混合指数Levy模型的随机和递归方法，

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英文标题：
《Randomisation and recursion methods for mixed-exponential Levy models,
  with financial applications》
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作者：
Aleksandar Mijatovic, Martijn Pistorius, Johannes Stolte
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  We develop a new Monte Carlo variance reduction method to estimate the expectation of two commonly encountered path-dependent functionals: first-passage times and occupation times of sets. The method is based on a recursive approximation of the first-passage time probability and expected occupation time of sets of a Levy bridge process that relies in part on a randomisation of the time parameter. We establish this recursion for general Levy processes and derive its explicit form for mixed-exponential jump-diffusions, a dense subclass (in the sense of weak approximation) of Levy processes, which includes Brownian motion with drift, Kou\'s double-exponential model and hyper-exponential jump-diffusion models. We present a highly accurate numerical realisation and derive error estimates. By way of illustration the method is applied to the valuation of range accruals and barrier options under exponential Levy models and Bates-type stochastic volatility models with exponential jumps. Compared with standard Monte Carlo methods, we find that the method is significantly more efficient.
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中文摘要：
我们发展了一种新的蒙特卡罗方差缩减方法来估计两种常见的路径依赖泛函的期望：集合的首次通过时间和占用时间。该方法基于列维桥过程集合的首次通过时间概率和预期占用时间的递归近似，部分依赖于时间参数的随机性。我们建立了一般Levy过程的这种递归，并导出了混合指数跳跃扩散的显式形式。混合指数跳跃扩散是Levy过程的一个稠密子类（在弱近似意义下），包括带漂移的布朗运动、Kou的双指数模型和超指数跳跃扩散模型。我们给出了一个高精度的数值实现，并得出了误差估计。通过举例说明，该方法被应用于指数Levy模型和具有指数跳跃的Bates型随机波动率模型下的区间应计项目和障碍期权的估值。与标准蒙特卡罗方法相比，我们发现该方法的效率显著提高。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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关键词：Levy Applications illustration Differential Quantitative

随机和递归方法形成固定指数L’EVY模型，金融应用Aleksandar MIJATOVI’C，MARTIJN PISTORIUS，JOHANNES Stolter摘要。我们开发了一种新的蒙特卡罗方差缩减方法来估计两种常见的路径依赖泛函的期望值：第一次通过时间和集合的占用时间。该方法基于L’evy桥过程集合的首次通过时间概率和预期占用时间的递归近似，部分依赖于时间参数的随机性。我们建立了一般L’evy过程的这种递推，并导出了混合指数跳跃扩散的解释形式。混合指数跳跃扩散是L’evy过程的一个稠密子类（在弱近似意义下），包括带漂移的布朗运动、Kou的双指数模型和超指数跳跃扩散模型。我们提出了一种高精度的数值实现方法，并给出了误差估计。通过举例说明，该方法被应用于指数L’evy模型和具有指数跳跃的Bates型随机波动率模型下的区间应计项目和障碍期权的评估。与标准蒙特卡罗方法相比，我们发现该方法更有效。关键词：L’evy桥过程、带跳跃的s-tochastic波动模型、首次通过时间、占用时间、混合指数跳跃扩散、马尔可夫桥抽样、连续Euler-Maruyama方案。理学硕士2010:65C051G60。1.介绍动机和简要说明。用于估计马尔可夫过程ξ和视界T>0的给定函数F的期望值[F（T，ξ）]的马尔可夫桥抽样方法由M个独立副本（ξ（i）T，…，和，ξ（i）tN），i=1，M，在网格tN={0=t<t<。

