欧洲银行业跨境系统性风险建模：a

如第2节所述，文献表明，这两个组成部分对系统风险建模都很重要。Cuadras和Aug\'e在1981年提出了MO copula函数（见[42]）。在两个可交换边缘rvs X和Y的情况下，MO copula定义为asC（u，v）=uv min（u-θ、 五-θ） （3.5）式中θ∈ [0,1]表示边缘CDF之间（正）关系的强度。如果θ=0，那么rvs X和Y是随机独立的，ndmo copula变成C（u，v）=uv。如果v和v之间有正的关联，那么v和v之间就成了完美的关联。此外，MO copula copula是一个具有右上尾相关性的n极值copula，其中θ是上尾相关性参数χu。MO copula（3.5）的一个重要特征是，它有一个绝对连续部分和一个奇异部分（[42]和[44]）。由于单数部分的存在，我们可以为位于两个国家的两家银行的倒闭概率同时相等的事件分配一个非零概率。因此，可以将MO copula视为绝对连续部分caa和奇异部分CsC（u，v）=2的线性组合- 2θ2 - θCa（u，v）+θ2- θCs（u，v）（3.6），其中Cs（u，v）=[min（uθ，vθ）]2-u=v的θ和u6=v的Ca（u，v）是：Ca（u，v）=2- θ2 - 2θ[uv最小值（u-θ、 五-θ)] -θ2 - 2θCs（u，v）。如第2节所述，系统性风险是由特质冲击和系统性冲击共同造成的。第一类主要以银行特征为特征，后者代表两国的共同特征，如宏观经济状况。如果MOcopula的上ta il依赖参数θ高于0.5，那么系统性冲击比特异性冲击更重要，可以解释系统性风险。

相反，如果θ<0.5，fidiosyncratic冲击对系统性风险的影响高于系统性冲击。3.3一种新的p参数估计方法（3.1）中广泛使用的估计分布函数的方法是最大似然法[32]。如果cdf参数的数量很高或没有关于边缘cdf函数形式的信息，则采用标准最大似然（CML）（[32]和[57]）方法。特别是，CLM是一种两步半参数估计方法：第一步，通过经验cdf估计边际cdf，第二步，通过最大似然法[36]和[19]估计copula参数，得出CML在模拟和经验财务数据上都表现出最佳性能。在本节中，我们建议应用CLM来估计MO copula。为了应用CLM，我们需要计算theMO copula的概率密度函数。首先，我们为每个B定义度量u∈ B+u（B）=u（B）+uB∩x:（x，x）∈ R+（3.7）对于每个B∈ B+其中u是二维勒贝格度量，B+是波雷尔σ-R+和u中的代数是实线上的勒贝格测度。与[46]类似，我们得出MO copula（3.5）相对于度量u是绝对连续的。我们计算了cdf（3.6）的导数，得到了MO copula关于测度（3.7）cθ（u，v）的概率密度函数=(1 - θ） uvCθ（u，v）{u>v}∪ {u<v}θuCθ（u，v）u=v（3.8）带0≤ 五、≤ 1, 0 ≤ U≤ 1和0<θ<1。我们现在可以应用CLM。在第一步中，我们将经验cdf视为每个国家^ui=^FX（xi）和^vi=^FY（yi）银行倒闭时间cdf的非参数估计。

