Malliavin演算的代数形式：创造-湮灭算子，

也就是说，资产价格过程可能是任意复杂的，但回报函数是确定性的，就像call的情况一样。[Hul1]然而，在许多问题上，尤其是在另类投资方面，收益也不确定。例如，在航运衍生品[Al1]中，给定策略的回报不仅取决于运输大宗贸易的船舶使用情况，还取决于不确定的搁置和恢复现役。在我们的公式中，我们有n assetsUi的投资组合1.n、 收益服从标准扩散方程：d Ui艾德投标）Wi（A.1）这里，aiare是预期收益，biare是资产波动率，Wiare是标准布朗运动。资产组合的收益是非线性的、随机的，服从以下方程：df十、如果十、d Wi（A.2）在方程（A.2）中，fia是其参数的可预测函数，Wi是标准布朗运动。然后，应用It^o-Kunita-Wentzel公式[Jean1，第1.5.3节]计算投资组合价值的微小变化，得出以下表达式：UUiF酒后驾车12用户界面UjF酒后驾车2.Ujfj杜伊德维 F用户界面dWi人工智能UiF dt投标）WiUiF dt12bibj用户界面UjF dtUifjAijdt 方程式（A.3）中的fidWi（A.3），AijdtDujdwi和nabla算子的指数表示一个方向导数。使用我们假设可预测的任意试验函数Vi，我们可以写出投资组合演化的一阶最优性条件：维夫U六、人工智能UiF毕用户界面)Wi12Bij用户界面UjF dt六、UifjAijdt维菲德维六、人工智能UiF六、UifjAij12Bij用户界面UjFdt威比UiF d）Wi维菲德维式（A.4）中的0（A.4）Bij=bibj。

此外，我们使用了传统的速记：)W dtd） 现在，我们可以使用Malliavin关于最后两项的分部积分公式。0TfidWi 菲WiTWi0WiFi（A.5），Wii是布朗运动，DWI是Malliavin导数。我们进一步假设两个世界都是布朗桥0WT,)W0)WT.   在数学金融术语中，这意味着标的资产价格在t=t时结算——同时整个投资组合结算。这个假设使方程（A.5）中的第一项无效。使用Lagrange-Du-Bois-Raymond引理[Trout1]，我们可以从方程（A.4）中去除积分，从而得到以下形式的SPDE：人工智能UiF12Bij用户界面UjFUifjAij dt)WiD）Wi毕UiFWiDWi-fiU（A.6）因此，方程（A.6）获得了函数空间中扩散方程的标准形式，随机右手边除外。最后，利用散度[Tha1]的定义，我们可以将右手边的预期写成随机流的散度：人工智能UiF12Bij用户界面UjFUifjAijWj1)Wj2（A.7）在方程式（A.7）中W DWj1前任 j1（A.8）例如)W D）Wj2 前任 j2概率电流由以下表达式给出：j j1 j2毕UiF f（A.9）如果 J方程（7）得到了函数空间中扩散的标准形式。注1：显然，上述所有计算都可以通过创建-湮灭运算符或反转正文等式（1）中的箭头并使用以下等式重写：a+aa+*q2（A.10）方程（1）、（2）和（A.10）允许以标准形式表达扩散发生器：A.12&2a+a\'A.\'a+c（A.11），其中σ、b、λ和c是系数。注2：方程（A.9）中描述的电流守恒可以用支付函数F上的泊松方程表示，当且仅当ib+如果附录B。

哈密顿算子的半群性质本附录中讨论的问题是Di Nunno、Oksendal和Proske[Ok1]问题1.5的一个变体。算子的半群性质ETH可表示为：PTPt，Ptt（B.1）如下等式链： FT , #  F0 , #  F0TtPTt#dt F0, #  F0T teTT H#dt（B.2），并使用正文中的等式（52）： FT ,#   F0 ,#   F0TteTTH#dt F0, #  F0T HA.PTt#dt F0T Ha+a+PTt#dt F0, #  F0T H恰当的Ta+，a爸爸#  F0T Ha+PTTa+，ad a+#（B.3）将T=0时（B.3）的右侧与左侧进行比较，得出λ=0。最后一行等式（B.3）来自§4中的注释。我们在最后一行明确地写下了进化算符的论点，以强调海森堡算符是在当前时间使用的。注：将（B.3）与Di Nunno、Oksendal和Proske在练习1.5中的公式进行比较。附录C.高频做市商的近似度量卡莫纳和韦伯斯特在《高频做市商》一文[Car1]中推导出了该度量（概率意义上）的公式（4.20），该公式由做市商根据其客户的信念确定。在[Car1]的设置中，目标函数取决于股票的异常回报率，服从以下方程组：d“ti”“蒂德& d Mti- 其中ρ>0是平均回复率，M和W是相互依赖的维纳过程，i=1，2。。。n、 在波动率方程中，σ1是波动率。

简化的目标函数的形式为：J1nTr六“jf\"（C.2）其中f是其参数的一个足够光滑的标量函数。应用方程式（A.4）的定义，我们得到：1nTr比吉&2.-2（C.2）附录A中的其他替代品采用以下形式：F f、 身份证，菲 -艾吉，艾吉 ij）Wi现在，方程式（A.4）的内容如下：维夫六、 身份证件 F12&2.-2.* F dtVi-如果d Wi（C.3）与Carmona和Webster[Car1]中的等式（4.20）一致。参考文献[Acc1]Accardi，L.和S.V.Kozyrev，关于马尔可夫流的结构，预印本arXiv:quantph/9911078v2。[Al1]Alizadeh，A.，N.Nomikos，2009，航运衍生品和风险管理，PalgraveMcMillan:英国伦敦。[Andr1]V.A.安德列夫和P.B.勒纳，选择。公社。，84，（1991）323[Apl1]Applebaum，D.，2009，利维过程和随机微积分，剑桥大学出版社。[Apl2]Appelbaum，D.，1988，在Fock空间中停止幺正过程，公共图书馆。东京大学RIMS，24697-705。[Belton，A.C.R.，2013年，关于停止Fock空间过程，预印本arXiv:1311.4871v1[mathOA][Bel1]Belyavkin，V.P.，1989年，Phys。莱特。A、 140355-358。[Bel2]Belyavkin，V.P.，2005，FockSpace中的量子非适应性伊藤公式和随机分析，预印本arXiv:math ph/0512076v1。[Car1]Carmona，R.和K.Webster，高频做市商，工作报告，普林斯顿大学经济系，普林斯顿，新泽西州。[Cohen Tannoudji，C.，B.Diu和F.Laloe，1977年，量子力学，约翰·威利：纽约。[Dix1]Diximier，J.，1969年，Les C*-algèbres et leurs Représentations，Gauthier Villars。[Dub1]Dubrovin，B.A.，S.P.Novikov和A.T.Fomenko，1991，现代几何，斯普林格：海德堡。[Dun1]Dunford，N.和D.T.Schwartz（1971）线性算子，第一部分，Wiley Interscience，纽约：纽约。[Dun2]邓福德，N.和D.T。

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