混合指数Levy模型的随机和递归方法，

根据套利原理，UIC期权和RN在时间0时的值由UIC（K，H）=Ehe给出-rT（圣- K） +I{sup0≤T≤TSt>H}i，RN（a，a）=E“E-rT·CTZTI{a≤苏≤a} du#，其中K是履约价格，H是壁垒水平，C是名义价格，a和a分别是区间的下限和上限。混合指数L’EVY模型的随机和递归方法115.1。马尔可夫桥抽样法。第一步是通过在等距划分tn上采用过程（Y，Z）的Euler-Maruyama近似值（可表示为asY′τn+1=Y′τn）的具有分段常数漂移和波动性的过程来近似对数pric e过程Y+u -Z′τnn+q|Z′τn|Wn+Jn，Y′=x，（5.3）Z′τn+1=Z′τn+κ（δ- Z′τn）n+ξq|Z′τn|n的Bn，Z′=v，（5.4）∈ N\\{0}，带有Wn=Wτn+1-Wτn，Bn=Bτn+1-Bτn，Jn=Jτn+1-Jτn，和n=τn+1-τn=T/n。关于该格式的强收敛性和弱收敛性的结果，见[26,29]。马尔可夫桥抽样方法基于连续时间Euler-Maruyama近似Y′，而不是（分段常数）近似（Z′τn）n∈（5.4）中给出的NdZ不变。我们得到了近似值Y′t=Y′τn+u -Zτn（t）- τn）+q|Z′τn|（Wt- Wτn）+（Jt- Jτn，（5.5）Z′t=Z′τn，（5.6）对于t∈ [τn，τn+1]。观察到，通过这种插值选择，它认为，以随机变量Z′τn的值为条件，过程{Y′t-τn，t∈ [τn，τn+1]}是一个L′evy过程，对于每个n=0，N-1.表3总结了bridgesampling算法。表3。逼近E[F（T，Y，Z）].0的桥接采样算法。修正M，N∈ N s u f i c i N t l a r g e.1。样本M IID c o p i e sξ（1），ξ（M）来自Y′τ，Z′τ，Y′τN，Z′τN,2.评估e s t i m a o rMPMi=1eF（N）ξ（i）,其中ef（N）（y，z，…，yN，zN）=EF（T，Y′，Z′）Y′τ=Y，Z′τ=Z，Y′τN=yN，Z′τN=zN.备注5.1。

ab ove算法中的选择N=1对应于单个大步布里奇采样的情况，这是用于产生第4节中报告的结果的算法版本。接下来，我们重点讨论桥抽样方法在两个路径相关泛函的期望近似中的应用，这两个函数是根据Yas的最大运行时间和占用时间给出的：FS（T，Y，Z）：=g（YT）I{YT≤a} ，a>0，其中yt：=sup{Ys:s≤ t} ，FO（t，Y，Z）：=ZTg（Ys）ds，对于某些函数g:R+→ R.泛函Fs和fo将下列乘法和加法成分分成只涉及过程Yi的部分-1，i:={Yt+τi-1，t∈ [0，τi- τi-1] }，对于i=1，N:FS（T，Y，Z）=g（YT）NYi=1F（i）S（Y，Z），F（i）S（Y，Z）=Insups∈[τi-1，τi]Ys≤ao，FO（T，Y，Z）=NXi=1F（i）O（Y，Z），F（i）O（Y，Z）=Zτiτi-1g（Ys）ds。12 ALEKSANDAR MIJATOVI\'C，MARTIJN PISTORIUS，JOHANNES Stolte表4。图2和表5中使用的广义贝茨模型的模型参数、向上和向内看涨期权和范围票据的到期日、行权、障碍和现货水平及范围（跳跃参数如表1所示）。κδξρvkh（a，a）srdt1。0.1 0.2-0.5 0.07 100 120（1.15,1.35）100 0.05 0.0 1.0这些分解反过来意味着条件期望sef（N）S（y，z，…，yN，zN）：=EFS（T，Y′，Z′）Y′τ=Y，Z′τ=Z，Y′τN=yN，Z′τN=zN,（5.7）eF（N）O（y，z，…，yN，zN）：=EFO（T，Y′，Z′）Y′τ=Y，Z′τ=Z，Y′τN=yN，Z′τN=zN（5.8）可以通过L’evy桥接过程来表达，如下所示。提议5.2。对任何人来说∈ N下列分解成立：eF（N）S（（y，z），（yN，zN））=g（yN）NYi=1eF（i）S（yi-1，易，子-1） ，（5.9）eF（N）O（（y，z）。

