在风险校准中纳入关于边际分布的观点

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《Incorporating Views on Marginal Distributions in the Calibration of Risk
  Models》
---
作者：
Santanu Dey, Sandeep Juneja, Karthyek R. A. Murthy
---
最新提交年份：
2014
---
英文摘要：
  Entropy based ideas find wide-ranging applications in finance for calibrating models of portfolio risk as well as options pricing. The abstracted problem, extensively studied in the literature, corresponds to finding a probability measure that minimizes relative entropy with respect to a specified measure while satisfying constraints on moments of associated random variables. These moments may correspond to views held by experts in the portfolio risk setting and to market prices of liquid options for options pricing models. However, it is reasonable that in the former settings, the experts may have views on tails of risks of some securities. Similarly, in options pricing, significant literature focuses on arriving at the implied risk neutral density of benchmark instruments through observed market prices. With the intent of calibrating models to these more general stipulations, we develop a unified entropy based methodology to allow constraints on both moments as well as marginal distributions of functions of underlying securities. This is applied to Markowitz portfolio framework, where a view that a particular portfolio incurs heavy tailed losses is shown to lead to fatter and more reasonable tails for losses of component securities. We also use this methodology to price non-traded options using market information such as observed option prices and implied risk neutral densities of benchmark instruments.
---
中文摘要：
基于熵的思想在金融领域有着广泛的应用，可以校准投资组合风险模型和期权定价。文献中广泛研究的抽象问题对应于找到一个概率测度，该概率测度在满足相关随机变量矩约束的同时，使相对于指定测度的相对熵最小化。这些时刻可能与投资组合风险设置专家持有的观点以及期权定价模型中流动期权的市场价格相对应。然而，在前一种情况下，专家可能对某些证券的风险尾部有看法，这是合理的。同样，在期权定价中，大量文献关注通过观察到的市场价格得出基准工具的隐含风险中性密度。为了根据这些更一般的规定校准模型，我们开发了一种统一的基于熵的方法，以允许对基础证券函数的矩和边际分布进行约束。这一点适用于Markowitz投资组合框架，在该框架中，一个特定投资组合会产生重尾损失的观点被证明会导致组成证券损失的更大、更合理的尾部。我们还使用这种方法，利用观察到的期权价格和基准工具的隐含风险中性密度等市场信息，对非交易期权进行定价。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
--

---
PDF下载：
--> Incorporating_Views_on_Marginal_Distributions_in_the_Calibration_of_Risk_Models.pdf (492.97 KB)

2022-5-7 02:52:06 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：Applications distribution Quantitative Econophysics Methodology

在风险模型校准中纳入边际分布的观点Santanu Dey Sandeep Juneja*Karthyek R.A.MurthyTata基础研究所，Mumbai基于熵的思想在金融领域找到了广泛的应用，用于校准portfoliorisk模型和期权定价。文献中广泛研究的抽象问题对应于找到一个概率测度，该概率测度在满足相关随机变量的矩约束的同时，使相对于特定测度的相对熵最小化。这些时刻可能与投资组合风险设置专家持有的观点以及期权定价模型中流动期权的市场价格相对应。然而，在前面的设置中，专家可能对某些证券的风险尾部有看法，这是合理的。同样，在期权定价中，重要文献关注通过观察到的市场价格得出基准工具的隐含风险中性密度。为了根据这些更一般的规定校准模型，我们开发了一种基于统一熵的方法，以允许对两个时刻以及基础证券函数的边际分布进行约束。这一点适用于马尔科维茨投资组合框架，在该框架中，一个特定投资组合会产生重尾损失的观点被证明会导致组成证券损失的更大、更合理的尾部。我们还使用这种方法，利用观察到的期权价格和基准工具的隐含风险中性密度等市场信息，对非交易期权进行定价。1.简介在过去二十年中，基于熵的思想在金融领域得到了广泛的应用。一个关键的应用涉及投资组合优化，我们通常有一个先验概率模型和一些有关资产的独立专家意见。

