限价订单市场中的有效价格动态：一个效用模型

在这种情况下，因为-κ′在增加，这是一种积极的禀赋休克H′>0会导致净流动性的正跳跃，换言之，除了S*.4.完整的市场4。1完整性条件这里，我们假设过滤{Ft}是由k维标准布朗运动W生成的。我们在下面指定的完整条件下解决RLD问题。为了简洁起见，我们设置了A=rds。设L是一组随机变量F，对于所有a>0，E[exp（a | F |）]<∞. 注意L是线性空间。我们假设G、H和S是L的元素。Let∏ybe是∏（G）的连续修改- y）和zyt=（Zy，1t，…，Zy，kt），Zy，it=-ddth∏y，wiitfory∈ Rd.本节的关键假设是存在mapZ：Ohm ×[0,1]×路→ 它具有以下特性：1。为了每个人∈ [0，1]，限制Z1[0，t]：Ohm ×[0，t]×Rd→ Rkis Ft B（[0，t]）×B（Rd）-可测量。2.存在Ohm∈ F和P(Ohm) = 1使得z（ω，t，y）=Zyt（ω）表示所有（ω，t，y）∈ Ohm×[0,1]×第3条。存在Ohm∈ F和P(Ohm) = 1使得Z（ω，t，y）对于每个（ω，t）在y中是连续的∈ Ohm× [0, 1].4. 存在一个mapY+：Ohm ×[0,1]×Rk→ Rd使得限制+|[0，t]：Ohm ×[0，t]×Rk→ Rdis Ft B（[0，t]） B（Rk）-可测量的e ach t∈ [0,1]并且存在Ohm∈ F和P(Ohm) = 1使得每个（ω，t，z）的z（ω，t，Y+（ω，t，z））=zf∈ Ohm×[0,1]×Rk。下面我们把这个假设称为完备性条件。通过考虑风险中性情况，对术语进行了调整；当γ=0且G和S是平方可积的时，则∏yt=E[G | Ft]+yE[S |Ft]=Zt（G′t+yS′t）由It^o表示定理确定，其中G′和S′是Rk值和Rd值的渐进可测过程 分别对Rk进行估值。

在这种情况下，资产价格在数量和ds上是线性的*t=S′tdWt。自那时起=-G′- yS′t，如果S′t将k列为d×k矩阵，并将左逆矩阵作为一个过程逐步测量，则满足完备性条件。另一个基本例子是G=a+bw和S=a+βWwitha∈ R、 b∈ Rk，α∈ RDA和β∈ 研发部 Rk。自∏t（G）- yS）=a- yα+（b- yβ）Wt-γ(1 - t）|b- yβ|，当且仅当β对y有秩k引理1时，完备性条件满足∈ SA，我们有i（Y）=G- π（G）-Zγ| ZYt | dt+ZZYtdWt，其中ZYt（ω）=Z（ω，t，Yt（ω））。证明：根据完备性条件，我们确定Zyt（ω）=Z（ω，t，y）。莱蒂∈ 萨。用0表示≤ τ<τ<·Y跳跃时的停止时间。对于足够大的n，我们有τn=1。记住Yτj+1是Fτj-可测的。注意i（Y）=G- π（G）- Y）-X0≤t<1∏t（G- YtS）- πt（G）- Yt+S））=G- πτ（G）-∞Xj=1（π（j）τj+1- 其中∏（j）=∏y，y=yτj+1。众所周知，（y，Zy）是倒向随机微分方程（BSDE）G的唯一解- yS=∏yt+Ztγ| Zys | ds-ZtZysdWs。要看到这一点，只要观察M=ex p就足够了{-γ∏y}是M=exp的局部鞅{-γ（G）- 然后，应用It^o表示定理。这种BSDE表示法意味着∏yt- ∏ys=Ztsγ| Zyu | du-Ztszyudwuan因此，结果如下////通过引理1，我们可以用z|ZYt|dt<∞几乎可以肯定-Zγ| ZYt | dt+ZZYtdWt∈ L.然后问题是找到一个最优策略∈ S.4.2 c=∞任何H的引理2∈ 五十、 这里有一个∈ 是这样的-H=π（G）- π（G+H）+I（Y）。证据：这是一个完美的对冲问题，相当于找到解决方案（V，Z）*) BSDEG+H=Vt+Ztγ| Z*s|ds-ZtZ*sdWs。与之前一样，这个二次BSDE允许vt=∏t（G+H），Z给出一个显式解*= （Z）*,1.

