贴现因子不完全信息下的合作

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英文标题：
《Cooperation under Incomplete Information on the Discount Factors》
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作者：
Cy Maor and Eilon Solan
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  In repeated games, cooperation is possible in equilibrium only if players are sufficiently patient, and long-term gains from cooperation outweigh short-term gains from deviation. What happens if the players have incomplete information regarding each other\'s discount factors? In this paper we look at repeated games in which each player has incomplete information regarding the other player\'s discount factor, and ask when full cooperation can arise in equilibrium. We provide necessary and sufficient conditions that allow full cooperation in equilibrium that is composed of grim trigger strategies, and characterize the states of the world in which full cooperation occurs. We then ask whether these \"cooperation events\" are close to those in the complete information case, when the information on the other player\'s discount factor is \"almost\" complete.
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中文摘要：
在重复博弈中，只有当参与者有足够的耐心，并且合作的长期收益大于偏离的短期收益时，合作才有可能达到均衡。如果玩家之间的折扣系数信息不完整，会发生什么？在本文中，我们研究了重复博弈，其中每个参与者都有关于另一个参与者折扣因子的不完全信息，并询问在均衡中何时可以出现完全合作。我们提供了必要和充分的条件，允许在由严峻的触发策略组成的平衡中进行充分合作，并描述了进行充分合作的世界各国的特征。然后，我们询问这些“合作事件”是否接近于完全信息情况下的事件，而另一方的折扣因子信息“几乎”完整。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Cooperation_under_Incomplete_Information_on_the_Discount_Factors.pdf (302.49 KB)

2022-5-7 03:08:56 上传

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关键词：不完全信息 完全信息 贴现因子 全信息 Differential

折扣因子不完全信息下的合作*Cy Maor+和Eilon Solan2021年11月17日在重复博弈中，只有当玩家有足够的耐心时，才能在均衡中进行合作，合作的长期收益超过偏离的短期收益。如果玩家之间的折扣系数信息不完整，会发生什么？在本文中，我们研究了重复博弈，其中每个参与者对另一个参与者的折扣因子有不完全的信息，并询问在均衡中何时可以出现完全合作。我们提供了必要和充分的条件，允许在平衡状态下进行全面合作，这是由严峻的触发策略组成的，也是全面合作发生的世界各国的特点。然后我们问这些“合作事件”是否与completeinformation案例中的“合作事件”接近，即当另一方的折扣参与者的信息“几乎”完整时。1.介绍合作是人类行为中的一个重要主题。在重复的互动中，合作通常是通过威胁来实现的：如果一个玩家偏离了*索兰的工作得到了以色列科学基金会（Grant#212/09）的支持耶路撒冷希伯莱大学数学研究所，邮编：91904，Israe l.电子邮件：cy。maor@mail.huji.ac.il——特拉维夫大学数学科学学院，以色列特拉维夫69978。电子邮件：eilons@post.tau.ac.ilagreed根据计划，其他球员将惩罚他。三次惩罚的有效性取决于实施惩罚时偏离者所遭受的损失：如果损失很大，则威胁有效。只有当玩家对未来的回报有足够高的权重，也就是说，如果他们有足够的耐心，并且未来的回报能充分影响他们的整体效用，才能通过威胁来控制行为。

这意味着有时合作无法在平衡中产生：如果一个玩家应该合作，但没有耐心，他会倾向于偏离并获得短期利益。如果一个玩家认为其他玩家没有耐心，也会发生同样的情况；在这种情况下，玩家会认为该玩家不会合作，因此他也没有合作的理由。在本文中，我们研究了一个模型，其中两个参与者都不知道另一个参与者有多耐心；也就是说，玩家之间有关于彼此折扣因子的不完全信息。我们要问的是，完全合作是否以及何时能在平衡中产生，或者更确切地说，玩家的信念应该是什么，这样合作才能在平衡中产生。为了发展ourideas，我们考虑了重复的囚徒困境（见图1），这是一个用于研究合作相关问题的经典博弈。图1：囚犯的困境在这个游戏中，两个玩家都有两个动作，合作（C）和缺陷（D）。在一次性比赛中，动作D强烈地支配着动作C。如果玩家希望合作，他们可能希望在每个阶段玩（C，C），从而获得每个阶段的回报（3，3）。通过偏离D，玩家在偏离阶段获得1 a。如果球员因该偏差而遭受的总损失大于1，则该偏差将不可预测。一个玩家可以通过多种方式惩罚另一个偏离规则的玩家。一种方法是使用严酷的触发策略：如果另一个玩家偏离t台，玩D而不是C台，那么在所有未来阶段玩D来惩罚他。如果一名球员采用了严峻的t型索具策略，那么偏离者在偏离后的每个阶段至少损失2次。

