具有非线性交易成本和波动性的超级复制

对于截断罚函数，双复制定理公式只涉及满足一定紧度条件的测度；这使我们能够在第3节中确定缩放极限的上限。2.2. 对于原始h（通过将c取为单位），我们只能证明超级复制价格的下界，在这种情况下，上界的证明仍然是一个悬而未决的问题。N期模型的成本，收益率为OhmN、 {ωN=（x，…，xN）：σ/√N≤ |xn|≤ σ/√N、 N=1，N} 由（2.9）gN，cn（ωN，β），hc/√Nn/N（SN（ωN），β），其中SN（ωN）∈ C[0，1]表示点snn/N（ωN），sexpnXm=1xm！，n=0，N、 对于ωN=（x，…，xN）∈ OhmN.我们的渐近解的技术假设如下：假设2.4。Legendre-Fen-chel变换H:[0,1]×C[0,1]×R→ RwithHt（w，α）=supβ∈R{αβ- ht（w，β）}，t∈ [0,1]，w∈ C[0,1]，α∈ R8 P.Bank，Y.Dolinsky和S.G–Okay在（w，α）中均匀地在t中有多项式增长，即有常数，P，P≥ 0，即（w，α）≤ C（1+| | w | | p∞)（1+|α| p），（t，w，α）∈ [0,1]×C[0,1]×R.此外，H在（t，w）中是连续的，在α中是基本二次的，即存在函数^H:[0,1]×C[0,1]→ 对于任意序列{（tN，wN，αN）}N=1,2，。。。在[0,1]×C[0,1]×R中收敛到（t，w，α）我们有limn→∞|NHtN（wN，αN）/√N）-^Ht（w）α|=0。让我们举两个例子。例2.5。（i） 比例交易成本：固定c>0，考虑由gn，cn（ωN，β），c给出的成本函数√N |β|对于我们的具有N个交易周期的二项市场模型。这个例子在[19]中针对二项式模型进行了研究，并在我们的设置中对应于^H=H的情况≡ 0.（ii）二次成本。

对于给定的常数∧>0，letht（w，β）=∧β。固定c>0，观察我们对六氯环己烷的截断为THNHC（w，β）=（如果|β|≤c2∧，cβ-c4∧，否则。因此，N步二项式模型中的惩罚由gn，cn（ωN，β）=（λβ，如果|β|≤c2∧√N、 c√N |β|-c4∧N，否则。因此，在总交易量较小的情况下，交易量稍高产生的边际成本是线性的，而在总交易量较大的情况下，边际成本是恒定的。这个例子对应于Ht（w，β）=β4∧和^Ht（w）的情况≡4Λ.备注2.6。限制成本过程满足我们假设的充分条件。4是（i）的共同有效性存在>0，因此对于任何（t，w）∈ [0，T]×C+[0，T]，二阶导数Hβ（t，w，β）在任何情况下都存在-w（t）<β<w（t），并且在（t，w，0）处是连续的，并且（ii）我们有Hβ（t，w，0）≡ 0和inf（t，w）∈[0，T]×C+[0，T]inf |β|<w（T）Hβ（t，w，β）>0。事实上，这些条件的有效性可以通过使用泰勒展开来验证。在假设下2。4离散时间超重复价格的标度极限可以描述为：非线性交易成本和波动不确定性定理2.7。假设假设。4成立，σ>0。进一步假设F:C[0,1]→ R+是连续多项式增长的：0≤ F（S）≤C（1+kSk）∞)p、 S∈ C[0,1]，对于某些常数C，p≥ 0.那么我们有了Limn→∞Vσ/√N、 σ/√NgN，c（F）=supσ∈∑（c）EWF（Sσ）-Z^Ht（Sσ）a（σt）dt其中oEWdenotes是关于PW的期望，即（C[0,1]，B（C[0,1]）上的维纳测度，其中标准过程W是布朗运动，o∑（C）是一类过程σ≥ Wiener空间上的0，对于W和su ch thata（σt）生成的过滤是渐进可测量的≤ cfora（σ），σ-σσ, 0 ≤ σ ≤ σ,0, σ≤ σ ≤ σ,σ-σσ,σ ≤ σ、 oSσ表示股票价格随波动率σ的演变：Sσt，sexpZtσsdWs-Ztσsds, 0≤ T≤ 1.这一结果的证明推迟到第3节。2.