第二步，我们估计参数θ∈ 通过最大化条件似然函数^θ=arg max L（θ| u，^v），其中L（θ| u，^v）=nYi=1cθ（bui，bvi）∝ (1 - θ） n+nθnnYi=1Cθ（^ui，^vi）。（3.9）n，n表示观察次数，n={ui<vi}，n={ui>vi}和n={^ui=^vi}。因此，θ的最大似然估计是^θ=（1+exp）(-^ψ))-1带^ψ=-n\'n- 2n- Smin+pn+Smin- Smin（2n）- 4n）2n#n>0且Smin=nPi=1min(-ln（^ui），-ln（^vi））（详见[44]。图1：样本审查数据3。4银行倒闭的截尾时间前一节中建议的估计MO copula的方法只允许使用代表样本极低百分比的银行困境信息。为了使用大多数未陷入困境的银行的重要信息，我们建议在右侧应用I型截尾抽样，包括在时间t停止对银行状况的观察*（银行违约的最高观察时间）。为了将位于两个国家的银行配对，我们建议根据每个国家的银行面临的困境风险对它们进行排序。我们定义m={xi≤ T*∩ 易≤ T*}这两个陷入困境的国家的两家银行的银行账户数量。此外，我们定义r={xi≤ T*∩ yi>t*} 第一个国家和第二个国家陷入困境的银行数量，s={xi>t*∩易≤ T*}第一个国家未陷入困境的银行数量和第二个国家处于困境的银行数量。这意味着-m={xi>t*∩yi>t*}+ r+s是指两国中至少有一家银行没有陷入困境的对数。为了应用I型截尾抽样，我们指定*如图3.4所示，确定非不良银行的违约时间。为了应用I型截尾抽样，我们需要修改上一节中建议的CLM程序。

在第一步中，我们使用Ka plan Maier估计器估计边际CDS：^ui=^FX（xi），^vi=^FY（yi）。然后，在第二步中，我们最大化copula的条件似然函数。让(十、Y） =（I{X≤T*})（x） ，我{Y≤T*}（y） ），X=1-桑德Y=1-Y、 其中IA（·）是集合A的指示函数。在[43]之后，我们计算条件。Kaplan-Maier估计量用于估计删失样本的cdf（见[34]）。连接函数的似然函数（θ|^FX，^FY）=nXi=1ln[cθ（^FX（xi），^FY（yi））]xiYi+nXi=1ln[Cθ（^FX（xi），^FY（Yi））]xiYi++nXi=1ln[Cθ（^FX（xi），^FY（Yi））]易Xi+nXi=1ln[Cθ（^FX（Xi），^FY（yi））]xiYi（3.10），其中cθ（u，v）是（3.8）中定义的copula密度，cθ（u，v）=Cθ（u，v）vand Cθ（u，v）=Cθ（u，v）u、 I型删失数据θ的最大似然估计为^θc=（1+exp）(-^ψc）-1（3.11）与^ψc=-ln“m+r+s- 2米- Smin+p（m+r+Smin）- 2m+4m（m+r+s）- m） 2m#（3.12），其中m=m- {^ui≥ ^vi}，m=m- {^ui≤ ^vi}，m=m- M- mandSmin=mXi=1min(-ln（^ui），-ln（^vi））+rXi=1[-ln（^ui）]+sXi=1[-ln（^vi）]+（n-M-R-s） t*.最大似然估计（3.11）是该优化问题唯一且可接受的解决方案（详见附录6）。4实证结果4。1数据集实证分析基于意大利、德国和英国银行1995-2012年期间的年度数据。这些数据来自Bankscop e，这是一个由私人公司局Van Dijk提供的全球各银行资产负债表和损益表数据的综合数据库。时间范围和地理区域对2009年的欧洲主权债务危机至关重要。我们选择分析意大利、德国和英国之间的跨境银行相互依存关系，因为它们的银行体系非常不同。例如，大多数非营利银行和德国银行规模相当小，它们是合作银行或储蓄银行（约90%在德国）。

在英国，银行的平均规模更大，传统上没有地区或国家银行，只有一家合作银行。在金融危机和主权债务危机期间，这三个银行系统都面临着压力。英国银行面临的有毒资产风险较大，而美国、意大利和德国银行的风险较小。相反，外债危机对意大利和德国银行体系的影响更大，即使通过大量的ZF支持措施，德国银行体系在很大程度上在短期内实现了稳定。为了将位于两个国家的银行配对，在上一节中，我们建议根据各自的失败风险对每个国家的银行进行排序。特别是，我们应用BGEVA模型（[10]，[11]）来估计给定国家中每家银行的违约概率。该方法是一种半参数scoringmodel，尤其适用于样本中极少量的默认值。文献中的银行倒闭预警指标可分为两组：银行特有的指标，即与银行评级系统相关的财务比率（[3]）和影响所有银行的宏观经济因素（[12]）。为了测量多重共线性的严重程度，我们计算了每个解释变量的波动系数方差（VIF）。