特别是，只要偏差系数至少为，偏差就不可预测。惩罚越轨者的另一种方法是使用针锋相对的策略，在该策略中，每个阶段，玩家都会执行另一个玩家在前一阶段执行的动作。事实证明，只要偏离者的折扣系数至少为TAS，这种惩罚就能阻止偏离。当参与者的折扣因子是公共知识时，这些结构产生均衡。在这种情况下，每个玩家都知道另一个玩家会因为偏离而损失多少，因此他知道另一个玩家是否愿意合作。在本文中，我们研究了两个游戏者根据彼此的折扣因子具有不完全信息的再创博弈。我们的目标是研究在平衡状态下何时可能出现完全合作；也就是说，玩家的信念是什么，允许玩家在游戏中通力合作。为了说明这个问题分析的复杂性，假设参与者的折扣因子不是公共知识。策略文件是指在第一阶段，每个参与者都表示是否愿意合作，在随后的阶段，如果双方在第一阶段都表示愿意合作，参与者就会合作。如果折扣系数至少为a，则在第一阶段通过玩C来发出信号，否则玩D。这个结果可能不是一个均衡，因为如果一个玩家的折扣系数高于，但他很有可能注意到对手的折扣系数低于，那么该玩家有动机在第一阶段偏离并玩D。如前所述，惩罚严厉时更容易支持合作。

我们的目标是把重点放在玩家的信念上，这是平衡合作所需要的条件。因此，我们将考虑最严厉的惩罚，这是通过严厉的触发策略实现的；也就是说，如果一名球员偏离规则，他将在随后的所有阶段受到惩罚。因此，我们将每个玩家分为两种类型：一种是不合作型，总是有缺陷；另一种是合作型，遵循严酷的触发策略。正如我们通过一个例子（见例子5.4）所展示的，严峻的触发策略不一定是产生最广泛合作的策略，也就是在世界上最大的一组国家进行合作。我们选择关注g-rim触发策略，因为它简单，即使在复杂的信息结构下，也能让我们关注玩家的想法。根据严酷触发策略文件，如果玩家的折扣系数低于，那么他将不合作，属于非合作类型。如果玩家在比赛中很有可能让对手属于非合作类型，那么他也将属于非合作类型。如果对手将高概率分配给他属于非合作类型的事件，他也会拒绝合作。因此，只有当两个玩家的折扣系数至少为时，合作才能出现，每个玩家将另一个玩家的折扣系数至少为，每个玩家对另一玩家指定的事件具有足够高的概率，对其（玩家）的折扣因素至少具有足够高的概率，等等。换句话说，必须持有一份明确的要求清单，以便充分合作。毫不奇怪，支持非平衡所需的详细需求清单可以概括为两种情况。

因此，在均衡状态下，完全合作需要（a）每个参与者的折扣因子至少，（b）每个参与者分配一个足够高的可能性，其他参与者将进行合作。为了保证条件的有效性，我们需要增加第三个条件，（c）当一个玩家不合作时，另一个玩家不合作的概率非常高。有趣的是，（b）中的概率并不是常数，而是取决于玩家的折扣系数：折扣系数越高，如果无法实现合作，玩家的损失就越大。因此，打折率高的玩家会在打折率低的情况下不合作。为了对贴现因子上的不完全信息进行建模，我们使用了一个带有不完全信息的Harsany’s名称，其中自然状态是贴现因子对，以及贝叶斯均衡的概念。一对事件（K，K）是一对合作事件，如果每个参与者i在Ki上玩严酷触发策略，并且Ki的补上总是有缺陷的策略对是贝叶斯均衡。也就是说，当合作事件发生时，在平衡状态下完全合作是可能的。我们首先提供合作事件对的完整特征。然后，我们定义了一个新的f-信念概念，它是Monderer和Samet（19 89）p-信念概念的推广：当f是定义在世界状态集合上的实值函数时，如果playeri分配给a atω的条件概率至少为f（ω），则事件a是在世界状态ω下层i的NF-信念。

