在风险校准中纳入关于边际分布的观点

同样，通过改变变量，可以得出Z的最佳密度为：~fZ（Z）=fλ（v（Z），v（Z），vN（z））J（z）。不难看出，雅可比矩阵为单位矩阵的情况对应于变量不变，我们恢复了原优化问题的解。假设一个投资组合绩效的兴趣度量是后验度量fλ（X，Y）下某个随机变量r（X，Y）的期望。这一指标的几个例子包括预期投资组合回报、投资组合方差或投资组合损失超过阈值的概率。γ∈ Rk，设∏（γ）=Eγ[r（X，Y）]。然后计算灵敏度Π(λ)/具有实际意义的CII（回想一下等式（3b）中规定的CII）。这通过[1]中分析的一个简单扩展实现。注意Π(λ)ci=XjΠ(γ)γjγ=λλjci。此外，我们还有Eλ[hi（X，Y）]=ci。按照[6]附录中的证明，可以证明Π(γ)γj=ECovγ（r（X，Y），hj（X，Y）|X）, 和词λj=ECovλ（hi（X，Y），hj（X，Y）|X）,式中，covγ（r（X，Y），hj（X，Y）|X）=Eγ[r（X，Y）hj（X，Y）|X]- Eγ[r（X，Y）|X）Eγ（hj（X，Y）|X]。设Vij=词/λjand V是包含Vijas及其条目的矩阵。让U=V-1.然后利用Eλ[hi（X，Y）]=ci上的隐函数定理，我们得到λjci=Uij，其中Uijis是矩阵U的（i，j）然后重试，Π(λ)ci=XjECovλ（r（X，Y），hj（X，Y）|X）Uij。类似地，假设密度函数g（·）依赖于一个参数α，我们将其表示为gα（·），那么它如下所示：Π(λ)α=Eλ“r（X，Y）gα（X）αgα（X）#4。Markowitz框架中的投资组合建模在本节中，我们将第3节中开发的方法应用于Markowitz框架：即应用于存在N项资产的情况，这些资产在“先验分布”下的回报是多变量的。

在这里，我们明确地确定了后验分布，它包含了对一些随机变量的边际分布的观点/约束，以及对其他随机变量的矩约束。正如引言中提到的，我们方法的一个重要应用是，如果对于特定的资产组合，比如指数，确定收益分布是厚尾的（具体来说，pdf是一个规则变化的函数），比如密度函数g（·），那么通过将其用作约束，可以得出所有基础资产的更新后验分布。此外，我们还表明，如果标的资产在先验分布下与该投资组合具有非零相关性，那么在后验分布下，该资产具有类似于g（·）给出的尾部分布。设（X，Y）=（X，X，…，XN）-k、 Y，Y，Yk）具有平均值u=（ux，uy）和方差协方差矩阵∑的N维多元高斯分布=∑xx∑xy∑yx∑yy.设g（·）是RN上给定的概率密度函数-K沿每个分量和a的有限第一矩应为Rk中的给定向量。

然后，我们寻找满足X具有概率密度函数g（·）和E（Y）=a的观点的后验测度P（·）。如备注2所述（另见第5节中的示例2），当该观点是关于基础资产线性组合的边际分布，和/或基础资产线性函数的矩，通过适当改变变量，可以很容易地将问题转化为上述设置。为了找到（X，Y）的分布，其中包含上述观点，我们解决了最小化问题O:minf∈P（f）Z（x，y）∈注册护士-k×Rklog~f（x，y）f（x，y）！~f（x，y）dxd受约束：Zy∈Rkf（x，y）dy=g（x）对于所有x和zx∈注册护士-kZy∈Rkyf（x，y）dydx=a，（4），其中f（x，y）是N元正态分布的密度，用NN（u，∑）表示。提议1。在∑xxis可逆的假设下，Ois的最优解由f（x，y）=f（y | x）×g（x）（5）给出，其中f（y | x）是k的概率密度函数a+∑yx∑-1xx（x）- Eg[X]），∑yy- ∑yx∑-1xx∑xy其中Eg[X]是密度函数g（·）下X的期望值。后验分布边缘的尾部行为：我们现在专门研究X（也用X表示）是实值随机变量的情况，因此N=k+1，下面的假设1由pdf g（·）满足。具体而言，（X，Y）分布为Nk+1（u，Y），其中uT=（uX，Y）和∑=σxxσTxyσxy∑yy其中σxy=（σxy，σxy，…，σxyk）乘以σxyi=Cov（X，Yi）。假设1。pdf g（·）是有规律变化的：也就是说，存在一个常数α>1（我们需要α>1，所以g（·）是可积的），这样Limt→∞g（ηt）g（t）=所有η>0的ηα（例如，参见[11]）。此外，对于任何∈ R和b∈ R+，g（b（t- s- a） ）g（t）≤ h（s）（6）对于一些非负函数h（·）独立于t（但可能取决于a和b），其性质为Eh（Z）<∞ 只要Z有高斯分布。备注4。