，（yN，zN））=NXi=1eF（i）O（yi）-1，易，子-1） ，（5.10）其中函数x 7→eF（i）S（x，y，z）和x7→eF（i）O（x，y，z）由eF（i）S（x，y，z）=E给出我小吃≤L（0，x）→(,y） ，是≤A.,eF（i）O（x，y，z）=E“zGL（0，x）→(,y） ，是ds#，带有 = T/N，其中L（0，x）→(,y） Ide指出了从（0，x）到(, y） ，其基础L’evyprocess L（i）在法律上等同于Yi-1，关于Zτi的i条件-1=z，Yτi=x。由于L’evy过程的控制特性、L’evy桥的定义以及L’evy过程在时间上是同质的这一事实，这种分解是成立的。5.2. 带跳跃的贝茨型随机波动模型。通过（5.3）-（5.6）中的EM方案近似贝茨型模型的对数价格过程Y，并使用递归算法（如第4节）计算过程Y′的首次通过时间概率和预期占用时间，在具有双指数跳跃和超指数跳跃的Heston模型和Bates模型下，我们得到了向上和向内看涨期权和区间e票据的近似值。我们使用表3中的算法，在均匀网格Υ上使用1000万条路径（M=10），对于i=0，1，…，n=2步。。。，10.我们使用n=7步的递归，通过在点网格上计算函数bF（i）S（x，y，z），并使用（三线性）插值获得网格外函数值的近似值，来近似函数bF（i）S（x，y，z）。通过比较，我们还报告了标准（离散时间）Euler-Maruyama近似（具有1000万条路径和不同数量（等距）时间步）得到的结果。对于图2中显示的结果，我们将N=1024对应的值作为true值，并计算与该值相关的所有其他结果的绝对误差对数。

为了估计误差衰减率，我们在图中加入了普通最小二乘回归线。我们发现的具有双指数和超指数跳跃的Heston模型和Bates型模型的Olsline斜率为-1.03, -1.02和-1.04在向上和向内看涨期权的情况下，以及-1.36, -0.96和-1.02，在量程注释的情况下，表示误差的衰减率，该衰减率与步数的倒数成线性关系。混合指数L’EVY模型的随机和递归方法13（A）向上和在看涨期权（b）范围内注图2。在对数刻度上绘制的Heston和Bates型模型下，向上和向内障碍选项和范围注释的值与时间步数N的绝对误差。参数如表1和表4所示。通过比较，我们还对三个模型的每一个都实施了标准（离散时间）Euler Maruyama方案，并发现OLS线对应的三个斜率等于-在向上和向内看涨期权和向上看涨期权的价值为0.48的情况下-如果是范围注释的值，则为1.00。这些结果表明，在UIC选项的情况下，对于时间步数倒数的误差函数的衰减，只有平方根速率成立，而不是线性速率，这符合众所周知的事实，即圆盘-网状时间EM方案的强阶为0.5，而且，对于killed-diffusion模型，离散时间EM格式的弱误差被证明是有界于常数乘以N-1/2在系数和支付函数的适当规律性假设下的时间步数N（见[24，Thms.2.3，2.4]）。附录A。

L′evy bridgeLet X={Xt，t的极大值和占用时间的递归证明∈ R+}是一个L'evy过程（一个具有平稳和独立增量的随机过程，以及具有左极限的右连续路径，X=0），定义在一些过滤概率空间上(Ohm, F、 F，P），当e F={Ft，t∈ R+}表示X.Werefer[34,42]生成的完整的右连续过滤，用于L’evy过程理论的一般处理。为了避免泛化，我们在这个问题中排除了|X |是从属的情况。考虑中的桥接方法涉及随机桥接过程，可以非正式地描述为在某些独立的随机时间条件下取给定值的过程，其定律等于X。从形式上讲，这样一个过程可以通过调用条件分布和分解存在的一般结果来构建（见Kallenberg[28，Thms.6.3,6.4]）。更具体地说，让这个过程的三元组（X，τ，τ）等于X和独立的随机时间τ，τ和τ≤ τ定义在Borel空间D×U上，它是rcll函数的Skorokhod空间D和空间U=R+的乘积。