Z*,k） ，Z*,它=-威特，威特。根据完备性条件，我们可以定义一个逐步可测量的过程*是的*t（ω）=Y+（ω，t，Z）*t（ω））（8）到haveZY*= Z*.////根据引理2，有什么说法吗-策略Y完美地复制了H∈ 在完全条件下。复制的价格-H由p给出(-H） ：=π（G）- π（G+H）。（9） 这是凸面的-H、 这可以解释为流动性风险的分散。定理1如果c=∞, thenmaxY∈SU（H+I（Y））=U（H+I（Y）*)) = π（G+H）- π（G），其中Y*由（8）给出。证据：回忆一个著名的代表u（F）=infQ~PE[FdQdP]+cE[dQdPlogdQdP]对于c∈ (0, ∞). 接受极限c→ ∞, to haveU（F）=infQ~PE[FdQdP]=ess。对于任何有界随机变量F（参见Delbaen[6]）。这意味着瑟尔德极度厌恶风险，并试图将她的初始捐赠设定为几乎确定无疑。由引理2，H+I（Y）*) = π（G+H）- π（G）是常数，因此，supY∈SU（H+I（Y））≥ U（H+I（Y）*)) = π（G+H）- π（G）。假设存在Y∈ 她就是这样。inf（H+I（Y））>π（G+H）- π（G）。（10） 从那时起- I（Y）=∏（G）+Zγ| ZYt | dt-ZZYtdWt，我们有∏（G）- I（Y））=通过BSDE解的唯一性得出的∏（G）（11）。从这和（10）中，我们推导出一个矛盾：π（G）=π（G）- I（Y））<π（G+H）- （G+H）- π（G））=π（G）////4.3使用c<∞这里我们将定理1推广到c<∞. 首先，我们陈述了Barrieu a和El Karoui[4]中称为Borch定理的结果的一个版本。引理3如果c<∞, 那么对于任何G，H∈ 五十、 supF∈L{U（F）+∏（G+H）- F） }=U（F）*) + π（G+H）- F*) = U*（G+H），其中f*=γc+γ（G+H）和U*定义为（7）。证据：SinceF 7→ U（F）+∏（G+H）- F） 如果是凹形的，则必须观察=0{U（F）*+ X）+∏（G+H）- F*- X）}=0表示所有X∈ L.///定理2如果c<∞,麦克西∈SU（H+I（Y））=U（H+I（Y*)) = U*（G+H）- π（G），其中Y*是拜伊*t（ω）=Y+（ω，t，cc+γZ+t（ω）），Z+t，it=-ddthU+，Wiit，i=1。

，dand U+是对U的持续修改*（G+H）。证明：定义为H+I（Y*) = G+H- π（G）+cc+γ(-Zcγc+γ| Z+t | dt+ZZ+tdWt）。因为（U+，Z+）是BSDEG+H=U+t+Ztcγc+γ| Z+s | ds的解-ZtZ+sdWs，我们有H+I（Y*) =γc+γ（G+H）+cc+γU*（G+H）- π（G）。接下来是U（H+I（Y）*)) =γc+γU*（G+H）+cc+γU*（G+H）- π（G）=U*（G+H）- π（G）。这仍有待证明∈SU（H+I（Y））≤ U（H+I（Y）*)).和以前一样，我们有（11）个∈ 因此，U（H+I（Y））≤ U*（G+H）- π（G+H）- （H+I（Y））=U*（G+H）- 引理3的∏（G）////自c/（c+γ）→ 1等等，你*（G+H）→ π（G+H）as c→ ∞, 定理2扩展了定理1。如前一节所述，U*（G+H）是累计初始捐赠的累计效用。上述结果表明，最优风险分配（帕累托分配）是由动态阅读策略Y实现的*对于G，H将军∈ L在完备性条件下。4.4马尔可夫模型我们假设s=s（W），G=G（W），H=H（W）与Borel函数s:Rk相加→ RdG和h:Rk→ 提取一个更易于处理的最优策略结构。