限价订单市场中的有效价格动态：一个效用模型

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英文标题：
《Efficient price dynamics in a limit order market: an utility
  indifference approach》
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作者：
Masaaki Fukasawa
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  We construct an utility-based dynamic asset pricing model for a limit order market. The price is nonlinear in volume and subject to market impact. We solve an optimal hedging problem under the market impact and derive the dynamics of the efficient price, that is, the asset price when a representative liquidity demander follows an optimal strategy. We show that a Pareto efficient allocation is achieved under a completeness condi- tion. We give an explicit representation of the efficient price for several examples. In particular, we observe that the volatility of the asset depends on the convexity of an initial endowment. Further, we observe that an asset price crash is invoked by an endowment shock. We establish a dynamic programming principle under an incomplete framework.
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中文摘要：
我们构造了一个基于效用的动态资产定价模型。价格在数量上是非线性的，受市场影响。我们解决了一个在市场冲击下的最优套期保值问题，并推导了有效价格的动力学，即当一个具有代表性的流动性需求方遵循最优策略时的资产价格。我们证明了帕累托有效分配是在完全条件下实现的。我们给出了几个例子的有效价格的显式表示。特别是，我们观察到资产的波动性取决于初始捐赠的凸性。此外，我们观察到，资产价格崩溃是由捐赠冲击引起的。在不完全框架下建立了动态规划原理。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Efficient_price_dynamics_in_a_limit_order_market:_an_utility_indifference_approach.pdf (366.43 KB)

2022-5-7 02:33:36 上传

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关键词：Quantitative Presentation Applications Differential Indifference

限价订单市场中的有效价格动态：效用差异法*Masaaki Fukasawa+2021年11月22日摘要我们为有限订单市场构建了一个基于效用的动态资产定价模型。价格在体积上是非线性的，受市场影响。我们解决了一个在市场冲击下的最优套期保值问题，并推导了当代表性流动性需求方遵循最优策略时，有效价格，即资产价格的动力学。我们证明了帕累托有效分配是在完全条件下实现的。我们给出了几个样本的有效价格的明确表示。特别是，我们观察到资产的波动性依赖于初始捐赠的凸性。此外，我们观察到资产价格崩溃是由捐赠冲击引起的。我们在一个不完整的框架下建立了一个动态规划原则。关键词：效用差异原则；市场影响；合理的价格；二次倒向随机微分方程；伯格斯方程。JEL分类：G12；G13。MSC2010:91B25；91G80。1简介我们对限价订单市场中资产价格的动态感兴趣。Weaim擅长构建一个易于处理的模型，该模型将在实际市场中观察到的非线性、永久性等现象内在地加以限制*本文是京都大学经济研究所（作为联合使用和研究中心）2012-2013年项目研究之一的成果。作者感谢项目成员Chiaki Hara、Masaaki Kijima、Katsumasa Nishide、Akihisa Tamura和Yuan Tian提出的见解和建议。这项工作也得到了日本科学促进会的支持，KAKENHI授权号为25245046。+M

大阪富冈市町山1-1号大阪大学数学系和金融保险研究中心，日本邮政560-0043：fukasawa@math.sci.osaka-u、 ac.JP市场影响和流动性不足导致的流动性崩溃。流动性问题被认为是一个主要风险，而标准的金融工程模型没有考虑到这一风险。多家金融机构的失败通常归因于未发现的流动性风险。流动性危机是罕见的事件；因此，流动性成本的外生统计模型不足以让我们为未来的危机做好准备。为了更深入地理解流动性风险，需要考虑经济因素。本文给出了一个基于效用的资产定价模型，该模型具有可分析的可处理结构。在限价订单市场中，流动性供求双方的角色是不对称的。流动性供应商提交一份限额订单，为特定数量的资产报价。他们可以通过使用限价订单来最大限度地利用自己的效用进行交易。一旦达到平衡，它们之间就不再发生贸易。然而，流动性供应商仍然有提交限额订单的动机，只要相应的交易提高了其效用。剩余的限价订单形成一条价格曲线，它是成交量的非线性函数。流动性需求方提交市场指令，根据价格曲线买卖任何数量的资产。