然后，通过分解，我们得到一系列条件定律，条件是（η，η）：=（Xτ，Xτ）的不同值，可用于定义随机桥过程，起点（τ，y）和终点（τ，y）为{X（s+τ）∧τ、 s∈ 对于（η，η）的几乎所有实现（y，y）。在L’evy过程X的正则性假设下，对于随机时间的特定选择，前一段图中的构造可以扩展到（η，η）的所有实现，参考[15]中的结果，其中最近提供了弱连续性结果和Mar-kov桥的路径构造（也可参见[45]中关于L’evy过程的情况，条件是保持正值）。14 ALEKSANDAR MIJATOVI’C，MARTIJN PISTORIUS，JOHANNES STOLTETable 5。（i）买入期权和买入期权以及（ii）区间票据的不同蒙特卡罗方法（所有方法均使用反向变量和100万条路径）的比较。随机波动率参数和衍生合约参数如表4所示，跳跃参数如表1所示。在“时间”栏中，以秒为单位报告运行时间（尤其包括找到Cram’erLundberg方程根的时间）。连续时间EM方案使用n=7个递归步骤（对于屏障选项）计算的相应随机桥接过程的首次通过时间概率，以及使用n=5个递归步骤（对于范围注释）计算的相应随机桥接过程的预期占用时间来运行。

获取表中标有+和+的值*我们分别使用了精确的布朗桥概率和数值积分。Heston Bates（Kou）Bates（HEJD）Steps Middpoint（误差）Time Middpoint（误差）Time Middpoint（误差）Time Middpoint（误差）Time Middpoint（误差）Time Middpoint（误差）TimeBarrier Option离散时间EM 100 12.755（±0.0389）7.9 13.333（±0.047）9.1 15.358（±0.0483）9.8离散时间EM 1000 12.866（±0.0388）80 13.432（±0.046）88 15.387（±0.0481）离散时间EM 10000 12.935（±0.0387）789 13.467（±0.048）连续时间12.948（±0.0387）18 13.468（±0.0406）20 15.457（±0.0482）82连续时间EM 1000 12.956（±0.0388）163 13.534（±0.0408）165 15.478（±0.0482）233连续时间EM+1000 12.951（±0.0388）125Range note离散时间EM 100 15.352（±0.0373）8.4 15.374（±0.0367）9.1 15.387（±0.0354）10离散时间EM 1000 15.71（±0.0381）离散时间EM 100.352（±0.0395）离散时间EM 980.03910000 15.288（±0.0371）793 15.304（±0.0365）928 15.286（±0.0351）1079连续时间EM 10 15.177（±0.0367）54 15.237（±0.0362）68 15.255（±0.035）132连续时间EM 100 15.288（±0.0371）114 15.294（±0.0365）126 15.327（±0.0352）364连续时间EM*100 15.288（±0.0371）1491假设A.1。Levy过程X满足可积性条件（A.1）ZR\\(-1,1）dθ|ψ（θ）|<∞,式中，ψ是X的特征指数，X是函数ψ：R→ C满足标识[exp（iθXt）]=exp(-tψ（θ））对于所有θ∈ R和t∈ R+。作为随机时间，我们考虑伽马随机变量Γn，q，n∈ N、 q>0，平均N/q和方差N/qt独立于X。我们假设这对（X，ΓN，q）定义在乘积空间上(Ohm ×R+，FB（R+，P×P）。为了简化符号，我们在续集P中使用了乘积度量P×P。它来自佐藤[42，道具。

28.1]在假设A.1下，XΓn，qan和Xt，t>0在P下的分布允许连续密度：引理A.2。让假设A.1保持不变。（i） 然后对于任何q>0和n∈ N随机变量XΓN，qhas adensity un，qt是连续且有界的。（ii）对于任何t>0，xT允许有界密度p（t，x）在（t，x）中连续∈ (0, ∞) x R.在假设A.1下，可以定义任意x，y从（0，x）开始，在（Γn，q，y）结束的随机L’evy桥过程∈ R.我们首先从[15，定理1]中回忆起，在假设A.1下，对于nyt>0和x，y∈ R使得p（t，y）- x） 大于0时，概率空间上存在马尔可夫过程(Ohm, F、 P），用X（0，X）表示→（t，y）={X（0，X）→（t，y）u，u∈ [0，t]}，从时间0开始。s、 ，等于t a.s.时的y，并满足解体性质。过程X（0，X）→（t，y）={X（0，X）→（t，y）u，u∈ [0，t]}被称为从（0，0）到（t，y）的勒维桥过程。接下来，我们将定义在伽马随机时间和给定执行点固定的L’evy桥过程。对于任何一对x，y∈ R与un，q（y）- x） >0，随机L’evy桥过程x（0，x）→（Γn，q，y）=混合指数L′EVY模型的随机和递归方法15{X（0，X）→（Γn，q，y）t，t∈ R+}从（0，x）开始，固定在（Γn，q，y）是样本路径t7的随机过程→ X（0，X）→（s，y）t∧s（ω）对于样本空间中给定的实现（ω，γ），s=Γn，q（γ）Ohm ×R+。进程x（0，x）→（Γn，q，y）满足崩解性质（可以通过[15，Theo-rem 1]中给出的类似推理线来显示），因此在法律上等同于本节第二段中描述的构造所获得的相应过程。