假设1成立，例如，当g（·）对应于自由度为n的t分布时，即g（s）=Γ（n+1）√nπΓ（n）1+sn-（n+1），很明显，g（·）随α=n+1有规律地变化。要查看（6），请注意g（b（t- s- a） g（t）=（1+t/n）（n+1）/2（1+b（t）- s- a） /n）（n+1）/2。t=bt/√n、 s=b（s+a）/√n和c=1/b我们有（1+t/n）（1+b（t- s- a） /n）=1+ct1+（t- s） 。现在（6）从1+ct1+（t- （s）≤ max{1，c}+cs+c|s |，对于任意两个实数和t。要验证最后一个不等式，请注意如果t≤ sTEN1+ct1+（t-（s）≤1+Cs，如果t>sTen1+ct1+（t- s） =1+c（t）- s+s）1+（t）- s） =1+c（t）- s） 1+（t- s） +cs+cs2（t）- s） 1+（t- （s）≤ max{1，c}+cs+c|s |。注意，如果对于任何m或λ，h（x）=xM或h（x）=exp（λx），则假设1中的最后一个条件成立。从命题（1）中，我们注意到（X，Y）的后验分布是f（X，Y）=g（X）×f（Y | X），其中f（Y | X）是k的概率密度函数a+十、- Eg（X）σxxσxy，∑yy-σxxσxyσtxy,其中Eg（X）是密度函数g（·）下X的期望值。设fY（·）表示上述后验分布下的边缘密度。定理3陈述了本节的一个关键结果。定理3。在假设1下，如果σxy6=0，则为lims→∞■财年（s）g（s）=σxyσxxα-从（7）开始，我们有那个极限→∞~P（Y>x）P（x>x）=σxyσxxα-1，其中P（·）表示与Y.4.1相关的后验概率测度。数值实验。为了便于视觉比较，我们首先考虑示例1中Markowitz框架中的一个小型两资产组合模型，在该模型中，我们观察了组合作为厚尾分布的观点如何影响单个资产的边际分布。然后，我们考虑一个更现实的设置，涉及6个全球指数的投资组合，评估其VaR（风险价值）。根据历史数据估计模型参数。

然后，我们使用所提出的方法来整合一个观点，即其中一个指数的收益率具有t分布，以及一些指数线性组合的收益率。例1。我们考虑一个涉及两种资产a和a的小型投资组合建模示例。我们假设资产（a，a）的收益（Z，Z）的先验分布是二元高斯分布。具体来说，ZZ~ N,9.1 3.03.0 1.1.假设投资组合管理团队对这些证券有以下看法：（i）基准投资组合由70%的A和30%的Ais组成，预计平均回报率为1.5%，而与高斯分布相比，其尾部要大得多。这可能被建模为具有3个自由度的t分布，平均值等于1.5%。（ii）证券A将产生1.5%的平均回报。设X=0.7Z+0.3Zand Y=Z，则上述视图对应于密度函数为byg（X）=2.4120×π的X√3[1+（x-1.52.4120），并且Y的期望值等于1.5。根据先前的分配，我们有：XY=0.7 0.30.0 1.0ZZ~ N,5.818 2.432.43 1.1.因此我们看到σxx=5.818，σxy=2.43，σyy=1.1，所以σyy-σxxσxyσtxy=0.08506。在这种情况下，a=1.5。因此+十、- Eg（X）σxxσxy=1.5+（x- 1.5）5.818×2.43=0.8735+0.4177x。根据命题1，（X，Y）的后验分布由3给出。42876√2πexp-5.8782（y）- 0.41767x- 0.8735)×2.4120 × π√1+（x-1.52.4120).然后（Z，Z）的后验分布由f（Z，Z）=3.42876×0.7给出√2πexp-5.8782（0.29237z- 0.8747z+0.8735）×2.4120 × π√1+（0.7z+0.3z-1.52.4120).-50.050.100.15（a）X的先验边缘密度为正态，均值=1，方差=5.818。后壁密度为t，df=3，平均值=1.5，刻度=√5.818=2.412-10-50.020.040.060.080.100.12（b）均值为1、方差为9.1的Zis正态分布的先验边缘密度。