考虑到流动性供应商之间的aBertrand型竞争，因此，合理的做法是首先将价格曲线建模为代表性流动性供应商（RLS）的效用差异价格。如果RLS是风险中性的，则资产的效用差异价格与资产相关的未来现金流的预期价值一致。然后价格曲线在数量上变成线性。这个最简单的框架被许多研究所采用，比如Glosten和Milgrom[9]。在这项研究中，我们假设RLS在管理库存时是规避风险的，这导致了具有市场影响的非线性定价。这种方法不同于经典著作，包括Garman[8]、Amihud和Mendelson[1]、Ho和Stoll[11]、Ohara和Old fi field[14]，其中aprice quote是一种解决具有外来订单流的市场制造商效用最大化问题的方法。这里，我们解决了一个代表性流动性需求方（RLD）的效用最大化问题。因此，顺序流是内生决定的。我们的模型与Bank和Kramkov[2,3]中考虑的一个模型密切相关，他们分析了大型交易的市场影响，并制定了一个非线性随机积分，作为与大型交易者给定策略相关的利润和损失。这里，我们的目标是推导有效价格的动力学，即当RLD遵循最优策略时的资产价格。与标准的最优投资或混合问题不同，资产价格在数量上是非线性的，并且取决于交易策略。如果流动性需求者的集合由价格接受者和单个大投资者组成，则最优策略可以解释为在银行和Kramkov[2,3]引入的模型的简化版本下，大投资者的最优投资或对冲问题的解决方案。

该模型代表了永久的市场影响，而瞬时或暂时的市场影响模型在文献中得到了广泛的考虑。西。g、 Cetin等人[5]，Fukasawa[7]，Gu\'eant[10]以及其中的参考文献。在之前的大多数研究中，市场影响的结构都是外生的。在这里，正如在Bank和Kramkov[2,3]中一样，市场影响是内生的。我们考虑一个假设市场，其中所有交易的证券在到期时到期，并产生现金流，联合概率分布是随机给定的。这可以看作是商品期货市场的一个模型。标准理论表明，一种商品的未来价格是由该商品的现货价格的一种可比关系决定的。这种套利价格不适用于库存成本高昂的商品，如石油或电力。决定此类商品未来价格的一个主要因素是到期时现货价格的概率分布，这是我们模型的想法。在第二节中，我们给出了问题的严格公式。在第3节中，我们考虑了一个勒维驱动的市场作为一个例子，它承认明确的结果。特别是，我们观察到，在特定情况下，RLS和RLD之间实现了最佳风险分配。我们还看到，捐赠冲击可能引发严重流动性不足的价格崩溃。在第四节中，我们解决了完全条件下的最优套期保值问题，在此条件下实现了最优的风险分配。特别是在市场冲击下，我们构建了完善的套期保值策略。我们观察到，有效价格过程的波动性取决于要对冲的初始捐赠的凸性。我们还看到，价格暴跌是由传播的内部冲击引起的。

第五章，在不完全情形下，建立了离散时间框架下的动态规划原理，并给出了其应用。2指数效用独立原则我们严格地阐述了这个问题。让(Ohm, F，P，{Ft}t∈[0,1]）是一个过滤概率空间，满足通常的假设，F由全集合构成。时间1代表所有证券的到期日，我们设置F=F。假设存在一个规则的条件概率度量∈ [0，1）。通过E[F | Ft]，我们总是指随机变量fw相对于这个正则条件概率测度的表达式。LetS=（S，…，Sd）t是一个F-可测量的随机向量，代表时间1时d证券的现金流。我们假设股息率为0，无风险率为0。RLS通过指数效用∏t（F）=-γ对数E[exp(-γF）|Ft]（1）在t∈ [0,1]，其中γ≥ 0是风险变化的p参数。γ=0的e指数效用被解释为（1）的极限γ→ 0.更具体地说，在F的可测量条件下，当γ=0时∏t（F）=E[F | Ft]，这是风险中性的情况。一般指数效用的一个重要性质是现金不变性：对于任何Ft可测的随机变量C，现金不变性为∏t（F+C）=∏t（F）+C。另一个重要性质是拟凹性：如果∏t（F）≥ 0和∏t（F）≥ 0，则∏t（λF+（1- λ） F）≥ 任何λ的0∈ [0，1]。与现金不变性一起，拟凹性意味着凹性：∏t（λF+（1- λ） F）- λ∏t（F）- (1 - λ） πt（F）=∏t（λ（F）- πt（F））+（1- λ） （F）- πt（F）））≥ 0.RLS最初被赋予一项风险资产，该资产在时间1产生现金流，用G表示。如果RLS在时间t持有d证券的z=（z，…，zd）单位作为其存货∈ [0，1]，则对于卷y=（y。