解释定理2.7的一种方法是，它将超级复制价格的上限描述为支付的对流风险度量；参见[14]或[16]。∑（c）类参数化了人们选择考虑的波动率模型，而积分项衡量了人们在任何此类模型下与支付平均值的相关性。从这个角度来看，最相关的模型是那些波动率保持在规定的不确定性区域[σ，σ]（因此积分项消失）的模型。其中一个也考虑了波动率σt较高或较低的模型，不过（只要asa（σt）≤ c） ，但根据其局部方差与测量值d（σt）的低侧σ和高侧σ的平均差异，降低了它们的相关性。特别是，我们的超级回复价格的标度限制从下到下以G-期望supσ为界∈[σ，σ]EW[F（Sσ）]。在无摩擦的情况下（其中≡ 0，^H≡ ∞) 选择价值超出区间[σ，σ]的波动率模型的惩罚是有限的，我们恢复了众所周知的不确定性下超级复制价格的无摩擦特征，作为支付方的G-预期。3.证明在这一节中，我们进行理论证明。2和2.7.3.1。定理2.2的证明。定理2.2涉及恒等式V（F）=U（F），其中U（F），supP∈Pσ，σEP“F（S）-N-1Xn=0GnEP[SN | Fn]- SnSn#.作为第一步，我们注意到：10 P.银行、Y.多林斯基和S.G–okayLemma 3.1。对于任何可测量的F:RN+1+→ R+我们有V（F）≥ U（F）。证据设π=（y，γ）超复制F（S）。

然后我们有了≤ YπN=Y+N-1Xn=0（γn（Sn+1- Sn）- gk（（γn）- γn-1） Sn）=y+N-1Xn=0（（γn）- γn-1） （序号- Sn）- gn（（γn）- γn-1） Sn）。对任何P进行（有条件的）期望∈ Pσ，σ这表明ep[F（S）]≤ y+EPN-1Xn=0（γn）- γn-1） （EP[SN | Fn]- Sn）- gn（（γn）- γn-1） Sn）= y+EPN-1Xn=0（γn）- γn-1） SnEP[SN | Fn]- SnSn- gn（（γn）- γn-1） Sn）≤ y+EP“N-1Xn=0GnEP[SN | Fn]- SnSn#其中，最终估计值来自双函数Gn的定义，n=0，N.因为这适用于仲裁∈ Pσ，σ和任何初始财富y，对于它们，我们可以找到一个超级复制策略，前面的估计产生V（F）≥ U（F）。我们接着观察到，对于多项式模型，U（F）=V（F）的恒等式成立：引理3.2。为了k∈ {1, 2, . . . } 以有限集为例OhmK十、∈ Ohm : |xi |=jkσ+1.-jkσ对于某些j∈ {0，…，k}让Pkσ，σ是Pσ，σ的子集，Pσ，σ包含由Ohmk、 然后我们有vk（F）=Uk（F），其中vk（F）=inf{y:y（y，γ）N（ω）≥ F（S（ω））ω ∈ OhmK对于某些策略γ}和UK（F）=支持∈Pkσ，σEP“F（S）-N-1Xn=0GnEP[SN | Fn]- SnSn#.证据对于k=1，也就是说，在二项式的情况下，这就是[11]中的定理3.1。这个结果是通过观察到恒等式可以被转换为有限维凸对偶主张来证明的。同样的推理实际上也适用于k>1的多项式。这证明了我们的主张。在第三步中，我们讨论如何传递到极限k↑ ∞, First for continuous F：非线性交易成本和波动不确定性11引理3.3。用引理3表示。2我们有（3.1）英国（F）≤ U（F），k=1，2。如果F是连续的，我们还有（3.2）lim infk↑∞Vk（F）≥ 五（F）。证据估算值（3.1）直接来自Uk（F）和U（F）asPkσ，σ的定义 Pσ，σ。为了证明（3.2）取k=1，2，一种策略γk如YVk（F）+1/k，~γkN≥F（S）onOhmK

