Malliavin演算的代数形式：创造-湮灭算子，

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英文标题：
《Algebraic Form of Malliavin Calculus: Creation-Annihilation Operators,
  Conserved Currents and All That》
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作者：
Peter B. Lerner
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  The extremely useful method of Malliavin calculus has not yet gained adequate popularity because of the complicated analytic apparatus of this method. The author attempts here to propose a simplified algebraic formalism similar to Malliavin calculus, but based on the notion of creation-annihilation operators instead of Malliavin derivative to replace analytic theorems with algebraic computations. Three test problems: the valuation of portfolio with stochastic payoff function, the expression of the terminal payoff through stochastic integral and the approximate equation for the high-frequency market measure are discussed in Appendices.
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中文摘要：
非常有用的Malliavin演算方法由于其复杂的分析设备尚未得到足够的普及。作者试图在这里提出一种类似于Malliavin演算的简化代数形式，但基于创造-湮灭算子而不是Malliavin导数的概念，用代数计算代替解析定理。附录中讨论了三个测试问题：带有随机支付函数的投资组合估值、通过随机积分表示的最终支付以及高频市场测度的近似方程。
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分类信息：

一级分类：Physics        物理学
二级分类：Mathematical Physics        数学物理
分类描述：Articles in this category focus on areas of research that illustrate the application of mathematics to problems in physics, develop mathematical methods for such applications, or provide mathematically rigorous formulations of existing physical theories. Submissions to math-ph should be of interest to both physically oriented mathematicians and mathematically oriented physicists; submissions which are primarily of interest to theoretical physicists or to mathematicians should probably be directed to the respective physics/math categories
这一类别的文章集中在说明数学在物理问题中的应用的研究领域，为这类应用开发数学方法，或提供现有物理理论的数学严格公式。提交的数学-PH应该对物理方向的数学家和数学方向的物理学家都感兴趣；主要对理论物理学家或数学家感兴趣的投稿可能应该指向各自的物理/数学类别
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Mathematical Physics        数学物理
分类描述：math.MP is an alias for math-ph. Articles in this category focus on areas of research that illustrate the application of mathematics to problems in physics, develop mathematical methods for such applications, or provide mathematically rigorous formulations of existing physical theories. Submissions to math-ph should be of interest to both physically oriented mathematicians and mathematically oriented physicists; submissions which are primarily of interest to theoretical physicists or to mathematicians should probably be directed to the respective physics/math categories
math.mp是math-ph的别名。这一类别的文章集中在说明数学在物理问题中的应用的研究领域，为这类应用开发数学方法，或提供现有物理理论的数学严格公式。提交的数学-PH应该对物理方向的数学家和数学方向的物理学家都感兴趣；主要对理论物理学家或数学家感兴趣的投稿可能应该指向各自的物理/数学类别
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Algebraic_Form_of_Malliavin_Calculus:_Creation-Annihilation_Operators,_Conserved.pdf (198.17 KB)

2022-5-7 03:31:07 上传

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关键词：Malliavin Mall AVI Mathematical Applications

Malliavin演算的代数形式：创造算子、守恒流和所有这些Peter B.Lernera摘要由于该方法的复杂分析设备，非常有用的Malliavin演算方法尚未得到足够的普及。作者试图在这里提出一种类似于Malliavin演算的简化代数形式主义，但它基于创造湮灭算子的概念，而不是Malliavin导数，以代数计算代替分析定理。附录中讨论了三个测试问题：随机收益函数下的投资组合估值、随机积分下的最终收益表达式和高频市场测度的近似公式。内容§1。创造消灭运算符§2。福克空间§3。C*创造-湮灭算子代数§4。δ-导数§5。C*集成6美元。从抽象的创造-湮灭算子得到的希尔伯特空间。§7. 海森堡方程§8。薛定谔方程§9。节能§10。欧拉-拉格朗日方程§11。拉格朗日密度§12。汉密尔顿-雅可比方程§13。刘维尔第14条。概率流和速度运算符§15。高斯定理§16。连续性方程§17。均值理论附录A.随机支付组合的估值附录B.哈密顿算子的半群性质附录C。