函数~D（1）q（x，y）和~D（1）q（x，y）表达式的推导~Ohm（1） q（x，y）部分基于以下关于假设a.1下两个相关函数的可微性的辅助结果（以下标准参数省略了对其的证明）。引理A.3。设任意一个假设为正。（i） 对于任何固定的x∈ R+，函数y7→ P（XΓ1，q）≤ x、 xΓ1，q≤ y） 在R及其导数y7上连续可微→ D1，q（x，y）是有界的。（ii）地图（x，y）7→ 欧尔Γ1，齐旭≤x} dui{xΓ1，q≤y} iis对于x和yin R是连续可微分的。对于x和y的混合导数由下式给出：Ohm1，q（x，y）代表x，y∈ R.函数D1、qandOhm1，qAdmin半解析表达式，可使用马尔科夫性质和X的维纳-霍普夫因式分解导出。我们记得（参见Bertoin[8，第六章]）X的维纳-霍普夫因式分解的概率形式表示（a）运行上数XΓ1，qa和下降量XΓ1，q- XΓ1，qof X在随机时间Γ1，qare独立，和（b）下降XΓ1，q- XΓ1，q1与跑步时的负数相同-XΓ1，q。维纳-霍普夫因子的概率形式意味着随机变量XΓ1，qi的特征函数等于特征函数ψ+qa和ψ的乘积-qofXΓ1，qand XΓ1，q，ψ+q（θ）=E[exp（iθXΓ1，q）]，ψ-q（θ）=E[exp（iθXΓ1，q）]。在下面的结果中，我们得出函数Dn，q，Ohmn、 qare定义良好并满足递归（1.2）-（1.3）：定理A.4。设q>0，n∈ 假设A.1成立。（i） 对于任何x∈ R+，函数y7→ P（XΓn，q）≤ x、 xΓn，q≤ y） 允许一个由Dn，q表示的连续有界密度。

此外，函数（x，y）7→ 伊恩，齐旭≤x} du I{xΓn，q≤y} iis在rw上连续可微，其有界混合导数表示为Ohmn、 q.（ii）函数Dn、qandOhmn、 q满足递归（1.2）-（1.3）。备注A.5。自固定过程X（0,0）→（Γn，q，y）是过程XΓn，q={Xu，u]的等式∈ [0，Γn，q]}在随机时间Γn，q和条件为n{XΓn，q=y}时停止，因此函数~D（n）q(~Ohm（n） q）等于Dn，q的比值(Ohmn、 q）和un，q，即Dn，q（x，y）=~D（n）q（x，y）un，q（y），Ohmn、 q（x，y）=ddx~Ohm（n） q（x，y）un，q（y），x∈ R+，y∈ R.定理A.4的证明。（i） X的强马尔可夫性和指数分布的无记忆性的若干应用XΓn，q≤ x、 xΓn，q∈ dy= Pτ+x≥ Γn，q，XΓn，q∈ dy= PXΓn，q∈ dy-nXk=1PΓk-1，q≤ τ+x<k，q，xΓn，q∈ dy= PXΓn，q∈ dy-nXk=1ZR+EhI{Γk-1，q≤τ+x<Γk，q}I{xτ+x∈dz}iP[z+XΓn-k+1，q∈ dy]，带Γ0，q:=0。采用测度rn的傅里叶变换形式，qx（dy）：=PXΓn，q≤ x、 xΓn，q∈ dy我们发现（A.2）Frx（s）=E[exp{isXΓn，q}]-nXk=1E[exp{isXΓn-k+1，q}]E[exp{isXτ+x}I{Γk-1，q≤τ+x<Γk，q}]s∈ R.16 ALEKSANDAR MIJATOVI\'C，MARTIJN PISTORIUS，JOHANNES Stoltes，因为（A.2）中的第二个因子由1和（A.3）E[exp（iθXΓn，q）]=qq+ψ（θ）n、 我们有| Frx（s）|≤Pnk=1Rqk | q+ψ（s）|-kds，纽约x∈ R+、q>0和n∈ N、 由假设A.1和界|q/（q+ψ（s））|确定≤ 1这适用于所有人∈ R.我们得出结论，对于任何x∈ R+，被测物，qx（dy）允许连续有界密度（由Sato[42，Prop.28.1]）。我们证明了EhRΓn，qI{Xu的所需差异性≤x} du I{xΓn，q≤y} 关于n的iby归纳。注意到n=1的情况遵循引理A.3（ii），我们接下来转到归纳步骤。因此，假设断言对于给定的n是有效的∈ N