首先，我们考虑了22个独立变量，剔除了VIF高于5的变量，得到了18个协变量：总资产、贷款损失准备金与总贷款之比、权益与总资产之比、平均资产回报率（ROAA）、平均权益回报率（ROAE）、净贷款与总资产之比、流动资产与客户融资之比、银行间资产与银行间负债之比、，流动资产与总折旧及摊销前利润之比、一级比率、与总资本之比、权益与负债之比、权益与净贷款之比、净息差、GDP增长率、通货膨胀率、失业率和利率。所有数据均适用于1802家德国银行、602家意大利银行和265家英国银行。这些样本量与上述分析的这些国家的银行体系特征一致。4.2评估结果和良好的财务指标如前一节所述，我们将BGEVA模型应用于每个国家的银行，以评估违约概率。这些估算首先用于订购每个国家的银行，然后用于配对位于两个国家的银行。要应用二元copula，两国的银行数量必须相同。因此，对于银行数量较多的国家，我们只考虑总资产较高的银行，因为系统性风险对它们更为重要。然后，我们使用每个国家违约时间的经验CDF作为MO copula的边际CDF。最后，我们应用第3.3节中建议的两种方法。3.4估计MO-copula的参数θ。我们将MO copula与文献[47]和[55]中使用的copula模型进行比较，例如高斯copula、Gumbel copula和Frank CF、Clayton CCA和Gumbel CGcopulae（F+C+G）C（u，v）=πFCF（u，v；α）+πCCC（u，v；γ）+（1- πF- πC）权重为0的CG（u，v；r）≤ πi≤ 1 f或i=f，C，G。

MO、Gumbel和copulae的混合物显示出渐近的尾部依赖性和不对称性，而高斯copula是对称的，没有尾部依赖性。参数-高斯copula的1<ρ<1表示线性相关系数。此外，Gumbel copula的参数R>1是正相关的度量，代表上尾依赖的强度（χu=2）- 21/r）。Frank copula是表1：Copulae参数估计pula IT-UK IT-DE UK DEGaussian^ρ=0.25^ρ=0.30^ρ=0.2 7Gumbel^r=1.30^r=1.40^r=1.37F+C+G^πF=0.31，πC=0.15^πF=0.21，πC=0.14^F=0.25，πC=0.13^α=0.01^α=0.0004^α=0.0003^γ=0.23^γ=0.2 6^γ=0.25^r=1.33^r=1.45^r=1.41MO^θ=0.37710θ=0.55710θ=0.45对称copula，对α有正相关性∈ (0, +∞), α的负相关性∈ (-∞, 0）和α=0的独立性。这个copula模型中的尾部依赖是空的。最后，克莱顿copula也显示出正相关性。其参数γ代表较低的尾依赖强度（χu=2）-1/γ).最后，Frank、Clayton和Gumbel copulae的混合物可以显示Clayton copula的下尾依赖性和Gumbel copula的上尾依赖性。表1显示了不同copula模型的结果。对于所有成对的国家，Ga-ussian copula的线性相关系数估计ρ都接近于零。这一结果可能是因为高斯copula只表现出线性依赖性，而不是尾部依赖性。后者是我们在dat a中所期望的。为了验证这一期望，我们应用了一个显示上尾依赖的Gumbel连接词和一个显示上尾依赖和下尾依赖的连接词的混合。