高频造市主体分类的近似度量：MSC 60H07、62P20、62P35、JEL G12关键字：Malliavin演算、创造湮灭算子、海森伯格方程、概率流、资产价格1 SciTech，LLC、Woodland Dr，宾夕法尼亚州州立学院16803，pblerner@syr.edu, pbl2@psu.edu.IntroductionMalliavin微积分是由Malliavin及其合著者在20世纪70年代末制定的（参见Malliavin and Thalmaier[Ma1]，2005年之前的参考文献）。然而，这项非常有用的技术并没有在金融界得到普及，因为在随机演算的扩展中涉及到分析困难。特别是，关于ssrn的论文数量有限。com（数学金融研究的一个公平样本）使用Malliavin演算，作者名单中大部分是专业数学家。此外，随着计算能力的快速增长，以及直接重新分析问题而不是使用通过希腊人计算的弹性的可能性，Malliavincalculus现存的主要金融应用——希腊人的计算——变得越来越不相关。有一次，V.N.Kolokoltsov[Kol1，Kol2]尝试将基于物理推理的概念注入随机微积分，但在数学界之外，这种尝试也很少被注意到。

从Belyavkin[Bel1]的经典论文开始，在“量子随机演算”的幌子下出现类似想法的地方，它们的发展是为了丰富量子物理学，而不是金融学。在这篇文章中，我提出了一组简单的代数规则，允许进行类似于Alliavin微积分的计算，而无需参考大多数受过常规物理或金融课程教育的人未知或忘记的分析仪器。作者并没有声称HistTechnique在形式上等同于“完整的”Malliavin演算。在随机演算的背景下，给出了创造湮灭算子的严格数学定义，例如byHudson和Parthasarathy【Hud1】、Belyavkin【Bel2】、Kolokoltsov【Kol2】和op.cit.基于股票空间和Wick排序。然而，Belyavkin的方法是基于薛定谔的托卡斯特环境方程。然而，在许多公式中，使用海森堡或交互表示法更自然。为了向专业人士证明我的努力是正确的，我强调简化和普及在数学领域有着悠久的历史。维纳测度和维纳积分在数学界之外几乎是未知的，直到费曼为薛定谔方程（具有一种天真的复杂性）产生了现在著名的费曼-卡福公式 我, [Fey1]）。在Dynkin发明他的图解作为在一次研讨会上展示范德沃登定理的教学工具之前，李群理论被认为对学生的教学几乎是不可渗透的。

狄拉克的斯德尔塔函数在物理学和电子工程中几乎立即得到了应用，但自20世纪30年代以来，索波列夫[Sobol1，Maz1]的著作中提供了大量数学基础，在1950年前后，劳伦特·施瓦兹（Laurent Schwarz）提出了一个替代定义，并随后出版了一些书，在此之前，广义函数或分布并没有得到普及。[Schwarz1]很明显，在数学和物理领域，迟来的认识到“问题是什么”还有一些额外的好处。任何称得上“微积分”的形式结构都必须具有若干性质。这些通常是： 分化的操作。 定义积分的可能性，在某种意义上，积分是微分的反向运算（例如，Malliavin演算的Skorokhod积分）。 微分可以解释为函数（函数、算子等）变化的线性部分。这一性质反映在初等微积分的拉格朗日（中值）定理或随机微积分的克拉克-奥肯定理（拉格朗日，克拉克-奥肯）中。 定义的微分运算在解决优化问题中的有用性（例如初等演算[Ru2]中的最大值和最小值定理或优化和随机演算[Trout1]中的Hamilton-JacobiBellman（HJB）方程）。 用（水动力）流解释动力学方程的可能性（例如，向量演算中的高斯定理[Galb1]）。 证明了所提出的形式主义在用这种新方法处理一些可能已经解决的问题时的有用性。随机演算的代数化是使用具有常规玻色子运算规则的创造-湮灭算子来执行的，这可以从大多数量子力学教科书中提取（进一步的QM，参见，例如。