，yd），她根据效用差异原则报价：Pt（z，y）=inf{p∈ R∏t（G+zS- Y+p）≥ πt（G+zS）}=πt（G+zS）- πt（G+（z- y） S）。请注意，公用事业差异价格不取决于RLS持有的现金量，因为她的公用事业是指数型的。如果RLS是风险中性的，则Pt（z，y）=ye[S | Ft]。否则，价格取决于这些证券的库存z，它描述了永久性的市场影响。对于所有的t和z，Pt（z，y）是y的凸函数，Pt（z，0）=0。这尤其意味着-Pt（z，-y）≤ Pt（z，y）表示任何y和z，这意味着某个金额的售价高于或等于相同金额的买入价。这代表了衡量市场流动性的投标报价。RLD还通过指数效用UT（F）=-阻塞E[exp(-cF）| Ft]在时间t∈ [0,1]，其中c≥ 0是风险规避的一个参数。我们允许c=∞通过限制c→ ∞. RLD最初被赋予风险资产，该资产在时间1时产生现金流，用H表示。设a为RD0的子集∈ A.我们假设∏t（G+aS）对所有A都是有限的∈ A和t∈ [0 , 1]. 设Y=0和Yt的d维简单可预测过程的SAbe集∈ 毕竟∈ [0，1]。RLD可以接受任何元素Y=（Y，…，Yd）∈ SAas是她的交易策略，其中Yits代表RLD在t时持有的i-TH证券的股份数量。在t时，d证券的数量y=（y，…，yd）的价格为Pt(-Yt，y）。这是因为RLS有效-由于之前与RLD的交易而产生的证券份额。当与Y相关的时间1的利润和损失∈ sai由i（Y）=YS给出-X0≤t<1Pt(-Yt，Yt）。RLD的问题是在适当扩展的SA集上最大化其终端财富U（H+I（Y））在Y中的效用。自然会出现以下问题：1。

动态规划原理适用于这个效用最大化问题吗？2.最佳策略是什么*具有特征的？3.有效的价格是多少(-Y*t、 y）规矩点？4.单位价格（以下简称EIPU）的有效性如何*= （S）*,1.s*,d） ，S*,它=易y=0Pt(-Y*t、 y）规矩点？5.有效的价格凸性如何=易yjy=0Pt(-Y*t、 y），i，j=1，德伯哈？EIPU被解释为是价格制定者的小投资者的资产价格向量。有效的价格凸度是衡量微小流动性不足的指标。3.Levy驱动的市场我们给出了一个允许显式计算的例子。我们将看到，在某些情况下，RLS和RLD之间的风险分配达到了非最优，而在其他情况下则没有。L et d=1，c，γ∈ (0, ∞) 对于X=0的L’evy进程X，S=X。XT的特征函数允许L’evy KhintchineseRepresentationTLog E[eUXT]=iub-σu+Z（eiux）- 1.- iuh（x））ν（dx），其中b，σ∈ R、 h（x）=x1{|x|≤1} ν是R上的一个测度，用z1表示∧ xν（dx）<∞.假设存在一个区间U 就是这样-ux{x}>1}ν（dx）<∞为了所有的你∈ 那么，Z | e-ux- 1+uh（x）|ν（dx）<∞为了所有的你∈ 根据佐藤[17]的定理25.3，∏t（zX）=zXt+1- tγκ（γz），（2）代表所有的z∈ U/γ，其中κ（U）=bu-σu-Z（e）-ux- 1+uh（x））ν（dx）。因为∏是凹函数，所以κ是凹函数，κ（0）=0。例如，κ（u）=bu-σu，u=Rif Xt=bt+σWt，其中W是标准布朗运动。我们有κ（u）=βlog（1+u/α），u=(-α, ∞)如果X是伽马过程，X服从伽马分布，速率α>0，形状β>0。另一个例子是κ（u）=ruα，u=[0，∞)当X是速率r>0且指数α的单侧稳定过程时∈ (0, 1).假设G=aS代表a∈ U/γ和A A.- U/γ。