定义函数v:[0,1]×Rk→ R和P:[0,1]×Rk×Rd→ R asv（t，w）=-c+γcγ对数E“exp(-cγc+γ（G+H））Wt=w#，p（t，w，y）=-γ对数Ehexp-γ（G）- Y）Wt=wi。（12） 根据过滤假设，我们得到v（t，Wt）=∏*t（G+H），p（t，Wt，y）=∏t（G- Y）。（13） 众所周知，d、v和p是偏微分方程（以下简称PDE）的解五、t+五、-cγc+γ|五|= 0，v（1，w）=g（w）+h（w），Pt+P- γ|p|= 0，p（1，w，y）=g（w）- y s（w），在哪里 =kXi=1wi， =W干！。完整性条件可以重述如下：存在一个可测函数y+：Rk×[0,1]×Rk→ 因此- p（t，w，y+（w，t，z））=z（14）（z，t，w）∈ Rk×[0,1]×Rk。

定理1和定理2给出的最优策略是y*t=y+（重量，t，-cc+γv（t，Wt））。PT给出了有效价格、单位有效价格和有效价格凸度(-Y*t、 y）=p（t，Wt，y*（t）- p（t，Wt，Y*t+y），S*t=-P易（t，Wt，Y）*t） ，i=1，d、 Cijt=-P易yj（t，Wt，Y*t） ，i，j=1，d、 4.5 EIPU的波动性我们通过一个简单的例子来研究EIPU的波动性是如何通过模型参数来确定的。设k=d=1，G=gS，S=u+σWandH=aW+bW=aS- σ+bS- uσ!对于常数g，u，σ，h，a，b∈ R.我们假设c+γ+cγb>0，σ为0。虽然Hdoes不属于L，但不难看到前面的结果扩展到这个特定的模型。在这种情况下，S遵循正态分布，g+H=gu+（gσ+a）W+b | W |。很容易得到v（t，w）=gu+（gσ+a）w+b | w|-cγ（gσ+a+bw）（1）- t） c+γ+cγb（1- t） +c+γ2cγlog1+cγc+γb（1- t） ！，p（t，w，y）=（g- y） u+（g）- y） σw-γ（g）- y） σ（1）- t）。因此Pw（t，w，y）=（g）- y） σ，五、w=（gσ+a+bw）c+γc+γ+cγb（1）- t） 。因此，完整性条件满足，我们有*t=g-gσ+a+bWtσcc+γ+cγb（1- t） 。有效价格、EIPU和有效价格凸性由PT给出(-Y*t、 y）=y（u+σWt）+γσ（1）- t） n（g）- Y*T- y）- （g）- Y*t） 哦，S*t=u+σWt- γσ(1 - t） （g）- Y*t） =u+σ（c+γ）Wt- （gσ+a）cγ（1）- t） c+γ+cγb（1- t） ，Ct=γσ（1- t）。金融市场的波动性*因此被赋予了ddth*它=σ（c+γ）（c+γ+cγb（1- t） ）。波动率单调依赖于b，即-H a s的a函数。如果RLD必须对冲欧洲支付，则b为负，或等效-H是S的凸函数，那么在γ>0的情况下，波动率比在风险中性γ=0的情况下更大。

这意味着，在一个凸型收益对冲者占主导地位的市场中，经济信号被放大。4.6冲击波（12）中的每一个偏微分方程都是KPZ方程，通过在w中微分，我们得到了无旋流的（向后）Navier-Stokes方程Ut+u=cγc+γ|u |，u（1，w）=（g+h）（w），Qt+q=γ|q |，q（1，w）=（g）- Y）（w）代表u=v和q=当s、g和h是可区分的时。在k=1的情况下，它们是伯格方程Ut+Uw=cγc+γuUw、 u（1，w）=w（g+h）（w），Qt+Qw=γqQw、 q（1，w）=w（g）- y）（w）。