如果此类视图是基于矩的约束形式，则使用基于熵的方法（例如，见Meucci[16]）得出一个“后验”概率度量，该度量在满足这些矩约束的同时，在最小化相对熵或I-散度的意义上最接近先验概率模型。另一个重要应用涉及对用于期权定价的风险中性概率度量进行标定（参见，例如Buchen和Kelly[6]，Stutzer[20]，Avellanda等人[2]）。在这里，基于熵的思想被用来得出一个概率度量，该度量能够正确地对给定的流动期权（即对期权收益的预期）定价，同时收益最接近于特定的先验概率度量。如前所述，在现有文献中，对后验测度施加的条件对应于对基础随机变量的矩的约束。然而，arisein实践中的限制可能更为普遍。例如，在投资组合优化设置中，专家可能认为某个股票指数具有厚尾t分布，并且正在寻找后验联合分布作为满足这一要求的股票回报模型，同时最接近先验模型，例如，可能基于历史数据。*对应的作者。电子邮件地址：{dsantanu，juneja，kamurthy}@tifr。同样，如果某一金融工具的交易量很大，那么对其风险中性密度的看法也是合理的，例如，市场指数上的期货合约，这种对边际密度的看法可以用来为与交易量很大的工具相关的流动性较低的工具更好地定价。现在有相当多的文献关注于根据观察到的具有高流动性期权市场的资产的期权价格来估计隐含的风险中性密度（综合评论见[14]）。

Figlewski在[12]中指出，作为一个整体，美国市场投资组合的隐含风险中性密度隐含地反映了市场的预期、投资者的风险偏好以及对信息发布和事件的敏感性。这通常是不可能的，因为只有对期权收益预期值的有限限制。因此，在期权定价场景中，后验测度可以包括，例如，根据证券上某些大量交易的期权估算的证券价格的隐含风险中性密度。例如，关于需要使用所有可用的计量经济信息和程式化的市场事实来精确校准数学模型的讨论，请参见Avellaneda[1]。出于这些考虑，在本文中，我们设计了一种方法，当对后验概率测度的约束具有一般性质时，即除了矩约束，还包括基本随机变量函数的边际分布的具体情况。相关文献：关于更新投资组合优化模型以包含特定观点的不断发展的文献建立在Black and Litterman的开创性工作基础上[4]。他们考虑了马科维茨模型的变体，在该模型中，投资组合经理的主观观点被用作使用贝叶斯分析的思想更新市场模型的约束。他们的工作侧重于高斯框架，其观点仅限于不同证券回报预期的线性组合。从那时起，人们提出了许多变化和改进建议（参见[17]、[18]和[19]）。早些时候，Avellaneda等人[2]使用加权蒙特卡罗方法，根据市场数据校准资产定价模型（另见Glasserman和Yu[13]）。

[6]和Stutzerin[20]中的Buchen和Kelly使用熵方法来校准单期资产定价模型，方法是选择一种定价方法，该方法可以正确地为一组基准工具定价，同时最小化与先验或特定模型的I-偏差，例如，可以根据历史数据进行估计（见最近的调查文献[15]）。我们的贡献：如前所述，我们关注与投资组合优化和期权定价相关的示例。众所周知，对于以有限数量的力矩约束表示的视图，I-散度最小化的最优解可以描述为一个概率度量，通过适当地指数扭曲原始度量得到；这种指数扭曲的度量在文献中被称为吉布斯度量（例如，参见[9]）。我们对此进行了推广，以允许专家意见可以指定所涉及的随机变量函数的边际概率分布的情况。我们证明，除了关于基本随机变量函数矩的观点外，这种观点也可以很容易地合并。特别地，在技术条件下，当目标是I-散度时，我们刻画了具有这些一般约束的最优解，并证明了得到的最优概率测度的唯一性。作为一个例子，我们将我们的结果应用于Markowitz框架下的投资组合建模，其中有限数量的资产的回报具有多元高斯分布，专家认为某个回报组合是厚尾的。我们表明，在得到的概率测度中，在温和的条件下，所有相关资产都是类似的厚尾。因此，这成为将现实尾部行为纳入资产组合的合理方式。

