Malliavin演算的代数形式：创造-湮灭算子，

DHTr.Z（12） 与ZH经验HZandZTrEH ,0和 A，B如 A B+（13） 在等式（12）中，可以以任何合适的方式定义运算符轨迹（例如，作为Diximier轨迹）。注意，如果H的谱是非退化的，并且从上面受到限制，那么乘积（13）有一个平凡的零子空间。此后，吉布斯测度在算子代数本身上导出了一个标量积。否则，我们必须根据吉布斯测度选择期望的一个零子空间，并像往常一样继续GNS。§7. 海森堡方程。与欧拉-拉格朗日方程类似，阐明导数优化性质所需的进一步定义需要动力学描述。为了定义动力学，我们考虑一系列状态（原始希尔伯特空间的元素），它们由实参数t:索引！T关于团结：!T, !T 1.在某些一般条件下（见[Ru1]），可以认为这个族是由一个元素的酉半群的作用生成的：！TEITH0美国犹他州！0（14） 在等式（12）中，他的模型是一个自伴随算子，可以进一步用哈密顿量来识别。这一结构在量子力学中以海森堡表示（见[San1]，[Schw1]）的名义广为人知。

狄利克莱形式！T是不变的，如果用算子的幺正变换替换半群对状态空间元素的作用：!T,A.T !0 ,A.T!0（15） 在哪里Ais是对L和A.TE我不能H艾特H（16）然后，应用贝克-豪斯道夫公式：A.BEAe是A.B（17） 立即得到海森堡方程（算符的运动方程A.T) 其中点表示时间导数：A.我HA.（18） 特别是：A.TH，a(19)a+H，a+注1：我们方法中的换向器类似于Malliavin演算中的Lie括号（Malliavin and Thalmaier，2005，第5.3节）。注2：我们将使用量子力学中使用的时间来强调演化算符的幺正性。只有在必要的应用中，我们才能回到欧几里德的传统 我用于统计物理和数学金融。§8.  薛定谔方程。借助微分的δ运算（§3），创造湮灭算符的海森堡方程（18）可以呈现为哈密顿形式，这在本质上类似于薛定谔方程：idadtHa，a+ a（18）id a+dtHa，a+a+注：§5中定义的积分允许方程（18）的形式积分。§9. 能量守恒定律。因为哈密顿算符（我们特意考虑与时间无关的哈密顿算符）与自身通勤HH0（19）哈密顿量是运动的积分：! ,H康斯特E（20）能量守恒定律与δ导数一致。的确：T! ,H! ,Ha+a+A.HA.! 我! ,HA.H a+HA.Ha+! 0（21），其中我们首先使用方程（18），其次使用哈密顿量是自伴的性质（§2）。

和之前一样，我们假设哈密顿量不显式包含参数t，并且仅通过海森堡算子a，a+依赖于时间。§10.  欧拉-拉格朗日方程。为了探索微分学在优化问题中的应用，我们必须定义action（时间索引算子族）和/或Lagrangian。然后，我们可以通过最小作用原理或欧拉拉格朗日方程来描述变分演算的模拟，这是我们的目标。作用可由常规积分等式S定义p dqH dt12iA.a+DA.a+Ha，a+我们使用§22中的公式（§9）获得能量，并在下面的表达式中使用§22：圣14我a2A.2.Et12i（23）像往常一样，可以得到一个“动量”算符，作为作用的（形式）坐标导数：PsA. A. Qsa+ a+ Qs A.A. Q1.s a+a+ Q1.s q（24）式中，我们使用方程（2）和（2\'）的表达式。§11. 拉格朗日密度。拉格朗日（更准确地说，拉格朗日密度）是作为作用的时间导数得到的，这与经典力学（[Mo1]，[Tay1]）一样12iA.A.a+a+Ha，a+（25）奥尔12 PQQPH PQ（26）在拉格朗日方法中，创造-湮灭算子的时间导数应被视为独立变量，而不是原始算子海森堡变换的产物（§5）。因为通过构造，哈密顿算符不依赖于它们，所以应用于拉格朗日密度的常规欧拉运算会导致：滴滴涕Q QL在（27）中，我们认为拉格朗日函数是自变量的函数Qq、 我们定义了由传统链规则定义的关于a，a+的q-导数，正如我们在等式（24）的推导中所做的那样。