（15） 已知Burgers方程的非平凡显式解；很容易看出u（t，w）=1- tanh（a（w）- （厕所）- a（1）- t），a=cγc+γ，是（g+h）（w）=w的溶液-a（cosh）a（w）- wc）））+b其中wc和b可以是任意常数。解决方案是独一无二的；见霍普夫[12]。如果b=-那么wc-（g+h）（w）→ 2（厕所）- w） +作为一个→ ∞. 因此，在g=0和S=u的情况下- σw常数为u，σ>0时，RLD的问题是对冲接近看涨期权的支付：-H≈σ（S）- (u - σwc+。满足完整性条件*t=σcc+γ五、w（t，Wt）=σcc+γ（1）- tanh（a（Wt）- （厕所）- a（1）- t）））。接下来就是*t=u- σWt+σ（1）- t） a（1）- tanh（a（Wt）- （厕所）- a（1）- t） ））。如果a=cγ/（c+γ）较大，函数u在w周围有一个陡峭的斜率- a（1）- t） =厕所。这意味着当Wt- a（1）- t） 接近WCO到cross0。0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0-101234T0。0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0-1 0 1 2 3 4图1:EIPU（红线）在因子过程中崩溃-W（黑线）遇到冲击波（最陡位置为蓝线）-厕所- a（1）- t） ）：u=0，σ=1，a=2，wc=-0.6.从下面看，艾普*表现出急剧下降。有关示例路径，请参见图1。这可以被解释为一种由债务冲击引发的资产价格危机。Burgers方程模拟流体动力学，已知会形成冲击波。

更准确地说，一个无粘性的Burgers方程可以形成一个具有奇点的冲击波。像（15）这样的粘性Burgers方程不会形成奇点，但可以形成陡峭的形状，因为作为→ ∞, 方程往往是无粘性的。与上述合法情况一样，当因子处理遇到冲击波时，EIPU将崩溃。冲击波没有奇点，但当a较大时，或等效地，当RLS和RLD都非常危险时，冲击波具有asteep斜率。对这个冲击波模型进行更详细的分析是值得的；这有待于未来的研究。动态规划原理。1.不完全市场我们展示了一个版本的动态规划原理在我们的问题中的适用性。设Dn={0，1/n，…（n- 1） /n}，整数n>0，用策略集Y表示∈ 萨苏Yt，只有当t∈ Dn。在这一节中，我们考虑U（H+I（Y））在Y的作用下的最大化∈ SnA。正如下面的引理所示，如果过滤{Ft}是离散的，就所有t而言，Ft=F[nt]/∈ [0，1）。这意味着信息只在离散时间集更新。引理4如果Ft=F[nt]/n对于所有t∈ [0,1]，然后是supy∈SAU（H+I（Y））=supY∈SnAU（H+I（Y））。证据：t∈ [j/n，（j+1）/n），τ=j/n，Pτ(-Yτ，η）+Pt(-Yτ- η、 y）=∏τ（Gm）- YτS）- πτ（Gm）- （Yτ+η））+πt（Gm）- （Yτ+η）S）- πt（Gm）- （Yτ+η+Y）S）=∏τ（Gm）- YτS）- πτ（Gm）- （Yτ+η+Y）S）=Pτ(-Yτ，η+Y），这意味着在时间τ购买η单位和在时间t购买Y单位相当于在时间τ购买η+Y单位////命题1用Vnt（x，z）递归定义{Vnt}=H+x- zS如果t≥ 1，supy∈A+zU[nt]/n（Vn（[nt]+1）/n（x）- P[nt]/n（z，y），-z+y）表示（x，z）∈ R×(-A） 。如果A是紧的，那么vn（0，0）=maxY∈SnAU（H+I（A））证明：首先注意Vn（x，z）在[j/n，（j+1]）上对于每个（x，z）和j=0，1- 1.