然后，通过（2），Pt（z，y）=yXt+1- tγ（κ（γ（a+z））- κ（γ）（a+z）- y） ）），代表z∈ -A和y∈ A+z等等，Pt(-Yt，Yt=XtYt-1.- tγκ（γ）（a- Yt=Xt-Yt+XtYt-1.- tγκ（γ）（a- Yt为Y∈ 萨。通过部件集成，YX-X0≤t<1Pt(-Yt，Yt）=ZYtdXt+γZ（κ（γ）a- Yt）- κ（γa））dt。（3） 注意，如果0是U的内点，那么κ在0和γ处是可微的→ 0，Pt（z，y）→ y~Xt，~Xt=Xt+（1）- t） E[X]。过程X是一个鞅，当RLSWA为风险中性时，它是资产价格过程。（3）的右边可以写为zytd~Xt+ZYt（κ′（0）-κ（γa）- κ（γ）（a- Yt）γYt）dt。（4） 第一个术语是与交易策略Y相关的常见形式的利润和损失，当X是价格过程时。第二项既可以是正项，也可以是负项，并收敛到0asγ→ 现在，考虑H=H+ZH′tdXt形式的H，其中H∈ R和H′是一个简单的可预测有界过程，与x无关。本规范只是为了获得明确的结果。如果在时间t解释dXtasan经济信号，则H′t确定其对初始禀赋H的贡献。如果c（H′+Y）取U值，则RLD ish+Z（H′t+Yt）dXt+γZ（κ（γ）（a）的最终财富- Yt）- κ（γa））dt=h+Z（h′t+Yt）dXt-cZκ（c（H′t+Yt））dt+cZκ（c（H′t+Yt））dt+γZ（κ（γ）a- Yt）- κ（γa））dt≤ h+Z（h′t+Yt）dXt-cZκ（c（H′t+Yt））dt+c+γcγZκcγc+γ（a+H′t）！dt-γκ（γa）。最后一个不等式来自于κ的凸性，当nyt=Y时，就得到了这个等式*=c+a:=γ-cc+γH′t.（5）由于H′与X无关，我们有“exp”(-cZ（H′t+Yt）dXt+Zκ（c（H′t+Yt））dt）H′#=1if，say，y是有界的。参见Kallsen和Shiryaev[13]。如果A是有界的，但对于SAto包含Y来说足够大*由（5）给出，然后是Maxy∈SAU（H+I（Y））=U（H+I（Y）*))=Uh+c+γcγZκcγc+γ（a+H′t）！dt！-γκ（γa）。为了解释这个身份，让我们来介绍你*H′（F）=-c+γcγ对数E“exp(-cγc+γF）H′#对于随机变量F。

然后，你*H′（G+H）=H+c+γcγZκcγc+γ（a+H′t）！等等，麦克西∈SAU（H+I（Y））=U（U*H′（G+H））- π（G）。（6） 注意cγc+γ<c，U（U*H′（G+H））≤ U*（U）*H′（G+H））=U*（G+H），其中*t（F）=-c+γcγ对数E“exp(-cγc+γF）Ft#（7）对于随机变量F，函数U*被称为最优风险分配下的综合效用（参见Barrieu和El Karoui[4]）。上述计算表明，RLS和THRLD之间的最优风险分配是通过动态交易策略Y实现的*如果H′是确定性的，那么在其他情况下可能会失去一些效用。因为最优策略是Y*RLD的有效价格和EIPU分别由（5）给出(-Y*t、 y）=yXt+1- tγκcγc+γ（a+H′t）！- κcγc+γ（a+H′t）- γy！！，s*t=Yy=0Pt(-Y*t、 y）=Xt+（1）- t） κ′cγc+γ（a+H′t）！如果κ是可分化的。后者可以重写*t=~Xt- (1 - t） κ′（0）- κ′cγc+γ（a+H′t）！！。由于第一项是鞅，第二项被解释为风险溢价。在H′为常数的区间上，我们有*t=κ′（0）- κ′cγc+γ（a+H′t）！！dt+d~Xt。由于κ是凹的，如果a+H′为非负，则风险溢价为非负。正面（或负面）捐赠冲击H′引起S的非正（或非负）跳跃*以及风险溢价的非负（或非正）跳跃。有效价格凸度计算如下：Yy=0Pt(-Y*t、 y）=-γ(1 - t） κ′cγc+γ（a+H′t）！≥ 如果κ是两倍可分化的。这意味着非流动性水平强烈地依赖于κ的凸性，因此S的分布尾。如果k′是可微的，且L′evy测度ν为负，则k′′小于0，S的偏度为负。