我们将在下面展示，在没有普遍性的情况下，我们可以假设∧γks序列是一致有界的，即（3.3）|γk |≤ 对于某些常数C>0。现在考虑策略γk，~γkopk其中pk:Ohm → Ohmkis是将ω=（x，…，xN）映射到pk（ω）=ω，（~x，…，xN）的投影∈ Ohmkwithxi，最大值十、≤ xi:|x |=jkσ+1.-jkσ对于某些j∈ {0，…，k}.对于任何初始资本y，我们得到yy，γkN（ω）- Yy，~γkN（~ω）=N-1Xn=0γkn（ω）（Sn+1（ω）- Sn（ω））- （Sn+1（°ω）- Sn（∧ω）））-N-1Xn=0gn（ω，（~γkn（~ω）- -γkn-1（ω）Sn（ω）- gn（～ω，（～γkn（～ω）- -γkn-1（ω）Sn（ω）.因为|γk |≤ C在k=1，2，…，中均匀分布，这两个总和中的第一个的绝对值小于2cN-1Xn=0w（Sn，|ω）- ω|），其中对于任何函数f，我们让w（f，δ），δ>0，表示其域上的连续模。类似地，我们得到第二个和的绝对值不超过-1Xn=0w（gn）|Ohm×[-2Cseσn，2Cseσn]，|ω- ω|+2Cw（Sn，|ω）- ~ω|)).通过S和gn的连续性，n=0，N- 1，这两个界限都趋向于0作为|ω- ~ω| → 0.因此有k↓ 0作为k↑ ∞ 因此yy，~γkN（~ω）≤ Yy，γkN（ω）+所有|ω的k- ~ω| ≤ 1/k，y∈ R.假设F也是连续的，所以我们得到F（S）（ω）≤ F（S）（ω）+w（F（S），|ω- ~ω|)≤ YVk（F）+1/k，~γkN（~ω）+w（F（S），|ω- ~ω|)≤ YVk（F）+1/k，γkN（ω）+k+w（F（S），1/k）12p.Bank，Y.Dolinsky和S.G¨okayv（F）≤ Vk（F）+1/k+k+w（F（S），1/k），这意味着我们的索赔（3.2）。还有待于证明序列（∧γk）k=1,2，…）的一致有界性（3.3），。。。。很明显，yk，Vk（F）+1/k≤ A、 k=1，2。，对于一些人来说，A>0。对于任何∧πk=（yk，∧γk），k=1，2，我们将通过对n的归纳来证明（3.4）Y)πkn（)ω）≤ A.1+eσnand |γkn（|ω）|≤A.1+eσn（1）- E-σ） Sn（)ω）表示任何)ω=（)x，…，)xN）∈ Ohmkand n=0，1。。。，N

自Sn以来≥ 东南方-σN，我们的索赔（3.4）则适用于C，A1+eσN/（（1）- E-σ） se-σN）。因为每一个∧πksuper复制品都是一个肯定的断言，所以我们必须有Y∧πk≥ 在可能的情况下为0。特别地，我们有yk+~γks（eσ）- 1) ≥ 0和yk+~γks（e）-σ- 1) ≥ 这让我们可以得出结论| |γk |≤As（1）-E-σ). 因此（3.4）适用于n=0。接下来，假设（3.4）适用于n，让我们证明它适用于n+1。从归纳假设中我们得到了∧πkn+1（∧ω）≤ Y∧πkn（ω）+γkn（ω）（Sn+1（ω））- Sn（ω）≤ A.1+eσ不适用1+eσn（1）- E-σ） Sn（～ω）Sn（～ω）（eσ）- 1） =A1+eσn+1，根据需要。同样，在n+2时估值的投资组合应该是非负的，这是一种可能的情况。因此，Yπkn+1（～ω）+γkn+1（～ω）Sn+1（～ω）（eσ）- 1) ≥ 0andYπkn+1（ω）+γkn+1（ω）Sn+1（ω）（e）-σ- 1) ≥ 所以，|γkn+1（|ω）|≤Yπkn+1（ω）（1）- E-σ） Sn+1（ω）≤A.1+eσn+1（1）- E-σ） Sn+1（ω）。这就完成了（3.4）的证明。它直接从柠檬3开始。1–引理3.3：对于连续函数F，V（F）=U（F）。对于上半连续F，我们可以找到连续函数FKUPOhmF（S）≥ Fk（S）≥ F（S）使林苏普↑∞,ωk→ωFk（S（ωk））≤ F（S（ω））对于任意ω∈ Ohm; 参见，例如。，引理5.3 in[12]。定理2.2的证明将遵循不等式系列V（F）≥ U（F）≥ 林素福↑∞U（Fk）=林苏普↑∞V（Fk）≥ V（F）如果第一个不等式是由引理3.1引起的，那么最后一个不等式是由Fk引起的≥ Fand身份如下bec，因为我们的索赔已经确定为连续Fk。因此，唯一有待证明的估计是第二个：引理3.4。如果F近似于Fk，k=1，2，如上所述，我们有（F）≥ 林素福↑∞美国（Fk）。非线性交易成本和波动不确定性。在不丧失一般性的情况下，我们可以假设（U（Fk））k=1,2，。。。收敛于印度卢比。根据U（Fk）的定义，有Pk∈ Pσ，σ，对于k=1，2。

