具有非线性交易成本和波动性的超级复制

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英文标题：
《Super-replication with nonlinear transaction costs and volatility
  uncertainty》
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作者：
Peter Bank, Yan Dolinsky, and Selim G\\\"okay
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We study super-replication of contingent claims in an illiquid market with model uncertainty. Illiquidity is captured by nonlinear transaction costs in discrete time and model uncertainty arises as our only assumption on stock price returns is that they are in a range specified by fixed volatility bounds. We provide a dual characterization of super-replication prices as a supremum of penalized expectations for the contingent claim\'s payoff. We also describe the scaling limit of this dual representation when the number of trading periods increases to infinity. Hence, this paper complements the results in [11] and [19] for the case of model uncertainty.
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中文摘要：
研究了具有模型不确定性的非流动市场中未定权益的超复制问题。流动性不足是由离散时间内的非线性交易成本捕获的，由于我们对股票价格回报的唯一假设是，它们在固定波动率边界指定的范围内，因此模型不确定性产生。我们提供了超级复制价格的双重特征，作为未定权益回报的惩罚期望的上确界。我们还描述了当交易周期数增加到无穷大时，这种对偶表示的标度极限。因此，本文对[11]和[19]中关于模型不确定性的结果进行了补充。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Super-replication_with_nonlinear_transaction_costs_and_volatility_uncertainty.pdf (310.71 KB)

2022-5-7 03:03:17 上传

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关键词：交易成本 性交易 非线性 波动性 Mathematical

具有非线性交易成本和波动性不确定性的超级复制：泰特银行、YAN DOLINSKY和SELIM G–OKAYHEBREW大学和TU BERLINAbstract。研究了具有模型不确定性的非流动市场中未定权益的超复制问题。流动性不足由特定时间内的非线性交易成本捕获，模型不确定性产生，因为我们对股票价格回报的唯一假设是，它们在固定波动范围内。我们提供了超级复制价格的双重特征，作为或有索赔支付的惩罚期望的上确界。我们还描述了当交易周期数增加到整数时，这种双重代表的比例限制。因此，本文对[11]和[19]中关于模型不确定性的结果进行了补充。1.引言我们研究一个模型不确定的非流动离散时间市场。如[11]所述，我们考虑交易规模对设定价格有直接但暂时影响的情况。该模型捕捉了比例交易成本的经典案例，以及其他不确定性模型，如Cetin、Jarrow和Pr otter在[6]中引入的连续时间模型的离散时间版本。与[11]相反，我们对交易证券价格动态的唯一假设是，对数收益的绝对值是从上到下有界的。这是广泛研究的不确定波动率模型的自然离散时间版本；看，e。g、 ，[9]，[22]和[25]。本文[7]研究了这种离散时间模型中博弈选择的超级复制，但不考虑任何市场摩擦。波动率不确定模型中的基准问题是超级复制价格的描述。

在具有交易成本的模型中，我们给出了具有上半连续支付的欧式期权的一般对偶性。具体来说，理论2。2提供了无摩擦不确定波动模型（见[9]）中超级复制价格的双重特征，以及有摩擦的二项式市场中的类似对偶公式（见[11]）。我们要强调的是，在波动性不确定性下，我们不会仅以几乎确定的方式定义复制价格，因为我们实际上是在对任何可能的股票价格变化进行超级复制，这些变化会影响特定的波动性界限。与[11]相比，在我们的设置中，所有可能的股票价格演变都是不可数的，因此我们无法找到一个主要的概率日期：2018年4月8日。2010年数学学科分类。91G10，91G40。关键词和短语。超级复制，摩擦对冲，波动不确定性，极限定理。作者得到了爱因斯坦基金会2012年第137号拨款的支持。第二位作者还感谢玛丽·居里行动研究金赠款618235.2 P.银行、Y.多林斯基和S.G¨OkayMeasures的支持，这将给每一个可能的股价演变赋予正权重。因此，定理2的对偶结果。2超越了目前最可靠的超级复制的经典结果，并补充了[3]的发现，后者考虑了一个可能更一般的设置，尽管没有摩擦。关于模型不确定性下具有比例交易成本的资产定价基本定理的讨论，请参见[4]。