回到创造湮灭算子，我们得到：iA.Ha（28）ia+H a+方程（28）按原样重现了方程（17）的薛定谔形式。然而，通过这种方式推导它们还有一个额外的好处，因为§5（通过直接计算）的推导形式上只适用于算子a和a+中的哈密顿多项式。形式上，要从（25）中获得拉格朗日，需要定义状态空间上的测度，并在该测度上积分方程（25）的表达式。“推导”——实际上，我们假设对拉格朗日密度的欧拉运算应用为零，适用于任何形式的创造-湮灭算子函数。注：多项式算子代数似乎是微积分的一个非常有限的设置，但它是唯一一个具有严格数学基础的代数。我对实际适当延期的建议如下。我们假设符号a+，a F\" , \"操作员的，其中“，“是c-数，f是一个复函数，可以表示为其参数的渐近序列（关于运算符的符号，请参见[H"or1]）。§12.汉密尔顿-雅可比方程。为了进一步阐明δ-导数的极值性质，我们必须推导汉密尔顿-雅可比方程的形式模拟。

取作用的全时间导数（方程（25-27））并使用方程（28）表示生成和退火算子的时间导数，我们得到：ddt圣12 Haaa+ Ha+Ha，a+（29）将等式（29）简化为常规形式：T圣H0（30）我们必须承认以下身份：dd tT12 H aaa+ Ha+（31）等式（31）中第二项的启发意义是，它类似于协变导数公式中的仿射连接：五、12 Haaa+ Ha+（32）算子V是显式自伴的。与传统的微分几何类似，这个算子必须有几何解释。§13.  刘维利安。Malliavin演算中的一个重要元素是定义收敛的可能性，它具有几何意义[Tha1]。然而，传统随机演算中的拉普拉斯函数和调和函数的几何解释需要复杂的分析解释。[Kar1]此外，散度作为一个概念的实用性与一种能力交织在一起，即根据不可压缩液体的流动对散度进行“流体动力学”解释。（[Mo1]）散度概念最有用的结果是常规分析的高斯定理。[Galb1]几何解释似乎只有在系统的状态空间上施加某种简化结构时才可能，这需要复制状态空间L。

然而，作者的数学训练不足以进一步推动这一考虑。我们定义了一个新的复制状态空间F：（33）我们通过泛函分析[Ru1]中的基本定理，用L（L-类型空间）上的线性泛函空间来识别Hilbert空间F的第二个副本。F的元素是双元素ρ={F，#}，它们在QM中用密度矩阵（[Cohen1]，[Sh1]）标识。算子的期望值由密度矩阵的常规公式表示：E A.a，a+TrA. f，A#（34）式中<.>是希尔伯特标量积。在等式（34）中，Aa，a+不明确地依赖于时间，但可能通过海森堡算子a，a+依赖于时间。F元素的海森堡表示由一个类似于方程式（17）和（18）的结构引入。一连串的标识如下：8因为时间导数是沿着海森堡算子运动轨迹的移动，所以这个附加项必须与微分几何中的仿射连接相吻合。

[Dub1] f e我有我很高兴EIT Hf，A#e我知道Tr Aei t HEi t H（35）因为操作员a，a+是任意的，我们可以用符号表示ρ的时间演化：T艾特E在微分形式中，这个方程是：dd t我H（37）方程式（37）可以正式改写为：T我$（38）在等式（38）中，Θ是一个刘维尔“算子”，或刘维尔算子。事实上，Liouvillians的有限维投影是一个4-张量：$$这个有限维投影可以表示为：$mn，jkHmjnk美赞臣knVmj（40），其中Vmjare是由等式（32）定义的算子的矩阵元素。因为我们将Hilbertl空间视为可分离的，所以对原始状态空间使用公式（40）几乎没有什么严格性。从技术上讲，一对索引只起作用，另一对则起作用L.这相当于张量分析中指数的上升和下降，但现在我们将忽略这一差异。方程（35）可以正式积分：EIT$0（41）如果把这个方程想象成一个形式展开式，它的意义就会得到澄清：9有时候，在物理文献中，这个结构被称为“超算子”10，即希尔伯特空间L到n维欧几里德空间En的映射。11与QM中的常规一样，下面我们通过“矩阵元素”在（可分离）希尔伯特空间上表示一个算子，而不质疑这种表示是否严格，甚至是否存在。12因为我们假设艾克ki，我们可以忽略这个差异。然而，如果使用流形而不是欧几里德空间作为状态空间，这就变得很重要。T0我不能$0t2%2！$$0...（42）这些级数的收敛性问题并不存在，因为表达式（42）实际上是以截断形式使用的，直到t的某个幂。