一般来说，通过在数学模型中建立保守的尾部视图，建议的方法可能有助于更好的风险管理。我们还应用我们的结果对流动性较低的期权进行定价，该期权的证券与另一种交易量较大的资产相关，该资产的风险中性密度由期权市场价格推断。我们在实际例子上进行了数值实验，验证了所提出的方法。论文组织：我们在第2节将模型选择问题描述为一个优化问题，并在第3节推导出后验概率模型作为其解。在第4节中，我们将我们的结果应用于马科维茨框架下的投资组合问题，并开发后验概率测度的显式表达式。在这里，我们还展示了一种观点，即资产组合具有“规则变化”的厚尾分布，使得与该资产组合相关的所有资产具有类似的厚尾边际分布。此外，我们在实际例子上对我们提出的算法进行了数值测试。在第5节中，我们将说明拟议框架在期权定价中的适用性。最后，我们在第6节中给出一个简短的结论。除了最简单的证据外，所有的证据都放在附录中。2.模型选择问题在本节中，我们简要回顾了概率测度之间的相对熵的概念，并用它来正式说明我们的模型选择问题。2.1. 相对熵及其变分表示。让(Ohm, F） 表示一个可测空间，P表示该空间上所有概率测度的集合(Ohm, F） 。如果一个度量值是(Ohm, F） 对于u是绝对连续的，我们用ν表示 u.

对于任何ν，u∈ P、 ν相对于u的相对熵（也称为I-散度或库尔贝克-莱布勒散度）定义为asD（ν| |u）：=（Rlogdνdu如果 u,∞, 否则对于任何有界可测函数ψ映射Ohm 进入R，众所周知，logZOhmeψdu=supνZOhmψdν- D（ν|u）. （1） 此外，该上确界在ν处达到*给出者：dν*du=eψReψdu。（2） 例如，参见[10]以获得这一点的证明，以及与相对熵相关的其他概念。2.2. 问题表述。让随机向量X=（X，…，Xm）和Y=（Y，…，Yn）表示与先前参考风险模型相关的风险因素，该模型被指定为X和Y上的联合概率密度f（X，Y）。该模型通常使用历史数据的统计分析得出，用于风险分析（如计算预期短缺、VaR等），或者在投资组合中选择最佳位置。然而，市场呈现出额外的信息，通常以专家（或）当前市场观察的“观点”的形式。这些视图可以是简单的力矩约束，如in，Zx，yhi（x，y）P（dx，dy）=ci，i=1，k、 （或）与边缘密度约束一样详细：对于所有x，ZyP（dx，dy）=g（x），其中ci，i=1，k是常数，g（·）是给定的X的边际密度，P（·）是控制风险因素的未知概率度量。然后我们的目标是确定一个概率模型，该模型相对于先前的模型f（·，·）具有最小的相对熵，同时同意关于Y的矩和X的边际分布的观点。尽管相对熵D（······）不是无量纲的，在模型校准的背景下，它被广泛用于区分概率度量（见[7]、[6]、[20]、[3]、[1]、[2]、[16]和[15]）。

设P（f）表示概率密度函数的集合，这些函数相对于密度f（·，·）是绝对连续的（密度f（·，·）相对于f（·，·）是绝对连续的，如果对于几乎每一个x和y，f（x，y）=0，f（x，y）也等于0）。形式上，由此产生的优化问题Ois:minf∈P（f）zlogf（x，y）f（x，y）！~f（x，y）dxdy，受制于：Zy ~f（x，y）dy=g（x）对于所有x，以及（3a）Zx，yhi（x，y）~f（x，y）dxdy=ci，i=1，2，k、 （3b）3。需要进一步解决优化问题OSome符号。对于任意λ=（λ，λ，…，λk）∈ Rk，letfλ（y | x）：=exp（Pki=1λihi（x，y））f（y | x）Ryexp（Pki=1λihi（x，y））f（y | x）dy=exp（Pki=1λihi（x，y））f（x，y）dy只要分母存在。此外，设fλ（x，y）：=fλ（y | x）×g（x）表示（x，y）的联合密度函数，Eλ[·]表示fλ（·，·）下的期望。设mg（·）是对应于Rm上概率密度g（·）的度量。对于一个依赖于x的数学命题∈ Rm，表示（x），我们为几乎所有的x写S（x），关于g（x）dx意味着mg（{x:S（x）为假}）=0。定理1。如果存在λ=（λ，…，λk）∈ Rksuch表示（a）Ryexp（Piλihi（x，y））f（x，y）dy<∞ 对于几乎所有关于g（x）dx和（b）Eλ[hi（x，Y）]=ci的x，对于i=1，k、 那么fλ（·）是优化问题O的最优解。很自然地，会询问这样一个λ=（λ，…，λk）存在的条件。在这里，我们在下面的备注1中提供了一个简单的条件。在理论3中还可以找到一组详细的条件。[8]中的第1页。注1（关于λ的存在）。对于映射（x，y）7在Rk上导出的概率密度函数的支撑的凸包内部的每一个（c，…，ck）-→ （h（x，y），hk（x，y）），根据[8]的定理3.1，存在a（λ。