后验密度平均值（和模式）为1.5，尾部较重-4-20.050.100.150.200.250.300.35（c）均值为1、方差为1.1的Zis正态分布的先验边缘密度。后验密度平均值（和模式）为1.5，尾部较重。图1：在一个约束条件下的前、后边缘密度。在图1中，我们比较了X、Zand-Zunder先验分布和后验分布的边缘密度。我们注意到，结合X具有厚尾密度的约束，使得来自a和Ato的资产回报具有类似的厚尾。例2。我们考虑了六个全球指数中的一个同等权重的投资组合：ASX（标准普尔/ASX200，澳大利亚股票指数）、DAX（德国股票指数）、EEM（MSCI新兴市场指数）、FTSE（FTSE100，伦敦证券交易所）、日经（日经225，东京证券交易所）和P（标准普尔500）。让Z，Z，Zdenote分别是ASX、DAX、EEM、FTSE、日经和标准普尔的每周收益率。我们将（Z，Z，…，Z）的先验分布取为多元高斯分布，平均向量[0.062%0.28%0.045%0.13%0.24%0.26%]和方差协方差矩阵0.4285 0.4018 0.4394 0.3550 0.0269 0.31940.4018 0.8139 0.6542 0.5353 0.0558 0.52740.4394 0.6542 0.9278 0.5248 0.0060 0.54860.3550 0.5353 0.5248 0.4791 0.0371 0.42200.0269 0.0558 0.0060 0.0371 0.7606 0.04200.3194 0.5274 0.5486 0.4220 0.0420 0.4801× 10-3根据这些指数的历史价格估算（2010年1月至2013年12月）。假设UMINGA名义金额为100万，我们的投资组合在不同信心水平下的历史风险价值（VaR）和先前分配下的VaR分别报告在表1的第二列和第三列。接下来，假设我们预计ASX、EEM和标准普尔指数将走强，并预计每周回报率分别为0.1%、0.1%和0.35%。

此外，考虑一个独立的专家观点，即DAX收益率将呈现重尾行为。具体地说，让专家的意见是：（a）~EZ=0.1%，~EZ=0.1%，~EZ=0.13%，~EZ=0.24%，~EZ=0.35%和（b）具有3个自由度的t分布。表1的第四列报告了后验分布下不同置信水平的VAR，该后验分布仅包含对预期收益的看法（即XZI，仅为看法（a））。我们发现，这些与之前的分配没有太大区别。这可以与第五列进行对比，在第五列中，我们报告了在后分布下的VAR（根据100000个样本计算），包括关于t分布的观点（b）以及关于预期收益率的观点（a）。历史平均值的VaR三级分布后视野（a）后视野（a）和（b）后视野（a）和（c）0.9975 67637 56402 56705 79549 678600.9950 56048 51895 52198 63301 584160.9925 45524 490999 49402 55853 540670.9500 29682 33746 34049 29544 330800.7500 13794 14829 15312 12163 139700.5000 2836 1680 2983 1968 2078表1：第二列报告VaR由历史收益率得出，第三栏根据先前的多元正态分布报告VaR。第四列是包含预期收益（即，视图（a））后验分布的VaR，第五列第六列对应于合并了密度和预期收益后验分布的VaR。下一列，假设我们对不同资产的收益有重尾密度假设，而不是DAX；例如，考虑以下观点：（c）t分布模型的标准普尔回报率更好。

