具有非线性交易成本和波动性的超级复制

因此，supN=1,2，。。。EQNhMNN圆周率∞根据杜布的不等式，这意味着evensupN=1,2，。。。EQNmaxn=0，。。。，NMNnP< ∞.（3.17）由于（3.12），这就产生了我们的索赔（3.13）。非线性交易成本和波动不确定性17让我们接下来关注定律（MN | QN）N=1,2，。。。我们将在C[0,1]上修正Kolmogorov的紧性准则（见[5]）。为此，回想一下MNn+j/MNn+j-1.-1=O（1/√N） 所以MNsatis fi eshMNin+l的二次变化- hMNin=lXj=1EQN[（MNn+j- MNn+j-1） | FNn+j-1]=max0≤N≤NMNnO（l/N）。从B urkholder–Davis–Gundy不等式和界（3.17）中，我们得到eqn[（MNn+l- MNn]=O（（l/N）），这很容易给出连续插值的科尔莫戈罗夫准则mn，N=1，2。建立紧度后，我们可以找到一个子序列，同样用N表示，这样定律（MN | QN）N=1,2，。。。在适当的概率空间（^）上收敛到连续过程定律Ohm,^F，^P）。接下来我们将展示这个过程是一个严格正的马丁酒。事实上，根据斯科罗霍德的表示定理，我们可以假设有过程^MN，N=1，2，关于（^）Ohm,^F，^P）与law（MN | QN）=law（^MN | P），几乎可以肯定地将e^P转化为M as N↑ ∞. 从（3.17）可以看出，mn的鞅性质决定了^Munder^P的鞅性质。为了证明M是严格正的，我们在他的论文[19]中遵循了Kusuoka对（4.24）和（4.25）的论证，并建立了supn=1,2，。。。EQNmaxn=0，。。。，Nln MNn< ∞（3.18）因为这意味着max0的^P-可积性≤T≤1 | ln Mt |法图引理。对于（3.18），回想一下MNm/MNm-1=1+O（1/√N） 在m和ωN中是一致的。这允许我们使用泰勒展开来获得ln-MNm- 嗯-1=MNm- MNm-1MNm-1+O（1/N）。在m=1上求和。

n，这与MN=s（1+O（1/√N） ）：maxn=0，。。。，N | ln MNn |≤ maxn=0，。。。，NnXm=1MNm- MNm-1MNm-1.+ O（1）。亨切恩maxn=0，。。。，Nln MNn≤ 2EQNmaxn=0，。。。，NnXm=1MNm- MNm-1MNm-1.+ O（1）≤ 8EQN“NXm=1MNm- MNm-1MNm-1.#+ O（1），18 P.Bank，Y.Dolinsky和S.G–okaywhere对于第二个估计，我们使用了Doob不等式对鞅进行估计，该鞅由我们在上述表达式中取最大值的和给出。再次回顾MNm/MNm-1.-1=O（1/√N） 在m和ωN上，我们一致地得到了（3.18）。最后，让我们转向弱收敛（3.13）并介绍，对于N=1，2，辅助离散随机积分n，nXm=1MNm- MNm-1SNm-1，n=0，N.通过应用[13]，（3.12）-（3.13）中的定理4.3，以及已经建立的弱收敛定律（MN | QN）N=1,2，。。。在C[0，1]上，我们推导了弱收敛律SN[Nt]，MN[Nt]，YN[Nt]！0≤T≤1.QN(3.19)=> 法律Mt，Mt，Yt0≤T≤1.^P！作为N↑ ∞在Skorohod空间D[0,1]×D[0,1]×D[0,1]上，其中Y，R.dMs/Ms，因此M=Mexp（Y- hY i/2），特别是，hln Mi=hY i.Mor，同样，通过Koroho d的表示定理，我们可以假设存在过程1/SN，^mn和^YNon（^Ohm,^F，^P），其在^P下的联合定律与（3.19）中的一致，并且几乎可以肯定地将^P有效地收敛到1/M，M和Y。现在，重新校准| XNm |≤σ/√N我们可以泰勒展开ex=1+x+x/2+O（x），这样我们就可以用（3.12）写emnm了- MNm-1SNm-1=1+MNm- SNmSNmeXNm-MNm-1SNm-1=MNmSNm-MNm-1SNm-1+XNm+（XNm）+MNm- SNmSNmXNm+O（1/√N） 。因此，使用（3.14）中定义的QNas，我们通过对m=1求和得到，n:YNn=MNnSNn-MNSN+ln-SNn- ln-SN+QNn+O（1）/√N） 。就^YN、^MN和^QN而言，（QN[Nt]）0≤T≤1这相当于^YNt=^MNt^SNt-^MN^SN+ln^SNt- lns+^QNt+O（1）/√N） 对于t∈ {0，1/N，…，1}。

