间为n的函数，其中n是递归中的步数。在每个子图中显示递归值和理查森外推值的误差。此外，还绘制了一系列结果的普通最小二乘估计（在未外推值的情况下，OLS线仅使用最后的s ix值进行估计）。子图（a）和（b）中暗线的斜率如下所示：-0.98和-分别为0.99。桥梁起点为1.0，终点为1.1，屏障水平为1.2，范围为（1.05,1.25）。在所有情况下，假设L’evy bri dge过程在时间0开始，在时间1结束。表1给出了使用的模型参数。-0.94 (-0.98）和-0.98 (-0.99）的情况下，根据HEJD模型，列维桥的首次通过概率（和预期占用时间）。此外，根据理论m 3.1中给出的理论误差估计，我们发现应用理查森外推会导致误差的衰减显著加快。通过比较两个路径相关泛函的预期误差图，我们注意到预期占用时间（对于给定的n）的对数误差是一致的，并且显著小于两者，这表明在这种情况下，随机化方法收敛得更快。这一特征可能与预期职业时间的更高平滑度有关。

最后，我们提到，我们计算了以解dn，qand为特征的克拉姆-伦德伯格方程的根Ohmn、 通过运用牛顿-拉斐逊方法。，我们研究了基于单精度拟合法计算根所产生的舍入误差，发现在这种情况下，计算出的根的精度高达1.0e-11.为了有效地近似L’evy桥过程的首次通过时间概率和预期占用时间，可以将本节中描述的程序与插值相结合：然后计算点网格的这些数量，并使用（线性）插值在实线R上构建后续f函数。10 ALEKSANDAR MIJATOVI\'C，MARTIJN PISTORIUS，JOHANNES Stolte表2。HEJD模型的单侧首次通过时间（FPT）概率和预期占用时间的近似值是递归（Pn）和理查森外推（P1:n）的函数，其中n是递归次数。假设桥梁起点为1.0，终点为1.1，屏障水平为1.2，范围为（1.05,1.25）。在所有情况下，假设L’evy电桥在时间0开始，在时间1结束。表1给出了使用的模型参数r。FPT概率预期占用时间PnHEJD P1:Nhjd n PnHEJD P1:Nhjd0。3006853 0.3006853 1 0.3680801 0.36808010.3617512 0.42281702 0.4142655 0.46045090.3911554 0.46353723 0.4322124 0.47193380.4084846 0.47346194 0.4415893 0.47113380.4198448 0.47353785 0.4473202 0.47074900.4278257 0.47209586 0.4511786 0.47083280.4337174 0.47132107 0.4539517 0.47087040.4382332 0.47114438 0.4560403 0.47086300.4417979 0.47117079 0.4576699 0.47085780.4446794 0.471206510 0.4589767 0.47085750.4470546 0.471217711 0.4600480 0.47085755.

插图：期权估值使用桥接抽样法通过插图的方式，我们接下来展示了通过使用表3中描述的马尔可夫桥接算法，在多个模型下对上、内障碍期权和范围注释进行估值而获得的数值结果（采用第4节中估算首次通过时间概率和预期占用时间的计算方法）。我们假设股票价格过程S={St，t∈ R+}根据具有混合指数跳变的Bates型s-tochasticvolatility模型演化。因此，过程由指数模型ST=exp{Yt}，t指定∈ R+，其中原木价格过程Y={Yt，t∈ R+}满足随机微分方程=u -Ztdt+p | Zt | dBt+dJt，Y=x，（5.1）dZt=κ（δ- Zt）dt+ξp | Zt | dWt，t∈ R+，Z=v，（5.2）其中x a和v是严格正的，（B，W）是一个与n参数ρ相关的二维布朗运动，JT是一个独立的复合泊松过程，强度λ和跳跃大小按照混合指数分布F和平均值m分布。模型的参数κ、δ和ξ是正的，代表波动率的平均反转速度，长期波动性水平和波动性参数的波动性。参数u设置为u=r- Q- λm，确保力矩条件[exp{Yt}]=exp{r- q） t+Y}表示所有非负t，其中常数r和q为非负常数，代表无风险回报率和股息率。在这种情况下，它保持着{e-（r）-q） tSt，t∈ R+}是一个鞅。没有证据表明选择κ和ξ等式为零会产生混合指数跳跃扩散过程。举个例子，我们考虑了一个向上通话（UIC）选项和一个范围注释（RN）。