在风险校准中纳入关于边际分布的观点

我们的主要贡献是，我们扩展了所提出的方法，除了动量约束之外，还允许对基础变量函数的边际分布进行约束。此外，我们将我们的结果专门用于Markowitz投资组合建模框架，其中使用多元高斯分布来建模资产回报。在这里，我们为更新后的后验分布开发了封闭式解决方案。当一个单一资产组合的边际具有厚尾分布时，我们证明了在后验分布下，与该资产组合具有非零相关性的所有资产的边际具有相似的厚尾分布。这可能是一种合理且简单的方法，可以将真实的尾部行为纳入资产组合中。我们还举例说明了该框架在期权定价中的应用。最后，我们用简单的例子对所提出的方法进行了数值测试。承认：作者要感谢保罗·格拉斯曼（Paul Glasserman）的方向性建议，这些建议极大地帮助了这一工作。参考文献[1]M.Avellaneda。资产定价模型的最小熵校准。国际理论和应用金融杂志。，1:447–472, 1998.[2] M.Avellaneda、R.Buff、C.Friedman、N.Grandchamp、L.Kruk和J.Newman。加权蒙特卡罗：一种校准资产定价模型的新技术。国际理论和应用金融杂志。，4（1）：91-119，2001年3月。[3] M.阿维拉内达、C.弗里德曼、R.霍姆斯和D.桑佩里。通过相对熵最小化校准挥发性表面。应用数学金融。，4（1）：1997年3月37日至64日。[4] F.布莱克和R.利特曼。资产配置：将投资者观点与市场均衡结合起来。高盛固定收益研究，1990年。[5] D.T.布里登和R.H.利岑伯格。

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现在f（y | x）是k变量正态密度，平均向量为uy | x=uy+∑yx∑-1xx（x）- ux）和方差-协方差矩阵∑y | x=∑yy-∑yx∑-1xx∑xy。因此，f（y | x）是平均值（uy | x+∑y | xλ）和方差协方差矩阵∑y | x的正态密度。现在，力矩约束方程（4）表示：a=Zx∈注册护士-kZy∈Rkyf（x，y）dydx=Zx∈注册护士-千克（x）Zy∈Rkyf（y | x）dydx=Zx∈注册护士-千克（x）uy | x+∑y | xλdx=Zx∈注册护士-千克（x）uy+∑yx∑-1xx（x）- ux）+∑y | xλdx=uy+σyx∑-1xx（例如[X]- ux）+∑y | xλ。因此，为了满足力矩约束，我们必须取λ=∑-1y | xA.- uy- ∑yx∑-1xx（例如[X]- ux）.把上述λ的值放在（uy | x+∑y | xλ）中，我们可以看到f（y | x）是平均值为a+的法向密度∑yx∑-1xx（x）- Eg[X]）和方差-协方差矩阵∑y | X。f（exp=124y）定理的证明-（y）-~uy | x）t∑-1y | x（y）-§uy | x）对于适当的常数D，式中|uy | x=a+十、- Eg（X）σxxσxy。假设所述假设适用于i=1。在最优分布下，YisfY（y）=Z（x，y，…，yk）D的边缘密度exp-（y）-~uy | x）t∑-1y | x（y）-§uy | x）g（x）dxdy。。。戴克。现在（7）中的极限等于：limy→∞Z（x，y，y，…，yk）D exp-（y）-~uy | x）t∑-1y | x（y）-§uy | x）x g（x）g（y）dxdy。。。戴克。指数中的术语为：-kXi=1Σ-1y | x二、（易）- （人工智能）- xσxyiσxx-Xi6=jΣ-1y | xij（易）- （人工智能）- xσxyiσxx（yj）- （aj）- xσxyjσxx式中ai=ai- 例如（X）σxyi/σxx。

现在我们做以下替换：（x，y，y，…，yk）7-→ y=（y，y，y，…，yk），y=（y- （a）- xσxyσxx和yi=（yi- （人工智能）- xσxyiσxx，i=2,3。。。，k、 假设σxy=Cov（X，Y）6=0，逆映射Y=（Y，Y，Y，…，yk）7-→ （x，y，y，…，yk）由以下公式给出：x=σxxσxy（y- Y- a） ，yi=yi+ai+σxyiσxy（y）- Y- a） 对于i=2，3。。。，k、 和雅可比德特（x，y，y，…，yk）（y，y，y，…，yk）=σxxσxy。然后被积函数变成expyT∑-1y | xyGσxxσxy（y）- Y- （a）g（y）σxxσxy。假设gσxxσxy（y）- Y- （a）g（y）≤ 对于所有的y，对于一些非负函数h（·），使得Eh（Z）<∞ 当Z是高斯分布时。因此，通过支配收敛定理，我们得到了thatlimy→∞ZD exp-yT∑-1y | xyGσxxσxy（y）- Y- （a）g（y）σxxσxydy=ZD exp-yT∑-1y | xy酸橙→∞Gσxxσxy（y）- Y- （a）g（y）σxxσxydy=ZD exp-yT∑-1y | xy酸橙→∞Gσxxσxy（y）- Y- （a）g（y）- Y- a） 酸橙→∞g（y）- Y- a） g（y）σxxσxydy，根据我们对g（·）的假设，反过来等于zd exp-yT∑-1y | xy×σxyσxxα×1×σxxσxydy=σxyσxxα-1.