，U（Fk）-K≤ EPk“Fk（S）-N-1Xn=0GnEPk[SN | Fn]- SnSn#.（3.5）我们希望将（3.5）右侧的lim sup显示为k↑ ∞ 不大于U（F）。为此，用∏表示Ohm ×[0，seσN]N.自Ohm ×[0，seσN]是紧的，当赋予弱拓扑y时，∏也是紧的。现在考虑通过考虑zk，（X，EPk[SN]，EPk[SN | F]，…，EPk[SN | FN]的规律得到的∏中概率测度的序列-1] ）在pkk=1，2。根据Prohorov定理，通过可能传递给一个序列，我们可以在不损失一般性的情况下假设这个序列是收敛的。根据斯科罗霍德的表示定理，因此存在一个概率空间（^Ohm,^F，^P）与一个几乎肯定收敛的随机变量序列^Zk，k=1，2，接受价值观Ohm^P下的x[0，seσN]N，w定律分别与Pk下的zk定律一致，k=1，2。让^Z∞表示^Zk的^P-a.s.现有限制，k=1，2，写成^Z∞= （^X）∞, Y伊恩-1).我们将展示e^P[SN（^X∞)|^X∞, ...,^X∞n] =E^P[Yn|^X∞, ...,^X∞n] n=0，N.（3.6）通过^zk的构造，我们有权在（3.5）边上：EPk“Fk（s）-N-1Xn=0Gn十、 EPk[SN | Fn]- SnSn#= E^P“Fk（S（^Xk））-N-1Xn=0Gn^Xk，E^P[SN（^Xk）|^Xk，…，^Xkn]- Sn（^Xk）Sn（^Xk）！#。^zk的^P-a.s.收敛和FK序列的构造意味着lim-supk↑∞最后一个预期中的术语的最大值是^P-a.s.不大于f（s（^X∞)) -N-1Xn=0Gn^X∞,伊恩- Sn（^X）∞)Sn（^X）∞)!我们使用了Gn的下半连续性。

因为Fon紧集的有界性和G≥ 然后，法图引理允许f（3.5）右侧的lim sup不大于E^P“f（s（X））∞)) -N-1Xn=0Gn^X∞,伊恩- Sn（^X）∞)Sn（^X）∞)!#.14 P.Bank、Y.Dolinsky和S.G–Okay从定义中可以看出，Gn（ω，α）是自适应的，Gn（ω，·）是凸的。这与Jensen不等式和（3.6）一起产生了任何n<NE^PGn^X∞,伊恩-Sn（^X）∞)Sn（^X）∞)^X∞, ...,^X∞N≥Gn^X∞,E^P[SN（^X∞)|^X∞,...,^X∞n]-Sn（^X）∞)Sn（^X）∞).我们得出结论，（3.5）右侧的极限s不大于E^P“F（s（X））∞)) -N-1Xn=0Gn^X∞,E^P[SN（^X∞)|^X∞, ...,^X∞n]- Sn（^X）∞)Sn（^X）∞)!#.自从^X的分布∞是Pσ，σ中的一个元素，正如我们所展示的，这个最后的表达式不大于U（F）。它仍有待确定（3.6）。设n<n，设f:Rn→ R是连续有界函数。从支配收敛定理可以得出E^P[Ynf（^X∞, ...,^X∞n） ]=limk→∞E^PhE^P[SN（^Xk）|Xk，…，^Xkn]f（^Xk，…，^Xkn）i=limk→∞E^P[SN（^Xk）f（^Xk，…，^Xkn）]=E^P[SN（^X∞)f（^X）∞, ...,^X∞n） ]。因此，通过应用标准密度参数，我们得到（3.6）。这是最好的证明。3.2. 理论证明2。7.对于声称的限额（3.7）限制→∞Vσ/√N、 σ/√NgN，c（F）=supσ∈∑（c）EWF（Sσ）-Z^Ht（Sσ）a（σt）dt我们首先要做一些技术准备。2.1在我们建立≤’ 然后≥’ 分别在第3.2.2节和第3.2.3节的（3.7）中。3.2.1. 技术准备。让我们先回顾一下，对于N=1，2，OhmN={ωN=（x，…，xN）：σ/√N≤ |xn|≤ σ/√N、 N=1，N} 允许定义规范过程xnn（ωN）=xn=1，N、 ωN=（x，…，xN）∈ OhmN.因此，我们可以考虑标准过滤比nFNn，σ（XNm，m=1，…，N），N=0，N、 这显然与由nn=sexpnXm=1Xm！生成的相同！，n=0。