<tN=T}：（1.1）E[F（T，ξ）]≈MMXi=1eF（ξ（i）t，ξ（i）tN），其中ef（ξt，…，ξtN）表示条件期望E[F（t，ξ）|ξt，…，ξtN]的正则形式。该方法的名称来源于这样一个事实，即在值（ξt，…，ξtN）的条件下，随机过程{ξt，t∈ [ti，ti+1]}，对于i=0，N- 1，在法律上等同于马尔可夫桥过程。（1.1）中的估计量是无偏的，其方差严格小于标准蒙特卡罗估计量，这是条件期望的幂性质和条件方差公式的结果。马尔可夫桥抽样方法的优点是，它允许生成的路径满足所需的精度水平，并且可以与重要性抽样相结合。这种桥接方法特别适合于评估路径依赖泛函的期望值（例如，参见[12]）。由于函数F在闭合或分析跟踪表形式中一般不可用，因此马尔可夫桥方法的可行性取决于有效逼近函数F的能力。在本文中，我们推导了一种有效的日期近似方法：2018年10月13日确认。我们感谢编辑和一位匿名推荐人，以及Dan Crisan、Lane Hughston、Antoine Jacquier、FelicityParce、Vladimir Piterberg、Johannes Ruf、David Taylor和Josef Tei Chman，他们是全球衍生品交易与风险管理——巴塞罗那（2012年）、第七届单身金融学会世界大会——悉尼（2012年）的与会者，伦敦英佩里尔学院的金融与随机学研讨会（2011年）和约翰内斯堡威特沃特斯兰德大学的卫星研讨会（2011年），提供有用的意见。JS得到了EPSRC DTA资助和博士学位资助（参考编号：。

D/11/42213）。2 ALEKSANDAR MIJATOVI\'C，MARTIJN PISTORIUS，JOHANNES Stolter根据集合的占用时间和首次通过时间给出的某些路径依赖泛函的条件期望，这是通过在一个独立的随机时间内，以较小的方差，用过程的规律来近似桥接过程的规律来实现的。由于当ξ是一个混合e指数L′evy过程时，后一个定律在分析上是可处理的，因此我们可以开发一种马尔可夫桥蒙特卡罗方法来估计相应的期望e[F（T，ξ）]。为了展示模拟方法的潜力，我们将该方法扩展到二维马尔可夫环境，并在贝茨模式l[7]的一个版本下，将该方法部署为数值近似两个常见的路径依赖导数、载体期权和范围累积值，这是一个带有跳跃的随机波动率模型的例子，在金融建模中广泛使用，我们参考[22,16]作为背景。文献综述。在文献[20,39,41]中，存在许多桥抽样方法，用于处理ξ是一维L’evy过程的情况。在[20]中，基于停止的L’evy过程的短时渐近性，为实值L’evy过程开发了一种自适应桥采样方法。通过对跳跃骨架进行调节，并利用布朗桥最大值分布的显式形式，在[39]中介绍了跳跃差异下的载体期权定价的模拟方法，在[41]中给出了该算法的一个优点以及该算法在公司债券定价中的应用。

[9]中设计并分析了一种用于生成部署布朗桥的扩散样本路径的exac t模拟算法。已经发展了几种替代方法来逼近依赖于时间的泛函，通常基于SDE解的弱或强（路径）近似。在差分设置中，各种强近似和弱近似方案的经典处理如[31]所示。最近，一般路径相关泛函的逼近问题在L’evydriven SDE中也受到了关注。在[17]中，针对在上确界范数下Lipschitz连续的L’evydriven SDE的路径依赖泛函，开发了一种多级蒙特卡罗算法，并确定了误差界。该算法基于驾驶L’evy过程的近似值，该近似值由一个布朗运动替代小跳跃而形成，如[4]中所研究的。采用一种不依赖于布朗小跳近似的替代方法，在[33]中开发的蒙特卡罗方法[19]中提出了一种多层扩展，用于估计最终值的Lipschitz函数和实值L＠evy过程的运行最大值。[17,19]的分析中没有包括一些在各种应用中感兴趣的泛函，因为它们不能满足Lipschitz条件。本文中我们预先提出的桥方法在两种情况下提供了近似值，即运行最大值的分布和集合的预期存储时间。桥泛函的近似。如上所述，马尔科夫布里奇方法发展的一个关键步骤是有效逼近条件期望SEF。