具体来说，我们可以说，具有6个自由度的t分布更能代表观测值Z的尾部行为。与合并视图（a）和（c）后获得的后验分布相对应的VAR报告在表1的第6列中。从表1的第5列和第6列可以看出，如果对任何组成资产假设重尾分布，则不符合后验分布（仅包括预期收益率的观点），与之前的VAR存在显著差异。5.期权定价的应用在本节中，我们考虑了一种期权定价场景，其中某些高流动性资产的隐含风险中性密度可以用作校准模型的视图，以对交易不太活跃但与流动性资产相关的期权超额资产进行定价。我们表明，通过优化问题O，这种viewson密度很容易被纳入。在期权定价方案中，一种有效的定价方法是根据市场中观察到的期权价格所隐含的风险中性密度，评估其预期收益。然而，正如[5]中所讨论的，估算隐含风险中性密度需要在大量罢工中获得数据。关于从观察到的多次行权交易的高流动性股票的期权价格中提取隐含的风险中性密度，有大量文献（综合评论见[14]）。然而，对于不活跃交易的股票，隐含风险中性密度的估计是困难的，在这种情况下，对于一些代表市场且与我们感兴趣的股票相关的大量交易的基准资产可用的隐含风险中性密度可以被视为边际分布的观点/约束。

然后将该观点纳入之前的Black-Scholes模型，得出更能代表观察到的期权价格的后验模型。为了说明我们的框架对期权定价问题的适用性，我们提供了一个例子。例3。考虑一下2005年1月5日在IBM股票交易平台ATUD 82.98上对现金买入期权定价的问题。该期权的价格为88美元，将在72天后到期，即2005年3月18日。年无风险利率为2.69%。我们可能会在市场上获得更多相关的额外信息：例如，如果同一到期日的同一IBM股票上有一个履约价格为80美元的现金期权，该期权以4.53美元的价格大量交易，该额外信息表现为对风险中性密度的以下约束：-DE[（X）- 80）+]=4.53，（8）其中X是IBM股票到期时的价值，D是贴现因子，E[·]是风险中性度量的期望算子。此外，很容易获得标准普尔500指数期权等高流动性工具的每日收盘价和要价。标准普尔500指数被广泛接受为美国市场投资组合的代表。如引言中所述，交易期权隐含的风险中性密度包括可通过预期约束（如期权价格、平均回报率等）表达的信息，以及更多信息（如市场情绪、风险偏好、对新信息的敏感性等）；有关这方面的详细讨论，请参见[12]。

我们使用的标准普尔500期权价格数据和无风险利率来自[12]中的表1（这有助于利用[12]中从期权价格中提取的相同隐含风险中性密度）。Y表示到期时标准普尔500指数的价值，grnd（·）表示期权价格隐含的Y的风险中性密度。然后，对联合风险中性密度fX，Y（·，·）：ZfX，Y（x，Y）dx=grnd（Y）施加以下约束。对于所有Y.（9）为了计算之前的联合风险中性密度，我们根据2005年1月5日之前从雅虎金融获得的IBM和S&P500的历史数据校准了多资产Black-Scholes模型。这将产生一个具有协方差矩阵的正态先验3.969-0.4721-0.4721 4.489× 10-5.IBM股票和标准普尔500指数的对数回报率。总体问题自然表现为在满足约束条件（8）和（9）的情况下，找到一个接近特定风险中性对数正态先验f（·、·）的后验密度。根据定理2，后关节风险中性密度fpos（·，·）的形式如下：fpos（x，y）=eλ（x-80）+f（x | y）grnd（y），其中λsolvingZx，y（x- 80）+eλ（x）-80）+f（x | y）grnd（y）dxdy=4.53eDis的数值为0.2479。然后，可以用它来计算出钱IBM期权的价格，价格为88美元，如下所示：-DZx，y（x）- 88）+e0。2479（x）-80）+f（x | y）grnd（y）dxdy=1.17。很容易纳入（8）中的额外期权价格约束，并找到与所有观察到的期权价格以及隐含边际风险中性密度一致的后验风险中性密度。6.结论在本文中，我们以现有方法为基础，使用基于相对熵的思想，将数学上特定的观点/约束纳入给定的财务模型，从而得出更准确的财务模型。