定理2.2证明的关键观察结果是，对于连续支付，我们可以找到近似的离散模型，而经典对偶结果为我们提供了超级复制策略，可以将其提升到具有不确定波动性的原始设置，从而允许我们在理论2中控制收益和损失的差异。3我们考虑凸支付函数的特例。在波动率不确定的无摩擦模型中，众所周知，例如[20]、[18]或[15]中的7.20，超级重复使用价格与经典模型中计算的价格一致，其中波动率始终取最大值。我们证明，如果非线性交易成本是确定性的，这个结果也适用于我们的框架。最后，我们研究了当交易周期数变大时，我们的超级复制过程的极限。理论2。7将该标度极限描述为维纳空间上随机波动率控制问题的值。我们使用对偶结果定理2。2.应用随机过程弱收敛理论研究了对偶terms的极限。这扩展了[11]中的appr oachtaken，因为我们需要将Kusuoka的适当鞅构造（见[19]第5节）扩展到波动不确定性的情况。因此，我们理解了Kusuoka在标度极限描述中对波动不确定性的发现是如何扩展到我们已经从波动不确定性开始的设定的。在无摩擦设置的特殊情况下，我们恢复了Peng[23]的结果，即与离散设置中的上限和下限一样，上限等于付款人的G-期望值。

在存在市场摩擦的情况下，当考虑比例交易成本时，连续时间模型会产生微不足道的超级复制价格，例如[21]和[24]，或者当存在非线性、差异性交易成本或市场影响时，完全没有流动性影响，见[6]或[2]。相比之下，我们的标度极限给出了介于这两个极值之间的一个值，可以被视为支付风险的凸度量，如[14]或[16]所示。我们证明主要结果的方法是纯概率的，并且基于随机过程的弱收敛理论。这种方法允许我们研究一类相当普遍的路径依赖欧式期权和一类非线性交易成本。2.初步研究和主要成果2。1.离散时间模型。让我们首先介绍一个波动不确定性的离散时间金融模型。我们定义了一个时间范围N∈ N考虑一个拥有无风险储蓄账户和高风险股票的金融市场。储蓄账户将被用作计价单位，因此我们不会在n=0时对其价值进行标准化，N到Bn=1。从s>0开始的股价演变将由Sn>0、n=0、1、。，N.因此，通过引入对数回归非线性交易成本和波动不确定性3Xn，对数（Sn/Sn）-1） 对于周期n=1，N我们可以写（2.1）Sn=sexpnXm=1Xm！，n=0，N.我们对这些动态的唯一假设是，股票价格波动存在波动边界，即这些对数收益的绝对值从上到下有界：（2.2）σ≤ |Xn|≤ σ、 n=1，N、 对于某些常数0≤ σ≤ σ < ∞. 换句话说，日志返回值将在路径空间中取值Ohm , Ohmσ,σ,ω=（x，…，xN）∈ RN：σ≤ |xn|≤ σ、 n=1，N用标准过程xk（ω），xkforω=（x。

，xN）∈ Ohm我们发现（2.1）允许我们将股票价格演变视为一个过程s=（Sn）n=0，。。。，未定义Ohm. 显然，标准滤波器fn，σ（X，…，Xn），n=0，N、 与S=（Sn）N=0，。。。，N.[7]中考虑了具有波动不确定性的类似模型。本文旨在研究波动性不确定性和非线性交易成本的综合影响。在[6,11,17]之后，我们假设这些代价由惩罚函数g给出：{0,1，…，N}×Ohm ×R→ R+式中，g（n，ω，β）表示交易β的成本（以B为单位）∈ 当股票价格的变化由ω的变化决定时，n时刻的股票价值∈ Ohm.假设2.1。代价函数g：{0，1，…，N}×Ohm ×R→ R+是（Fn）n=0，。。。，N-适应。此外，对于任何n=0，N、 代价g（N，ω，β）是β中的非负凸函数∈ 对于任意固定ω，R与g（n，ω，0）=0∈ Ohm ω中的anda连续函数∈ Ohm 对于任何固定的β∈ R.为了表示法的简单性，我们通常会抑制成本对ω的依赖性，而对g（n，ω，β）简单地表示为wr ite gn（β）。我们将继续类似地处理ω上的其他函数∈ Ohm.在我们的设置中，转换策略是一对π=（y，γ），其中y表示初始财富，γ：{0，1，…，N- 1}× Ohm → R是一个（Fn）适应的过程，指定在任何时期n=0，N-1股票价格的演化由ω给出∈ Ohm. 初始资本为y的所有投资组合的集合将用A（y）表示。市场价值Yπ=（Yπn（ω））n=0，。。。，从交易策略中恢复π=（y，γ）∈ A（y）由yπ=y和微分方程yπn+1给出- Yπn=γn（Sn+1- Sn）- gn（（γn）- γn-1） n=0，N- 1.4 P.银行，Y.多林斯基和S.G–Okay我们让他们-1, 0.