因为这个表达式中的所有其他项几乎都收敛为N↑ ∞, ^QNt也是如此，它的极限由limn^QNt=2（Yt）给出- ln Mt+ln s）=hY it=hln M it0≤ T≤ 1.非线性交易成本和波动不确定性19Now，fix 0≤ s<t≤ 1.观察它- hln M is=limN（^QNt）-^QNs）=limNX[Ns]<n≤[N t]^XNnXNn+2MNn- SNnSNn∈ [σ(σ - 2c）+（t- s） ，σ（σ+2c）（t- s） ]。因此，hln Mi与densitydhln Mitdt绝对连续∈ [σ(σ - 2c）+，σ（σ+2c）]，0≤ T≤ 1，这意味着！≤ c、 因此，P，Law（M | 710)P）位于引理3中考虑的类Pσ，σ，cas中。5（i）。通过^SM，^MN，^QN的构造和^P-几乎确定的收敛，这证明了（3.15）对于这个P。现在让我们转向引理第（ii）项的证明，取σ：[0，1]×C[0，1]→ 引理3.5中引入的类∑（c）中的R。修理∈ {1, 2, . . . } 并定义OhmN通过以下递归过程生成σN，κN，BN和ξnb：σN，σ∨ ~σ(0) ∧ σ、 对于n=1，N，σNn，σ∨ ■σ（n）-1） /N（十亿）∧ σ、 κNn，■σ（n）-1） /N（BN）（σNn）- 1.,ξNn，√Nln SNn- 在SNn-1σNn-1=√NXNn/σNn，BNn，BNn-1+经验（1+κNn）XNn- κNn-1XNn-1.- 1p1+2κNnσNn。观察到∑的渐进可测量性确保其在定义σn和κn时的评估依赖于BN=（BNm）m=0，。。。，仅通过m=0的已知构造值，N- 1.接下来，定义过程qNby（3.20）qNn=exp（κNn）-1XNn-1) - 经验(-（1+κNn）σNn/√N） exp（（1+κNn）σNn/√N）- 经验(-（1+κNn）σNn/√N） 。考虑概率测度PNon(OhmN、 FNN），其中随机变量ξN。。。，ξNNare i.i.d.与PN（ξN=1）=PN（ξN=-1) = 1/2. 从（3.10）可以看出，存在>0，其中κNn>- 1 /2. 因此| BNn- BNn-1 |=O（N）-1/2）和|κNn- κNn-1 |=O（N）-1/2）因为∑的Lipschitz连续性。We20 P.Bank、Y.Dolinsky和S.G–Okay得出结论，对于足够大的N，qNn∈ （0,1）PN几乎可以肯定。