[Cohen1]、[Schw1]、[Sh1]）。下面，我总结一下这些规则。2 J.-B.莫里哀，资产阶级绅士。3由于历史原因，大多数QM教科书的学生应该继续学习散射理论等——从薛定谔方程开始，然后介绍二次量子化形式中的创造和湮灭算符，这通常留给多体理论教科书。（[Sak1]，[Sh1]）直到最近，随着量子光学研究的普及，量子力学的方法才从海森堡算符返回开始（例如[Mil1]）。提出的代数形式主义留下了一个悬而未决的问题：费米子区有什么意义（如果有的话）？在量子力学中，费米子扇形不仅看起来很自然，而且可以在超对称结构中与几乎任何量子力学问题的玻色子扇形结合起来。特别是，对于多光子跃迁或高阶多项式哈密顿量的超对称表示，可以参考作者的工作[Andr1]）。玻色子产生-湮灭算子作用于可分希尔伯特空间L=L（C）的元素。L的元素可以用复平方可积函数来识别。通常，从根据规则定义的动量和坐标运算符开始：Q Q(1)P 我Q其中ψ是L的一个元素，即概率论中的平方可积鞅。注意，动量算符定义在L的（稠密）子空间上。这种构造显然是启发式的。然而，在Fock空间[Acc1，Apl2，Belt1，Kon1]和Gelfand三元组或操纵Hilbert空间（[Gel1]，第2-4章[Mad1]和同前[Ob1]）的基础上，人们努力为这种构造提供一个严格的基础。

对于任意维的欧几里德构型空间，由方程（1）定义的坐标和动量算子显然是正确的。然而，为了简单起见，我们将在大多数处理中使用一维构型空间，并仅在需要时参考多维概括。§1. 创造和湮灭算符由标准等式定义：aQ我P2.QQ2（2）a+Q我P2.QQ2动量和坐标运算符通过创建-湮灭运算符表示如下：Qa+A.2(2\')PA.a+2 iCreation和湮灭算符服从玻色子的正则交换关系：a+a+aa，a+1（3）注1：将其与Malliavin和Thalmaier（Ma12005年第1章）进行比较。注2：对于多维空间，方程（3）的交换关系得到以下形式：akak\'+ak+ak\'kk\'（3\'），其中k和k\'分别是离散或连续索引，δ分别是Kronecker符号或δ函数。从概率意义上讲，当作为标准扩散，方程（3\'）反映了对应于每个欧几里德坐标的布朗运动的相互独立性。此外，我们可以预期量子群典型的“变形”交换关系：akak\'+q ak+ak\'kk\'（3\'\'）对应于相关的布朗运动。从方程（3\'\'）推导Robertson Schr"odinger[Rob1，Sch1]的不确定度关系是一个练习。§ 2. 随机语境中的Fock空间。Mailliavin和Thalmaier（[Ma1]，第1.1节）中二次量子化方法的优点之一是定义了创造算子asx和湮灭算子asx十、1具有相同的标准对易关系，但在本书的其他地方从未使用过这种结构，附录A除外，在附录A中，作者再次将其定义为场的傅里叶分量。