一般来说，此处考虑的马尔可夫过程的转移概率并不明确可用，第一步是通过其连续时间Euler-Maruyama（EM）方案来近似所讨论的马尔可夫过程。在随机波动率模型下，使用连续时间EM方案对路径相关泛函的期望进行近似，是基于马尔可夫过程的驾驭性质，该性质表明，对于任意两个时期，在这两个时期之间，马尔可夫过程的值集合与此区间外的t值无关，以tand t处的过程值为条件。不认为从位置x开始并在地平线t处取y值的L’evy过程等于从（0，x）到（t，y）的L’evy桥过程，我们讨论了评估L’evy桥的路径依赖函数的经验的问题。随机方法和递归。我们提出的L’evy电桥量的近似方法部分基于时间参数的随机性。这种随机化方法最初是在[14]中为美式看跌期权的估值而开发的，在风险理论中被称为Erlangisation[1，第IX.8章]。该方法已在[2]中用于有效计算破产概率，并在[5,11,30,33,35,36]中用于评估美式期权和障碍期权。这种随机化方法是混合指数L’EVY模型的随机化和递归方法，基于这样一个事实，即根据拉格数定律，平均值为t的独立指数随机变量的平均值收敛到t。n个这样的指数随机变量的平均值在分配到伽马（n，n/t）随机变量Γn，n/t上相等，它有均值t和方差t/n。

如[18，Ch.VII.6]中所观察到的，连续有界函数f在t>0时的值f（t）o的近似值是在r和om时间Γn，n/t估计的f的期望值[f（n，n/t）]渐近精确的：s inc eΓn，n/t在t处收敛到一个点质量，因此期望值e[f（n，n/t）]随着n趋于一致而收敛到f（t）。关于收敛速度，Γn，n/t的PDF形式表示，在f是Cat t的情况下，误差E[f（Γn，n/t）]- f（t）在1/n中是线性的，符合[2，定理6]，而且，如果函数f是C2kat t，则E[f（Γn，n/t）]包含以下展开式：E[f（Γn，n/t）]- f（t）=kXm=1米（t）Nm+o（n）-k） 作为n→ ∞,对于某些功能b，bk（在下面的定理3.1中给出）。我们将这种展开式应用于函数f（t），它等于生活在时间间隔L[0，t]上的L’evy桥的独立泛函的经验。我们不认为[f（Γn，n/t）]等于l’evy过程X在独立随机时间下的相应路径函数l的期望，该时间在分布上等于Γn，n/t。对于我们考虑的路径依赖函数（即集合的第一个消息时间和占用时间），相应的函数有效地是光滑的，因此，理查森外推法的使用是完全合理的。它进一步认为（见定理A.4），密度函数Dn（x，y）和Ohmn（x，y），n∈ N、 由Dn给出，q（x，y）dy=P（xΓN，q≤x、 xΓn，q∈ )及Ohmn、 q（x，y）dx dy=EhRΓn，qI{Xu∈dx，XΓn，q∈dy}duicorres积水到一个随机视界Γn，n/t满足以下x，y的递归∈ R和n∈ N:Dn+1，q（x，y）=Zx-∞Dn，q（x）- w、 y- w） D1，q（x，w）dw，max{y，0}≤ x、 （1.2）Ohmn+1，q（x，y）=Z∞-∞[Ohm1，q（x，w）un，q（y）- w） +Ohmn、 q（x）- w、 y- w） u1，q（w）]dw，（1.3），其中un，qis是随机变量XΓn，q的概率密度函数。