对于这种情况，我们考虑通过Radon-Nikodym导数Dqndpn | FNn=2NnYm=1计算QNgivenqNmI{ξNm=1}+（1- qNm）I{ξNm=-1}.由于PN[ξNn=±1]=1/2，我们对qN（3.20）的选择确保bn是qN下的鞅。现在考虑随机过程mnn，SNnexp（κNnXNn），n=0，N.从（3.10）可以得出，对于足够大的N，κNN=0，因此MNN=SNN。此外，从（3.9）我们有|MNn-SNn | SNn≤C√N.还要注意（3.21）MNn=MNn-1.1+q1+2κNnσNn（BNn- BNn-1).因此，σN，κN的可预测性确保，除了BN之外，在QN下，mn也是amartingale。因此，在我们现在引理的第（i）部分中，我们要求mn和QNare。因此，仍然需要建立弱收敛（3.16）。通过应用泰勒的六分法，我们qNn-κNn-1σNn-1ξNn-1+（1+κNn）σNn2（1+κNn）σNn= O（N）-1/2）PN几乎可以肯定，（2qNn）- 1） ξNn-1.-κNn-1σNn-1（1+κNn）σNn= O（N）-1/2）PN几乎可以肯定。从最后的等式和度量的定义中，我们得到了这个等式（1+κNn）σNnξNn- κNn-1σNn-1ξNn-1.| FNn-1i=（σNn）（1+κNn）+（σNn）-1） （κNn）-1)- 2（2qNn- 1） （1+κNn）σNnκNn-1σNn-1ξNn-1=（σNn）（1+2κNn）+O（N）-1/2）。这与应用泰勒展开yieldsEQN相结合（BNn）- BNn-1） |FNn-1.=N+O（N）-3/2).从[1]中的定理em8.7，我们得到了C[0，1]上law（BN | QN）到维纳测度的收敛性。从∧σ的连续性可以得出，{p1+2κNnσNn}）Nn=0的连续插值N[0,1]，即qn收敛定律下的∧σ[Nt]/N（BN）到PWon C[0,1]下的∧σ的过程。因此[13]和（3.21）中的定理5.4给出了收敛定律（BN，MN | QN）=> 空间C[0,1]×C[0,1]上的定律。最后，注意我们有联合收敛定律（SN，MN，√N |κNσN | | QN）=> 定律（Sσ，Sσ，a（~σ）| PW）作为N↑ ∞在C[0,1]×C[0,1]×C[0,1]和（3.16）上，按要求如下。非线性交易成本和波动不确定性213.2.2。证明≤’ 在（3.7）中。

应用带有g，gN，cof（2.9）的定理M2.2表明，对于N=1，2。存在一个衡量标准(OhmN、 FNN）使（3.22）Vσ/√N、 σ/√NgN，c（F）≤N+EQN“F锡-N-1Xn=0GN，cnMNn- SNnSNn#式中，GN，cis是GN的L e gendre-Fenchel变换，其中MN定义为引理3.6。因为通过构造hcand，因此，als o gN，chas是最大斜率c，我们有gN，cn（α）=（Hn/N（SN，α）if |α|≤ C∞ 否则特别地，上面的概率序列（QN）N=1,2，。。。如引理3.6第一部分所要求。因此，我们得到了概率为P的弱收敛性（3.15）*∈ Pσ，σ，c。根据斯科罗霍德的表示定理，存在一个概率空间（^）Ohm,^F，^P）与过程^SN，^MN和^QN，N=1，2。以及一个连续鞅M>0，比如tLaw（SN，MN，QN | QN）=law（^SN，^MN，^QN | P），N=1，2，（3.23）法律*) = L aw（M|^P），（3.24）以及（3.25）（^SN，^MN，^QN）→ （M，M，hln M i）^P-几乎可以肯定为N↑ ∞.由于引理3.6的（3.13），max0≤T≤对于任何P>0，1^SNtis在Lp（^P）中有界。根据Lebesgue定理，假设F与（3.23）和（3.25）连接时的连续性和多项式增长，因此可以得出（3.26）EQNhF的结论锡我→ E^P[F（M）]作为N↑ ∞.下面我们将讨论LIM infN↑∞EQN“N-1Xn=0GN，cnMNn- SNnSNn#≥ E^P“Z^Ht（M）ardhln M itdt！dt#（3.27）将（3.22）与（3.26）和（3.27）结合，然后给出（3.28）lim supN↑∞Vσ/√N、 σ/√NgN，c（F）≤ E^P“F（M）-Z^Ht（M）ardhln Midtt！dt#。由于（3.24），（3.28）的右侧可以被视为（3.8）中考虑的预期之一。