，λk）满足定理1的条件。定理1的证明。考虑到（3a），我们可以将x的边际分布定义为g（x），并重新表达目标asminf（·| x）∈P（f（·x）），xZx，ylogf（y | x）f（y | x）！~f（y | x）g（x）dydx+Zxlogg（x）f（x）g（x）dx。第二个积分是常数，可以从目标中删除。第一个积分可以表示为zxMinf（·| x）∈P（f（·| x））Zylog | f（y | x）f（y | x）| f（y | x）dy！g（x）dx。同样，力矩约束可以重新表示为zx，yhi（x，y）~f（y | x）g（x）dxdy=ci，i=1，2。。。，k、 反过来，这与：Zx相同Zyhi（x，y）~f（y | x）dyg（x）dx=ci，i=1，2。。。，K那么，这个k约束问题的拉格朗日函数是，Zx“minf（·| x）∈P（f（·| x））Zylog | f（y | x）f（y | x）| f（y | x）-kXi=1δihi（x，y）~f（y | x）！dy#g（x）dx+kXi=1δici，对于δi∈ R.请注意，由（2）可知，最小f（·| x）∈P（f（·| x））Zylog | f（y | x）f（y | x）| f（y | x）-Xiδihi（x，y）~f（y | x）！dyhas的解是fδ（y | x）=exp（Piδihi（x，y））f（y | x）Ryexp（Piδihi（x，y））f（y | x）dy=exp（Piδihi（x，y））f（x，y）dy，其中我们为（δ，δ，…，δk）写δ。现在取δ=λ，根据定理1陈述中的假设（a）和（b），fλ（x，y）=fλ（y | x）g（x）是优化问题的解。在定理2中，我们给出了确保最优化问题的解存在唯一性的条件。定理2的证明见附录。定理2。假设对于几乎所有的x w.r.t.g（x）dx，以x=x为条件，随机变量h（x，Y），h（x，Y），hk（x，Y）是线性独立的。然后，如果约束方程的解λ[hi（X，Y）]=ci，i=1，马克思主义者，这是独一无二的。备注2。如前所述，当指定给定随机向量（X，Y）的子向量的更新边缘分布时，定理1适用。

更一般地说，对给定随机向量的边际密度和函数矩的约束也可以通过常规变量变换技术结合起来。如下所示：设Z=（Z，Z，…，ZN）表示取S中值的随机向量 RNand具有（先验）密度函数fZ（·）。假设Z上的约束条件如下：（i）（v（Z），v（Z），vk（Z））有一个由g（·）给出的联合密度函数。（ii）vk+1（Z）的力矩，vk（Z）分别是c，ck-k、 其中0≤ K≤ K≤ N和v（·），v（·），vk（·）是S上的一些函数。如果约束的总数kis小于N，我们定义N- K附加函数vk+1（·），vk+2（·），vN（·）使得函数v:S→ 定义为v（z）=（v（z），v（z），vN（z））几乎处处都有非奇异雅可比矩阵。也就是说，J（z）：=det六、zji、 j！几乎所有z w.r.t.fZ的6=0。如果函数v几乎在任何地方都是局部可逆的，就会发生这种情况。现在，为了计算在满足约束条件（i）和（ii）的情况下，相对于先验密度fZ（·）使相对熵最小化的后验概率，我们将i设为xi=vi（Z）≤ k、 X=（X，…，Xk），i=vk+i（Z）表示i≤ N-k、 Y=（Y，…，YN）-k） 。如果我们用f（·，·）来表示与（X，Y）相对应的先验密度函数，用w（·）来表示v（·）的局部反函数，那么通过改变密度的变量公式，f（X，Y）=fZ（w（X，Y））[J（w（X，Y））]-1.此外，约束条件（i）和（ii）根据（X，Y）转化为：（a）X的节理密度由g（·）和（b）给出，对于i=1，K- k、 意词的期望值是词。设置k=k- k、 从定理1可以看出，（X，Y）的最佳联合密度函数是：fλ（X，Y）=eλY+λY+···+λkykf（X，Y）黑麦λY+λY+··+λkykf（X，Y）dy×g（X），其中λks的选择使得eλ[Yi]=ci，i=1，K