请注意，与传统的QM定义不同，Ma1在第一章中将创造和湮灭算子定义为自伴算子。量子力学是用一个“希尔伯特”空间，即Fock空间，来描述希尔伯特空间上的算子代数的可能性。（[Cohen1]，[Schw1]）在Malliavin和Thalmaier中，问题的状态空间是L（W，dx），其中W是0和1之间的连续轨迹空间的符号，其中FW、 f（0）=0。这个空间在地理上是复杂的。Fock空间的基本构造可以描述如下。首先，在希尔伯特空间L（C）中选择一个可数的正交基。海森堡创造和湮灭算子根据状态空间中的基函数|en>进行操作，如下所示：a |en>n | en1> a+| en>N1 |恩1> （4）作为Lit的基向量，通常采用Hermit多项式Hn（谐振子基）。然后，不严格地说，创建和湮灭算子的任何多项式对无状态向量的作用可以表示为从L（C）到其n次幂的映射，其中n=p-q，创建算子的p-前导度，以及多项式中湮灭算子的q-前导度。为了以这种方便的形式表示一大类随机过程，我们可以使用定理（[Kar1]，第3.4节和[Ok2]，第4.2节和第12.3节）将平方可积函数表示为维纳积分。也就是说，平方可积鞅可以表示为Aviener积分，可预测过程f可以表示为被积函数：Xt0tfudu（5）|en> 十、1.N0xHnU2.Eu22d Wu（6）理论中的中心作用是由A和A+的自伴函数发挥的，它被称为哈密顿函数（A，A+）。现在，我们将考虑创造和湮灭的哈密顿多项式函数，下面的方程（7）表示一个平方可积鞅。

即使对于不完全可除过程，这个公式也可能太窄，其中许多过程不是平方可积的。在这种情况下，[Ok1]第3-4章中的定理对平方可积性的要求似乎非常严格。但稍后我们将讨论这个类的合理扩展。最简单的哈密顿量（在QM中称为一维谐振子）可以通过将厄米共轭项与最简单的二项式a+a相加得到a+aa+2.a+a12“自由”哈密顿量H0下基向量的时间演化a+a12是调和的，即表示为带欧几里得时间变化 我根据公式：|en> 十、EN12 N0xHnU2.Eu22d Wu（7）方程（7）与Ornstein-Uhlenbeck过程的联系很明显，因为它能够通过以下等式来表示属于Lth的任意过程的时间演化。即ifX0~cn|en>十、（8） 下一步E H0X0~cneN12 |嗯> 十、§3. 算子通过三个额外的运算形成代数C*：算子的换位子[，.]，厄米共轭（a）→a+，a+→a、 UUT）其中U是任何复数数值矩阵（特别是c我c任何复数）和正常（反正常）排序。此外，生成算子和湮灭算子的多项式函数定义良好。代数中元素F（a，a+）的正规（反正规）序是所有创造算子到所有湮灭算子的左（右）序，使用方程（3）。6在我们引入C*上的范数并证明范数与厄米共轭一致之前，我们不能正式宣布它为C*代数，即我们试图避免的分析结构。然而，见第6条。§4. δ-导数。

允许Ma+，a和Ma，a+是C*单项式的正常和反正常顺序副本：Ma+，aa+男子（9）Ma，a+一a+m和n个任意非负整数。然后，算子代数C*中的导数可以由以下等式定义：MA.Na+成年男子1(10)Ma+成年男子a+M1假定常数的导数为零。通过C*的代数性质，这些定义可以推广到C*的任意多项式成员。§5. C*中的集成定义为与微分有关的反向操作。根据定义，等式（5）中单项式的积分为：Ma，a+爸爸1n1.a+成年男子1(11)Ma，a+爸爸+1米1ana+注1：我们假定：a dtd aa+dtd a+如果采用最简单形式的哈密顿量H=a+a，则这些等式可以从等式（17），§6中证明。注2：以下形式积分等于1a d a+a+D1是规范交换关系的结果。注3：对于生成算子和湮灭算子的多项式函数，上述定义的积分显然与δ-微分运算相反。因此，在这种情况下，积分运算与Skorohod积分一致。[Sk1]§6。从抽象的创造-湮灭算子得到的希尔伯特空间。正如众所周知的Gelfand-Naimark-Segal定理，GNS[Dix1，Kad1]，在某些一般条件下，每个抽象算子代数都可以在Hilbert空间上实现为Banach代数。然而，这种认识并不是建设性的，因为在GNS的构建中并不总是给出一个积极的函数。在我们的例子中，假设哈密顿量（§5），我们可以使用吉布斯测度来定义算子空间上的正泛函：例如..