由于三对国家的参数^r都高于1，这意味着存在上尾依赖。这种依赖性的强度很低，因为r的所有值都接近1。与预期一致的是，Gumbel copula在所有成对国家的混合模型中的权重最高（IT-UK为πG=0.62，IT-DE为πG=0.65，UK-DE为πG=0.54）。我们使用方程（3.4）来计算上尾相关参数。我们得出IT-UK的χu=0.316，UK-DE的χu=0.365，IT-DE的χu=0.387。这意味着混合模型中的上尾依赖强度仍然较低。我们强调，在混合物和Gumbel Copulae中，上尾相关参数估计的顺序是相同的。此外，这些排序对应于高斯copula中的一个线性相关系数。从这个顺序来看，IT-DE的系统风险结果高于DE-UK，最终高于IT-UK的系统风险。这一结果符合预期，也符合Gropp等人（2009）的结果。Gropp等人（2009年）估计了在同一天经历了大规模冲击的银行的传染方向。他们在意大利和德国之间建立了强大的双边关系，而在乌克兰和德国之间的双边传染力较弱。最后我们应用MO-copula。其参数θ表示上尾相关参数。从表1中我们注意到，本文提出的MO模型显示出比之前的Copular模型更高的尾部依赖性。

英国和德国陷入困境的银行之间的尾部关联为中高（χu=0.55），英国和德国银行系统之间的尾部关联为中低（χu=0.45）。MO copula的较高上尾依赖性可能是因为模型中包含了一个奇异部分，以便为两个国家的银行以相同的概率同时陷入困境的事件分配一个非零概率。这样，我们就可以准确地估计系统性风险的系统组成部分。相反，数据显示，在甘贝尔模型和混合模型中，这一成分可能被低估。考虑到银行的特殊性，如果θ高于0.5，系统成分比特殊成分更能解释系统风险。由于意大利和德国的银行都处于欧洲央行相同的货币政策之下，系统性风险的最重要组成部分是系统性风险（θ>0.5），这是一致的。如果这两个银行系统采用两种不同的货币政策，这一部分就变得不那么重要了。图4.2显示了IT-UK、UK-DEA和IT-DE的估计MO copula函数及其轮廓水平。为了确定最适合数据的copula，我们需要选择一个标准。由于模型是非嵌套的，因此[4 7]我们使用了针对小样本偏差（[8]）调整的Akaike信息标准AIC=2k- 2l（bθ）+2k（k+1）n- K- 1式中，l（bθ）是最大化对数似然函数，k是估计参数的数量，n是样本量。根据这一标准，最好的配置模型是最小化AIC的模型。为了选择最佳的fit copula，还进行了基于经验copula[18]的fit优度（GOF）测试。一般来说，经验copula和参考copula之间的最小距离意味着最好的函数。

这样的距离是通过克莱姆·冯·米塞斯统计数据（[23]和[26]）来测量的。在【26】之后，我们使用参数自举程序从表2中获得近似的p值，根据AICand和GOF检验，最适合数据的copula是MO copula。此外，为了使用非困境银行的数据，我们采用了截尾抽样，如图3.4所示。表4.2中的结果表明，如果采用无传感器采样，参数θ的估计值会增加。这意味着，当我们考虑所有样本的特征时，特质对于所有成对的国家来说变得更加重要。由于θ是上尾相关参数，本文中讨论的所有方法的最重要结果都在Matlab程序中实现。可根据作者的要求提供。图2:IT-UK的Mo copula和countour lines估计值（θ=0.37）图3:UK-DE的Mo copula和countour lines估计值（θ=0.45）图4:IT-DE的Mo copula和countour lines估计值（θ=0.55）表2:UK IT-DE UK脱俗AIC GOF测试p值AIC GOF测试p值AIC GOF测试p值高斯-4.32 0.54-10.30-9.18 0.52Gumbel-19.20 0.73-22.450.71F+C+G-24.87 0.78-25.98 0.82-18.45 0.79MO copula-34.44 0.91-37.89 0.94-21.67 0.82表3：copula参数估计：完全和删失样本数对英国意大利对德国英国对德国样本数参数估计参数估计完全样本数θ=0.45θ=0.55θ=0.31删失样本数θ=0.76θ=0.83θ=0.50证据表明通过应用无传感器采样，尾部依赖性增加。