我们从引理3.5（i）推导出≤’ 保持（3.7）。让我们通过证明（3.27）并写出-1Xn=0GN，cnMNn- SNnSNn#= E^PZNH[Nt]/N^SN，新界/√Ndt（3.29）在哪里-C≤ 新界，√N^MN[Nt]/N-^SN[Nt]/N^SN[Nt]/N≤ c、 22 P.班克、Y.多林斯基和S.G–奥卡利特b:R→ R是一个凸函数，使得b（u）=a(√u） 为了你≥ 0，例如（3.30）b（u），-u、 u≤ -σ,(σ-u） σ，-σ<u<0，a(√u） ，u≥ 0.根据假设2.4和^sn对M的^P-几乎肯定收敛，被积函数nh[Nt]/N^SN，/√N在t中一致收敛∈ [0,1]和 ∈ [-c、 c]至^Ht（M）. 此外，来自外稃3。下面我们有(（新界）≥ b（N）^QN[Nt]/N）。因此，（3.27）中的lim inf以be low bylim infN为界↑∞E^PZ^Ht（M）(Nt）dt≥ 林恩芬↑∞E^PZ^Ht（M）b（N）^QN[Nt]/N）dt.（3.31）根据其定义，可以得出以下结论：^QN[Nt]/N）0≤T≤1，N=1，2。取区间[σ]中的值-2cσ，σ+2cσ]和so它们是一致有界的。因此，我们可以使用引理A1。在[10]中取1，对于N=1，2，指数为{N，N+1，…}的过程序列中的凸组合δNof元素哪一个汇聚^P几乎每一天。用（δt）0表示极限过程≤T≤1.ObservethatZtδudu=limN→∞ZtN^QN[Nu]/Ndu=hln M it，因此我们得出结论δt=dhln Mit/dt，^P 几乎每一天。因此，法图斯莱玛（Fatou’slema）的E^PZ^Ht（M）a（pδt）dt= E^PZ^Ht（M）b（δt）dt≤ 林恩芬↑∞E^PZ^Ht（M）b（δNt）dt.通过b的凸性和δ的构造，最后一个lim-inf不大于（3.31）右侧的lim-inf。因此，我们可以结合这些估计得出我们的结论（3.27）。证明≥’ 在（3.7）中。由于引理3.5，它必须说明（3.32）lim是如何影响的↑∞Vσ/√N、 σ/√NgN，c（F）≥ EPWF（S∑）-Z^Ht（Sσ）a（^σt）dt对于∑∈∑（c）。对于这样的∧σ，我们可以应用引理3。其中qmnga提供了(OhmN、 FNN），N=1，2。

，使（3.33）LawSN，MN，√N | MN- SN | SNQN！=> 法律Sσ，Sσ，a（√σ）嗯作为N↑ ∞.我们现在可以使用Skorohod的表示定理，就像第n3节一样。2.2 toobtain，与（3.26）类似，（3.34）EQNhF锡我→ EPWFSσ作为N↑ ∞.非线性交易成本与波动不确定性23集-C≤ 新界，√N^MN[Nt]/N-^SN[Nt]/N^SN[Nt]/N≤ c、 与（3.29）类似，我们有thatlimN↑∞EQN“N-1Xn=0GN，cnMNn- SNnSNn#（3.35）=limN↑∞EQNZNH[Nt]/N^SN，新界/√Ndt= EPW[Z^Ht（S∑）a（∑t）dt]，其中最后两个等式来自我们对H的假设，即引理3中的矩估计。6（给出了一致可积性）和（3.33）（以及斯科罗霍德表示定理）。将（3.34）和（3.35）结合起来，我们就可以写出（3.32）asEPW的右边F（S∑）-Z^Ht（Sσ）a（^σt）dt= 画↑∞EQN“F锡-N-1Xn=0GN，cnMNn- SNnSNn#.另一方面，理论2。2表明这样的极限是f（3.32）左侧的下限。这就完成了我们的证明≥’ 持有（3.7）我们用前面证明中使用的下列元素不等式来完成这项工作：引理3.7。对于x，y∈ R使得| x |∈ [σ，σ]我们有b（x+2xy）≤ y、 其中b表示（3.30）的函数。证据我们区分了四种情况：（i）x+2xy≥σ. 在本例中为0≤ x+2xy- σ≤ 2xy≤ 2σ| y |和sob（x+2xy）=（x+2xy）-σ)σ≤ y、 （二）σ≤ x+2xy≤ σ. 在这种情况下，b（x+2xy）=0，并且该语句是平凡的。（三）|x+2xy |≤ σ. 设置z=x+2xy。假设z是固定的，并引入函数fz（u）=（z-u） 你，你≥ σ. 注意这一点∈ [-σ、 σ]导数f′z（u）=1- z/u≥ 0和sob（x+2xy）=fz（σ）≤最后，假设x+2xy≤ -σ. 显然是x+2xy+y≥ 0和sob（x+2xy）=-十、- 2xy≤ Y24 P.Bank，Y.Dolinsky和S.G–Okay参考文献[1]D.Aldous，以斯特拉斯堡方式观察过程的随机过程的弱收敛性，未出版手稿，统计。实验室大学。

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