指数表达式（41）仅用于演示，例如哈密顿演化的等距。§14. 概率流和速度算符。我们的目标是定义水流，它服从连续性方程。实现这一点的构造看起来有些肤浅，被随机学家从量子场论借用的威克序概念所包含。我定义了一个名为“奇偶校验”的新操作，它指示操作符在状态空间上的操作顺序。也就是说，a，a+表示作用于左边表达式的运算符，a，a+表示作用于右边表达式的运算符。我们假设只有平价“平衡”的表达式具有非零期望。通过引入散度、速度算符和（守恒）洋流，可以将Liouvillan表示为两个因素的乘积：$mnijjmkvkn（43）这里不讨论它可以分解的充分必要条件。作用于密度矩阵的运算符：122我A.a+A.a+（44）代表分歧。这个定义在最初的p-q表示中变得更清晰：12 P P（45）注意，在用流体力学术语描述量子力学时，还必须引入“左”和“右”速度。[Pa1]那么，如果我们将速度算符引入：13，与Di Nunno、Oksendal和Proske进行比较。（[Ok1]2009）14 Kolokoltsov[Kol2]通过湮灭算符的投影图像识别散度（第2章）。

这个定义很严格，但不清楚散度与连续性定理之间的联系。五、我 H A. Ha+（46）我们可以将守恒电流定义为：五、（47）密度矩阵（41）的演化方程可以使用奇偶性nabla重写为：基Tjmkvknkm（48）方程（48）是我们简化代数形式的连续性方程。定义：斑块测量值dσkis由以下等式定义：d&k. , !KDSN在哪里nis是曲面S的法线，dS是欧氏度量。引理。对于足够光滑的定向封闭表面a：A.kvkj！jdSAjkd&k0（49）证明。公式（49）源于传统的高斯定理（[Galb1]）和变分法[Trout1]的拉格朗日-杜波伊斯-雷蒙德勒玛。笔记证明了L（或F）光滑函数的正交基的存在性。通常假定这些函数在A中是连续的，并且在其边界上是连续的。要考虑奇异函数（和电荷），必须使用Gelfand三元定义广义导数。§15.  高斯定理。使用刘维尔公式，我们可以模拟传统微积分中著名的高斯定理。[Galb1]到目前为止，我不知道如何用散度来表述高斯定理，甚至不知道它的推广是否唯一。然而，对于一个足够光滑的曲面，欧几里德空间中的封闭体积V，下面的等式似乎成立，在这里！N0:V$mn，jk！kdVA.k$mn，jkd&k（50）证明$嗯，jk！KHmjnk！KmjHkn！NVnk！K嗯！NmjHkn！N 嗯！Nmj！nHnk!kVknwhere，在上一个等式中，我们使用了算子H和V的自伴性。第一项通过构造在A表面上相同。然后应用等式（49）。§16. 连续性方程。

从连续性方程（48）开始：冀Tijk，vkn纳米0我们可以用方程式（46-48）定义的电流重写它基Tkmijm0(51)§17.  中值定理。一个随机过程可以由其均值及其导数的积分精确地重建。这就构成了克拉科尼定理的一个意义。[Jean1]在我们的例子中，这个过程是由它的哈密顿量定义的。哈密顿量的期望值相等：! , H  , HA.爸爸 HA. 爸爸\' ! , （52）其中λ是一个任意数，它不属于H.15的谱。我们认为希尔伯特空间L在一些n维欧氏空间上实现为一个函数空间。这种简化设置是没有必要的，但我们还是遵循它。证据首先，我们注意到，由于算子H的自伴性，它有一个完整的引子系统。第二，因为方程（53）在哈密顿算符中是线性的，我们可以考虑属于H谱的函数φ和ψ& H. 此外，考虑一个操作符：D H\' 如果\'（&H. 如果我们将delta导数应用于该算子，我们得到： D H H A.a dt Ha+a+dt H广告a H a+da+（53）积分方程（53），利用标量积的自伴性质，我们得到了一个积分常数未定义而不是原始λ的方程（52）。观察到! , D \'# ! , H\'# ! , #完成证明。附录A.随机收益投资组合的估值本附录形式上不依赖于主要论文的形式主义。它只展示了代数变分法在一个简单问题上的实用性，即具有随机回报的单行本定价问题。目前，大多数定价算法都是Black-Scholes问题的扩展。