因此，我们从投资组合中的零股开始，在时间n产生交易成本sgn（（γn）后，交易到新的头寸γ- γn-1） Sn），这是我们模型中唯一的摩擦。因此，价值Yπn+1代表在n+1进行交易之前投资组合的市值。请注意，我们专注于按市值计价，而不是清算价值，特别是不考虑平仓任何非零头寸的成本。2.2. 强大的超级复制，带摩擦。波动率不确定的模型的基准问题是未定权益的超分解。我们在满足假设2的函数g规定的存在市场摩擦的情况下研究这个问题。1.因此，考虑一个欧洲选项F:RN+1+→ 当股价演变为S=（Sn）n=0，。。。，N.上游复制品价格V（F）=Vσ，σg（F）然后定义为Vσ，σg（F），infY∈ R:π ∈ A（y）与yπN（ω）≥ F（S（ω））ω ∈ Ohmσ,σ.我们强调，我们需要构造一个稳健的超扩张策略π，该策略导致在任何可能的场景ω中，终端值Yπn主导着收益X∈ Ohm.我们的第一个结果提供了对超级复制价格的双重描述：定理2.2。让我们来看看：Ohm ×R→ R+，n=0，1。。。，N、 表示gn的Legendre-fenchel变换（或凸共轭），即gn（α），supβ∈R{αβ- gn（β）}，α∈ R.那么，在假设下2。1，具有上半连续支付函数F:RN+1的任意或有类别的超复制价格+→ R+由v（F）=supP给出∈Pσ，σEP“F（S）-N-1Xn=0GnEP[SN | Fn]- SnSn#其中Pσ，σ表示Ohm = Ohmσ、 σ，其中eP表示关于概率测度P的期望。该定理的证明将在第3节中介绍。下文1。

O观察到该结果是无摩擦不确定波动率模型中超级复制价格的对偶特征和有摩擦的二元市场中类似对偶公式的一个混合结果；分别参见[8]和[11]。2.3. 凸Payoff函数。我们的下一个结果涉及一种特殊情况，其中支付F是股票价格演化的非负凸函数S=（Sn）n=0，。。。，N.众所周知，在无摩擦二项模型中，具有凸支付的欧式期权的价格是波动率的递增函数。这意味着不确定波动率模型中的超级复制价格与最大相容波动率模型中的复制成本一致；见【20】。下一个定理推广了这一观点，即摩擦下的波动性和确定性。定理2.3。假设代价函数g=g（n，ω，β）是确定性的，即它不依赖于ω∈ Ohm.非线性交易成本和波动不确定性5然后是任何凸支付的超级复制价格F:RN+1+→ R+是给定的yvσ，σg（F）=Vg（F），其中Vg（F），Vσ，σg（F）表示二项模型中F=F（S）的超级复制价格，其中S具有波动率σ和成本函数g。亲戚≥’ 对于任何>0的情况，都需要构造一个策略γ，该策略γ在从Ohm 从初始资本y=+Vg（F）开始。具有波动率σ的二项模型可以在Ohm , {-1，1}n具有标准过程Xk（ω），xkforω=（x，…，xN）∈ Ohm 通过让股价演变由S，sand Sn，Sn归纳得出-1exp（σXn），n=1。