这一概念与上文提到的合作条件（b）密切相关，因为为了进行合作，每一方都需要分配一个足够高的概率，即另一方存在，如果我们使用完美的贝叶斯均衡而不是贝叶斯均衡，结果不会改变。合作的可能性取决于他自己的贴现率，因此也取决于世界的状况；也就是说，玩家必须相信另一个玩家会为了某个函数而合作。利用迭代f-信念和公共f-信念的概念，我们提供了一个最大合作事件对的迭代构造。合作事件的特征可以推广到f或其他两人博弈。对于2×2博弈，结果基本相同，条件（a）-（c）进行了适当的调整。在大型游戏中，虽然（相当于）条件（a）-（c）仍然是合作事件的特征，但我们对最大的一对合作事件的构建不再有效。文献中研究的另一个解决方案概念是内部相关合理化能力（ICR），参见Dekel、Fudenberg、andMorris（2007）和Weinstein and Yildiz（2007）。就这一概念而言，结果具有相同的影响，但条件（c）不是agrim触发策略可实现的必要条件。在这种情况下，通过f-信念构造合作事件更简单，并且可以很容易地扩展到大于2×2的情形。一个自然的问题是，当贴现因子的信息几乎完全时，在完全信息的情况下，是否存在与合作事件接近的合作事件。

Monderer和Samet（1989）确保，当信息在某种意义上几乎完全时，世界上大多数国家都存在一种与完全信息平衡相吻合的平衡。然而，在这种几乎完全的信息平衡中，在他们的环境中总是有“未映射的区域”；也就是说，战略不明确的世界状态。我们问，在几乎完全的信息环境中，格里姆特里格战略是否存在一种均衡，这种均衡在世界上的每一个状态中都被定义，并且接近于完全信息均衡。事实证明，答案取决于对几乎完整信息的定义。我们将为这个概念提供两个自然定义；在一个类似于Mondrer和Samet（1989）的游戏中，对于囚徒困境和某类其他游戏，答案是肯定的，但通常是否定的，而在另一个游戏中，对于所有游戏，答案是肯定的。我们的分析表明，f信念的概念对研究不完全信息下的合作具有重要意义。显然，是否合作的决定取决于球员的整个信仰等级；我们的分析表明，这在很大程度上取决于玩家的确切折扣系数，而不仅仅是，比如说，取决于它是否高于或低于某个固定的阈值，就像在信息复杂的游戏中一样。

最后，我们的分析表明，对几乎完全信息的定义的细节极大地影响了作为参与者信念函数的最大一对合作事件的连续性，并且我们指出了一个可能的概念定义，以保证该函数的连续性。关于具有不同折扣因素的重复博弈，尤其是关于它们的不完整信息的文献非常少。Lehrer和Pauzner（1999）对具有不同贴现因子的重复博弈进行了最全面的分析，他们描述了两人博弈中的均衡收益，并表明重复博弈中的可行收益集通常比基础阶段博弈收益的凸壳更大。Lehrer和Ya r iv（1999）分析了两人零和重复遗传算法，关于支付矩阵的单边不完全信息，其中贴现因子是公共知识。最接近我们的分析是Blonsky和Probst（2008），他们处理的是一个两人博弈，关于折扣因素的信息不完整。他们的论文描述了一个与囚犯的困境有关的博弈中的有效均衡和支付的帕累托前沿，但在阶段博弈中有更多的策略，对应于不同的合作或信任水平。我们的论文在几个方面与Blonsky和Probst（2008）不同。首先，我们处理的是不同类别的游戏，其中不包括逐步建立信任的机制。其次，虽然Blonsky和Probst（2008）采用了一种简单的信息结构，并询问什么是有效的均衡，但我们采用了一种简单而自然的策略（严酷的触发），并检查了它何时会导致给定信息结构的均衡。

在其他研究中，虽然Blonsky和Probst（2008）展示了在特定的游戏和信息结构中合作的均衡是怎样的，但我们研究了玩家的信念要求，这些信念保证了严酷触发策略中均衡的存在。沃森（Watson，1999200）和高桥（Chassang and Takahashi，2011）分析了一个关于支付矩阵的不完全信息的两人博弈中信任的建立，这与Blonsky和Probst（2008）以及Kajii和Morris（1997）和Chassang and Takahashi（2011）中的博弈有些相似，他们研究了重复遗传算法中平衡点对支付矩阵上少量不完整信息的稳健性。Chassang和Takahashi（2011）也特别处理了囚徒困境，并表明严峻的触发平衡并不是维持合作的最彻底的方式。论文的结构如下。在第二节中，我们介绍了折扣因子信息不完全的重复囚徒困境，以及合作事件的概念。在第3节中，我们描述了成对的合作事件。在第四节中，我们介绍了f-信念、公共f-信念和迭代f-信念的概念，并用这些概念描述了重复囚徒困境中最大的一对合作者。第5节提供了示例。