SinceU（F）=Uo U1/n··o U（n）-1） /n（F）对于任意随机变量F和u（j-1） /n（Vnj/n）(-X0≤t<j/nPt(-Yt，Yj/n）≤ Vn（j）-1） /n(-X0≤t<（j-1） /nPt(-Yt，Yt），Y（j）-1） /n）对于任何Y∈ sna和j=1，2。n、 我们得到vn（0，0）≥ supY∈SnAU（H+YS）-X0≤t<1Pt(-Yt，Yt）。另一方面，由于A是紧的，因此存在序列{Y*j} a适应于{Fj/n}，使得vn（0，0）=U（H+YS）-X0≤t<1Pt(-Yt，Yt=Xj≤[nt]Y*jby可测选择定理（见Parthasarathy[15]）////引理5设F为随机变量，t∈ Dn。定义一个sup卷积算子ψtasψt（F）=sup{Ut（F）- 五十） +t（L）；L∈ {∏t+1/n（G）- yS）；Y∈ A} 哦。然后，对于任何Ft可测的随机向量Z=（Z，…，Zd），supy∈A+ZUt（F）- πt+1/n（G+（Z- y） S+Pt（Z，y））=ψt（F）- πt（G+ZS）。证明：自∏t+1/n（G+（Z- y） S+Pt（Z，y））=πt+1/n（G+（Z）- y） S）+Pt（Z，y）=∏t+1/n（G+（Z）- y） S）+∏t（G+ZS）- πt（G+（Z- y） S）和∏t（G+（Z- y） S）=∏t∏t+1/n（G+（Z）- y） S），Ut（F）- πt+1/n（G+（Z- y） S+Pt（Z，y））+t（G+ZS）=Ut（F- πt+1/n（G+（Z- y） S））+t（t+1/n（G+（Z）- y） （S））。在y中取sup，我们得到了表示////命题2Vn（0，0）+∏（G）=ψo ψ1/no · · · ψ（n）-1） /n（G+H）。证明：注意vn（x，z）=H+x- zS=x+G+H- π（G+zS）。然后，应用前面的引理F=G+H，Vn（n-1） /n（x，z）=x+supy∈A+zU（n）-1） /n（F）- π（G+（z- y） S+P（n）-1） /n（z，y））=x+ψ（n-1） /n（F）- π（n）-1） /n（G+zS）。重复此操作以获取表示////5.2无再平衡解作为上述结果的直接应用，让我们考虑一个存在y的特殊情况*∈ 一个这样的人- Y*S=cc+γ（G+H），H+y*S=γc+γ（G+H）。例如，这表明G和H都与S成正比，而A则足够大。假设G是有界的。

应用递减结果，我们得到了Maxy∈SnAU（H+I（Y））=ψo · · · ψ（n）-1） /n（G+H）- π（G）。让我们观察一下，上确界由y=y获得*T∈ （0，1），Y=0。这意味着RLD购买Y*时间0时的证券单位，并将其保持到时间1。ψ（n）中的上确界-1） /n（G+H）=supy∈A{U（n）-1） /n（H+yS）+∏（n）-1） /n（G）- y）}由y获得*∈ A因为7→ U（n）-1） /n（H+yS）+∏（n）-1） /n（G）- yS）是凹面的yi{U（n）-1） /n（H+yS）+∏（n）-1） /n（（G）- )y=y*= 0对于所有i=1，d、 此外，我们还有ψ（n）-1） /n（G+H）=-c+γcγ对数E“exp(-cγc+γ（G+H））F（n）-1） /n#=c+γc∏（n-1） /ncc+γ（G+H）！。然后我们进入下一步。我们有ψ（n）-2） /n（ψ（n）-1） /n（G+H））=supy∈A{U（n）-2） /n（F）- π（n）-1） /n（G）- yS））+π（n）-2） /n（G）- )≤ 嘘∈L{U（n）-2） /2（F）- Π*- 五十） +π（n）-2)/2(Π*+ 五十） }，其中f=c+γc∏（n-1） /ncc+γ（G+H）！