，N，sinceXNn=ln SNn- 在SNn-1，n=1，N.对于向量y=（y，…，yN），让∈ RN+1，函数∈C[0，1]表示[0，1]上的连续线性插值，由yn/N=yn，N=0，N.这给了我们，特别是连续时间模拟（SNt）0≤T≤1of（SNn）n=0，。。。，N.非线性交易成本和波动不确定性15我们的第一个观察结果是，F的连续性允许我们以不同的方式编写supremumin（3.7）：引理3.5。LetR，supσ∈∑（c）EWF（Sσ）-Z^Ht（Sσ）a（σt）dt表示（3.7）的右侧。（i） 我们有晚餐∈Pσ，σ，cEP“F（S）-Z^Ht（S）Ardhistdt/St！dt#（3.8）式中，Pσ，σ，cde表示（C[0，1]，B（C[0，1]）上的概率P类，在此概率下，坐标过程S=（St）0≤T≤1是从S=S开始的严格正鞅，其二次变化与Hsitdt/St绝对连续！≤ c、 0≤ T≤ 1，P-几乎可以肯定。（ii）当我们不改变它时，我们接管它∑∑（c），一类渐进可测过程∑：[0,1]×c[0,1]→ 在Wiener空间（C[0,1]，B（C[0,1]），PW上的R+，使得δ>0使得（3.9）σ（σ）- 2c）+δ≤ ~σ≤ σ（σ+2c）- δ均匀分布在[0,1]×C[0,1]上，除此之外，（3.10）~σ≡ σ、 在[1]上- δ、 1]×C[0,1]。-∑在[0,1]×C[0,1]上是Lipschitz连续的。证据这个证明类似于[11]中引理7.1–7.2的证明。以下技术关键引理可被视为Kusuoka[19]的结果，从具有比例交易成本的超级复制到具有非线性成本的不确定波动设置：引理3.6。在定理2.7的假设下，以下是成立的：（i）设c>0，对于N=1，2。，让我们来做一个概率测量(OhmN、 其中（3.11）MNn，EQN[SNN | FNN]，N=0。

，N，接近SNin的意思是QN几乎肯定（3.12）MNn- SNnSNn≤C√N、 N=0，然后我们有（3.13）supN=1,2，。。。EQNmaxn=0，。。。，NSNnP< ∞ 对于任何p>016的p.Bank，Y.Dolinsky和S.G–okayand，具有（3.14）QNn，nXm=1（XNm）+2nXm=1MNm- SNmSNmXNm，n=0，N、 有一个子序列，同样用N表示，例如↑ ∞,（3.15）法律（SN、MN、QN | QN）=> 法律S、 S，Z.DHSISSP其中P是Pσ中的概率度量，σ，c，S如引理3所示。5（i），和之前一样，SNetc。表示向量SN=（SNn）n=0，。。。，Netc。（ii）对于任何c>0和∑∈■如引理3中的∑（c）。5（ii），存在一系列概率测度QN，N=1，2，如（i）中所述，使得（3.15）中的武器收敛性与P定律（Sσ| PW）一致。此外，我们还得到了弱收敛性（如N↑ ∞)（3.16）明尼苏达州劳斯纳，√N | MN- SN | SNQN！=> L aw（S~σ，S~σ，a（~σ）|PW）。证据让我们首先关注索赔（i）。显然，只需证明（3.13）是正确的∈ {1, 2, . . . }. 对于这一点，我们与Kusuoka在[19]中的索赔（4.23）类似，并写出（MNn+1）p=（MNn）p1+MNn+1- MNnMNnp=（MNn）p1+pXj=1pjMNn+1- MNnMNnJ.现在注意到，当取QN期望时，j=1的和的贡献可以忽略，因为它具有消失的FNn条件期望，这是由于mn在QN下的鞅性质。From（3.12）和SNn+1/SNn=exp（XNn）∈ [e]-σ/√N、 eσ/√N] ，它遵循MNn+1/MNn=1+O（1/√N） 当随机O（1）时/√N） -项在N和ωN中均匀变小。因此r j=2，p为O（1/N）级。因此，我们得到了MNn+1pi=（1+O（1/N））方程MNn计划，迭代之后，EQNhMNNpi=（1+O（1/N））N锰p、 显然（1+O（1/N））是以N为界的。对于MN=s（1+O（1/N））也是如此/√N） ，我们使用（3.12）和SN=s。