，N.（Fn）N=0，。。。，根据相应的规范过滤，我们从Vg（F）的定义得出，（Fn）n=0，。。。，N-适应过程γ，使得-1,0我们有（2.3）+Vg（F）+N-1Xn=0γn（Sn+1- Sn）-N-1Xn=0gn（γn- γn-1） Sn）≥ F（S）到处都是Ohm.鉴于（2.2），对于任何ω∈ Ohm n=1，N有唯一的权重λ（+1）N（ω），λ(-1） n（ω）≥ 带λ（+1）n（ω）+λ的0(-1） n（ω）=1使得（2.4）eXn（ω）=λ（+1）n（ω）eσ+λ(-1） n（ω）e-σ.很容易检查权重λωnn（ω），nYm=1λ（ωnm）m（ω），ωn=（ωn，…，ωnn）∈ {-1，+1}n，求和为1。指数d，（2.5）Xωn∈{-1，+1}nλωnn=nYm=1λ（+1）m（ω）+λ(-1） m（ω）= 1，n=1，N.此外，对于N=1。。。，N- 我们有（2.6）λωnn=λωnnNYm=n+1λ（+1）m（ω）+λ(-1） m（ω）=XωN-N∈{-1+，1}N-nλ（ωn，ωn）-n） n，它与（2.4）和S的适应性结合，需要表示sn（ω）=snYm=1λ（+1）m（ω）eσ+λ(-1） n（ω）e-σ（n.X）=ω∈{-1，+1}nSn（ωn，1，…，1）λωnn（ω）=Xω∈OhmSn（ω）λωN（ω）对于任何N=1，N、 ω∈ Ohm.现在计算ω处的（2.3）∈ Ohm, 乘以λω，然后取所有ω的和∈ Ohm.6 P.班克、Y.多林斯基和S.G–Okay（2.3）的右侧则聚集toR，Xω∈OhmF（S（ω））λωN≥ FXω∈OhmS（ω）λωN= F（S）（2.8），其中e估计值根据（2.5）以及F:RN+1的凸性得出+→ 以及我们利用的最后一个身份的位置（2.7）。在（2.3）的左边，常数n+Vg（F）的贡献只是复制了这个非常常数，因为（2.5）。因为γ和S是（Fn）n=0，。。。，Nadapted，即（2.3）贡献素的第一个和中的第n个和，Xω∈Ohmγn（ω）（Sn+1（ω）- Sn（ω））λωN=XωN∈{-1,1}nXx∈{-1,1}（γnSn）（ωn，1，…，1）（eσx）- 1） λωnnλ（x）n+1。通过定义λ（±1）n+1，我们得到xx∈{-1,1}（eσx）- 1） λ（x）n+1=eXn+1- 1=（Sn+1）- Sn）/snsin=Xωn∈{-1,1}n（γnSn）（ωn，1，…，1）λωnn（Sn+1）- Sn）/Sn=γn（Sn+1）- Sn）其中（Fn）n=0，。。。，N-适应过程γ由γ、γ和γN（ω）=XωN给出∈{-1,1}n（γnSn）（ωn，1。

λωnn（ω）/Sn（ω），ω∈ Ohm,对于n=1，N- 1.以类似的方式，第二个sumin（2.3）的第n个和给出了Xω∈Ohmgn（（γn（ω）- γn-1（ω）Sn（ω）λωN≥ gnXω∈Ohm（γn（ω）- γn-1（ω））Sn（ω）λωN= gn（（γn）- γn-1） Sn）其中估计是由于（2.5）和gn:R的凸性引起的→ 最后一个恒等式是由于γ，S和to（2.6）的适应性。因此，f（2.3）的左侧以相反的方式toL，+Vg（f）+N聚集-1Xn=0英寸-N-1Xn=0IIn≤ F（N+1vg）+-1Xn=0γn（Sn+1- Sn）-N-1Xn=0gn（γn- γn-1） Sn）。非线性交易成本和波动不确定性7根据我们对（2.3）中类似agg回收右侧的估计（2.8），这表明γ超复制F（S）和初始c资本+Vg（F）。这是最好的证明。2.4. 缩放限制。我们的最后一个结果给出了超级复制价格的缩放限制的双重描述，当周期数N变大时，股票收益率按1缩放/√N和穗在长度为1/N的时间段内。限制交易成本将根据函数H:[0,1]×C[0,1]×R进行规定→ R+（t，w，β）7→ ht（w，β）这样的to对于任何t∈ [0,1]，w∈ C[0,1]，β7→ ht（w，β）是非负的，并且与ht（w，0）=0是凸的对于任何β∈ R过程h（β）=（ht（w，β））t∈[0,1]是逐步可测量的，即当w[0，t]=w[0，t]时，ht（w，β）=ht（~w，β）。由于技术原因，我们只能为一个合适的惩罚函数设定上限。对于给定的截断水平c>0，我们考虑由hct（w，β）给出的线性转移成本hct，（ht（w，β）为β∈ Ic（h）线性外推，斜率c超过Ic（h），其中Ic（h），nβ∈ R:Hβ≤ 代码记录了距离为零的区间，其中h的斜率绝对值尚未超过c。