Π*= π（n）-1） /n（G）- Y*S） =π（n）-1） /ncc+γ（G+H）=cc+γFand L是∏（n）所跨越的线性空间-1） /n（G）- 是的，是的∈ A.功能7→ U（n）-2） /2（F）- Π*- L）+∏（n）-2)/2(Π*+ L）对于每个L是凹的∈ 由于C（F），L a及其在at=0中的导数消失- Π*) = γΠ*. 因此∈A{U（n）-2） /n（F- π（n）-1） /n（G）- yS））+π（n）-2） /n（G）- )≤ U（n）-2） /2（F）- Π*) + π（n）-2)/2(Π*)当y=y时，达到上限*. 因此我们得到ψ（n）-2） /n（ψ（n）-1） /n（G+H））=-c+γcγ对数E“exp(-cγc+γ（G+H））F（n）-2） /n#显然，这个论点可以重复，从而得出这样的结论：保持平衡的最佳策略是*从一开始就是单位。因此，最优策略是Y*t=y*对于t>0，这意味着Maxy∈SnAU（H+I（Y））=U（H+Y*s- P（0，y）*))= U（H+y）*S） +π（G）- Y*（S）- π（G）=U*（G+H）- π（G）。这扩展了（6），意味着实现了最佳风险分配。用Q表示由dqdp=ΓE[Γ]，Γ=exp定义的概率度量(-cγc+γ（G+H））。那么，S*t=E[S exp{-γ（G）- Y*S） }| Ft]E[exp{-γ（G）- Y*S） }| Ft]=EQ[S | Ft]。

（16） 此外，有效价格凸性与Q:Cijt=EQ[SiSj | Ft]下S的条件协方差矩阵一致- EQ【Si | Ft】EQ【Sj | Ft】。我们可以用这些简单的表达式来表示S*因为最优策略是买入并持有型。S、G和H上的有界条件可以放宽。由于（16）的原因，该框架支持数学金融的标准模型。例如，如果d=1且=u+σW，H=αS，G=β，则具有标准布朗运动W和常数α，β，u∈ R和σ>0，我们得到了Bachelier模型*t=cγc+γ（α+β）σdt+σdWt，S*= u -cc+γ（α+β）σ。如果d=1且=ζeσW，G=ασW- H、 H=γc+γασW-uc+γ开关常数α，u∈ R和σ，ζ>0，那么我们有Y*t=u/（c+γ），并获得Black-Scholes模型*t=cγc+γασS*tdt+σS*tdWt，S*= ζexp（σ）-cγc+γα！）。5.3完整的马尔可夫模型在这里，我们根据动态规划原则重新考虑第4.4节的框架。我们的目的是通过让n→∞. 过滤{Ft}由k维{Ft}标准布朗运动W生成。我们假设a是一个紧集，且函数为s:Rk→ Rd，g:Rk→ R和h:Rk→ 这里我们假设导数的有界性和一致连续性五、T五、wi，五、wiwj，PTPwi，Pwiwj，i，j=1，k、 对于第4.4节中定义的p和v。在完备条件（14）下的引理6，limn→∞n maxt∈Dnkv（t，Wt）- ψt（v（t+1/n），Wt+1/n）k∞= 0.证明：通过（13），p（t，Wt，y）=∏t（p（t+1/n，Wt+1/n，y））。根据泰勒定理，p（t，w，y）=-γ对数Ehexp-γp（t+1/n，Wt+1/n，y）Wt=wi=p（t+1/n，w，y）-γ测井1.-γ2np（t+1/n，x，y）+γ2np（t+1/n，w，y）+ o（1/n）=p（t+1/n，w，y）+2np（t+1/n，w，y）-γ2np（t+1/n，w，y）+ o（1/n）。这里和以后，o（1/n）的估计在（t，w，y）中是一致的。