对于密集型混合指数L'evy过程（见下文定义2.1），我们给出了这些递归的显式解。通过数值说明，该方法适用于该类中的许多模型，数值结果见第4节，确定了理论预测的误差衰减率。我们观察到，基于SMALL数（大约十个）递归步骤的理查森外推法已经非常精确。马尔科夫布里奇方法。随后，我们将这些近似值与连续时间EMF方案相结合，以估计具有跳跃的随机波动过程集合的首次通过时间和占用时间对应的条件期望SEF。为了说明该方法的有效性，我们使用提出的马尔可夫桥蒙特卡罗方案，在贝茨模型下评估了障碍期权和范围注释，并在第5节中报告了结果。在屏障选项的情况下，我们在数值上发现的误差衰减率与[24]中针对消除扩散过程建立的相应误差估计值一致。目录本文件的其余部分组织如下。第2节推导了混合指数L’evy过程的首次通过概率和预期占用时间的显式表达式。第3节介绍了误差估计，第4节给出了数值说明。第5节介绍了一种基于随机抽样方法的马尔可夫桥抽样方法和数值说明。递归（1.2）和（1.3）的证明推迟至附录A.4 ALEKSANDAR MIJATOVI\'C，MARTIJN PISTORIUS，JOHANNES STOLTE2。

混合指数L’evy模型的最大占用时间我们在本节中表明，（1.2）和（1.3）中的递归在L’evy过程X是混合指数跳跃扩散的情况下允许显式解，接下来我们将重新定义。定义2.1。（i） 如果一个随机变量的PDF f由f（x）=m+Xi=1p+iα+ie给出，则它具有混合指数密度-α+ixI（0，∞)（x） +m-Xj=1p-jα-日本脑炎-α-j | x | I(-∞,0）（x），其中（2.1）m±Xk=1p±k=q±，q++q-= 1和- α-M-< · · · < -α-< 0<α+<··<α+m+。（ii）L’evy过程X={Xt，t∈ R+}是一个混合指数跳跃扩散（MEJD），如果它的形式为xt=ut+σWt+NtXi=1Ui，（2.2），其中u是实数，σ是严格正的，W是标准布朗运动，N是强度为λ的泊松过程，跳跃大小{Ui，i∈ N} 具有混合指数密度的re IID。这里，集合w={Wt，t∈ R+}，N={Nt，t∈ R+}和{Ui，i∈ N} 他们是独立的。备注2.2。（i） 包括Def。2.1额外的限制是，权重p±K为非负，L’evy过程为超指数跳跃扩散（HEJD）。虽然HEJD过程在具有完全单调L’evy密度的所有L’evy过程类中是稠密的，但在概率测度弱收敛的意义上，所有L’evy过程类中混合指数跳变的组合是稠密的（se e[10]）。（ii）参数{p±k，k=1，…，m±}不能任意选择，但需要满足一个限制，以保证f是PDF。f成为PDF的必要和充分条件为P±>0，m±Xk=1p±kα±k≥ 0，和l=1。。。，m±：lXk=1p±kα±k≥ 分别为0。有关这些结果和改变自然条件的证据，请参见[6]。

在第5节中，我们将施加附加条件α+>1，以确保对于任何非负t，指数L’evy过程St=exp{Xt}的经验E[St]是有限的。（iii）可以使用接受-拒绝方法（见[40]）从混合指数分布中提取样本，并将双指数分布作为仪器分布。双指数密度乘以一个常数将主导原始混合指数密度。在下一节中，该方法用于获得蒙特卡罗结果。（iv）由于σ是严格正的，假设A.1满足MEJD程序的X和XΓn，q，n∈ N、 q>0，有引理a.3给出的密度。从MEJD过程X的定义可以直接验证特征指数ψ（s）=- loge[eisX]是形式为ψ（s）=-ius+σs- λm+Xi=1p+iα+iα+i- is+m-Xj=1p-jα-jα-j+是- 1., s∈ R.随机时间Γ1，qan和函数D1，qand的X、运行上确界和运行下确界X的分布Ohmqc可以用根{ρ+k，k=1，…，m++1}和{ρ-k、 k=1，M-+ 1} 用克莱姆-伦德伯格方程（2.3）的正实部和负实部q+ψ(-is）=0，q>0。混合指数L′EVY模型的随机和递归方法-qc可以明确识别。众所周知，ψ+q（θ）和ψ-q（θ）在半平面上既没有零也没有极点{I（z） >0}和{I（z） 分别<0}，作为ψ+qan和ψ-q表示分别在正半线和负半线上支持的不可整除分布的特征函数（见[42，第9章]）。